MEKANIKA II

MEKANIKA BENDA TEGAR

KINEMATIKA ROTASI• Bila terjadi perubahan sudut dalam selang waktu tertentu,

didefinisikan kecepatan sudut rata-rata sebagai :

12

12

tt

• Bila terjadi perubahan kecepatan sudut dalam selang waktu tertentu, didefinisikan percepatan sudut rata-rata sebagai :

12

12

tt

= Sudut [radian] = Kecepatan sudut [radian/s] = Percepatan sudut

[radian/s2 ] t = Waktu [s]

• Persamaan-persamaan kinematika rotasi :

)(22121

2

22

2

2

oo

o

oo

oo

o

tt

tt

t

t

• Kecepatan dan percepatan sudut sesaat :

dtd

t

dtd

t

t

t

0

0

lim

lim

• Hubungan antara kecepatan linier dan kecepatan sudut

rrdtdv

dtdsvrs

• Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut

rrr

rv

rrdtd

dtrd

dtdva

r

t

222 )(

• Momen Inersia (rotasi) massa (translasi)

Untuk sistem partikel energi kinetiknya :

22

2222

21

21)(

21

21

IKrmI

rmrmvmK

ii

iiiiii

I disebut momen inersia dari sistem partikel

Untuk benda tegar momen inersianya dapat dihitung dari :

dmrI 2

DINAMIKA ROTASISebuah benda berputar pada suatu sumbu disebabkan karena adanya momen gaya atau torka/torsi (torque)

FrFrFrrFrFt

)sin(sin

Hukum Newton II untuk rotasi :

maFI

KERJA DAN DAYA ROTASI

f

i

f

i

x

x

tt

FdxWdW

ddWdrFrdFdsFdW

)(

FvPdtd

dtdWP

• Momentum SudutMomentum sudut didefinisikan sebagai perkalian antara momen inersia dan kecepatan sudut

vmpIL Hukum Newton II :

madt

dmvdtdpFI

dtdI

dtdL

Hukum kekekalan momentum sudut :

tankonsLL0 fi

• Gerak MenggelindingSebuah bola menggelinding di atas bidang datar tanpa slip

Titik kontak antara bola dan bidang datar bergerak sejauh s

Pusat massa terletak di atas titik kontak juga bergerak sejauh s

dtd

dtdR

dtdsVpm

Kondisi menggelinding :

RAdtd

dtdR

dtdV

RV

pm

pm

pm

• Bola bergerak translasi dengan kecepatan v tanpa rotasi,sehingga baik titik kontak maupun titik puncak mempunyai kecepatan yang sama dengan kecepatan pusat massa.

• Bola berputar dengan kecepatan sudut tanpa translasi, sehingga kecepatan pusat massa nol sedangkan kecepatan titik kontak dan titik puncak mempunyai kecepatan yang sama tetapi berlawanan arah sebesar R

• Bola menggelinding (translasi dan rotasi dengan v = R), sehingga kecepatan titik kontak nol, kecepatan pusat masa v dan kecepatan titik puncak 2v

• Tidak ada gerakan relatip antara bola dan bidang datar, gaya gesekan statik, karena diam tidak ada energi yang hilang

KECEPATAN SUDUT DAN PERCEPATAN SUDUT

r

P

lintasan titik PPanjang busur lintasan : rs

Posisi sudut : rs

r

P,t1

Q,t2

r

Kecepatan sudut rata-rata :

12

12

tt

t

Kecepatan sudut sesaat :

tt

lim0 dt

d

12

12

tt

Percepatan sudut rata-rata :

t

tt

lim0

Percepatan sudut sesaat :

dtd

GERAK ROTASI UNTUK PERCEPATAN SUDUT TETAP

dtd

tt o )(dtd

konstan

t

ot dttd

o 0)( )(

221)( ttt oo

tt dtd

o 0)(

tt dtd

o 0)(

tt o )(

)(222oo

atvtv o )(2

21)( attvsts oo

)(222oo ssavv

GLBB

RELASI BESARAN SUDUT DAN LINIER

r

P

v

dtdsv

dtdrv

rv

P

at

ar

a

rs panjang lintasan

dtdvat dt

dr

rat

rvar

2 2r

22rt aaa 4222 rr 42 r

Kecepatan linier :

Percepatan tangensial :

Percepatan radial :

ENERGI KINETIK ROTASI

ri

mi

vi

Energi kinetik partikel ke i :2

21

iii vmK

Energi kineti seluruh benda :

221

iii vmKK 2221 iirm

ii rv

Momen kelembaman 22

21 iirmK

2iirmI2

21 IK

Momen kelembaman untuk benda pejal :

m

mrIm

2

0lim dmr2

rapat massa :

Vm

V

lim

0

dVdm dVdm dVrI 2

MOMEN GAYA

d1

d2

F3

r3

sinrF

F2 cos

F2 sin F2

r2

F1

r1

dr sinFd (10.18)

21 net 2211 dFdF

Bagaimana keterkaitan momen gaya dengan besaran sudut ?

m

Ft

r

rFttt maF rmat )(

rat rmr )(

)( 2mr I (10.19)

Usaha dan Energi

P

dsd

sF ddW

Usaha : rdF )sin(F

F sin

ddW

IdtdI

dtd

ddI

ddI

dIdW

dIW t

o

2212

21

ot II

Usaha yang dilakukan oleh gaya luar untuk memutar benda tegar terhadap sumbu tetap sama dengan perubahan energi kenetik rotasi benda tersebut !

