bab i pendahuluan1

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Statistik dan Statistika

Kata statistik digunakan untuk menyatakan kumpulan data, bilangan maupun

bukan bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang melukiskan atau

menggambarkan suatu persoalan misalnya statistik penduduk, statistik kelahiran,

statistik pertanian dan sebagainya. Kata statistik juga dapat dipakai untuk menyatakan

ukuran sebagai wakil dari kumpulan data mengenai sesuatu hal misalnya 20 % siswa

SMU Maju mendapatkan beasiswa dari Jepang.

Sedangkan statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara

pengumpulan data, pengolahan atau penganalisisannya dan penarikan kesimpulan

berdasarlam kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan.

Penerapan statistika dalam penelitian dibedakan atas dua macam, yaitu

statistika deskriptif dan statistika induktif inferenseial.

Statistika diskriptif digunakan atau diterapkan untuk mengatur, meringkas

menyajikan dan mendiskripsikan data dengan tujuan agar data menjadi lebih

bermakna. Pengaturan, penyajian dan peringkasan data dapat diwujudkan dalam

bentuk tabel, distribusi frekuensi, histogram, diagaram batang, diagram lingkar,

piktogram, poligon atau ogive.

Diskripsi data dapat dinyatakan dengan dua aspek, yaitu :

- Ukuran pemusatan (central tendensy) yaitu suatu harga kemana data

cenderung memusat, dinyatakan dalam bentuk harga rata-rata modus atau

median

- Ukuran penyebaran (disperson) yaitu sejauh mana ketervariasian data yang

satu dengan yang lain, dinyatakan dalam bentuk rentang (range), simpangan

baku (standart deviasi), varians, koefisien variasi atau standart error.

Statistika inferensial digunakan atau diterapkan untuk menyimpulkan tentang suatu

harga parameter populasi berdasarkan harga statistik sampel. Statistika inferensial

dibedakan atas dua bagian yaitu estimasi dan uji hipotesis.

1.2 Populasi dan Sampel

Populasi adalah keseluruhan elemen/unsur/unit/individu himpunan dengan

ciri-ciri tertentu yang sama, sedangkan sampel adalah himpunan bagian dari populasi.

Setiap sampel yang diambil haruslah representatif artinya segala karakteristik

populasi hendaknya tercerminkan dalam sampel tersebut. Banyaknya anggota suatu

populasi disebut ukuran populasi dan banyaknya anggota sampel yang diambil

disebut dengan ukuran sampel.

Contoh 1.2.1

Sejumlah 80 tikus digunakan dalam penelitian laju pertumbuhan tumor pada suatu

percobaan penelititan kanker. Diambil 7 tikus secara acak dari 80 tikus untuk diamati,

maka 80 tikus adalah anggota populasi dan 7 tikus anggota sampel.

Contoh 1.2.2

Bila saudara pergi ke Pasar ada pedagang kaki lima yang berdagang salak, salak

ditaruh di keranjangnya, dia menawarkan dagangannya demikian “salak-salak, manis-

manis”. Saudara tertarik untuk membelinya, kemudian si pedagang menyodorkan

beberapa salak untuk saudara cicipi, apa yang saudara rasakan, tentu manis bukan.

Mengapa demikian ? Kemudian bila saudara mengambil sendiri beberapa salak dan

saudara cicipi, apa yang saudara rasakan, benarkah manis ? Si Pedagang memang

benar-benar mengerti akan karakter individu salak mana yang manis dan tidak? Nah

bila saudara ingin selamat, pilihlah salak yang tidak manis, tawar dengan harga

dibawahnya.

Berdasarkan cerita di atas, sebutkan populasi dan sampelnya !

