Materi Peluang.A. KAIDAH PENCACAHAN1. Aturan Pengisian TempatCONTOH:

Andi diundang menghadiri acara ulang tahun temannya. Andi mempunyai tiga buah baju dua buah celana.Baju     : Merah, Kuning, UnguCelana : Hitam, BiruAda berapa cara Andi dapat mamasang-masangkan baju dan celananya?Penyelesaian:Banyaknya pasangan celana dan baju  yang dapat dipakai Andi ada 6 yaitu:{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}1. Faktorialn! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n ataun! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 11! = 1 dan 0! = 13. Permutasi

a. Permutasi r unsur dari n unsur berbedaPermutasi pada contoh ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dandinotasikan dengan  P(5.3) atau 5P3, sehingga:

5P3 = 5 × 4 × 3      = 5 × (5 – 1) × (5 – 2)      = 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)Atau dapat juga ditulis: n!nPr =————        (n – r)!

b. Permutasi Jika Ada Unsur yang SamaUntuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.Berapakah banyaknya kata yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M  ?Penyelesaian:Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada huruf yang sama banyaknya cara ada 4! = 24Dari contoh dapat dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2                                4!unsur sama ditulis: ——                               2!Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:            n! P = ————         k! l! m! 

c. Permutasi Siklis Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak

cara mereka  dapat duduk mengelilingi meja tersebut?Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?Kemungkinan 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCAKemungkinan 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BACSehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 caraternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:            P= (n - 1)!

Contoh:Berapakah banyaknya cara 8 orang dapat duduk mengelilingi api unggun jika 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?Penyelesaian:Banyaknya orang ada 8 tetapi dua orang tertentu harus berdampingan (dihitung satu) sehingga banyaknya orang ada 7,Permutasi siklis 7 orang = (7 - 1)!Dua orang yang berdampingan dapat bertukar posisi sebanyak 2!Banyaknya cara = 6! x 2!                            = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1                            = 1440

4. Kombinasi Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil  r unsur                              nditulis  dengan C  atau C(n. r) atau nCr, sehingga:                             r

          P                 n!nCr =———— = ————          r!           (n - r)! R!               B. RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN1. Ruang Sampelketika sebuah dadu dilempar sekali Kemungkinan yang muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Jadi banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang huruf S

2. KejadianKejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

C. PELUANG SUATU KEJADIAN1. Peluang Suatu Kejadianpeluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.

             n(A)P(A) = ———             n(S )

Keterangan: P(A) = peluang kejadian An(A) = banyaknya anggota An(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

Contoh :

Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:a. ketiganya sisi gambar;b. satu gambar dan dua angka.Penyelesaian: a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}    Maka n(S) = 8    Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.    A = {GGG}, maka n(A) = 1                  n(A)        1    P(A) =  ——— = ——                  n(S )       8b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.     B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3                  n(B)       3    P(B) =  ——— = ——                  n(S )       8 

2. Kisaran Nilai PeluangContoh Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnyaa. Mata dadu 8               Penyelesaian:a.  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6     misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A     A = { }, n(A) = 0                 n(A)   0             P(A) =  ——— = — =  0

3. Frekuensi Harapan Suatu KejadianFrekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.

  Fh = n × P(A4. Peluang Komplemen Suatu KejadianPada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:a. nomor dadu ganjil,Penyelesaian:a.  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.     A adalah kejadian  keluar nomor dadu ganjil      A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga                  n(A)        3        1     P(A) =  ——— = —— = —                  n(S )       6        2

5. Peluang Kejadian Majemuka. Peluang Gabungan 2 kejadianMisal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadianA ∪  B ditentukan dengan aturan:

 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh: Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6

B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6                                 A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)               = 3/6 + 3/6  – 2/6 = 4/6 = 2/3Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3 

b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0  atau P(A∩B) = 0Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0  P (A∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh:Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6                                 A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)P(A∪ B) = P(A) + P(B)               = 3/6 + 3/6 = 1Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1   c. Peluang Kejadian Saling BebasJika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5 maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:

  P(A∩B) = P(A) × P(B)