KonsepDasarMetodeElemenHingga(Finite Element Method(FEM))(FiniteElementMethod(FEM))

Apaitumetodeelemenhingga?Sebuahtekniknumerikuntukmenyelesaikanmasalahmasalahteknikdanmatematikafisika

FEMsangatpentinguntukmenyelesaikanmasalahmasalahteknikdengangeometri,pembebanandamsifatmaterialyangk l k tid k d t di l ikkomplek,yangtidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitis.

Contoh geometri komplekContohgeometrikomplek

Modul truss denganModul truss dengan koneksi antar truss

TujuanFEM Penyelesaiananalitis

Analisateganganuntuktruss,batang,danstruktursederhanalainyangdilakukan dengan penyelesaian analitis secara umum berdasarkandilakukandenganpenyelesaiananalitissecaraumumberdasarkanpenyederhanaandanidealisasi.Desainberdasarkanhasilkalkulasidaristrukturyangdiidealisasimemerlukanfaktor keselamatan besar (1 53) dan sebagian besar berdasarkanfaktorkeselamatanbesar(1,53)dansebagianbesarberdasarkanpengalaman.

FEM FEMDesainuntukstrukturkomplekdandengankeakurasianyangtinggimemerlukan:

f ( pengetahuanperilakufisikobjekkomplek(kekuatan,mampualirpanas,aliranfluidadll)

untukmemperkirakanperformansidanperilakudesain;menghitungmargink k l h k k dangkakeselamatan,mengetahuikekurangandesain.

mengidentifikasiperfomansidesainsecarayakin.

Prinsip FEMPrinsipFEM PrinsipFEMadalahdiskretisasi(dibuatkecilkecil) Geometriyangsimpledapatselesaikandengananalisasederhana(penyelesaiananalitis)ataupunFEMFEM

Geometrikomplek:Ketidakkontinuan dan geometri sembarangKetidakkontinuandangeometrisembarangmemerlukanFEM

AlurFEM(1)Dunianyata (2)Penyederhanaan (3)Persamaanmatematis (4)Diskretisasi(mesh)

DiskretisasiDiskretisasi Membagi modelmenjadi elemenelemen kecil (elemenelemen

hi ) li t h b d titik titik ( d ) d t ihingga)yangsaling terhubung pada titiktitik (node)danatau garisbatas.

Jenisjenis elemen

Elemensatudimensi(1D)

Elemenduadimensi(2D)

Trus,batang,pegas,pipa

Plat, shell, membranPlat,shell,membran

Suhu displacement stressElementigadimensi(3D)

Suhu,displacement,stress,kecepatanaliran

Objek Elemenelemen Nodenode

displacement

Stress/tegangan

Strain/reganganKuantitas nodalKuantitasnodalprimer Kuantitasnodalsekunder

Sebuahkasus

Luasan batang tirus dapat dihitung denganLuasan batang tirus dapat dihitung denganpendekatan, dengan menggunakan elemenpersegi panjang; dapat terdiri dari satuelemen, dua elemen, empat elemen dst.pSemakin banyak elemen yang digunakan,luasan hitung batang tirus semakinmendekati riil atau erornya semakin kecil(lihat Gb(b)(d)

Dalam FEM, dengan semakin banyak elemen yang dipakai displacement terhitung semakin mendekati

l i liti ti t lih t d Gb ( ) (b)penyelesaian analitis, seperti terlihat pada Gb. (a)-(b)

Demikianjugateganganyangterhitung,semakinbanyakelemenyangdipakai,teganganterhitungsemakinmendekatipenyelesaiananalitis.p , g g g p y

Bagaimana cara kerja FEM?BagaimanacarakerjaFEM?

Bodi dibagi menjadi elemenelemen kecil.g jPersamaan sebuah elemen dihitung dankemudian digabung untuk membuat persamaansistemsistem

Formula umum untuk persamaan yangmerupakan gabungan dari beberapa elemenadalah

[k]{U}={F}di [k] d l h ik k k k {U} d l hdimana [k] adalah matrik kekakuan, {U} adalahvektor dari displacement atau suhu nodal, dan {F}adalah vektor gaya nodal.g y

Contoh: 1. Bar (batang) satu dimensiContoh:1.Bar(batang)satudimensi

FFi j

Lx

Batangdiasumsikanterdiridarisatuelemendenganduanodeidanjsepanjangsumbu x dan hanya mengalami displacement aksial Displacement u bervariasisumbuxdanhanyamengalamidisplacementaksial.DisplacementubervariasiterhadapxsepanjangL,sehingga

u=a+bx, (1)denganadanbadalahkonstanta.ik d d l h di l b l dik h i di i d kJikaui danujadalahdisplacementyangbelumdiketahuidisetiapnode,maka

ui=a+bxi (2)uj=a+bxj (3)

Koordinatxi danxj diketahuisehinggaadanbyangtidakdiketahuidapatdihitungi j gg y g p ga=(uixjujxi)/L (4)b=(ujui)/L, (5)

Substitusiadanbkepers(1)diperoleh

(6)jiij u

Lxxu

Lxx

u

AtauN N (7)u=Niui + Njuj (7)

dengan Ni=(xj-x)/L dan Nj=(x-xi)/LNi dan Nj adalah fungsi bentuk elemen atau fungsi interpolasi. Fungsi inimengh b ngkan displacement pada nodal i dan nodal jmenghubungkan displacement pada nodal i dan nodal j.Jika i=1 dan j=2, maka

u=N1u1 + N2u2 (8)

