PERTEMUAN - 2

Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)

Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

Persamaan Diferensial Terpisahkan

Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah : y’ = f (x, y)

Fungsi f(x,y) pada sisi kanan dapat juga dituliskan sebagai pembagian dua fungsi lainnya yaitu M(x,y) dan –N(x,y) , sehingga

𝒚′ = 𝒅𝒚

𝒅𝒙=

𝑴(𝒙,𝒚)

−𝑵(𝒙,𝒚) , dapat dituliskan dalam bentuk :

M ( x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0

Jika M(x,y) = A(x) [fungsi dari x saja] dan N(x,y) = B(y) [ fungsi dari y saja] ; persamaan diferensial tsb dapat DIPISAHKAN atau

memiliki variabel-variabel yang TERPISAHKAN

Soal 2.1

Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut dapat dipisahkan !

𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2𝑑𝑦 = 0

𝑏 . 𝑥𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦2𝑑𝑦 = 0

𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Solusi Umum PDT

Solusi untuk persamaan diferensial orde pertama yang dapat dipisahkan :

𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐 , [𝑐 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑠𝑒𝑚𝑏𝑎𝑟𝑎𝑛𝑔]

Solusi untuk Soal Nilai Awal

𝐴 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0; 𝑦 𝑥0 = 𝑦0

𝐴 𝑥 𝑑𝑥𝑥

𝑥0

+ 𝐵 𝑦 𝑑𝑦 = 0𝑥

𝑥0

Jawaban 2.1

𝑎 . 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2𝑑𝑦 = 0

𝑏 . 𝑥𝑦2𝑑𝑥 − 𝑥2𝑦2𝑑𝑦 = 0

𝑐 . 1 + 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0

PDT ; M(x,y) = A(x) = sinx ; N(x,y) = B(y) = 𝒚𝟐

NON PDT ; M(x,y) = 𝒙𝒚𝟐 ; N(x,y) = 𝒙𝟐𝒚𝟐

Dapat diubah menjadi PDT dengan pembagi 𝒙𝟐𝒚𝟐

1

𝑥𝑑𝑥 − 1 𝑑𝑦 = 0

PDT ; M(x,y) = A(x) = 1/x ; N(x,y) = B(y) = -1

NON PDT ; M(x,y) = (1+xy) ; N(x,y) = y

Soal 2.2

Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !

𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2𝑑𝑦 = 0

𝑏 . 𝑦′ = 𝑦2𝑥3

𝑐 . 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥2 + 2

𝑦

Jawaban 2.2

𝑎 . 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑦2𝑑𝑦 = 0

𝑏 . 𝑦′ = 𝑦2𝑥3

𝑥2

2−𝑦3

3= 𝑐 , 𝑦 =

3

2𝑥2 + 𝑘

13

; 𝑘 = −3𝑐

𝑥4

4+1

𝑦= 𝑐 , 𝑦 =

−4

𝑥4 + 𝑘 ; 𝑘 = −4𝑐

Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !

Jawaban 2.2

𝑐 . 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥2 + 2

𝑦

1

3𝑥3 + 2𝑥 −

1

2𝑦2 = 𝑐 , 𝑦2=

2

3𝑥3 + 4𝑥 + 𝑘 ; 𝑘 = −2𝑐

Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !

Penyederhanaan Persamaan Homogen

Persamaan Diferensial Homogen 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥, 𝑦 | 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

Dapat ditransformasikan menjadi persamaan yang dapat dipisahkan dengan memasukkan (substitusi) :

𝑦 = 𝑥𝑣 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 𝑦𝑢

Serta turunannya dalam bentuk :

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑣 + 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑢 + 𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑦

Penyederhanaan Persamaan Homogen

Selesaikanlah solusi persamaan berikut : 𝑦′ =𝑦 + 𝑥

𝑥

Persamaan tersebut Homogen tetapi tidak dapat dipisahkan, maka ; substitusi y dengan xv atau y = xv

𝑣 + 𝑥𝑑𝑣

𝑑𝑥=𝑥𝑣 + 𝑥

𝑥 𝑥

𝑑𝑣

𝑑𝑥= 1 𝑎𝑡𝑎𝑢

1

𝑥𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 0

Solusi PDT : 1

𝑥𝑑𝑥 − 𝑑𝑣 = 𝑐

𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑐 , 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 − 𝑐 𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠𝑘𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑛 𝑘 𝑣 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑘

𝑣 = 𝑙𝑛 𝑘𝑥 ;𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑣 =𝑦

𝑥 ,

𝑦 = 𝑥 𝑙𝑛 𝑘𝑥

Contoh,

Soal 2.3

Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen !

𝑦′ =𝑥2 + 𝑦2

𝑥𝑦

Jawaban 2.3

𝑦′ =𝑥2 + 𝑦2

𝑥𝑦 𝑦2 = 𝑥2 𝑙𝑛 𝑥2 + 𝑘𝑥2

Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen !

Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

Suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Adalah eksak jika ada suatu fungsi 𝑔(𝑥, 𝑦) sehingga :

𝑑𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

Dengan uji kepastian, jika : 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥

Metode Solusi

𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)

Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

Contoh, Tentukan apakah persamaan berikut PDE

dan tentukan solusinya !

2𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 1 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 ,𝜕𝑀

𝜕𝑦= 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑦 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥)

𝑁 𝑥, 𝑦 = 1 + 𝑥2 ,𝜕𝑁

𝜕𝑥= 2𝑥 (𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑥 , 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖)

𝜕𝑀

𝜕𝑦=𝜕𝑁

𝜕𝑥= 2𝑥 , 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖 𝑃𝐷 𝐸𝑘𝑠𝑎𝑘 Solusi

𝜕𝑔(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑔

𝜕𝑥𝑑𝑥 = 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑕(𝑦)

𝜕𝑔

𝜕𝑦= 𝑥2 + 𝑕′ 𝑦 , 𝑥2 + 𝑕′ 𝑦 = 1 + 𝑥2 , 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑕′ 𝑦 = 1

𝑑𝑕

𝑑𝑦= 1 , 𝑕 𝑦 = 𝑦 + 𝑐1

𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑥2𝑦 + 𝑦 + 𝑐1

𝒙𝟐𝒚 + 𝒚 = 𝒄𝟐 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 =𝒄𝟐

(𝒙𝟐 + 𝟏)

Soal 2.4

Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya !

C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1

3𝑥3𝑦2𝑦′ + 3𝑥2𝑦3 − 5𝑥4 = 0

Jawaban 2.4

C𝑎𝑟𝑖 𝑗𝑎𝑤𝑎𝑏𝑎𝑛 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑝𝑒𝑠𝑖𝑓𝑖𝑘𝑛𝑦𝑎, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦 0 = 1

𝑥3𝑦3 − 5𝑥 + 𝑘 = 0

𝑥3𝑦3 − 5𝑥 = 0

Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya !

3𝑥3𝑦2𝑦′ + 3𝑥2𝑦3 − 5𝑥4 = 0

Faktor Integrasi PDE

Jika suatu persamaan diferensial : 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝐼 𝑥 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

Bukan suatu persamaan dierensial eksak : 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦≠𝜕𝑁(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥

Maka dapat dilakukan pengalian (faktor integrasi) dengan fungsi I(x), sehingga :

Menjadi Persamaan Diferensial Eksak

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐼 𝑥 = 𝑥𝑚, 𝑦𝑛

Tabel Faktor Integrasi PDE

Kelompok Suku Faktor Pengitegrasi I(x, y)

𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 −1

𝑥2

𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦

𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦

𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦

1

𝑦2

−1

𝑥𝑦

−1

𝑥2 + 𝑦2

𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 1

𝑥𝑦

Soal 2.5

Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !

𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0

𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3 + 3𝑥2 + 5𝑥𝑦2 𝑦′ = 0

PERTEMUAN -2

Terima Kasih

Jawaban 2.5

Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !

𝑎 . 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑦 = 0

𝑦 = 𝑘𝑥

𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝑥𝑦2 ; 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑥3𝑦3 − 𝑥2𝑦5 + 𝑘 = 0

𝑏 . 3𝑥𝑦 + 2𝑦3 + 3𝑥2 + 5𝑥𝑦2 𝑦′ = 0

Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)

Persamaan Diferensial Eksak (PDE)

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥, 𝑦)

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