Materi 3

Start

Outline

▫

▫

▫

▫

▫

▫

▫

3.1. Ukuran Pemusatan

•

•

x

•

•

= x

N x =

x n

, untuk populasi; , untuk sampel

Ukuran Pemusatan (tendency central) suatu himpunan data titik tempat dimana

nilai-nilai suatu gugus data cenderung mengelompok, menunjukkan titik tengah suatu histogram atau kurva distribusi frekuensi

•

States Populasi (ribuan)

Washington 5,136

Oregon 2,977

Alaska 587

Hawai 1,160

California 30,867 Pencilan

Mean = 5136 + 2977 + 587 + 1160 + 30867

5 = 8145.4 ribu

Mean = 5136 + 2977 + 587 + 1160

4 = 2465 ribu

•

Dimana m = midpoint (titik tengah), dan f = frekuensi untuk tiap kelas

Waktu Yg Diperlukan (menit)

Jumlah

Pekerja

0 – 10 4

10 – 20 9

20 – 30 6

30 – 40 4

40 – 50 2

• Contoh:

Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi waktu (dalam menit) yang diperlukan untuk berangkat dari rumah ke tempat kerja untuk seluruh perkerja suatu pabrik yang berjumlah 25 orang.

• Pertanyaan:

Hitunglah rata-rata waktu yang diperlukan?

• Jawab:

– Tentukan ‘titik tengah’ (m) masing- masing kelas

– Hitung perkalian m dengan f (frekuensi masing-masing kelas)

= mf

N x =

mf n

, untuk rata-rata populasi , untuk rata-rata sampel

Waktu (menit) f m m.f

0 – 10 4 5 20

10 – 20 9 15 135

20 – 30 6 25 150

30 – 40 4 35 140

40 – 50 2 45 90

N=25 mf=535

– Hitung :

Jadi pekerja pabrik tersebut rata-rata berangkat dari rumah ke pabrik selama 21.40 menit

= mf

N

535

25 = = 21.40 menit

• Median adalah nilai yang terletak pada tengah suatu data dimana data tersebut telah diurutkan (di-ranking).

• Himpunan data yang telah diurutkan menurut besarnya ini dinamakan array.

Penghitungan median, terdiri 2 tahap :

– Urutkan data terlebih dulu dari terendah hingga tertinggi

– Tentukan posisi median

Dimana n adalah jumlah sampel data, dan jika data menunjukkan suatu populasi, ganti n dengan N

Jika n atau N = genap median = rata-rata dari 2 data tengah

• Jika jumlah data n = 7, maka posisi median =(7+1)/2 = 4 atau data yang ke-4

Posisi Median = n + 1

2 , untuk n ganjil

7

•

• Mode adalah nilai yang memiliki frekuensi tertinggi dalam suatu gugus data.

• Data hanya memiliki 1 modus disebut unimodal; 2 modus dengan frekuensi sama disebut bimodal; dan lebih dari 2 disebut multimodal

Median = Bm + i [ ] n/2 - fkm

fm

Dimana:

• Bm = tepi bawah kelas median

• i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)

• n = ukuran sampel data

• fkm = frekuensi kumulatif sebelum median

• fm = frekuensi pada kelas median

Penghasilan Mingguan (dolar)

Jumlah

Pekerja (f)

301 – 400 9

401 – 500 16

501 – 600 33

601 – 700 20

701 – 800 14

801 - 900 8

• Contoh:

Dari data tabel disamping, maka:

• Bm = (500+501)/2 = 500.5

• i = 100

• n = 100

• fkm = 9+16= 25

• fm = 33

Median = 500.5 + 100 [ ]

= 575.81 dolar

50 - 25

33

8

•

Mode = Bm + i [ ] d1

d1 + d2

Dimana:

• Bm = tepi bawah kelas mode

• i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)

• d1 = (frekuensi kelas mode – frekuensi

sebelum kelas mode)

• d2 = (frekuensi kelas mode – frekuensi

sesudah kelas mode)

Penghasilan Mingguan (dolar)

Jumlah

Pekerja (f)

301 – 400 9

401 – 500 16

501 – 600 33

601 – 700 20

701 – 800 14

801 - 900 6

• Contoh:

Dari data tabel disamping, maka:

• Bm = (500+501)/2 = 500.5

• i = 100

• d1 = 33 - 16 = 17

• d2 = 33 – 20 = 13

Mode = 500.5 + 100 [ ]

= 556.72 dolar

17

17 + 13

9

b. Untuk suatu histogram yang miring ke kanan, nilai mean terbesar; mode terkecil; median antara mean dan modus. Nilai mean di sini sensitif terhadap pencilan di ekor kanan (pengaruh nilai ekstrim besar : pencilan mayor)

c. Untuk suatu histogram yang miring ke kiri, nilai mean terkecil, mode terbesar;

median antara mean dan modus. Dalam hal ini pencilan disebelah kiri menarik nilai mean ke kiri (pengaruh nilai ekstrim kecil : pencilan minor)

(a) (c) (b)

10

• Rata-rata dimana tiap nilai data diberikan nilai bobot (pembobotan) yang menunjukkan bobot relatif masing-masing nilai data yang diratakan.

