Matematika

Matematika adalah seni memahami,

bahkan yang tidak terlihat

Wono Setya Budhi

FMIPA ITB

Slide 2 2

Apa itu Matematika?

• Matematika berkembang karena kebutuhan untuk

menyelesaikan suatu masalah.

• Misalkan saja kalkulus untuk menyelesaikan masalah

gerak dan memahami masalah gerak.

Slide 3 3

Apa itu Matematika?

• Pada mulanya, bilangan kompleks diciptakan karena

kita menghadapi masalah dalam menyelesaikan suatu

persamaan.

Slide 4 4

Apa itu Matematika?

• Kita mempelajari aljabar untuk menyelesaikan

persamaan dengan berbagai bentuk.

– Polinomial

– Sistem persamaan linear

– Persamaan diferensial linear

Slide 5 5

Penyelidikan lapisan bumi

Slide 6 6

Penyelidikan lapisan bumi

Slide 7 7

Memahami Benda Terbang

Slide 8 8

Memperbaiki Kesalahan

• Hemming.xls

Slide 9 9

Sudoku

4 8 3 9

3 7 6 8

9 5 7

8 9 4 7

6 2

2 4 9 3

8 2 3

5 9 4 2

3 6 8 5

Slide 10 10

Pandangan Tentang Matematika

Math is the language of economics. If you are an NYU undergraduate,

studying math will open doors to you in terms of interesting economics

courses at NYU and job opportunities afterwards. Start with the basics:

take three calculus courses (up to and including multivariable

calculus), linear algebra, and a good course in probability and

statistics.

These basic courses will empower you. After you have these under your

belt, you have many interesting options all of which will further

empower you to learn and practice economics. I especially recommend

courses in (1) Markov chains and stochastic processes,

and (2) differential equations.

Slide 11 11

Kegiatan di Matematika

• Mencari jawab persamaan

• Memperumum

• Melihat kasus khusus yang menarik

• Melihat struktur yang sama dari dua hal yang berbeda

• Menganalisa pembuktian, termasuk memberikan bukti

yang lain.

Slide 12 12

Mencari Jawab Persamaan

• Kita mengetahui bahwa persamaan 𝑥2 + 1 = 0, di

bilangan real, tidak mempunyai jawab.

• Bagaimana dengan persamaan serupa di matriks 2 ×2.

• Di matriks 2 × 2 persamaan tersebut mempunyai

bentuk 𝑋2 + 𝐼 = 0.

• Ada berapa banyak?

• Misalkan kita menuliskan 𝑋 =𝑎 𝑏𝑐 𝑑

maka

• 𝑋2 + 𝐼 = 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑑𝑎𝑐 + 𝑐𝑑 𝑑2 + 𝑏𝑐

=0 00 0

• Apakah ini tidak mempunyai jawab juga?

Slide 13 13

Mencari Jawab Persamaan

• Bagaimana dengan matriks 2 × 2 yang mempunyai

bentuk khusus?

• Misalkan matriks tersebut simetri 𝑋 =𝑎 𝑏𝑏 𝑑

• Misalkan matriks tersebut anti simetri 𝑋 =𝑎 −𝑏𝑏 𝑑

• Bagaimana dengan matriks berukuran 3 × 3? Apakah

ada hasil yang diperoleh?

Slide 14 14

Memperumum

• Kita sudah mengetahui tentang dua garis di 𝑅3.

• Sekarang misalkan kita mempunyai dua bidang di 𝑅𝑛.

• Jika garis 𝑅𝑛 dapat dituliskan sebagai 𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑎 dengan

𝑥, 𝑥0, 𝑎 vektor di 𝑅𝑛, dan 𝜆 merupakan bilangan real, maka

bidang dimensi dua dapat ditulis sebagai 𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑎 + 𝜇𝑏 dengan 𝑥, 𝑥0, 𝑎, 𝑏 vektor di 𝑅𝑛 dan 𝜆, 𝜇 merupakan bilangan

real.

• Perhatikan bahwa 𝑎, 𝑏 harus bebas linear, dalam hal lain

bidang tersebut akan menjadi garis

• Bagaimana dengan dua bidang di 𝑅3?

