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MATEMATICA MODULOS PARA DOCENTESCO

Repblica

Argentina

MINISTERIO DE CULTURA Y EDUCACION DE LA NACIN

TERMINALIDAD DE PRIMARIA PARA ADULTOS A DISTANCIA

Dr. Carlos Sal Menem Presidente Lic. Susana Beatriz DecibeMinistra de Cultura y Educacion

Dr. Manuel Guillermo Garcia SolaSecretario de Programacion y Evaluacion Educativa

Prof. Sergio EspaaSubsecretario de Gestion Educativa

Prof. Hilda Maria LanzaSubsecretaria de Evaluacion de la Calidad Educativa

Lic. Ins AguerrondoSubsecretaria de Programacion Educativa

Lic. Irene Beatriz KitDirectora de Programas Compensatorios

Mdulo 1 Mdulo 2 Mdulo 3 Mdulo 4 Mdulo 5 Mdulo 6 Encuestas para docente

521

91111

119

INDICE

Introduccin Contenidos y actividades Eje Nmeros Nmeros naturales Nmeros racionales Fracciones Expresiones decimales Eje Operaciones Adicion sustraccion Eje Me ida Tiempo histrico. Tiempo cotidiano Actividades grupales Evaluacin Bibliografia

7 8 8 10

10 ll 12 15

19

El Mdulo Inicial (diagnstico), se caracterizo por la integracin de todos los contenidos en el contexto significativo de Un da en la vida de los Costa. Se penso que era conveniente continuar en el Mdulo 1 para alumnos con una lnea argumental integradora a partir de situaciones de la vida cotidiana. Se trabajan contenidos de los ejes: Numeros, Operaciones y Medida. Del eje Numeros se sistematizan los contenidos: nmeros naturales, racionales, fracciones (ordinarias y decimales) y expresiones decimales, a partir del conocimiento del sistema de numeracin decimal. Del eje Operaciones se plantean la adicin y la sustraccion* y se propone considerar la estimacin y el clculo aproximado. Respecto del eje Medida se hace un reconocimiento de las medidas de tiempo usadas ms frecuentemente. Seguramente usted habr registrado las dificultades de los alumnos, en el instrumento diagnstico del Mdulo Inicial. Es probable que la mayora haya podido leer y escribir correctamente nmeros naturales, como tambin operar mentalmente con dichos nmeros y con las expresiones decimales. Sin embargo, es frecuente que los adultos tengan dificultades para simbolizar las operaciones (realizar las cuentas por escrito). Por tal motivo, en el Mdulo 1 para alumnos, se privilegiaron las actividades que tienden a la comprensin del sistema de numeracin decimal (composicin y descomposicion de numeros naturales y ex presiones decimales), ya que este tema es fundamental para la construccin de los algoritmos de las operaciones. Los objetivos proponen que el alumno: Aplique las reglas del sistema de numeracin decimal a la construccin de los algoritmos de suma y resta. Utilice los algoritmos de adicion y sustraccin entre nmeros naturales y expresiones decimales. Resuelva situaciones de adicin y sustraccion Reconozca las fracciones como partes de un entero. Resuelva situaciones utilizando las medidas de tiempo de uso comun

* En realidad, suma y resta son los nombres para el resultado de la adicin y de la sustraccin; pero en el Mdulo 1 para alumnos, se usan suma y resta porque el adulto est ms

familiarizado con esos nombres.

CONTENIDOS Y ACTIVIDADES

A continuacin se presenta el esquema de contenidos del Mdulo 1 para alumnos.

Eje Numeros Numeros naturales

Los nmeros que se utilizan ara contar la cantidad de elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos ni el orden en que se encuentran, se llaman nmeros naturales. Se designa con N el conjunto de estos nmeros:N=[ 0,1,2,3,4,5...]

