matriks dan operasinya

Selasa 18 April 2023 Matematika Teknik 2PU 1324

1

Matriks dan Operasinya

• Notasi dan Definisi

• Jenis Matriks

• Sifat dan Operasi Matriks


2

Notasi dan Definisi

Matriks biasanya dinotasikan dalam huruf besar : A,B,C,…

Suatu matriks terdiri atas baris dan kolom. Sebuah matriks yang memiliki

m baris dan n kolom secara lengkap dinotasikan dengan dan dinyatakan

dalam bentuk :

: Elemen baris ke- i kolom ke - j

m x n : ukuran matriks

mn2m1m

n22221

n11211

nxm

a...aa

a...aa

a...aa

A

ija


3

Notasi dan Definisi

Contoh

Memiliki ukuran 2 x 3 dengan nilai elemen

654

321A

1a11 2a12 3a13

4a21 5a22 6a23


4

Jenis Matriks

Bila dilihat dari ukuran matriks atau nilai dari elemen

baris dan kolomnya, terdapat beberapa jenis

pengelompokan matriks yaitu :

• Berdasarkan ukuran matriks

• Berdasarkan nilai elemen baris

• Berdasarkan ukuran matriks dan nilai elemen

baris dan kolom


5

Jenis Matriks


– Matriks Bujur Sangkar

Yaitu matriks yang memiliki jumlah baris yang sama dengan

jumlah kolomnya. Elemen aii (i =1,2,…,n ) disebut elemen

diagonal

– Matriks Bukan Bujursangkar

Yaitu matriks yang memiliki jumlah baris yang berbeda dengan

jumlah kolomnya.


6

Jenis Matriks


– Vektor Baris

Matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Biasanya

dinotasikan dengan huruf kecil :

– Vektor Kolom

Matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Biasanya

dinotasikan dengan huruf kecil :

,...c,b,a

,...c,b,a


7

Jenis Matriks

• Berdasarkan Nilai elemen matriks– Matriks Nol

Matriks yang semua nilai elemennya bernilai 0

– Matriks Eselon Baris Tereduksi

Matriks yang memiliki syarat nilai tertentu terhadap elemen baris

dan kolomnya.

Syarat untuk elemen baris dan kolom akan dibahas secara lebih

terperinci pada bagian Sistem Persamaan Linier.


8

Jenis Matriks

• Berdasarkan ukuran matriks dan nilai elemen baris dan kolom matriks

– Matriks Diagonal

Yaitu matriks Bujur Sangkar yang semua nilai elemen diluar

elemen diagonal bernilai nol.

– Matriks Identitas

Yaitu matriks Diagonal yang semua elemen diagonalnya bernilai

satu.


9

Jenis Matriks

• Berdasarkan ukuran matriks dan nilai elemen baris dan kolom matriks

– Matriks Segitiga

Yaitu matriks Bujur Sangkar yang elemen – elemen diatas atau

dibawah elemen diagonal bernilai nol.

Bila yang bernilai nol dibawah elemen diagonal maka disebut

matriks segitiga atas dan bila yang bernilai nol diatas elemen

diagonal maka disebut matriks segitiga bawah.

– Matriks Simetri

Yaitu matriks Bujur Sangkar yang nilai elemen untuk jiij aa n,...,2,1j,i


10

Jenis Matriks

Contoh jenis matriks– Matriks Segitiga Atas

– Matriks Segitiga Bawah

000

120

211

A

20

11B

211

032

001

A

22

01B


11

Jenis Matriks

Contoh jenis matriks– Matriks Diagonal

– Matriks Identitas

200

030

001

A

2000

0300

0000

0002

B

100

010

001

A

1000

0100

0000

0001

B


12

Jenis Matriks

Contoh jenis matriks– Matriks Simetri

134

325

451

A

2870

8360

7610

5432

B


13

Sifat dan Operasi

Sifat Kesamaan MatriksDua buah matriks A dan B dikatakan sama bila A dan B memiliki

ukuran yang sama dan semua elemen pada A yang bersesuaian

dengan B memiliki nilai yang sama.

Maka a = 1 dan b = 4

Bila

b3

2a

43

21


14

Sifat Kesamaan Matriks

•Contoh matriks yang tidak sama

A B karena A dan B memiliki ukuran yang berbeda

A C karena elemen dari A berbeda dengan elemen B

22

22A

222

222

222

B

11

11C


15

Operasi Matriks

Penjumlahan atau PenguranganOperasi penjumlahan dan pengurangan dapat dilakukan pada matriks A

dan B bila ukuran matriks A dan B adalah sama. Operasi dapat

dilakukan dengan menambahkan atau mengurangkan pada elemen

yang bersesuaian.

Contoh operasi penjumlahan

5443

3221

54

32

43

21

17

51


16

Operasi Matriks

Contoh operasi pengurangan

Perkalian– Perkalian skalar dengan Matriks

Bila suatu skalar k dikalikan dengan sembarang matriks A maka semua elemennya akan bernilai k kali elemen semula.

1443

3224

14

34

43

21

3123

696

363

141

232

121

3

31

12


17

Operasi Matriks

• Perkalian Matriks dengan MatriksDua buah matriks A dan B dapat dikalikan bila jumlah kolom matriks A

sama dengan jumlah baris matriks B . Hasil perkaliannya adalah

matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah baris A dan

memiliki jumlah kolom sama dengan jumlah kolom B.

Bila C = AB, maka setiap elemen C diperoleh dari hasil perkalian baris

matriks A terhadap kolom matriks B.

