Download - Matematika teknik 02-pdt dan pde
PERTEMUAN - 2
Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Persamaan Diferensial Terpisahkan
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah : yβ = f (x, y)
Fungsi f(x,y) pada sisi kanan dapat juga dituliskan sebagai pembagian dua fungsi lainnya yaitu M(x,y) dan βN(x,y) , sehingga
πβ² = π π
π π=
π΄(π,π)
βπ΅(π,π) , dapat dituliskan dalam bentuk :
M ( x, y ) dx + N (x, y ) dy = 0
Jika M(x,y) = A(x) [fungsi dari x saja] dan N(x,y) = B(y) [ fungsi dari y saja] ; persamaan diferensial tsb dapat DIPISAHKAN atau
memiliki variabel-variabel yang TERPISAHKAN
Soal 2.1
Tentukan apakah persamaan-persamaan diferensial berikut dapat dipisahkan !
π . π πππ₯ ππ₯ + π¦2ππ¦ = 0
π . π₯π¦2ππ₯ β π₯2π¦2ππ¦ = 0
π . 1 + π₯π¦ ππ₯ + π¦ ππ¦ = 0
Solusi Umum PDT
Solusi untuk persamaan diferensial orde pertama yang dapat dipisahkan :
π΄ π₯ ππ₯ + π΅ π¦ ππ¦ = 0
π΄ π₯ ππ₯ + π΅ π¦ ππ¦ = π , [π ππππ’πππππ ππππ π‘πππ‘π π ππππππππ]
Solusi untuk Soal Nilai Awal
π΄ π₯ ππ₯ + π΅ π¦ ππ¦ = 0; π¦ π₯0 = π¦0
π΄ π₯ ππ₯π₯
π₯0
+ π΅ π¦ ππ¦ = 0π₯
π₯0
Jawaban 2.1
π . π πππ₯ ππ₯ + π¦2ππ¦ = 0
π . π₯π¦2ππ₯ β π₯2π¦2ππ¦ = 0
π . 1 + π₯π¦ ππ₯ + π¦ ππ¦ = 0
PDT ; M(x,y) = A(x) = sinx ; N(x,y) = B(y) = ππ
NON PDT ; M(x,y) = πππ ; N(x,y) = ππππ
Dapat diubah menjadi PDT dengan pembagi ππππ
1
π₯ππ₯ β 1 ππ¦ = 0
PDT ; M(x,y) = A(x) = 1/x ; N(x,y) = B(y) = -1
NON PDT ; M(x,y) = (1+xy) ; N(x,y) = y
Soal 2.2
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
π . π₯ ππ₯ β π¦2ππ¦ = 0
π . π¦β² = π¦2π₯3
π . ππ¦
ππ₯=π₯2 + 2
π¦
Jawaban 2.2
π . π₯ ππ₯ β π¦2ππ¦ = 0
π . π¦β² = π¦2π₯3
π₯2
2βπ¦3
3= π , π¦ =
3
2π₯2 + π
13
; π = β3π
π₯4
4+1
π¦= π , π¦ =
β4
π₯4 + π ; π = β4π
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
Jawaban 2.2
π . ππ¦
ππ₯=π₯2 + 2
π¦
1
3π₯3 + 2π₯ β
1
2π¦2 = π , π¦2=
2
3π₯3 + 4π₯ + π ; π = β2π
Tentukanlah solusi dari soal-soal PDT berikut !
Penyederhanaan Persamaan Homogen
Persamaan Diferensial Homogen ππ¦
ππ₯= π π₯, π¦ | π»ππππππ ππππ π π‘π₯, π‘π¦ = π(π₯, π¦)
Dapat ditransformasikan menjadi persamaan yang dapat dipisahkan dengan memasukkan (substitusi) :
π¦ = π₯π£ ππ‘ππ’ π₯ = π¦π’
Serta turunannya dalam bentuk :
ππ¦
ππ₯= π£ + π₯
ππ£
ππ₯ ππ‘ππ’
ππ₯
ππ¦= π’ + π¦
ππ’
ππ¦
Penyederhanaan Persamaan Homogen
Selesaikanlah solusi persamaan berikut : π¦β² =π¦ + π₯
π₯
Persamaan tersebut Homogen tetapi tidak dapat dipisahkan, maka ; substitusi y dengan xv atau y = xv
π£ + π₯ππ£
ππ₯=π₯π£ + π₯
π₯ π₯
ππ£
ππ₯= 1 ππ‘ππ’
1
π₯ππ₯ β ππ£ = 0
Solusi PDT : 1
π₯ππ₯ β ππ£ = π
π£ = ππ π₯ β π , ππππππ β π πππππ‘ πππ‘π’πππ πππ πππππππ ππ π π£ = ππ π₯ + ππ π
π£ = ππ ππ₯ ;πππ π’ππππ πππππππ πππππ π£ =π¦
π₯ ,
π¦ = π₯ ππ ππ₯
Contoh,
Soal 2.3
Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen !
π¦β² =π₯2 + π¦2
π₯π¦
Jawaban 2.3
π¦β² =π₯2 + π¦2
π₯π¦ π¦2 = π₯2 ππ π₯2 + ππ₯2
Tentukan solusi dari PDT berikut dengan metoda peyederhanaan homogen !
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Suatu persamaan diferensial : π π₯, π¦ ππ₯ + π π₯, π¦ ππ¦ = 0
Adalah eksak jika ada suatu fungsi π(π₯, π¦) sehingga :
ππ π₯, π¦ = π π₯, π¦ ππ₯ + π π₯, π¦ ππ¦
Dengan uji kepastian, jika : ππ(π₯,π¦)
ππ¦=ππ(π₯,π¦)
ππ₯
Metode Solusi
ππ(π₯, π¦)
ππ₯= π(π₯, π¦)
ππ(π₯, π¦)
ππ¦= π(π₯, π¦)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
Contoh, Tentukan apakah persamaan berikut PDE
dan tentukan solusinya !
2π₯π¦ ππ₯ + 1 + π₯2 ππ¦ = 0
π π₯, π¦ = 2π₯π¦ ,ππ
ππ¦= 2π₯ (π‘π’ππ’ππππ π‘πππππππ π¦ , πππππππ πππππ π₯)
π π₯, π¦ = 1 + π₯2 ,ππ
ππ₯= 2π₯ (π‘π’ππ’ππππ π‘πππππππ π₯ , πππππππ πππππ)
ππ
ππ¦=ππ
ππ₯= 2π₯ , π‘ππππ’ππ‘π ππ· πΈππ ππ Solusi
ππ(π₯, π¦)
ππ₯= π(π₯, π¦)
ππ
ππ₯ππ₯ = 2π₯π¦ ππ₯ π π₯, π¦ = π₯2π¦ + π(π¦)
ππ
ππ¦= π₯2 + πβ² π¦ , π₯2 + πβ² π¦ = 1 + π₯2 , π πππππππ πβ² π¦ = 1
ππ
ππ¦= 1 , π π¦ = π¦ + π1
π π₯, π¦ = π₯2π¦ + π¦ + π1
πππ + π = ππ ππππ π =ππ
(ππ + π)
Soal 2.4
Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya !
Cπππ πππ€ππππ π’ππ’π πππ π πππ ππππππ¦π, ππππ π¦ 0 = 1
3π₯3π¦2π¦β² + 3π₯2π¦3 β 5π₯4 = 0
Jawaban 2.4
Cπππ πππ€ππππ π’ππ’π πππ π πππ ππππππ¦π, ππππ π¦ 0 = 1
π₯3π¦3 β 5π₯ + π = 0
π₯3π¦3 β 5π₯ = 0
Buktikan bahwan persamaan diferensial berikut Eksak serta cari solusinya !
3π₯3π¦2π¦β² + 3π₯2π¦3 β 5π₯4 = 0
Faktor Integrasi PDE
Jika suatu persamaan diferensial : π π₯, π¦ ππ₯ + π π₯, π¦ ππ¦ = 0
πΌ π₯ π π₯, π¦ ππ₯ + π π₯, π¦ ππ¦ = 0
Bukan suatu persamaan dierensial eksak : ππ(π₯,π¦)
ππ¦β ππ(π₯,π¦)
ππ₯
Maka dapat dilakukan pengalian (faktor integrasi) dengan fungsi I(x), sehingga :
Menjadi Persamaan Diferensial Eksak
ππππππ πΌ π₯ = π₯π, π¦π
Tabel Faktor Integrasi PDE
Kelompok Suku Faktor Pengitegrasi I(x, y)
π¦ ππ₯ β π₯ ππ¦ β1
π₯2
π¦ ππ₯ β π₯ ππ¦
π¦ ππ₯ β π₯ ππ¦
π¦ ππ₯ β π₯ ππ¦
1
π¦2
β1
π₯π¦
β1
π₯2 + π¦2
π¦ ππ₯ + π₯ ππ¦ 1
π₯π¦
Soal 2.5
Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !
π . π¦ ππ₯ β π₯ ππ¦ = 0
π . 3π₯π¦ + 2π¦3 + 3π₯2 + 5π₯π¦2 π¦β² = 0
PERTEMUAN -2
Terima Kasih
Jawaban 2.5
Periksa apakan persaaman diferensial berikut termasuk PDE, cari solusinya dengan Faktor Integrasi !
π . π¦ ππ₯ β π₯ ππ¦ = 0
π¦ = ππ₯
πΉπππ‘ππ πΌππ‘πππππ π βΆ π₯π¦2 ; ππππ’π π βΆ π₯3π¦3 β π₯2π¦5 + π = 0
π . 3π₯π¦ + 2π¦3 + 3π₯2 + 5π₯π¦2 π¦β² = 0
Persamaan Diferensial Terpisahkan (PDT)
Persamaan Diferensial Eksak (PDE)
π π₯, π¦ ππ₯ + π π₯, π¦ ππ¦ = 0
π π₯, π¦ ππ₯ + π π₯, π¦ ππ¦ = π(π₯, π¦)
π΄ π, π π π + π΅ π, π π π = π