El 0 es un nmero natural porque indica la cantidad de elementos del conjunto vaco. Adems de contar, los nmeros naturales permiten indicar un orden o posicin: l, 2, 3... Es decir que elnmero naturaI sur e como resultado de i un proceso de coordinacin entre la cardinalidad y la ordinalidad. El numeral es la expresin grfica del nmero. Actualmente se utiliza el sistema de numeracin decim a lpara simbolizar los nmeros.

En el Modulo 1 para alumnos, las actividades, desde la N1 hasta la N 11, tienen como propsito la comprensin del sistema de numeracin decimal a travs del reconocimiento de sus reglas o caracteristicas:8

Sistema de numeracin decimal, Cada simbolo representa distinta cantidad de unidades, segn el lugar que ocupa. Se agrupa de a 10 unidades

smbolos

lO

La regla de construccin del sistema decimal puede resumirse en: no ms de 9 unidades sueltas cualquiera sea el orden de estas unidades, ya que se van agrupando 10 unidades en un conjunto de orden superior, de tal modo que en las cifras del numeral 10 est representando el registro simblico de 1 decena (10 unidades agrupadas) y 0 unidad (no hay unidades sueltas). Es importante destacar el carcter posicional del sistema de numeracin decimal. De la posicin que ocupe una cifra en un numeral, depende el valor relativo que ella represente, con independencia de su valor absoluto. Por ejemplo, el numeral doscientos veintids es el registro simblico de:

Sin mencionar el calificativo absoluto o relativo en la actividad N4, se propone el reconocimiento de esos valores. Desde la actividad N5 y hasta la N l1, inclusive, se trabaja el agrupamiento de a 10, con material representativo: los cuadraditos que corresponden a las unidades, las tiras de 10 cuadraditos a la decena y los cuadrados de 100 cuadraditos a las centenas. Este material facilita el agrupamiento y el canje, razn por la cual se sugiere utilizarlo en las instancias presenciales con aquellos alumnos que presenten dificultades para comprender la composicin y la descomposicin de nmeros en el sistema de numeracin decimal. Si el alumno comprende las reglas del sistema, posiblemente no tendr dificultades para entender los algoritmos de las operaciones. Con el fin de comprobar el nivel de comprensin del sistema de numeracin decimal, usted podr sugerir a los alumnos que expresen de diferentes formas un numeral, por ejemplo:

9

Se consider imp portante que el alumno pudiera comparar el sistema de numeracin decimal! especialmente su carcter posicional, con otro sistema que no tiene esa caracterstica. Por tal motivo se present el sistema de numeracin romano, que no es posicional y sus smbolos estn sujetos a otras reglas.Nmeros racionales Fracciones

Seguramente, si usted tiene 4 hijos y en su casa solo han quedado 2 alfajores, cortar cada uno de ellos en dos partes aproximadamente iguales y les entregara una mitad del alfajor a cada uno de sus nios. Esa mitad aproximada tiene un smbolo que es 1 . A estas partes se las llama fracciones o quebrados.2

Al conjunto de nmeros formado por los nmeros enteros y sus partes posibles, positivas o negativas, se lo llama conjunto de nmeros racionales y se lo designa con la letra Q Q= {x/x es nmero racional } En la vida cotidiana, para nombrar los nmeros racionales, usamos con ms frecuencia la forma decimal que la fraccionaria. Lo hacemos cuando decimos que compramos 1,5OOkg. de mandarinas a $1,20 el kg. o que necesitamos 1,75m. de tela para hacer un vestido. Las expresiones fraccionarias e quivalentes o familia de fracciones, representan todas una misma cantidad que llamamos nmero racional. Por ejemplo: Fraccin irreducible Clase o familia de la mitad Fracciones ordinarias Fraccin decimal Expresin decimal

En la vida cotidiana se plantean permanentemente situaciones en las que aparecen las partes de un todo. El hecho de compartir una pizza con los amigos, requiere obtener trozos aproximadamente iguales. En el Mdulo 1 para alumnos, Rosa, Carlos, Berta y Jorge comen una pizza y esto da lugar a tres actividades de reconocimiento de fracciones, la N 21, la N 22 y la N 23.