Secara matematis dapat dinyatakan sebagai:

n : Jumlah kolom A atau jumlah baris B

jk

n

1kikij bac


18

Operasi Matriks

Contoh perkalian matriks

Transpose Operasi transpose dapat dilakukan pada sembarang matriks. Bila operasi

transpose dilakukan pada A ( dinotasikan dengan At) maka hasilnya

adalah matriks yang baris ke – i nya merupakan kolom ke – i dari matriks

A.

2.52.44.31.53.42.3

2.32.24.11.33.22.1

21

23

42

543

321

3023

1011


19

Operasi Matriks

Contoh transpose matriksDiketahui

54

21

32

A

Transpose dari A =

523

412At


20

Sifat Operasi Matriks

– Komutatif penjumlahan

– Asosiatif

– Distributif

– Identitas

– Perkalian transpose

(AB)t = Bt At

ABBA

CBACBA CABCBA

ACABCBA

AAtt


21

Soal Latihan

Diketahui

1. Tentukan AB

2. Tentukan (AB+C)t

3. Tentukan

4. Tentukan

5. Tentukan

131

322A

12

21

32

B

743

632

521

C

tABBAt

tCBA


22

Sistem Persamaan Linier

• Pendahuluan • Eliminasi Gauss–Jordan• Sistem Persamaan Linier

Homogen


23

Sistem Persamaan Linier

PendahuluanSuatu sistem persamaan linier terdiri atas beberapa persamaan

linier yang saling berhubungan. Sebuah persamaan linier dengan n

peubah dapat dituliskan dalam bentuk :

Sistem Persamaan linier dengan n peubah dan m persamaan linier

dapat dituliskan dalam bentuk :

bxa...xaxa nn2211

1nn1212111 bxa...xaxa


mnmn22m11m bxa...xaxa


24

Pendahuluan

Sebuah Sistem Persamaan Linier sebenarnya merupakan

penyederhanaan suatu persoalan riil.

Dengan menuliskan dalam bentuk sistem persamaan linier maka

penyelesaian dari suatu permasalahan dapat diselesaikan dengan lebih

mudah.

Solusi dari sebuah sistem persamaan linier tidak selalu ada.

Bila sistem persamaan linier memiliki solusi maka solusinya bisa berupa

solusi tunggal atau solusi takhingga banyak.

Suatu sistem persamaan linier yang tidak memiliki solusi disebut sistem

persamaan linier yang tidak konsisten.


25

Pendahuluan

Diagram penyelesaian sistem persamaan linier


26

Pendahuluan

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dapat

digunakan metode eliminasi atau metode substitusi.

Metode eliminasi memiliki prinsip menghilangkan atau

mengeliminasi salah satu peubah dengan cara menambahkan

kelipatan suatu persamaan ke persamaan yang lain.

Metode substitusi memiliki prinsip melakukan substitusi atau

mengganti suatu peubah berdasarkan nilai peubah tersebut pada

persamaan yang lain.


27

Metode Eliminasidan Substitusi

Contoh 1Diketahui sebuah sistem persamaan linier:

Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut dengan

menggunakan metode

• Eliminasi

• Substitusi

1y2x

7yx2


28


Metode EliminasiDengan metode ini maka pertama – tama salah satu peubah

akan dihilangkan misalkan x

Persamaan pertama dikalikan dengan 2 agar koefisien x menjadi

sama untuk kedua persamaan

1y2x 7yx2

2y4x2

7yx2


29


Persamaan pertama dikurangi persamaan kedua diperoleh persamaan

Untuk menentukan nilai x, maka peubah y dari sistem persamaan linier

diawal dihilangkan dengan cara mengalikan persamaan kedua dengan –

2 agar koefisien y menjadi sama.

Persamaan pertama dikurangi persamaan kedua diperoleh persamaan

Jadi solusi sistem persamaan linier adalah x = 3 dan y = –1

1y5y5

1y2x 14y2x4

3x15x5


30


Metode Substitusi Berdasarkan persamaan pertama maka x bisa dituliskan dalam bentuk :

Nilai x ini kemudian disubstitusikan kedalam persamaan kedua menjadi

Nilai y bisa diperoleh yaitu y = –1. Nilai y ini kemudian dapat

disubstitusikan kesalah satu persamaan.

y21x

yy212yx2 7y52


31


Misalkan disubstitusikan ke persamaan pertama maka akan diperoleh

persamaan

Diperoleh hasil x = 3. Jadi solusi sistem persamaan linier adalah x = 3

dan y = –1

Bisa saja dalam menentukan solusi sistem persamaan linier diatas

menggunakan metode campuran eliminasi dan substitusi yaitu pertama –

tama dilakukan eliminasi terhadap salah satu peubah kemudian dilakukan

substitusi untuk mendapatkan nilai peubah yang lain

12x1.2xy2x


32


Contoh 2

Diketahui sebuah sistem persamaan linier dengan 3

peubah :

Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut

6zyx 1zyx2 5z2yx


33


Jawaban

Metode yang akan digunakan adalah metode campuran antara

eliminasi dan substitusi .

Karena mengandung 3 persamaan maka eliminasi x dilakukan dari

dua pasangan persamaan misalkan dan .

Setelah persamaan 1 pada persamaan dikalikan dengan 2 dan

dilakukan eliminasi terhadap x diperoleh persamaan :

2,1 3,1

2,1

11z3y


34


Dari persamaan ,setelah dilakukan eliminasi terhadap x diperoleh persamaan :

Dari dua persamaan linier ini bila dilakukan eliminasi terhadap y akan didapatkan persamaan atau .