1.3 Macam-Macam Data

1.3.1 Menurut Sifatnya

Dalam hal ini, data dibagi menjadi dua bagian, yaitu

a. Data Kualitatif, adalah data yang berbentuk kategori atau atribut

Contoh : Sebagian mahasiswa Pend. Matematika FKIP Unej pandai

b. Data Kuantitatif, adalah data yang berbentuk bilangan

Contoh : Terdapat 5 perguruan tinggi negeri di kota A

Data kuantitatif dibagi lagi menjadi dua, yaitu

• Data diskrit, adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung

(membilang)

Contoh : Rata-rata IPK mahasiswa matematika angkatan 2010 adalah

3,31

• Data kontinue, adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur

Contoh : Berat badan Amin adalah 61 Kg

1.3.2 Menurut Cara Memperolehnya

Dalam hal ini, data dibagi menjadi dua bagian, yaitu

a. Data Primer, adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh suatu

organisasi serta diperoleh secara langsung dari obyeknya

Contoh : Pemerintah melalui BPS ingin mengetahui jumlah pemilih dalam

Pemilihan Presiden RI, maka BPS mengirimkan petugas-petugasnya untuk

mendatangi secara langsung ke rumah-rumah penduduk

b. Data Sekunder, adalah data yang diperoleh dalam bentuk sudah jadi,

sudah dikumpulkan dan diolah oleh pihak lain, biasanya data itu dicatat

dalam bentuk publikasi

Contoh : Seorang mahasiswa ingin mengadakan penelitian di SMA I

Jember khusus pada mata pelajaran matematika, sebelumnya mahasiswa

tersebut meminta nilai raport untuk mata pelajaran matematika pada guru

kelas sebagai data untuk penelitiannya

1.4 Pengumpulan Data

Langkah yang dapat ditempuh dalam mengumpulkan data :

a. mengadakan penelitian langsung ke lapangan atau di laboratorium terhadap

obyek penelitian. Hasilnya dicatat untuk kemudian dianalisis

b. mengambil atau menggunakan, sebagian atau seluruhnya, dari sekumpulan

data yang telah diangkat

c. mengadakan angket, yakni cara pengumpulan data dengan menggunakan

daftar isian atau daftar pertanyaan yang telah disiapkan untuk diisi oleh

responden

Dalam statistika, proses pengumpulan data ada dua, yaitu sensus dan sampling.

Sensus adalah cara pengumpulan data, jika setiap anggota populasi diteliti satu

persatu.

Contoh 1.4.1

Misalkan Kepala Sekolah SMA “X” ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa-

siswa di sekolahnua yang berjumlah 600 orang. Apabila setiap siswa diukur tinggi

badannya, kemudian dicatat, maka cara pengumpulan data ini dinamakan sensus.

Sampling adalah cara pengumpulan data, jika hanya sebagian anggota populasi saja

yang diteliti. Jadi disini tidak semua anggota populasi yang diteliti, tetapi hanya

sebagian anggota populasi saja yang diteliti.

Contoh 1.4.2

Berdasarkan Contoh 1.4.1, apabila jumlah siswa yang dikur tinggi badannya hanya 90

orang saja dengan rincian : Kelas I, II, III masing-masing diambil 30 orang siswa

maka cara pengumpulan data seperti ini dinamakan sampling

1.5 Penyajian Data

Dalam menyajikan data yang telah dikumpulkan dari populasi ataupun sampel

terdapat dua cara penyajian, yaitu tabel (daftar) dan grafik (diagram)

- Macam-macam daftar

1) Daftar baris kolom

2) Daftar kontigensi

3) Daftar distribusi frekuensi

Tabel/daftar biasanya memuat :

i. Judul (utama, sub judul)

ii. Kepala Baris (utama, sub judul)

iii. Kepala Lajur (utama, sub judul)

iv. Isi

v. Keterangan, bila diperlukan

Macam-macam diagram :

1) Diagram batang

Diagram batang merupakan diagram berdasarkan data berbentuk kategori. Terdiri

dari dua sumbu, sumbu datar yang menyatakan kategori dan sumbu tegak

menyatakan frekuensi data

Contoh 1.5.1

Dari 120 kupu-kupu yang terdapat dalam lingkungan kampus FKIP UNEJ, terdapat

38 kupu-kupu berwarna kuning, 67 warna hitam, 5 warna merah dan 10 warna

lainnya. Buatlah diagram batang dari data tersebut !