• Bagaimana dengan dua bidang di 𝑅4, 𝑅5, …?

• Jika tidak berpotongan, apakah dapat disebutkan jarak dua

buah bidang?

Slide 15 15

Melihat Kasus Khusus

• Di kuliah kita sudah melihat bahwa deret harmonik

1

𝑘∞𝑘=1 divergen.

• Biasanya setelah mengetahui bahwa deret divergen,

analisis selesai. Tetapi Euler mencoba menganalisa

bagaimana dengan rate membesarnya.

• Saat ini kita akan mencoba melihat lagi tetapi dengan

menggunakan komputer.

• Kita akan menggunakan MATLAB

Slide 16 16

Program MATLAB

• % melihat ke divergenan deret harmonik

• N=30;

• H(1)=1;

• for i=2:N

• H(i)=H(i-1)+1/i;

• end

• stem(H)

• Jadi

𝐻 𝑛 = 1

𝑘

𝑛

𝑘=1

Slide 17 17

Grafik Deret Harmonik

Slide 18 18

Grafik Deret Harmonik

Slide 19 19

Grafik Deret Harmonik

Slide 20 20

Grafik Deret Harmonik

Slide 21 21

Slide 22 22

Slide 23 23

• Perhatikan nilai 𝐶 𝑛 = 𝐻 𝑛 − log 𝑛

• Perhatikan nilai c 𝑛 = 𝐻 𝑛 − log 𝑛 + 1

• Berdasarkan garam, dugaan kita 𝑐 𝑛 < 𝐶(𝑛)

• Nilai 𝐶(𝑛), mula-mula besar kemudian mengecil

• Nilai 𝑐(𝑛), mula-mula kecil dan akan membesar.

• Semua ini hanya dugaan.

• Pertama, kita akan menguji melalui komputer.

Slide 24 24

Slide 25 25

Pembuktian Analitik

• Walau dugaan kita telah terbukti melalui komputer,

tetapi ini bukan merupakan pembuktian.

• Di matematika, kita harus dapat membuktikan hal

tersebut dengan menggunakan pensil dan kertas.

• Dalam hal ini, kita harus membuktikan bahwa

𝐶 𝑛 + 1 − 𝐶 𝑛 < 0

• Dalam hal ini

• 𝐶 𝑛 + 1 − 𝐶 𝑛 = 1

𝑘− log(𝑛 + 1)𝑛+1

𝑘=1 − 1

𝑘+ log 𝑛𝑛

𝑘=1

=1

𝑛 + 1−

1

𝑡𝑑𝑡

𝑛+1

0

+ 1

𝑡𝑑𝑡

𝑛

0

=1

𝑛 + 1−

1

𝑡𝑑𝑡 <

1

𝑛 + 1−1

𝑛< 0

𝑛+1

𝑛

Slide 26 26

• Hal yang serupa untuk 𝑐(𝑛).

• Buktikan pula bahwa 𝐶 𝑛 > 𝑐(𝑛) untuk setiap 𝑛.

• Selanjutnya 𝐶 𝑛 − 𝑐 𝑛 = 𝐻 𝑛 − log 𝑛 − 𝐻 𝑛 +log 𝑛 + 1 = log 𝑛 + 1 − log 𝑛

• Sedangkan lim𝑛→∞𝐶 𝑛 − 𝑐(𝑛) = 0

• Jadi, limn→∞C n = 𝛾 ada dan

lim𝑛→∞(1 +1

2+1

3+⋯− log 𝑛 = 𝛾

• Dengan 𝛾 = 0.5777… sudah diketemukan oleh

Euler(1707-1783)

Slide 27 27

Lanjut

• Kita masih bisa berlanjut

• Selidiki nilai 𝐻 2𝑛 − 𝐻(𝑛) untuk 𝑛 → ∞. Apakah dia

konvergen? Jika konvergen, apakah kita mengenali

nilainya?