Dengan mensubstitusi nilai ke salah satu persamaan

atau

maka akan diperoleh nilai .

3,1

1zy2

21z7 3z 3z

2y

11z3y

1zy2


35


Nilai y dan z ini kemudian disubstitusikan pada salah satu

persamaan dari 3 persamaan linier diawal .

Hasilnya diperoleh nilai

Jadi solusi sistem persamaan linier adalah

1x

1x 2y 3z


36


Contoh 3Diketahui sebuah sistem persamaan linier dengan 3 peubah:

Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut

1zyx 2zyx2 1z2x


37


JawabanMetode yang akan digunakan adalah metode campuran antara

eliminasi dan substitusi .

Karena mengandung 3 persamaan maka eliminasi x dilakukan dari

dua pasangan persamaan misalkan dan .

Setelah persamaan 1 pada persamaan dikalikan dengan 2 dan

dilakukan eliminasi terhadap x maka diperoleh persamaan :

Dari persamaan ,setelah dilakukan eliminasi terhadap x

diperoleh persamaan :

2,1 3,1 2,1

0z3y

3,10z3y


38


Karena dua persamaan yang diperoleh sama, maka didapatkan

hubungan antara y dan z adalah . Nilai ini kemudian

disubstitusikan ke persamaan pertama dan kedua sehingga

diperoleh sistem persamaan linier baru :

Bila diperhatikan adalah kelipatan dari

sehingga semua persamaan tersebut sebenarnya sama yaitu

z3y

1z2x 2z4x2 1z2x

2z4x2 1z2x

1z2x


39


Dari persamaan maka diperoleh nilai x adalah

Bagaimana dengan nilai z ?

Karena sudah tidak terdapat persamaan lagi yang digunakan untuk

mencari nilai z, maka berarti z boleh bernilai sembarang. Jadi

solusi sistem persamaan linier adalah

Dengan

1z2x z21x

s21x s3y

sz

Rs


40

Eliminasi Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss–Jordan adalah suatu metode untuk menentukan solusi suatu sistem persamaan linier dengan cara mengubah suatu sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matriks kemudian mereduksi matriks yang bersesuaian dengan sistem persamaan linier tersebut menjadi matriks eselon baris tereduksi.


41


Mengubah sistem persamaan linier dalam bentuk persamaan matriks

Suatu Sistem Persamaan linier dengan n peubah dan m

persamaan linier yang berbentuk :



: mnmn22m11m bxa...xaxa


42


Dapat diubah dalam bentuk persamaan matriks . dengan

Matriks A sering disebut sebagai matriks koefisien. Sedangkan solusi sistem persamaan linier adalah yang telah disederhanakan.

mn2m1m

n22221

n11211

a...aa

a...aa

a...aa

A

n

2

1

x

x

x

x

n

2

1

b

b

b

b

bxA

x


43


Matriks diperbesar (Augmented Matrix)Matriks diperbesar adalah matriks yang elemen – elemennya

merupakan gabungan dari elemen A dan elemen .

Matriks diperbesar dapat dituliskan sebagai :

Matriks inilah yang nantinya akan diubah menjadi bentuk eselon baris tereduksi

b|Ab

b|A

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

b

b

|

|

|

|

a...aa

a...aa

a...aa

b|A


44


• Matriks eselon baris tereduksiSuatu matriks disebut matriks eselon baris tereduksi bila

memenuhi empat syarat berikut yaitu :

• Bilangan tak–nol pertama dari setiap baris adalah satu

( disebut satu utama).

• Kolom yang yang memuat satu utama hanya memuat nol

ditempat lainnya.

• Satu utama pada baris yang lebih bawah terletak pada kolom

yang lebih kanan daripada satu utama pada baris atasnya.

• Bila terdapat baris 0 maka letaknya pada baris bagian bawah

matriks / dibawah baris tak–nol (syarat optional).


45


Untuk mendapatkan bentuk eselon baris tereduksi maka

diperlukan operasi – operasi yang dapat diterapkan pada

matriks diperbesar . Operasi – operasi ini disebut operasi baris

elementer.

Operasi baris elementer terdiri atas 3 operasi yaitu :

• Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta k tak nol.

• Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

• Mempertukarkan 2 buah baris

Bila suatu matriks diperbesar sudah berbentuk matriks eselon

baris tereduksi maka solusi sistem persamaan linier bisa

didapatkan.


46


Langkah – langkah eliminasi Gauss –Jordan

• Mulailah pada baris ke–1. Bila elemen pada kolom satu 1 maka

pilih salah satu operasi baris agar elemennya menjadi 1. Angka satu

ini disebut satu utama. Bila tidak bisa diubah menjadi 1 lanjutkan

penentuan satu utama pada kolom berikutnya (sampai kolom ke–k

dengan k adalah banyaknya baris dalam A ) pada baris yang sama.

Ingat operasi baris akan mempengaruhi semua elemen dalan suatu

baris.

• Perhatikan elemen lain dalam kolom ini (elemen dibawah atau diatas

satu utama). Bila nilai elemennya 0 maka dengan menggunakan

operasi baris yang ke–2, jadikan semua elemennya menjadi 0.

• Ulangi langkah 1 dan 2 untuk baris berikutnya sampai kolom ke–k.


47


Contoh 1

Diketahui sebuah sistem persamaan linier :

Tentukan solusi sistem persamaan linier dengan

menggunakan Eliminasi Gauss–Jordan tersebut

6zyx 1zyx2 5z2yx


48


JawabanSistem persamaan linier dapat diubah dalam persamaan matriks

dengan matriks diperbesar

Solusi sistem persamaan linier adalah yang memenuhi

persamaan

5|211

1|112

6|111

b|A

xbxA


49


Langkah –langkah Eliminasi Gauss–Jordan– Elemen sehingga tidak perlu dilakukan operasi baris lagi.