2) Diagram garis

Untuk menggambarkan keadaan yang serba terus (kontinue) atau berkesinambungan.

Terdiri dari sumbu datar yang menunjukkan waktu dan sumbu tegak yang

menunjukkan bilangan frekuensi

Contoh 1.5.2

Dari pengamatan berkala pada pertumbuhan populasi sel ragi, pencacahan dilakukan

setiap dua jam, diperoleh data berikut :

jam cacah sel 2 19 4 37 6 72 8 142 10 295 12 584 14 995

Buatlah diagram dari data diatas !

Penyelesaian :

3) Diagram pastel (lingkaran)

Data yang digunakan data yang berupa kategori yang mempunyai nilai frekuensi.

Contoh 1.5.3

Dari 120 kupu-kupu yang terdapat dalam lingkungan kampus FKIP UNEJ, terdapat

38 kupu-kupu berwarna kuning, 67 warna hitam, 5 warna merah dan 10 warna

lainnya. Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut !

Penyelesaian :

� Mengubah nilai data absolute ke dalam bentuk persentase :

� Mengubah nilai data dalam bentuk presentase ke dalam bentuk derajat :

4) Diagram pencar (titik)

Diagram titik merupakan cara menyajikan data berupa titik-titik yang merupakan

koordinat antara absis dan ordinat

Contoh 1.5.4

Dari 12 daun sampel yang dikumpulkan secara acak dari sebatang pohon. Panjang

dan lebar daun diukur diteliti sampai skala millimeter, diperoleh sebagai berikut :

daun lebar Panjang

1 35 55

2 21 44

3 25 46

4 35 60

5 26 55

6 40 57

7 35 64

8 40 68

9 25 51

10 42 61

11 23 46

12 25 44

Buatlah diagram titik dari data tersebut !

Penyajian data dengan menggunakan diagram titik (pencar)

Penyajian data dalam daftar (tabel)

Data yang disajikan dalam daftar/tabel atau diagram diharapkan dapat memberi

informasi yang efisien dan efektif oleh pembaca.

Contoh 1.5.5

a. Daftar kontigensi Tabel 1.5.1

Daftar Banyak Murid Sekolah di Daerah X Menurut Tingkat Sekolah dan Jenis Kelamin

Tahun 2000 Jenis

Kelamin Tingkat Sekolah Jumlah

SD SMP SMU Laki-laki 4758 2795 1459 9012 Perempuan 4032 2116 1256 7404 Jumlah 8790 4911 2715 16416

Berdasarkan Tabel 1.5.1, maka jawablah pertanyaan di bawah ini.

a.1 sebutkan judulnya, kepala baris, kepala lajur dan subnya, bila ada !

a.2 Sebutkan beberapa isinya

a.3 Sebutkan informasi yang saudara anggap penting !

b. Diagram batang

Berdasar diagaram batang yang tersaji pada Gambar 1.5.1, maka jawablah pertanyaan

di bawah ini :

b.1 Sebutkan judulnya

b.2 Sebutkan atribut yang tersaji pada sumbu datar maupun pada sumbu tegak !

b.3 Sebutkan informasi yang saudara anggap penting !

0

1000

2000

3000

4000

5000

SD SMP SMU

Ban

yak

Sis

wa

Laki-laki

Perempuan

Gambar 1.5.1 Diagram Batang Banyak Siswa Sekolah di Daerah X

Menurut Tingkat Sekolah dan Jenis Kelamin Tahun 2000

1.6 Distribusi Frekuensi

Salah satu penyajian data adalah dengan cara daftar distribusi frekuensi. Data

yang disajikan dalam bentuk distribusi frekuensi dikatakan sebagai data yang telah

dikelompokkan.