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Se sugiere trabajar con los alumnos la relacion de equivalencia con fracciones simples, tales como:

fig. 1

fig. 2

fig. 3

Es conveniente partir de elementos concretos como, por ejemplo, una tableta de chocolate o un pan lacta1 cortado en rebanadas, insistiendo siempre en que las partes son aproximadamente iguales. Para escribir cada fraccin las partes deberan ser exactamente iguales. Posteriormente podr utilizarse la representacin grfica (fig. 1, 2 y 3) considerando que las equivalencias son referidas a un mismo entero. Finalmente se simbolizar:

Es importante que en cada caso el alumno pueda reconocer el entero como

Expresiones decimales

Las situaciones de todos los das, oblig an a reconocer las expresiones decimales y a operar con las mismas: en las vid-rieras donde se destacan los precios de los productos, cuando se realizan las compras o cuando se viaja en colectivo se utilizan pesos y centavos. Coherentemente, con la fundamentacin del rea, es a partir del dinero (tema ste tan significativo para los adultos), que se f introduce el concepto de las expresiones decimales (actividad N25 en el Mdulo 1 para alumnos). El contenido se sistematiza a partir del conocimiento del sistema de numeracion decimal. Para ello se utiliza el material representativo usado para facilitar los canjes. Se opt por aumentar el tamao del cuadrado que representa la unidad con el fin de facilitar la divisin de la misma en diez y cien partes iguales y, tambin, con el objeto de que no se confunda la unidad con la centena, se opt por representar la unidad agrandada en el dibujo.11

Las expresiones decimales son otra forma de expresar los nmeros fraccionarios. Tomando como base la regla del sistema de numeracin decimal, trate de que los participantes hagan agrup amientos de a 10, para que ellos mismos analicen qu ocurre hacia la derech a de las unidades en este grfico:

Despus de haber trabajado con los alumnos las actividades N27 y N28, sera productivo completarlas con este grfico del siguiente modo:

La comparacin con los centavos ayuda a entender el valor de los centsimos y la diferencia entre 0,50 y 0,05, ya que evidentemente no es lo mismo tener cincuenta centavos que cinco centavos.

Eje Qperaciones Adicin y sustraccinResolver una operacin significa poder transformar los elementos originales en otros, como consecuencia de las acciones ejercidas sobre los primeros. Si a una lista de 47 invitados se le agregan otros 16, la lista presentar 63 invitados, como resultado de haber transformado los 47 primitivos, luego de sumarle los 16 posteriores.12

Como ya se explicito en el Mdulo Inicial para docentes, el planteamiento de problemas debe preceder a la enseanza de las operaciones bsicas. Dicho de otra manera, las operaciones deben ser planteadas en forma contextualizada. En el Mdulo 1 para alumnos se plantean situaciones problemticas aditivas relacionndolas con los conceptos de agregar, reunir, juntar, hallar el total, y situaciones de sustraccin relacionadas con los conceptos de quitar, disminuir, complementar, hallar la diferencia. Posteriormente, se presentan los algoritmos de ambas operaciones. Qu es un algoritmo? En principio, un algoritmo es un procedimiento. Cotidianamente se utilizan algoritmos, pero se los aplica sin necesidad de comprender su fundamento-. Cuando se usa el televisor, la computadora, el telfono y tantos otros elementos electrnicos modernos, se ponen en juego una serie de pasos lgicos. Esa secuencia lineal de acciones que deben ser ejecutadas, constituye un algoritmo. Utilizar el telfono, por ejemplo, responde al siguiente esquema: descolgar el auricular, ,esperar el tono, marcar, etc. Por lo tanto, el aprendizaje de un algoritmo no se reduce a las operaciones aritmticas elementales sino que est presente en el accionar cotidiano. Generalmente, al ejecutar estos al optimos no se los acompaa de una reflexin, ni de una comprensin de su funcionamiento, ya que en determinados actos, un algoritmo es una herramienta que permite resolver problemas, como el de la comunicacin, en el ejemplo del t lefono. Para el usuario, entonces, basta con automatizar las acciones, sin analizar el por que de las mismas. En cambio, un tcnico, necesita comprender el funcionamiento del aparato electrnico a partir de conocimientos cientificos relacionados con la construccin del mismo. Se puede ensear a los alumnos la adicin y la sustraccin simplemente como una serie ordenada de pasos? Se ha demostrado que esto es posible. Basta con recordar nuestros propios aprendizajes. Los algoritmos se pueden aprender como una simple secuencia de acciones que se deben ejercer sobre los nmeros en juego. Podra intentar enunciarles: colocar el minuendo (nmero mayor) arriba del sustraendo (nmero menor), de manera que coincidan en columna las unidades del mismo orden. A las unidades del minuendo se les resta las del sustraendo; si no fuera posible se le pide 1 al comp aero (las decenas), y se le suma a las unidades que se tena; despus se restan las unidades del sustraendo.