– Elemen jadi harus dinolkan dengan cara menambahkan

kelipatan baris pertama ke baris kedua ( baris pertama dikalikan –2

kemudian ditambahkan ke baris kedua atau bisa disingkat dengan

. ).

– Elemen jadi harus dinolkan dengan cara menambahkan

kelipatan baris pertama ke baris ketiga ( baris pertama dikalikan –1

kemudian ditambahkan ke baris ketiga atau disingkat

dengan . ).

1a112a

21

21 bb2

1a31

31 bb


50


Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanHasilnya matriks diperbesarnya menjadi

Kolom satu sudah selesai dilakukan operasi baris. Selanjutnya

operasi baris difokuskan pada baris kedua. Nilai dari kolom

pertama tidak boleh berubah akibat operasi baris yang dilakukan

pada kolom berikutnya.

1|120

11|310

6|111


51


Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanSelanjutnya operasi baris difokuskan pada kolom kedua. Elemen

pada kolom pertama tidak boleh berubah akibat operasi baris yang

dilakukan pada kolom berikutnya.

Elemen , maka harus dibuat menjadi 1 dengan cara

mengalikan baris kedua dengan –1 ( disingkat dengan ).

Elemen dinolkan dengan cara menambahkan baris kedua ke

baris pertama (bisa disingkat dengan ).

Elemen dinolkan dengan cara mengalikan baris kedua

dengan –2 dan menambahkannya pada baris ketiga (disingkat

dengan ).

1a22

22

a

2b

1a12

12 bb

2a32

32bb2


52



Kolom satu dan dua sudah selesai dilakukan operasi baris.

Selanjutnya operasi baris difokuskan pada baris ketiga. Elemen

dari kolom pertama dan kedua tidak boleh berubah akibat operasi

baris yang dilakukan pada kolom berikutnya.

21|700

11|310

5|201


53


Langkah –langkah Eliminasi Gauss–JordanSelanjutnya operasi baris difokuskan pada kolom ketiga.

Elemen , maka harus dibuat menjadi 1 dengan cara

mengalikan baris ketiga dengan ( disingkat dengan ).

Elemen dinolkan dengan cara menngalikan baris ketiga

dengan 2 dan menambahkannya pada baris pertama (bisa

disingkat dengan ).

Elemen dinolkan dengan cara mengalikan baris ketiga

dengan –3 dan menambahkannya pada baris kedua (disingkat

dengan ).

7a33

33a

3b

7

1

2a13

13bb2

3a23

23bb3

7

1


54



Eliminasi Gauss–Jordan sudah selesai dilakukan karena matriks

ini sudah berbentuk eselon baris tereduksi.

3|100

2|010

1|001


55


Keseluruhan langkah operasi baris diatas biasanya dapat

dituliskan sebagai berikut :

5|211

1|112

6|111

b|A

31

21

bb

~

bb2

1|120

11|310

6|111

32

12

2

bb2

bb

b

~

21|700

11|310

5|201

13

23

3

bb2

~

bb3

b7

1

3|100

2|010

1|001


56


Dari matriks eselon baris tereduksi yang diperoleh, solusi sistem

persamaan linier bisa dituliskan berdasarkan nilai elemen pada

setiap baris matriks.

Dari baris pertama dapat ditulis persamaan :

atau

Dari baris kedua dapat ditulis persamaan :

atau

Dari baris ketiga dapat ditulis persamaan :

atau

1z0y.0x.1 1x

2z0y.1x.0 2y

1z.1y.0x.0 3z


57


Jadi solusi sistem persamaan linier adalah

Ini merupakan jenis solusi tunggal yang berarti hanya nilai x,y dan

z seperti itulah yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.

3

2

1

z

y

x


58


Contoh 2




2zyx2 3zyx 8zyx4


59


JawabanSistem persamaan linier tersebut dapat dituliskan sebagai .

Eliminasi Gauss–Jordan pada matriks diperbesar adalah

bxA

8|114

3|111

2|112

b|A

4|330

4|330

3|111

b4b

~

b2b

bb

13

12

21


60


Operasi baris pada kolom kedua

Baris ketiga adalah baris 0, jadi operasi operasi baris elementer sudah tidak

perlu dilakukan lagi. Bentuk eselon baris tereduksi sudah didapatkan.

0|0003

4|1103

5|001

b3b

~

bb

b3

1

23

21

2


61


Dari baris pertama dapat ditulis persamaan :

Dari baris kedua dapat ditulis persamaan :

atau

Dari baris ketiga dapat ditulis persamaan :

35x

34zy 3

4zy

Rz,y,x


62


Kolom 3 tidak memuat satu utama, maka nilai z bisa diambil

sembarang misalkan dengan

Solusi sistem persamaan linier adalah

dengan

Ini merupakan jenis solusi tak hingga banyak

Sz RS

S3

4S3

5

z

y

x

RS


63


Contoh 3




2zyx

3z2yx

5z4yx


64


Jawaban Sistem persamaan linier tersebut dapat dituliskan sebagai .

Eliminasi Gauss–Jordan terhadap matriks diperbesarnya adalah

5|411

3|211

2|111

b|A

3|300

5|300

2|111

bb

~

bb

31

21


65


Operasi baris terhadap kolom ketiga

Elemen sudah tidak mungkin dibuat 1. Operasi baris selesai

dilakukan. Bentuk ini sebenarnya bukan bentuk eselon baris

tereduksi karena pada kolom ke – 4 bilangan taknol pertamanya

bukan 1 tetapi –2.