Langkah-langkah membuat distribusi frekuensi :

1. Rentang (range)

Data terbesar dikurangi dengan data terkecil

2. Banyak kelas interval

Menggunakan aturan sturges, banyak kelas interval = 1 + (3,3) log n dengan n =

banyak data

3. Panjang kelas interval, p

p = kelasbanyak

rentang

Contoh 1.6.1

Berikut panjang 40 helai daun salam dicatat sampai milimeter terdekat. Bangunlah

distribusi frekuensi, berdasar data tersebut di bawah ini;

138 164 150 120 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128

Penyelesaian :

i. Ukuran terpanjang (maksimum) = 176, ukuran terpendek (minimum) =

119, sehingga rentang = 176 – 119 = 57

ii. Banyaknya kelas interval : 1 + 3,3 log (40) = 6,28 ≈ 7 kelas

iii. Panjang kelas, p = rentang/banyak kelas = 8,14 ≈ 9

Tabel 1.6.1

Panjang (mm) f 118 – 126 127 – 135 136 – 144 145 – 153 154 – 162 163 – 171 172 – 180

53 5 9 12 5 4 2

Jumlah 40

1.6.1 Distribusi Frekuensi Relatif dan Kumulatif

Frekuensi relatif suatu kelas adalah frekuensi kelas dibagi total frekuensi

semua kelas dan umumnya dinyatakan sebagai persentase. Jika frekuensi dalam tabel

frekuensi diganti oleh frekuensi relatif padanannya, tabel yang diperoleh disebut

distribusi frekuensi relatif.

Total frekuensi semua nilai yang lebih kecil dari batas bawah kelas atas suatu

selang kelas tertentu disebut frekuensi kumulatif sampai pada dan termasuk selang

kelas. Sebuah tabel yang menyajikan frekuensi kumulatif disebut distribusi frekuensi

kumulatif. Terdapat dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi

frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi komulatif atau lebih.

Contoh 1.6.1

Daftar distribusi frekuensi tentang berat mahasiswa

Tabel 1.6.2 Berat 100 Mahasiswa Universitas XYZ

Berat (kg) Jumlah Mahasiswa (f) 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 - 74

5 18 42 27 8

Jumlah 100 a) frekuensi relatif kelas 68 – 68 adalah (42/100) x 100 % = 42 %

b) frekuensi kumulatif sampai pada dan termasuk selang kelas 66 – 68 adalah

5 + 18 + 42 = 65, artinya terdapat 65 mahasiswa yang memiliki berat kurang

68,5

c) distribusi frekuensi kumulatif “kurang dari” dari Tabel 1.6.2 adalah


Berat (kg) Frekuensi kumulatif kurang dari Kurang dari 60 Kurang dari 63 Kurang dari 66 Kurang dari 69 Kurang dari 72 Kurang dari 74

0 5 23 65 92 100

1.6.2 Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram terdiri dari himpunan siku empat yang mempunyai :

- Alas pada sumbu datar adalah batas-batas kelas interval dan pada sumbu tegak

menyatakan frekuensi

- Bentuk diagramnya seperti diagam batang hanya sisi-sisi batang yang

berdekatan harus berimpitan

- Luas sebanding terhadap frekuensi kelas

Jika semua kelas interval memunyai ukuran sama, tinggi segi empat

sebanding terhadap frekuensi kelas dan merupakan kebiasaan untuk mengambil tinggi

secara numerik sama dengan frekuensi kelas. Jika panjang kelas berukuran tidak

sama, tinggi-tinggi ini harus disesuaikan.

Poligon frekuensi adalah grafik garis dari frekuensi dimana di tengah-tengah

tiap sisi atas yang berdekatan dihubungkan dan sisi terakhir dihubungkan dengan

setengah jarak kelas interval pada sumbu datar.