Setelah mengetahui hubungan displacement antar nodal, berikutnya adalah hubunganantara displacement dengan gaya yang diberikan. Untuk batang yang dikenai gaya P maka terjadi displacement sebesarUntuk batang yang dikenai gaya P maka terjadi displacement sebesar

=PL/EA, (9)dengan E modulus elastis, A luas penampangSeperti pada persamaan pegas P=k pers (9) diubah menjadiSeperti pada persamaan pegas P=k, pers. (9) diubah menjadi

P=(EA/L), (10)dengan k=EA/L

Untuk batang ditarik dengan gaya F, regangan yang muncul d l hadalah

Setelah diintegralkan menghasilkan Setelah diintegralkan menghasilkan Sesuai dengan hukum Hook

Jika dihubungkan dengan gaya aksial P

Gaya setiap nodal adalah f1 dan f2

Secara matrik hubungan gaya nodaldandisplacementnodal

Matrikkekakuan

Contoh 1Sebuah batang tirus elastic dikenai beban P diujungnya danSebuah batang tirus elasticdikenai beban Pdiujungnya dan

ujung yanglaindiclam.Luas penampang batang bervariasimulai Ao di ujung tetap danAo/2diujung bebas.

Hitung displacementdi ujung bebas dengan (a)satu elemen,(b)dua elemen danHitung dengan metode analitis.

(a) Untuk penyelesaian dengan satu elemen, batang tirus diwakili oleh persegi panjang ( ) p y g , g p g p j gdengan A=3/4Ao), lihat gambar b. Sehingga k menjadi

Hubungan displacement dengan gaya menjadi, dengan F1 adalah gaya reaksi akibat gaya aksi P

U1=0 karena pada tempat tersebut dijepit, sehingga U2 adalah

(b)Untukduaelemen,batangtirusdibagimenjadiduaelemenpersgipanjangdenganpanjangsama,tetapiluasnyaberbedadenganA1=7/8AodanA2=5/8Ao(terimasajadululuasaninitanpamengetahuicaramenghitungnya).Sehingga

Karenapadaduaelemenadatiganodal,makaadadisplacementU1,U2danU3

U1 U2 U3

Matrikkekakuanmenjadi[ke]=danhubungandisplacement

k1 k2

dengangayaadalah

F1adalahgayareaksi,F2=0danF3=P.g y ,

KarenaU1=0danF2=0maka

Denganmenyelesaikanpersamaanmatriktersebut,U2danU3dapatdiperoleh

(c)Untukmendapatkanpenyelesaiananalitis,diagramkesetimbangangayapadabatangadalah

LuasanbatangtirusadalahA=(1x/2L)denganx=jaraksetiaptitiksembarangsepanjangL

Tegangansetiaptitikxdihitungsebagai

Danregangansetiaptitikxadalah

Displacementsetiaptitikxdapatdihitung,denganx=0(titikjepit),danx=Lpada ujung dimana gaya bekerjapadaujungdimanagayabekerja

Perbedaan displacement antarapenyelesaian analitis dan terhitungd l h 1% t k d l ( kadalah

Bagimana cara untuk mendapatkan hubungan matrikk k k ik di l d ikkekakuan,matrik displacementdan matrik gaya

1. Energiregangan;TeoremapertamaCastigliano2. Energipotensialminimum

1. Energiregangan;TeoremapertamaCastiglianoCastiglianoPadabendayangdikenaikerjamekanikluar,bilasistemdalamkesetimbangan,kerjayangdiberikan akan disimpan sebagai energidiberikanakandisimpansebagaienergiregangan.Definisikerjaluar

Untukbatang,energireganganadalah

()/2 adalah energi regangan per satuan volume atau disebut densitas()/2adalahenergireganganpersatuanvolumeataudisebutdensitasenergiregangan,Vadalahvolume.

T t C ti liTeoremapertamaCastiglianoUntuksistemelastisdalamkesetimbangan,turunanparsialenergiregangantotalterhadapdefleksidisebuahtitikadalahsamadengangayaterpakaid l h d fl k idalamarahdefleksi.

Untuk elemen batang

Secara matrik hubungan tersebut adalah

Hasil dengan metode ini sama dengan hasil yangdiperoleh dari metodesebelumnyasebelumnya.

Contoh pegasContohpegas(a) GunakanteoremapertamaCastiglianountukmenyelesaikansistem4

elemenpegas(sepertigambar)untukmendapatkanmatrikkekakuan.Anggapbatangvertikalpadanode2dan3rigid.

(b) Caridispalcementsetiapnodejika,k1=4kN/m,k2=6kN/m,k3=3kN/m.F2=30NdanF4=50N.

(a) Energiregangantotaluntuk4pegasadalah

TeoremaCastgliano

Biladisusundalambentukmatrik

(b)Denganmemasukkankonstantayangdiketahui,U1=0,F3=0,F1=gayareaksi

Untukmenyelesaikanpersamaanmatriktersebutadadualangkah:Langkah1:Hilangkanbarisdankolomtidakaktif

Langkah2:Kalikanbarispertamadengan12danbariskeduadengan16,tambahkankeduanyadantulishasilnyadibariskedua

Langkah3:Kalikanbarisketigadengan32tambahkankebariskeduadantulishasilnyapadabarisketiga

Langkah 4:Selesaikan persamaan (baris)dari palingbawahDi l h U4 U3 d U2Diperoleh U4,U3dan U2

DanF1dihitung dengan menyelesaikan persamaan baris pertama