2|0003

5|1003

1|011

bb3

~

bb

b3

1

32

12

2

33a


66


Kita tidak perlu mengubah bentuk ini ke bentuk eselon baris

tereduksi karena dari baris ketiga dapat ditulis suatu persamaan :

Persamaan ini jelas merupakan persamaan yang selalu salah .

Dari hal ini maka dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan

linier tidak memiliki solusi.

Sistem persamaan linier yang tidak memiliki solusi seperti ini

disebut sebagai sistem persamaan linier yang tidak konsisten.

20


67


KesimpulanSolusi Tunggal

Terjadi bila pada bentuk eselon baris tereduksinya, banyaknya

satu utama = banyaknya variabel

Solusi Banyak

Terjadi bila pada bentuk eselon baris tereduksinya, banyaknya

satu utama < banyaknya variabel

Tidak Memiliki Solusi

Terjadi bila pada bentuk eselon baris tereduksinya, terdapat satu

utama pada kolom yang paling kanan.


68

Sistem Persamaan Linier Homogen

DefinisiSistem persamaan linier homogen adalah bentuk khusus dari

sistem persamaan linier yaitu khusus untuk atau bisa

dituliskan sebagai

Akibat dari bentuk ini, bila dikaitkan dengan sifat sistem

persamaan linier yang tidak memiliki solusi seperti pada contoh 3

bagian sebelumnya maka jelas bahwa

Sistem persamaan linier homogen ini akan selalu memiliki solusi

karena matriks eselon baris ini pasti tidak akan memiliki satu

utama pada kolom yang terakhir.

bxA 0b

0xA

0|A


69


Solusi dalam sistem persamaan linier dibagi menjadi dua yaitu :

• Solusi trivial (tak sejati)• Solusi taktrivial (sejati)

Bila suatu sistem persamaan linier homogen hanya memiliki

. sebagai satu – satunya solusi maka solusi sistem

persamaan linier homogen tersebut dinamakan solusi solusi

trivial.

Bila sistem persamaan linier homogen memiliki solusi lain selain

. maka solusi sistem persamaan linier homogen tersebut

dinamakan solusi solusi non–trivial.

0x

0x


70


Contoh

Tentukan solusi sistem persamaan linier homogen

dengan matriks koefisien

114

111

112

A


71


Jawaban

0|114

0|111

0|112

b|A

0|330

0|330

0|111

bb4

~

bb2

bb

31

21

21

0|000

0|110

0|001

bb3

~

bb

b3

1

32

12

2


72


Dari matriks terakhir yang diperolehDari baris pertama diperoleh persamaan :

Dari baris kedua diperoleh persamaan :

Kolom 3 tidak memiliki satu utama maka dengan .

Solusi sistem persamaan linier homogen adalah

Solusi ini merupakan solusi tak–trivial.

0x

0zy Sz RS

S

S

0

z

y

x


73

Soal Latihan

Untuk soal 1–3, dengan menggunakan Eliminasi Gauss–Jordan,

tentukan solusi sistem persamaan linier berikut :

1.

2.

2

0

2

z

y

x

123

121

132

5

3

2

z

y

x

w

1301

2422

1123


74

Soal Latihan

3.

Untuk soal 4 dan 5, tentukan solusi sistem persamaan linier homogen yang memiliki matriks koefisien berikut

4.

5.

4

1

2

z

y

x

231

321

413

421

322

223

A

1011

3211

4312

A


75

Determinan

Definisi Determinan sebenarnya merupakan suatu fungsi yang

didefinisikan pada matriks bujur sangkar saja. Determinan A

didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari A.

Hasil kali elementer dari A yang memiliki ukuran n x n berbentuk :

Dengan merupakan permutasi dari himpunan .

Hasil kali elementer ini akan bertanda positif atau negatif.

n21 njj2j1a...a.a

n21j,...,j,j n,...,2,1


76

Determinan

Hasil kali elementer akan bertanda positif bila

banyaknya invers yaitu banyaknya bilangan bulat besar yang

mendahului bilangan bulat yang lebih kecil dalam

permutasi . adalah genap, bila banyaknya invers

adalah ganjil maka tanda hasil kali elemeternya adalah negatif.

Determinan A dapat dituliskan dengan det(A) atau |A|. Bila A

berukuran n x n, maka notasi determinan A dalam bentuk matriks

A adalah

n21 njj2j1a...a.a

n21j,...,j,j

nn2n1n

n22221

n11211

a...aa

a...aa

a...aa

A


77

Determinan

ContohSuatu permutasi akan memiliki jumlah invers = .

Angka 2 adalah menyatakan banyaknya bilangan yang < 3 yang

posisinya didahului oleh 3 (yaitu 1 dan 2), sedangkan 1

menyatakan banyaknya bilangan< 2 yang posisinya didahului oleh

2 (yaitu 1).