Ejemplo:

Sin embargo; esto es solo el procedimiento. La naturaleza del algoritmo matemtico no es slo instrumental sino tambin un proceso de construccin racional que se apoya en aprendizajes anteriores (el sistema de numeracin decimal, los propios conceptos de adicin y sustraccin), a los que al mismo tiempo favorece. La relacin entre lo conceptual y lo procedimental (lo instrumental), en el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones, se puede sintetizar as:13

l

Los distintos pasos del algoritmo se recuerdan mejor cuando existen ms datos o claves para recuperarlo memorsticamente. Comprender su fundamento cientfico permite la reconstruccin del mismo, si se ha olvidado alguno de sus pasos.

l

Por eso, en el Modulo 1 se pro pone a los alumnos utilizar el material representativo para la construccin de algoritmo de la adicin y del de la sustraccin. Sera conveniente que el adulto tratara de comprender el por que de las acciones que se van realizando secuencialmenre; que pueda relacionar, por llevo 1 con el con 10 unidades formo una decena que la agrego a la columna de las decenas.

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El tiempo histrico y el tiempo cotidiano se miden con diferentes unidades: unidades mayores para perodos historicos ms prolongados como la dcada y el siglo; unidades menores para el tiempo cotidiano, ao, mes, semana, dia, hora, minuto. La actividad N14, tiene como objetivo recordar que cada siglo comienza a partir del ao 1 de la centena exacta. El tratamiento de este tema es de utilidad ara aplicarlo en el rea de las ciencias sociales, al aprendizaje de los perodos h istricos y a la comprensin de la linea del tiempo. Respecto del tiempo cotidiano, para la resolucin de situaciones en las que intervienen horas y minutos (Ej.: actividades N39, N40, N41 y N 42), se sugiere estimular el desarrollo de estrategias espontneas para el calculo. Para comparar tiempos, se podrn utilizar noticias de portivas, estimar el tiempo que demanda una tarea, calcular los tiempos de estud io por da, por semana, etc. A modo de ejemplo, usted podr presentar en una instancia presencial un problema como ste: Un avin recorre la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B en 1 hora y 20 minutos. El vuelo de retorno lo efecta en 80 minutos. Cmo explica esto?, teniendo en cuenta que en ambos viajes ,la situacin climtica y la ruta fueron similares,

Actividades grupalesSe proponen al unas actividades grupales cuyos objetivos son afianzar los contenidos trata os, especialmente los referidos al sistema de numeracin decimal y las operaciones, y para favorecer la integracin grupal. Adivinar el nmero Propsito: trabajar serie numrica e intervalo numerico. Usted piensa en un nmero y los alumnos deben descubrirlo; para ello, slo pueden preguntar (tantas veces como sea necesario): es mayor que...? o es menor que....? Usted solamente puede responder s o no. Cual es mi regla? Propsito: afianzar la serie numrica y el clculo mental. Usted o un alumno, dicen varios nmeros relacionados por una re la. Por ejemplo: 114, 124, 134,. Los alumnos deben descubrir qu regla se aplic (en este caso "+ 10").15

Cmo obtener el numero? Propsito: ejercitar el calculo mental. Se escriben en el pizarrn varios nmeros, por ejemplo: 5; 7; 8; 1; 3; 6; 4; 9. Despus usted propone a los participantes que, empleando estos nmeros, formulen clculos con sumas y restas cuyo resultado sea: 25..., 37..., etc.