Contoh 1.6.2

Berdasarkan Tabel 1.6.1 diperoleh histogram dan poligon :

169 - 178

160 - 169

152 - 160

143 - 152

135 - 143

126 - 135

118 - 126

14

12

10

8

6

4

2

0

Gambar 1.6.1 Histogram dan Poligon Untuk Berat 100 Mahasiswa Universitas XYZ

Untuk poligon dari distribusi frekuensi kumulatif kurang dari : (silakan dicoba

dengan menggunakan definisi poligon)

1.6.3 Model Populasi

- model normal

- model simetrik (hampir mirip dengan model normal)

- model miring ke kiri (positif)

- model miring ke kanan (negatif) (kebalikan dari model miring ke kiri)

- model J atau model kebalikan J

- model U

1.7 Ukuran Gejala Pusat

1.7.1 Rata-Rata

Misalkan sampel berukuran n dengan data x1, x2, x3,......., xn maka rata-rata atau rata-

rata hitung untuk sampel disimbolkan dengan −x , sedangkan untuk populasi

disimbolkan dengan µ .

−x =

nx....xxx n321 +++

atau −x =

∑

∑

=

=n

1ii

n

1ii

f

x

Rata-rata gabungan adalah rata-rata dari beberapa sub sampel lalu dijadikan satu.

Misal: sub sampel 1 berukuran n1 dengan rata-rata −x

Sub sampel 2 berukuran n2 dengan rata-rata −x 2 dan seterusnya maka rata-rata

gabungan dari k buah sub sampel adalah

−x gab =

∑

∑

=

=n

1ii

n

1iii

n

xn

Cara lain untuk mendapatkan rata-rata dari distribusi frekuensi adalah menggunakan

cara sandi atau menggunakan rata-rata sementara, yaitu :

- Satu tanda kelas misalnya x0

- x0 diberi sandi c = 0

- Tanda kelas yang lebih kecil dari x0 diberi sandi c = -1, c = -2 dan seterusnya

- Tanda kelas yang lebih besar dari x0 diberi sandi c = 1, c = 2 dan seterusnya

Jika p = panjang kelas interval maka

−x = x0 + p

∑

∑

=

=n

i

n

iii

f

cf

11

1

Sifat-sifat rata-rata :

1) Jika tiap nilai data ditambah/dikurangi dengan sebuh bilangan tetap d, maka

rata-rata untuk data bertambah/berkurang dengan d rata-rata data lama

2) Jika tiap data xi dikalikan dengan sebuah bilangan tatap d, maka rata-rata

untuk data baru menjadi d kali rata-rata data lama

Rata-rata ukur, U adalah rata-rata yang digunakan untuk perbandingan tiap dua data

berurutan tetap atau hampir tetap.

U = nn21 ,...xx,x atau log U =

n

xlog i∑

Untuk data kelompok

Log U = ∑

∑i

ii

f

)xlog(f

Rata-rata harmonik, H didefinisikan dengan :

H =

∑ix

1n

Hubungan antara rata-rata hidung, rata-rata ukur dan rata-rata harmonik adalah

H ≤ U ≤ −x

1.7.2 Modus

Modus (Mo) adalah fenomena yang paling banyak terjadi. Bila sampel

berukuran n dan data tersaji sebagai berikut : x1, x2, ....,xi,....., xn serta fenomena xi

data yang paling banyak terjadi, maka modusnya adalah xi. Namun bila data

kuantitatif dalam daftar distribusi frekuensi, modus ditentukan dengan :

Mo = bb + p

+ 21

1

bb

b

dengan :

bb = batas bawah kelas modal yaitu kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = panjang kelas modal

b1 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas

yang lebih kecil sebelum tanda kelas modal

b2 = frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval dengan tanda kelas

yang lebih besar sesudah tanda kelas modal

1.7.3 Median

Median sering dikatakan sebagai nilai tengah. Dinotasikan dengan Me. Untuk

data tunggal, setelah data diurutkan, baru diambil Me sebagai nilai tengahnya.