Dari definisi determinan tersebut maka determinan

dapat dihitung sebagai berikut :

1,2,3 312

2221

1211

aa

aa


78

Determinan

Menghitung invers dan menentukan tanda

Determinan A

2,12211aa

1,22112aa

Permutasi Hasil kali elementer Banyak invers Tanda

0 +

1 –

21122112aaaaA


79

Determinan

Determinan dihitung dengan cara

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3,2,1 0aaa 332211

2,3,1 1aaa 322311

3,1,2 1aaa 332112

1,3,2 2aaa 312312

2,1,3 2aaa 322113

1,2,3 3aaa 312213

Permutasi Hasil kali elementer Banyak invers Tanda


80

Determinan

Jadi determinan A3x3 adalah

Contoh

Dengan menggunakan definisi determinan , hitung

Jawaban

A = 332211 aaa + 312312 aaa + 322113 aaa – 322311 aaa – 332112 aaa – 312213 aaa

221

323

432

221

323

432 33841

1.2.42.3.32.3.22.3.41.3.32.2.2


81

Determinan

Metode Perhitungan DeterminanUntuk kasus perhitungan determinan matriks yang berukuran

besar tentunya perhitungan determinan dengan menggunakan

definisi determinan menjadi tidak terlalu efektif.

Pada pembahasan selanjutnya perhitungan determinan akan

difokuskan pada metode ekspansi kofaktor dan metode reduksi

baris yang prinsipnya untuk lebih menyederhanakan perhitungan

determinan daripada perhitungan yang dilakukan melalui definisi

determinan.


82

Metode Perhitungan Determinan

Ekspansi kofaktor• Metode ini sebenarnya merupakan peringkasan dari perhitungan

determinan yang menggunakan definisi determinan. Dengan

menggunakan metode ini maka suatu determinan dapat dihitung

dengan menggunakan acuan baris atau kolom.

• Dengan acuan baris, metode ini dinamakan dengan ekspansi

kofaktor sepanjang baris i yang memiliki rumus :

denganinin2i2i1i1iMa...MaMaA n,...2,1i


83


Dengan acuan kolom, metode ini dinamakan dengan ekspansi

kofaktor sepanjang kolom j yang memiliki rumus :

dengan

Mij : Minor elemen i,j yaitu determinan dari matriks A yang

telah dihilangkan baris i dan kolom j – nya.

Tanda + atau – didepan tergantung dari jumlah i+j . Bila i+j

genap maka tandanya +, sedangkan bila ganjil maka tandanya

adalah – .

njnjj2j2j2j1Ma...MaMaA n,...2,1j

ijijMa


84


Dengan mendefinsikan kofaktor elemen i,j sebagai

` ` maka

Ekspansi kofaktor sepanjang baris i dapat dituliskan dalam bentuk :

dengan

Ekspansi kofaktor sepanjang kolom j dapat dituliskan dalam bentuk

dengan

Pemilihan baris i atau kolom j adalah bebas dan hasil yang akan

diperoleh akan selalu sama. Jadi pada matriks yang berukuran n x n,

akan terdapat 2n cara yang dapat dipilih untuk menghitung determinan.

ijc

ij

ji M1

inin2i2i1i1iCa...CaCaA n,...2,1i

njnjj2j2j2j1Ca...CaCaA n,...2,1j


85


Contoh 1

Hitung

dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor

221

323

432

A


86


JawabanAkan dicoba dengan beberapa cara

1. Ekspansi sepanjang baris 1

2. Ekspansi sepanjang kolom 1

131312121111MaMaMaA

21

234

21

333

22

322 31694

313121211111MaMaMaA

32

431

22

433

22

322 3164


87


Ada 4 cara lain yang masih bisa dicoba untuk menghitung

determinan. Hasil keempat cara tersebut tentunya harus sama

yaitu sama dengan 3.

Contoh 2

Hitung

dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor

3312

2203

1321

2202

A


88


JawabanDengan melakukan ekspansi sepanjang kolom 2

Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris 1

223

131

222

332

223

222

2 42422222 MaMaA

332

223

2220

32

232

32

232

33

222


89


Dengan melakukan ekspansi sepanjang baris 1

Jadi

Pada langkah pertama sengaja dipilih ekspansi sepanjang kolom 2

karena kolom 2 yang memuat elemen 0 yang paling banyak dibandingkan

baris atau kolom yang lain. Dengan memilih kolom 2 ini maka

perhitungan determinan dapat dilakukan secara lebih pendek.

223

131

222

440.2A

423

312

23

112

22

132


90


Metode Reduksi BarisBila A adalah matriks segitiga atas berukuran n x n

Bila determinan A dihitung dengan menggunakan ekspansi sepanjang kolom 1 secara terus – menerus maka akan didapatkan hasilnya adalah

mn

n222

n11211

a...00

a...a0

a...aa

A

nn2211a...a.aA


91


Metode reduksi baris memiliki prinsip mengubah bentuk matriks menjadi

segitiga atas dengan menggunakan operasi baris elementer.

Pada saat penentuan solusi sistem persamaan linier dengan operasi

baris elementer, ketiga operai baris elementer dapat digunakan tanpa

mempengaruhi sistem persamaan linier secara keseluruhan.

Pada metode reduksi baris ada 2 operasi baris elementer yang bila

dikenakan pada matriks dapat mempengaruhi nilai determinannya.

Kedua operasi tersebut adalah:

1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta k

2. Mempertukarkan dua buah baris


92


1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta k

Bila salah satu baris matriks A dikalikan dengan konstanta k,

maka determinan matriksnya menjadi k kali determinan

semula. Agar nilai determinannya tidak berubah maka

determinan matriks harus dikalikan dengan

2. Mempertukarkan dua buah baris

Bila dua buah baris suatu matriks dipertukarkan maka

determinan matriks akan menjadi minus determinan matriks

awalnya. Untuk mengembalikan nilai determinan ke nilai

semula maka determinan harus dikalikan dengan –1

k1


93


Contoh

Hitung dengan menggunakan metode reduksi baris

Jawaban

342

321

543

212

543

321

212

321

543

Baris 1 dipertukarkan dengan baris 3


94


430

420

321

212

543

321

212

321

543

–3b1+b2

–2b1+b3

430

210

321

2

430

420

321

212

543

321

212

321

543

–1/2 x b2


95


4

200

210

321

2

430

210

321

2

430

420

321

212

543

321

212

321

543

3b2 +b3


96

Penggunaan Determinan

Metode Crammer Salah satu penggunaan determinan adalah untuk menentukan

solusi sistem persamaan linier.