MOMEN INERSIA

Jawab Pertanyaan Diatas

Jawab Pertanyaan Diatas

Contoh Soal Sebuah roda gila (grindstone wheel) berputar dengan percepatan konstan sebesar 0,35 rad/s2. Roda ini mulai berputar dari keadaan diam (o = 0) dan sudut mula-mulanya o = 0.Berapa sudut dan kecepatan sudutnya pada saat t=18 s ?

Jawab :

putaranrad

tt

o

o

932007,56

)18)(35,0(21)18(0

21

2

2

sputaranssrad

sradt

o

o

/1/360/3,6

/3,6)18)(35,0(0

radian2360putaran1 o

Contoh Soal Dalam suatu analisis mesin helikopter diperoleh informasi bahwa kecepatan rotornya berubah dari 320 rpm menjadi 225 rpm dalam waktu 1,5 menit ketika mesinnya dihentikan.a). Berapa percepatan sudut rata-ratanya ?a). Berapa lama baling-balingnya berhenti ?b). Berapa kali baling-balingnya berputar sampai berhenti ?

Jawab :

putaranc

menittb

sputarant

a

o

o

809)3,63(2

32002

).

1,53,63

3200).

/3,635,1320225).

222

2

Contoh Soal 5.3Suatu sistem terdiri dari dua buah benda bermassa sama m yang dihubungkan dengan sebuah batang kaku sepanjang L dengan massa yang dapat diabaikan. a). Bila sistem tersebut berputar dengan sumbu ditengah batang tentukan momen inersianyab). Tentukan momen inersianya bila berputar dengan sumbu pada ujung batang

Jawab :

2222

222

2

0).

21

22).

mLLmmrmIb

mLLmLmrmIa

ii

ii

Contoh Soal Sebuah batang homogen bermassa 1,5 kg sepanjang 2 m dapat

berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini berada dalam keadaan diam dan membuat sudut 40o terhadap horisontal seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Hitung :

a). Percepatan sudut pada saat dilepaskan b). Kecepatan sudut pada posisi horisontal disebelah kiri

Mg40o

R

Jawab :

Mg40o

R2ML

31I

s/rad08,345,9

)0)(8,9)(5,1()2(2140sin)2)(5,0)(8,9)(5,1()0)(2(

21

0h40sinL5,0hMghI21MghI

21).b

s/rad63,5226,11

226,11)40cos)2(5,0)(8,9)(5,1(RMgRFI

kgm2)2)(5,1(31ML

31I).a

22

22

o

2o

12221

21

2

o

222

Sebuah batang homogen bermassa 0,5 kg sepanjang 80 cm

dapat berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini berada dalam keadaan horisontal seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Bila diberi kecepatan sudut awal sebesar 5 rad/s, tentukan :

a). Momen inersia batang tersebut, Ib). Momen gaya yang dialami pada saat horisontal, o

c). Percepatan sudut awal, o d). Kecepatan sudut pada posisi vertikal,

o

mg

ho

h = 0

L/2Jawab :

s/rad851,70535,02975,32975,396,13375,10535,0

)0)(8,9)(5,0()107,0(21)4,0)(8,9)(5,0()5()107,0(

21

mghI21mghI

21)d

s/rad318,18107,096,1

II)c

Nm96,1)4,0)(8,9)(5,0(2Lmg)b

m.kg107,0)8,0)(5,0(31mL

31I)a

2

22

2o

2o

2oooo

o

222

Contoh

Sebuah cakram (disk) dengan momen inersia I1 berputar dengan kecepatan sudut I terhadap poros yang licin. Cakram ini jatuh mengenai cakram lain dengan momen inersia I2 yang sedang diam. Akibat gesekan pada permukaannya cakram lain ini ikut berputar sampai akhirnya mempunyai kecepatan sudut yang sama. Tentukan kecepatan sudut akhir ini.Jawab :

i2i

if

f212i1

fi

III

)II()0(IILL

Contoh Soal

Sebuah komedi putar mempunyai jari-jari 2 m dan momen inersia sebesar 500 kgm2. Seorang anak bermassa 25 kg berlari sepanjang garis yang tangensial terhadap tepi komedi putar yang semula diam dengan kecepatan 2,5 m/s dan melompat seperti terlihat pada gambar. Akibatnya komedi putar bersama-sama dengan anak tersebut ini berputar. Hitung kecepatan sudut komedi putar tersebut.

Jawab :

s/rad208,0600125

)500100()2)(5,2(25

)II(mvrLLkgm100)2(25mrI

f

f

fkpanakfi

222anak

Contoh

Sebuah bola berjari-jari 12 cm dan bermassa 30 kg sedang menggelinding tanpa slip pada sebuah lantai horisontal dengan kecepatan 2 m/s. Berapa energi kinetiknya ?

Jawab :

J

mvmvmv

RvmRmv

mRIImvKKK rotasitranslasi

84)2)(30(107

107

51

21

52

21

21

52

21

21

2

222

222

222

Contoh Soal 5.8

Sebuah bola bermassa M dan berjari-jari R dilemparkan sedemikian rupa sehingga saat menyentuh lantai ia bergerak secara horisontal dengan kecepatan 5 m/s dan tidak berputar. Koefisien gesekan kinetik antara bola dan lantai adalah 0,3.

a). Berapa lama bola meluncur sebelum menggelinding ?

b). Berapa lama jauh meluncur sebelum menggelinding ?

Jawab :

Kinematika dan dinamika selama meluncur :

Rg

MR

RMgI

MRIRMgRf

tgvatvvgMfaMgNf oo

25

525

22

2

a). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :

sgvtvgt

gtRtRgRtgvv

tRgtRv

oo

o

485,0)8,9)(3,0(7

)5(2227

25

2525

b). Pada saat kondisi menggelinding tercapai :

mgttvx o 08,2)485,0)(8,9)(3,0(21)485,0(5

21 22