Jika data disusuan dalam distribusi frekuensi maka nilai Me sebagai berikut :

Me = bb + p

−

f

Fn21

dimana :

bb = batas bawah kelas median yaitu kelas interval dimana median akan terletak

p = panjang kelas modal

n = ukuran sampel

F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

Hubungan empiris antara rata-rata, median dan modus adalah

−x - Mo = 3 (

−x - Me)

1.7.4 Kuartil, Desil dan Persil

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 4

bagian yang sama. Disimbolkan dengan Q1, Q2, dan Q3.

Qi = bb + p

−

f

F4

in

dengan i = 1,2,3 dimana bb adalah batas bawah kelas Qi

Desil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 10

bagian yang sama, disimbolkan dengan D1, D2, ......, D9.

Di = bb + p

−

f

F10

in

dengan i = 1,2,3,.....,9 dimana bb adalah batas bawah kelas Di

Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100

bagian yang sama, disimbolkan dengan P1, P2, ......, P99.

Pi = bb + p

−

f

F100

in

dengan i = 1,2,3,.....,99 dimana bb adalah batas bawah kelas Pi

Contoh 1.7.1

Berdasar data-data pada Tabel 1.6.2 tentukan :

a. Rata-rata berat 100 mahasiswa Universitas XYZ !

b. Modus !

c. Median !

Penyelesaian :

Berdasar Tabel 5.1 sebagai perluas dari Tabel 1.6.2, maka


Berat (kg) Titik Tengah Frekuensi ci f ici 60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74

61 64 67 70 73

5 18 42 27 8

-2 -1 0 1 2

-10 -18 0 27 16

Jumlah 100 15

a. Rata-rata −x = 67 + 3 (15 / 100) = 67,45

b. Modus :

Dari Tabel 1.7.1 diperoleh :

b = 65,5, karena kelas interval yang memiliki frekuensi terbesar adalah

66 – 68, sehingga batas bawahnya 65,5

p = 3

b1 = 42 – 18 = 24

b2 = 42 – 27 = 15

Karena Mo = b + p

+ 21

1

bb

b = ............................ (silakan coba)

c. Median

Dengan menggunakan hubungan empiris, −x = 67,45 dan Mo = 67,35

Maka

67,45 – 67,35 = 3 (67,45 – Me)

0,1 = 2.2,35 – 3 Me

Me = 67,48

(bagaimana jika menggunakan rumus yang ada di atas, silakan dicoba)

Contoh 1.7.2

Tentukan Q3, D3, dan P3 pada tabel distribusi frekuensi 1.6.1 !

Penyelesaian :

a. Q3 ..... ?

i = 3 dan n = 100 berarti ¾ n = ¾ x 100 = 75

b = 68,5 karena jumlah data sampai 75 berada di kelas interval 69 – 71 sehingga

batas bawah b = 68,5

F = 5 + 18 + 42 = 65

f = 27

p = 3, sehingga

Q3 = 68,5 + 3

−

27

6510043 .

b. D3 ..... ?

i = 3 dan n = 100 berarti (3/10) n = 3/10 x 100 = 30

b = 65,5

F = 5 + 18 = 23

f = 42

p = 3, sehingga

Q3 = 65,5 + 3

−42

2330 = 66

c. P3 ....... ?

(Silakan dicoba)

Contoh 1.7.3

Bilangan-bilangan berikut menyatakan hasil ujian akhir Metode Statistika

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36

80 77 81 95 41 65 92 85 55 76

52 10 64 75 78 25 80 98 81 67

41 71 83 54 64 72 88 62 74 43

60 78 89 76 84 48 84 90 15 79

34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

Dengan menggunakan 9 kelas interval dan ambil nilai terendah 10, maka

a. buat distribusi frekuensi !

b. buat histogram dan poligon !

c. hitung rata-rata, median, modu, Q1, dan D5 !