Metode yang digunakan menyelesaikan sistem persamaan linier

dengan menggunakan determinan ini dinamakan metode

Crammer.

Tentunya tidak semua sistem persamaan linier bisa diselesaikan

dengan metode ini, hanya sistem persamaan linier yang memiliki

matriks koefisien bujur sangkar dengan determinan 0 yang bisa

diselesaikan dengan metode ini.


97

Penggunaan Determinan

Metode Crammer Sebuah sistem persamaan linier yang disajikan dalam

bentuk . dengan akan memiliki solusi

dengan , ,….,

Dimana dengan i = 1,2,…n didefinisikan sebagai determinan

matriks A yang kolom ke–i nya diganti dengan vektor .

bxA 0A

n

2

1

x

x

x

x A

Ax 1

1

A

Ax 2

2

A

Ax n

n

iA

b


98

Metode Crammer

Contoh 1Diketahui sistem persamaan linier

• Periksa apakah metode Crammer bisa digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linier ini

• Tentukan solusi sistem persamaan linier tersebut.

3

2

1

z

y

x

221

230

112


99

Metode Crammer

Jawaban

• Metode Crammer bisa digunakan bila

Jadi metode Crammer bisa digunakan

• Solusinya diperoleh setelah |A1|, |A2|, |A3| dihitung

23

11

22

232

0A

221

230

112

223

232

111

A1

314

110

010

111

11

01

1


100

Metode Crammer

• Solusi sistem persamaan linier adalah

22

11

23

222

231

220

112

A2

321

230

112

A3

3

1

A

Ax 1

1

3

4

A

Ax 2

2 3

3

9

A

Ax 3

3

404

23

11

32

232 9110


101

Metode Crammer

Contoh 2Tentukan rumus x dan y dari sistem persamaan linier :

Dengan a,b,c,d,e,f Riil selain 0 bila diketahui x dan y adalah

tunggal

ebyax

fdycx


102

Metode Crammer

JawabanKarena nilai untuk a,b,c,d,e dan f bisa sembarang, maka akan terdapat

dua solusi dari sistem persamaan linier tersebut

Dengan a,b,c,d,e,f Riil selain 0.

Yang dilihat hanya pada saat solusi tunggal saja

Sistem persamaan linier akan memiliki solusi tunggal bila determinan

matriks koefisiennya 0.

Atau

bcaddc

ba

bcad


103

Metode Crammer

Untuk atau sistem persamaan linier akan memiliki solusi

tunggal dengan solusi

bcad

bfed

bcad

df

be

x

bcad

fc

ea

y

bcad 0A

bcad

ecaf


104

Soal Latihan

1. Diketahui a,b adalah bilangan cacah yang kurang dari 6

a. Bila

Tentukan nilai – nilai a dan b yang memenuhi

b. Bila

Tentukan nilai – nilai a dan b yang memenuhi

2. Hitung

4b

3a

42

31

4b

3a

42

31

421

547

625


105

Soal Latihan

3. Bila

Memiliki nilai determinan = –6 hitunglah

a.

b.

9966

7865

8754

9753

A

A3

9966

1814106

8754

7865


106

Soal Latihan

4. Diketahui sistem persamaan linier

a. Tentukan nilai a agar sistem persamaan linier memiliki solusi tunggal

b. Untuk nilai a tersebut, tentukan solusi sistem persamaan linier

5. Diketahui sistem persamaan linier

Tentukan solusi sistem persamaan linier diatas untuk semua kemungkinan

nilai a dan b !

bxA

3

2

1

z

y

x

233

240

1a2

2

4

y

x

b1

2a


107

Invers Matriks

Definisi Bila A adalah matriks bujur sangkar berukuran n x n yang

memiliki determinan tidak sama dengan nol maka invers matriks

A (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai matriks yang

memenuhi persamaan

Dengan

I : Matriks identitas berukuran n x n.

1A

IAAAA 11


108

Invers Matriks

Untuk menentukan A–1 dapat digunakan pendekatan yang sama

ketika menentukan solusi suatu sistem persamaan linier.

Dengan memandang persamaan ,eliminasi Gauss–

Jordan bisa diterapkan pada matriks diperbesar . Bentuk

eselon baris tereduksi dari hasil operasi baris pada akan

berbentuk asalkan .

Bila maka invers matriks tidak akan ada dan bentuk

eselon baris tereduksi tidak akan pernah didapatkan.

Invers suatu matriks adalah tunggal.

IAA 1

I|A I|A

1A|I 0A

0A 1A|I


109

Invers Matriks

Contoh 1Tentukan invers dari

Jawaban

352

120

103

A

100|352

010|120

001|103

I|A


110

Invers Matriks

100|352

010|120

001|103

I|A

1032|3

750

010|120

0031|3

101

~

100|352

010|120

0031|3

101

~


111

Invers Matriks

1032|3

750

0210|2

110

0031|3

101

~

125

32|6

100

0210|2

110

0031|3

101

~

6154|100

0210|2

110

0031|3

101

~


112

Invers Matriks

Jadi

Untuk pemeriksaan dapat dilakukan dengan cara menghitung

. , bila hasilnya I, maka berarti perhitungan yang

dilakukan sudah benar .