EVALUACIN

Se proponen al unas actividades de evaluacin en funcin de los temas tratados y considerando diferentes niveles de complejidad. Usted podr seleccionar las que crea convenientes, modificarlas o implementar otras, segn las caractersticas del grupo de alumnos a su cargo. Actividad N1

El nmero representado es 195. a) El nmero representado tiene ................... cent.+. .................. dec.+ ................... unid.. b) El nmero representado tiene.. ................. dec. + ................... unid. c) El nmero representado tiene ................... unid. en total. d) Agrguele al nmero anterior, 1 decena, qu nmero obtuvo ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mialaret, Gastn: La matemtica como se aprende, cmo se ensea? Madrid, Visor, 1972. Rico Romero, L., Castro Martnez, Encarnacin, Castro Martinez, Enrique: Nmeros y operaciones. Madrid, Sntesis, 1989. Gabba, Pablo: Matemtica para maestros. Buenos Aires, Marymar, 1978. Perelman, Y: Problemas y experimentos recreativos. Mosc, 1979. Rey Mara Esther: Didctica de la matemtica. Buenos Aires, Estrada, 1994. Brindstein, M. y Hyanfling, M.: Matemtica 1. Buenos Aires, Aique, 1993.

MODULO 2

INDICE

Introduccin Contenidos y actividades Geometra Operaciones La multiplicacin Su naturaleza Los problemas que se resuelven con la multiplicacion Propiedades de la multiplicacion Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva Los errores ms fiecuentes La divisin Su nuturaleza Los problemas que se resuelven con Ia divisin La propiedad distributiva de la divisin respecto de la suma Los errores mas frecuentes Estadstica Tablas de doble entrada Promedio Evaluacin Bibilografia

23 24 24 26 26 27 28 28 29 29 30 33 33 34 35 35 38 38 38

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INTRODUCCION

El mundo que nos rodea est constituido no slo por gran cantidad de objetos de diferentes formas y diseo como por ejemplo, muebles (mesas cuadradas, redondas, rectangulares), utensilios y herramientas (relojes prismticos, esfricos, cbicos; ollas cilndricas, prismticas), sino tambin por las transformaciones propias de ciertos objetos o cuerpos, edificios en construccin, ensanchamiento de una calle, cambio de direccin en una avenida, etc. En la vida cotidiana est presente, cada vez ms, la geometra, que junto con la aritmtica forman un todo. Cmo pensar en los conceptos geomtricos de permetro, superficie y volumen sin re lacionarlos con el concepto de medida? Cmo resolver situaciones geomtricas que tienen que ver con longitudes, planos y escala sin el a porte de las operaciones y de los nmeros? Sistemtica y paulatinamente, el hombre va tomando- posesin del espacio, orientndose, analizando formas y buscando relaciones espaciales. Intuitivamente, va adquiriendo el conocimiento de su entorno. Por su experiencia, los alumnos adultos poseen algunas nociones intuitivas del conocimiento espacial; es importante capitalizar esos saberes prcticos del adulto. Por eso, a partir de una propuesta, que se origina en la intuicin para llegar a la reflexin, se presenta la geometra en el Mdulo 2 para alumnos. Intuicin y reflexin son dos formas del conocimiento geomtrico que se relacionan y se complementan. El hecho de adquirir conocimientos del espacio real a partir de la intuicin, es lo que se llama la percepcin espacial. En las actividades que se proponen a los alumnos, se destacan los temas de geometra que caracterizan la percepcin espacial: el reconocimiento de formas (actividad N6 b: Reconocimiento de cuerpos), de propiedades geomtricas (actividad N6 a: Paralelismo y perpendicularidad), transformaciones (actividad N2: Transformacin del plano segn desde donde se observe) y de relaciones espaciales (actividad N5 c y actividad N8 a, b, c y d: Mayor, menor o igual distancia). El Mdulo 2 para alumnos, tiene como objetivos que el alumno: Se oriente en planos y croquis. Reconozca distancia entre dos puntos. Diferencie formas geomtricas. Reconozca paralelismo y perpendicularidad. Reconozca angulos: rectos, agudos, obtusos y llanos. Aplique los conocimientos del sistema de numeracin decimal, y algunas propie-. dades de la multiplicacin y divisin en el uso de los algoritmos. Resuelva situaciones sencillas de promedio.