(kerjakan sendiri sebagai latihan)

1.8 Ukuran Penyebaran

1.8.1 Rentang

Rentang suatu himpunan adalah selisih antara bilangan terbesar dan terkecil

dalam himpunan. Sedangkan rentang antar kuartil adalah selisih antara Q3 – Q1, dan

simpangan kuartil (deviasi kuartil) adalah setengah dari rentang antar kuartil,

SK = ½ (Q3 – Q1)

1.8.2 Rata-Rata Simpangan

Misal sampel berukuran n, data x1, x2, ....., xn dengan rata-rata −x maka rata-rata

simpangan ditentukan dengan :

RS = 1n

xx i

−

−∑−

1.8.3 Simpangan Baku

Misal sampel berukuran n, data x1, x2, ....., xn dengan rata-rata −x maka simpangan

baku ditentukan dengan :

s = 1n

x)(x 2i

−−∑

−

Bentuk lain untuk mendapatkan simpangan baku, antara lain :

i. s = 1)n(n

)x(xn 2i

2i

−−∑ ∑

ii. s = 1n

)x(xf 2ii

−−∑

−

iii. s = 1)n(n

)xf(xfn 2ii

2ii

−

−∑ ∑

iv. s =

−−∑ ∑

1)n(n

)cf(cfnp

2ii

2ii2

Varians adalah kuadrat dari simpangan baku disimbolkan s2. Varians untuk sebuh

populasi disimbolkan dengan σ2 dari simpangan baku σ.

Sifat-sifat simpangan baku :

� Jika tiap nilai data xi ditambah/dikurangi dengan bilangan yang sama, maka

simpangan baku s tidak berubah.

� Jika tiap nilai data xi dikalikan dengan bilangan yang sama d, maka

simpangan bakunya menjadi d kali simpangan baku asal.

Simpangan Baku Gabungan

Misal : sub sampel 1 berukuran ni dengan rata-rata −x1 dan simpangan baku s1

Sub sampel 2 berukuran n2 dengan rata-rata −x2 dan simpangan baku s2

Demikian seterusnya maka simpangan baku gabungan dari k buah sub sampel adalah

s = ∑∑

−−

kn

1)s(n

i

ii

1.8.4 Bilangan Baku dan Koefisien Variasi

Misal sampel berukuran n dengan data x1, x2, ....., xn dengan rata-rata −x , simpangan

baku s maka dapat dibentuk data baru z1, z2, ....., zn dengan :

zi = −x0 + s0

−−

s

xx i

Dispersi yang sebenarnya ditentukan dari simpangan baku disebut dispersi mutlak,

dan dispersi relatif didefinisikan dengan

Dispersi relatif = ratarata

mutlakdispersi

−

Koefisien variasi didefinisikan dengan KV = x

s x 100%

Contoh 1.8.1

Tentukan simpangan baku pada Tabel 1.6.2 !

Penyelesaian :

Tabel 1.8.1 adalah perluasan dari Tabel 1.6.2, maka


Berat (kg)

Titik Tengah

Frekuensi ci f ici fici2

60 – 62 63 – 65 66 – 68 69 – 71 72 – 74

61 64 67 70 73

5 18 42 27 8

-2 -1 0 1 2

-10 -18 0 27 16

20 18 0 27 32

Jumlah 100 15 97

s =

−−∑ ∑

)1n(n

)cf(cfnp

2ii

2ii2 sehingga s =

−99x100

)15(97x1003

22 = 2,92

Contoh 1.8.2

Seorang pengusaha tabung televisi mempunyai dua macam tabung, A dan B.