6154|100

372|010

251|001

~

6154

372

251

A 1

1AA


113

Invers Matriks

Invers suatu matriks juga bisa dihitung dengan menggunakan

matriks Adjoint. Matriks Adjoint didefinisikan sebagai matriks Cij

transpose dengan cij adalah kofaktor elemen i,j .

Invers matriks A memiliki rumusan :

Metode ini menawarkan kemudahan dalam perhitungan invers,

tetapi untuk matriks yang berukuran besar mungkin metode

akan cukup memakan waktu yang lama.

tij

1 CA

1)Aint(Adjo

A

1A


114

Invers Matriks

Contoh 2Tentukan invers dari

dengan menggunakan matriks Adjoint

352

120

103

A


115

Invers Matriks

JawabanAkan dicari determinannya terlebih dahulu

Elemen matriks kofaktornya adalah

12

102

35

123

352

120

103

6c3c2c

15c7c5c

4c2c1c

333231

232221

131211

143


116

Invers MatriksJadi Adjoint(A) adalah

Jadi

6154

372

251t

632

1575

421

6154

372

251

11

A 1

6154

372

251


117

Invers Matriks

Sifat – sifat • Invers perkalian dua matriks :

• Identitas :

• Diketahui A memiliki invers matriks

• Bila B adalah matriks A yang baris i dan j dipertukarkan maka invers

dari B adalah yang kolom i dan j dipertukarkan.

• Bila C adalah matriks A yang baris i dikalikan dengan k maka invers

dari C adalah yang kolom i–nya dibagi dengan k.

111ABAB

AA11

1A

1A

1A


118

Invers Matriks

Contoh 3Diketahui

memiliki

Bila tentukan B–1

352

120

103

A

6154

372

251

A 1

352

206

120

B


119

Invers Matriks

JawabanMatriks B merupakan matriks A yang baris pertamanya dikalikan

dengan 2 kemudian dipertukarkan dengan baris 2.

Jadi adalah yang kolom pertamanya dikalikan

dengan . kemudian dipertukarkan dengan kolom 2.

Jadi

1B 1A

21

6215

317

2215

B 1


120

Invers Matriks

Menentukan solusi sistem persamaan linier

dengan menggunakan invers matriks

Bila diketahui sistem persamaan linier dengan A bujur sangkar

dan A–1 ada maka dengan mengalikan kedua ruas dengan A–1 akan

diperoleh persamaan

Dari sifat invers matriks bahwa , persamaan diatas bisa

disederhanakan menjadi

Ini merupakan solusi dari sistem persamaan linier tersebut yang berupa

solusi tunggal.

bxA

bAxAA 11 IAA 1

bAx 1


121

Invers Matriks

ContohTentukan solusi sistem persamaan linier berikut

Dengan memanfaatkan nilai A–1 yang sudah diperoleh

bxA

4

3

2

z

y

x

352

120

103


122

Invers Matriks

Jawaban Dari contoh sebelumnya sudah diperoleh

Solusi sistem persamaan linier adalah

6154

372

251

A 1

29

13

9

4

3

2

6154

372

251

bAx 1


123

Invers Matriks

Hubungan invers matriks, determinan dan

solusi sistem persamaan linier Pada suatu sistem persamaan linier dengan matriks A

bujur sangkar, terdapat hubungan antara keberadaan A–1, |A|

dan jenis solusi sistem persamaan linier –nya.

bxA

tunggalsolusi0AadaA 1

solusiadatidakataubanyakhinggataksolusi0AadatidakA 1


124

Invers Matriks

Dari hubungan yang pertama dapat disimpulkan bahwa

Bila A–1 ada maka dan sistem persamaan linier akan

memiliki solusi tunggal.

Bila maka A–1 pasti ada dan sistem persamaan linier

akan memiliki solusi tunggal.

Bila sistem persamaan linier memiliki solusi tunggal maka A–1

ada dan .

0A

0A

0A


125

Invers Matriks

Dari hubungan yang kedua dapat disimpulkan bahwa

Bila A–1 tidak ada maka |A|=0 dan sistem persamaan linier akan

memiliki solusi tak hingga banyak atau tidak memiliki solusi.

Bila |A|=0 maka A–1 pasti tidak ada dan sistem persamaan linier

akan memiliki solusi tak hingga banyak atau tidak memiliki solusi.

Bila sistem persamaan linier memiliki solusi tak hingga banyak

atau tidak memiliki solusi maka A–1 tidak ada dan |A|=0 .


126

Invers Matriks

ContohPeriksa apakah matriks A berikut memiliki invers matriks

Jawaban

Keberadaan invers dapat dilihat melalui nilai determinannya

Karena maka A memiliki invers matriks.

32

223

41

32

413

320

221

A

413

320

221

0A

1165


127

Soal Latihan

1. Tentukan invers matriks

dengan menggunakan

a. Eliminasi Gauss–Jordan

b. Matriks Adjoint

2. Dengan menggunakan jawaban pada no 1, tentukan solusi sistem persamaan linier berikut

1

2

3

z

y

x

011

132

212

232

120

241

A


128

Soal Latihan

3. Diketahui

a. Tentukan nilai a agar matriks A berikut memiliki invers

b. Untuk nilai a tersebut tentukan invers matriksnya

c. Untuk a = 1,2 dan 3, tentukan invers matriknya

4. Berdasarkan jawaban no 3, tentukan invers matriks

berikut :

a. b.

032

132

21a

A

032

211

132

211

064

132

matriks dan operasinya

Documents