Kapita Selekta Matematika IMEMBUKTIKAN PERSAMAAN LINGKARAN

FITRI SABRINA : 1100113

INTAN CAHYANINGRUM :1102329

KONSEP LINGKARAN

Lingkaran didefiniskan sebagai garis melengkung yang kedua ujungnya bertemu pada jarak yang sama dari titik pusat. Lingkaran adalah contoh kurva tertutup sederhana yang merupakan himpunan titik pada ruang dua dimensi yang berjarak sama dengan suatu titik tertentu yang disebut pusat lingkaran. Lingkaran bagi sebagian orang di definisikan sebagai himpunan semua titik (x, y) jika titik (x, y) tersebut adalah titik siku-siku dari semua segitiga siku-siku yang mungkin terbentuk dari dua titik yang berjarak tertentu.

PERSAMAAN LINGKARAN1. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O (0,0) dan Berjari-jari r 

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu x sehingga ΔOP’P adalah segitiga siku-siku di P’.Dengan menggunakan teorema Phytagoras pada ΔOP’P, makaOP =√OP’)2+(PP’)2Substitusi OP = r, OP’= x dan PP’ = yr = √x2+y2r2 = x2 + y2x2 + y2 = r2 Karena titik P(x,y) sembarang, maka persamaan x2+y2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari-jari r adalah :x2+y2 = r2

2. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A (a,b) dan Berjari-jari r

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Buat garis g melalui pusat A(a,b) dan sejajar dengan sumbu x. Proyeksi P pada garis g adalah P’, sehingga ΔAP’P adalah segitiga siku-siku di dengan AP’ = x – a, PP’ = y – b dan AP = r (jari-jari lingkaran).

Dengan menggunakan Teorema Phytagoras pada ΔAP’P, diperoleh :AP = √(AP’)2 + (PP’)2r2 = √(x – a)2 + (y – b)2r2 = (x – a)2 + (y – b)2(x – a)2 + (y – b)2 = r2Karena titk P(x,y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik, sehingga :Persamaan lingkaran dengan pusat A(a,b) dan jari-jari r adalah :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2