Tabung-tabung itu masing-masing mempunyai rata-rata usia hisup −xA = 1495 jam

dan −xB = 1875 jam dan simpangan baku sA = 280 jam dan sB = 310 jam. Tabung

manakah yang mempunyai :

a. dispersi mutlak

b. dispersi relatif lebih besar

Penyelesaian :

a) Dispersi mutlak dari A = sA = 280 dan B = sB = 310 jam. Jadi tabung B

mempunyai dispersi mutlak yang lebih besar

b) Koefisien variasi dari A = sA −

Ax = 18,7% dan B .... ? (silakan dicoba)

Contoh 1.8.3

Dari 200 sampel dibagi menjadi 3 bagian dengan

60 obyek memberikan s = 10,5



Tentukan simpangan baku gabungan !

Penyelesaian :

s2 = 321

233

222

211

nnn

1)s(n1)s(n1)s(n

++−+−+−

= 200

363537169988756504 ,,, ++ = 100,15

sehingga simpangan baku gabungan ketiga obyek tersebut adalah 10,007

Contoh 1.8.4

Didapat hasil ujian sejarah untuk 40 mahasiswa :

63 78 85 95 77 62 93 90

81 57 97 61 75 87 73 82

67 80 62 78 65 79 84 80

85 53 71 83 68 63 85 76

77 74 75 71 60 93 70 68

a. hitung rata-rata dan simpangan bakunya

b. jadikan data diatas ke dalam bilangan baku dengan rata-rata 10 dan simpangan

baku = 3

c. kalau dalam sistem bilangan baku ini, nilai lulus ditentukan paling kecil 15, ada

berapa orang yang lulus ?

(kerjakan sebagai latihan)

1.9 Momen, Kemiringan dan Kurtosis

1.9.1 Momen

Untuk data tunggal

Variabel x dengan x1 .... xn bilangan tetap dan r = 0,1,.... maka momen ke-r sekitar A,

mr’ adalah :

mr’ = n

A)(x ri∑ −

Jika A = 0 maka mr’ = n

x ri∑

Momen ke-r sekitar 0 (momen ke-r)

Jika A = −x → momen ke-r sekitar

−x (rata-rata), mr adalah

mr’ = n

)x(x ri∑

−−

r = 2 → disebut s2 (varian)

Untuk data kelompok

mr’ = n

A)(xf rii∑ −

Momen ke-r = n

xf rii∑

Dan untuk momen ke-r sekitar rata-rata :

mr’ = n

)x(xf rii∑

−−

mr’ = n

cfp rii

r∑

Hubungan antara mr dengan mr ’

m2 = m2’ – (m1’)2

m3 = m3’ – 3 m1’ m2’ + 2(m1’)3

m4 = m4’ – 4 m1’ m3’ + 6(m1’)2m2’ – 3 (m1’)

4

1.9.2 Kemiringan

Kemiringan adalah derajat ketaksimetrian dari suatu distribusi. Model populasi

simetrik, positif ataupun negatif dapat diketahui dengan menggunakan :

Kemiringan : bakusimpangan

usRata mod2 −

Rumus empiris :

Kemiringan : bakusimpangan

)MedianRata(3 2 −

Jika :

Kemiringan > 0 → model positif

Kemiringan = 0 → simetrik

Kemiringan < 0 → model negatif

1.9.3 Kurtosis

Kurtosis adalah derajat kepuncakan suatu distribusi, biasanya diambil relatif

terhadap distribusi normal.

Koefisien kurtosis (a4)

a4 = 2

2

4

)m(

m

a4 = 3 → a4 = 3 → distribusi normal

a4 > 3 → a4 > 3 → distribusi leptokurtik

a4 < 3 → a4 < 3 → distribusi platikurtik

atau

K = 1090 PP

SK

− =

1090

13

PP

)kk(2

1

−

−

Distribusi normal jika K = 0,263

Contoh 1.9.1

Berdasarkan −x = 67,45, Mo = 67,35 dan s = 2,92 data berat mahasiswa Universitas

XYZ model populasinya adalah ....

Penyelesaian :

Kemiringan = 922

35674567

.,, −

= 0,034, karena kemringan > 0 berarti model kurvanya

adalah model positif atau miring ke kiri.

bab i pendahuluan1

Documents