• Misalnya pada kasus perhitungan Indeks Prestasi, Nilai Penjualan Barang, dll

x

B x

BB

i ii

n

ii

n

1

1

Di mana

xB : rata-rata tertimbang Bi : bobot ke-i xi : data ke-i n : banyak data

Mata Kuliah Nilai Mutu

Angka Mutu (Xi)

SKS (Bi)

(Xi.Bi)

Pancasila B 3 2 6

Teori Ekonomi A 4 4 16

Bahasa Inggris C 2 3 6

Manajemen A 4 3 12

13 12 40

Indeks Prestasi = 1240

= 3.33

11

a. Rata-rata geometrik (ukur) digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate), misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga, dll

atau G x x x xnn 1 2 3

loglog log

G = x log x x log x1 2 3 n

n

Dimana:

G : rata-rata geometrik xi : data ke-i n : banyak data

b. Contoh: Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :

1.5 2.3 3.4 1.2 2.5 %

G x x x xnn 1 2 3

loglog log log

G = x log x x x log x1 2 3 4 5

5

=

15464

5

. ...

= 0.30928....

Maka,

12

log log log 1.5 log 2.3 3.4 1.2 log 2.5

5

0.176... 0.361... 0531 0 079 0 397

5

. ... . ... . ...

=

15464

5

. ...

= 0.30928....

log G =

log G =

15464

5

. ...= = 0.30928

G = antilog 0.30928

G = 2.03837

13

3.2. Ukuran Penyebaran / KERAGAMAN

•

•

•

• Simpangan baku, paling sering digunakan untuk mengukur penyebaran. Nilai simpangan baku menunjukkan seberapa dekat nilai-nilai suatu data dengan nilai rata-rata.

• Nilai simpangan baku yang kecil data menyebar dalam range lebih kecil mendekati nilai rata-rata mean, dan begitu sebaliknya.

• Nilai simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat nilai ragam (varians)

Range = Nilai terbesar – Nilai terkecil

14

•

• •

• Contoh:

Anggap tersedia data seperti pada tabel berikut dari suatu variabel x. Tentukan ragam dan simpangan baku untuk data tersebut!

Tabel Data

Jawab :

15

•

Dimana:

m = titik tengah, f = frekuensi untuk tiap kelas

2 = ragam populasi; s2 = ragam sampel

Simpangan baku populasi: = 2

Simpangan baku sampel: s = s2

• Nilai ukuran seperti mean, median, mode, range, ragam, atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data populasi disebut parameter populasi

• Jika ukuran mean. median, mode, range, ragam, atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data sampel, maka disebut sebagai statistik sampel

• Sehingga:

– , dan 2 adalah parameter populasi

– x, s dan s2 adalah statistik sampel

Σm2f -

n - 1 s2 =

( Σmf )2

n Σm2f -

N σ2 =

( Σmf )2

N Σf (m – x )2

n - 1 =

16

•

•

•

s

x = w σ

= w

Dimana:

dan s = simpangan baku populasi dan sampel

dan x = rata-rata populasi dan sampel

w = koefesien varians

• Merupakan ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi .

• Nilai z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)

z nol data bernilai sama dengan rata-rata populasi

z positif data bernilai di atas rata-rata populasi

z negatif data bernilai di bawah rata-rata populasi

zx

= simpangan baku populasi

x = nilai data

= rata-rata populasi

17

3.3. Ukuran Lokasi

•

• Untuk data yang telah dikelompokkan, maka:

Q1 = n/4 ; Q2 = n/2 = median ; Q3 = 3n/4

Q1 = Bq + i [ ] n/4 - fkq

fq

Q3 = Bq + i [ ] 3n/4 - fkq

fq

Dimana:

Bm = tepi bawah kelas kuartil

i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)

n = ukuran sampel

fq = frekuensi pada kelas kuartil

fkq = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

• Jarak antar kuartil (Inter Quartil Range/IQR)= Q3 – Q1

18

•

Nilai < Median Nilai > Median

Q1 = 68 + 73

2 Q2 =

76 + 79

2 Q3 =

85 + 88

2

= 70.5 = 77.5 = 86.5

• Q1 = 70.5, bahwa ± 25% mahasiswa pd sampel mendapat nilai < 70.5

• Q2 = 77.5, bahwa ± 50% mahasiswa pd sampel mendapat nilai < 77.5

• Q3 = 86.5, bahwa ± 75% mahasiswa pd sampel mendapat nilai < 86.5

Dgn melihat letak nilai 88, bahwa nilai 88 termasuk dalam 25% nilai terbaik

19

•

•

•

Hitunglah nilai D7! 1.6 2.6 3.1 3.2 3.4 3.7 3.9 4.3

1.9 2.9 3.1 3.3 3.4 3.7 3.9 4.4

2.2 3.0 3.1 3.3 3.5 3.7 4.1 4.5

2.5 3.0 3.2 3.3 3.5 3.8 4.1 4.7

2.6 3.1 3.2 3.4 3.6 3.8 4.2 4.7

Jawab:

Data dibawah D7 = 7/10 x 40 = 28

D7 = (3.7+3.8)/2

= 3.75 tahun

Artinya bahwa 70% dari sampel aki mobil yang ada, memiliki umur di bawah 3.75 thn

*) Nilai D7 diperkirakan jatuh pada nilai rata-rata data ke-28 & 29 (karena D7 harus mencakup 70% data)

20

•

Dk = Bd + i [ ] nk/10 - fkd

fd

Dimana:

Bd = tepi bawah kelas desil

i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)

n = ukuran sampel

k = 1,2,…., 9

fd = frekuensi pada kelas desil

fkd = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil

• Presentil yaitu nilai-nilai yg membagi sederetan data menjadi 100 bagian yg sama.

• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1, P2, ….., P99, mempunyai sifat bahwa 1% data jatuh di bawah P1, 2% di bawah P2, ….., dan 99% jatuh di bawah P99

Pk = Nilai data ke-[kn/100] suatu data yang telah diurutkan

n = jumlah data sampel

21

•

Pk = Bp + i [ ] nk/100 - fkp

fp

Dimana:

Bp = tepi bawah kelas presentil

i = interval kelas (tepi atas – tepi bawah)

n = ukuran sampel

k = 1,2,…., 99

fp = frekuensi pada kelas presentil

fkp = frekuensi kumulatif sebelum kelas presentil

• Contoh:

Tabel

Kelas f

21– 30 7

31– 40 8

41– 50 10

51– 60 15

61– 70 25

71- 80 10

81 -90 5

f=80

Tentukan presentil ke-67 !

Jawab:

P67 = 60.5 + 10 [ ] 80.67/100 - 40

25

= 65.94

22

• Yaitu

•

•

• Contoh: Buatlah sebuah box dan whisker plot untuk data berikut yang menunjukkan

income (dalam ribuan dolar) untuk sebuah sampel yang terdiri dari 12 keluarga.

23 17 32 60 22 52 29 38 42 92 27 46

Solusi: a. Data diurutkan lebih dulu, dan hitung Q1, Q2, Q3 dan IQR

17 22 23 27 29 32 38 42 46 52 60 92

Q1= (23+27)/2 = 25 ; Q2 = (32+38)/2 = 35 ; Q3 = (46+52)/2 = 49

IQR = Q3 - Q1 = 24

1. Pencilan Biasa x > (Q3+1.5 IQR) atau x < (Q1+1.5 IQR) dan bukan Ekstrim

2. Pencilan Ekstrim x > (Q3+3 IQR) atau x < (Q1+3 IQR) dan bukan Biasa

23

b. Tentukan 2 titik masing2 berjarak (1.5 x IQR) dibawah Q1 dan diatas Q3

1.5 x IQR = 1.5 x 24 = 36

- Lower Inner Fence = Q1 – 36 = 25 – 36 = -11

- Upper Inner Fence = Q3 + 36 = 49 + 36 = 85

Tentukan pula batas Outer Fence, yaitu 3 IQR diatas Q3, dan dibawah Q1

3 x IQR = 3 x 24 = 72

- Lower Outer Fence = Q1 – 72 = 25 – 72 = -47

- Upper Outer Fence = Q3 + 72 = 49 + 72 = 121

c. Tentukan nilai min dan max dalam data yang terletak antara 2 inner fence.

- Nilai Minimum = 17

- Nilai Maksimum = 60

d. Buat diagram box dan whisker

Q1 Q2 Q3

25 35 49 -11 85 17 60 92 -47 121

Inner Fence Inner Fence Outer Fence Outer Fence

Pencilan Biasa

1.5 IQR

3 IQR

1.5 IQR

3 IQR

24

1. Hitunglah range, mean, ragam, simpangan baku, dan koefesien variasi untuk data sampel berikut:

a. 0 2 4 6 8 10

b. 0 4 5 5 6 10

c. 4 4 4 4 4 4

Σ (xi – x )2

n - 1 = s2 s

x = w

Latihan

2. Hitunglah range, mean, ragam, simpangan baku, dan koefesien variasi untuk data sampel berikut:

a. 7 3 4 1 5 6

b. 3 4 5 2 6 10

c. 1 2 3 4 5 6

Σx2 -

n - 1 = s2

(Σx)2

n

Gunakan rumus ragam dan koefisien variasi sbb:

s

x = w

Gunakan rumus ragam dan koefisien variasi sbb:

3. Diketahui suatu data sampel sebagai berikut:

50 38 56 57 48 74 41 51 52 46

51 50 60 46 41 53 65 59 42 37

50 45 52 42 47 47 63 58 49 55

a. Tentukan nilai Q1, Q2, Q3, dan IQR

b. Buatlah sebuah Box and Whisker Plot untuk data tersebut di atas, apakah

terdapat pencilan?

0856-8742185