• Selidiki nilai 𝐻 3𝑛 − 𝐻(𝑛) untuk 𝑛 → ∞. Apakah dia

konvergen? Jika konvergen, apakah kita mengenali

nilainya

• Bagaimana dengan 𝐻 2𝑘𝑛 − 𝐻(𝑛)?

• Untuk 𝑛 tetap, dan 𝑘 bergerak , nilai 𝐻(2𝑘𝑛) tentu

akan membesar juga. Apakah ini akan membesar

dengan ukuran yang sama?

Slide 28 28

Lanjut

• Misalkan 𝐽(𝑛) adalah bilangan bulat yang tidak lebih kecil

dari 𝐻(𝑛).

• Hitung 𝐽 2𝑛 − 𝐽(𝑛) dengan 𝑛 = 1,2,3, … ,𝑁 dan 𝑁 cukup

besar.

• Tentukan kemungkinan nilai 𝑚

𝑛 jika

𝐽 (𝑚) = 𝐽 (𝑛) + 1?

• Misalkan n bilangan terbesar sehingga 𝐽 (𝑛) = 𝑚, untuk m

= 1, 2, . . . , 30. Tuliskan ini sebagai L (m). Hitung 𝐿 𝑚+1

𝐿 𝑚 .

Carilah suatu kesimpulan mengenai hasil ini?

• Tentukan order dari 𝐿(𝑚) jika m membesar tanpa batas.

Sekali lagi, tentukan order membesarnya 𝐻(𝑛).

Slide 29 29

• Bagaimana dengan deret −1 𝑘+11

𝑘∞𝑘=1 apakah dia

konvergen? Apakah anda mengenali nilainya?

• Bagaimana dengan

1 +1

2−1

3+1

4+1

5−1

6+1

7+1

8+⋯

• Bagaimana dengan 1

1+1

4+1

9+1

16+1

25+⋯

• Bagaimana dengan 1

2+1

3+1

5+1

7+1

11+⋯ jumlah dari

1

𝑝𝑖 dengan 𝑝𝑖 bilangan prima?

• Bagaimana dengan 1

1+1

2+1

3+⋯

Slide 30 30

Sistematika Suatu Penulisan

• Pendahuluan

• Beberapa hal yang diperlukan

• Hasil: Pembuktian atau analisisnya

Slide 31 31

Pendahuluan

• Berisi tentang hasil yang sudah ada! Jangan lupa

daftar pustaka yang berkaitan.

• Berisi tentang apa yang akan dikerjakan!

– Melengkapi

– Mengembangkan

– Menyelesaikan

– Memperumum

– Mengekplorasi

• Berisi tentang mengapa ini menarik untuk dikerjakan!

Slide 32 32

Beberapa hal yang diperlukan

• Mungkin pada pembicaraan yang dibahas, kita

memerlukan beberapa definisi atau hal lain dari

pembahasan di makalah lain.

• Karena sangat diperlukan, maka hal di atas dibahas

secukupnya.

• Katakanlah proposisinya agar memudahkan orang

yang akan membaca makalah.

• Jika pembahasan yang diperlukan melebihi tulisan

kita sendiri, lebih baik cukup diacu agar pembaca

membaca langsung dari makalah aslinya.

Slide 33 33

Pembuktian dan Analisis

• Uraikanlah hasil pekerjaan dengan jujur.

• Sebutkan pekerjaan orang dan perlihatkan hasil

pekerjaan kita.

• Pekerjaan kita termasuk membuat program,

menggunakan program, selanjutnya

menginterpretasikan diceritakan disini.

• Misalkan bukti yang berbeda dapat saja dianggapa

berbeda. Tetapi beda dalam arti matematika.

• Bahasa tentu harus berbeda, tetapi ini tidak cukup.

• Pada akhir bab, bisa saja kita mengucapkan terima

kasih.

Slide 34 34

Daftar Pustaka

• Jangan lupa untuk menuliskan semua Daftar Pustaka

yang sudah dipakai.

• Alangkah baiknya jika semua yang ada di Daftar

Pustaka, disebutkan dimana dalam artikel dipakai.

Slide 35 35