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CONTENIDOS Y ACTIVIDADES

Se trabajan contenidos de los ejes: Geometra, Operaciones y Estadstica.

Situaciones multiplicativas .---

Con respecto al eje Operaciones, a partir de situaciones significativas, se trabaja la multiplicacin como suma reiterada entre nmeros naturales y ex presiones decimales. Se plantea la propiedad conmutativa intuitivamente aplicada y reconocida. La divisin se presenta como la operacin inversa de la multiplicacin y como resta reiterada. Del eje Estadistica, los contenidos que se trabajan son la tabla de doble entrada como recurso organizador de la informacin y el promedio. Los contenidos del eje Geometra que se abordan son: orientacin en planos y croquis, paralelismo, perpendicularidad, ngulos, cuerpos geometricos.

GeometriaLas experiencias visuales constituyen la base sobre la cual se fundamentan las actividades y abstracciones posteriores. Observar es ver, notar lo comn que puede haber en situaciones distintas, lo diferente en objetos y acciones, y lo caracterstico de cada cosa. La observacin de los alumnos puede orientarse por medio de preguntas que refieran a aspectos fundamenta les. La actividad N1 propone observar un croquis y orientarse en l teniendo en cuenta las indicaciones. En la actividad N2 se presenta el mismo croquis, pero variando su orientacin y omitiendo las referencias que tena el anterior. En ambas, la observacin se va guiando a travs de preguntas, para que el alumno pueda interpretar croquis y orientarse en el entorno espacial que ese croquis representa. Toda observacin debe ir acompaada de una accin posterior. Las actividades N1 y N2, por ejemplo, comienzan con una observacin, pero inmediatamente el alumno debe actuar: sealar o indicar lo que se le solicita.24

La secuencia propuesta es: primero observar, luego actuar y reflexionar, pero para que se pueda construir el espacio geomtrico es imprescindible llegar a la abstraccin. Abstraer es, entre otras cosas y siempre refiriendose a la geometria, reconocer lo que hay de comn o de diferente en algunas situaciones, simplificar la situacin real, esquematizndola como en la actividad N4 b, o determinar el campo de validez de una propiedad (actividad N6 a). Con este plan se trabajan, en el Mdulo 2 para alumnos, desplazamientos y recorridos en planos y cuerpos, las nociones de distancia, paralelismo y perpendicularidad, ngulos y cuerpos. Jean Piaget afirma que: 1 a representacin del espacio se debe a las actividades que realiza cada individuo, durante su experiencia diaria. En el mdulo para alumnos se trabaja desde lo intuitivo (que incluye la observacin) a lo conceptual o abstracto (que incluye la reflexin y la abstraccin). El trabajo con croquis y planos permite a los alumnos adultos ubicarse y localizar referencias y calles, sealar recorridos, identificar distancias adems del sentido y la direccin de las calles. Se pretende que el alumno pueda leer e interpretar un plano correctamente y al mismo tiempo, orientarse en el espacio cercano o cotid.iano. Una posible actividad para realizar con los alumnos en los encuentros presenciales podra ser la siguiente: a) formar tres subgrupos; b) cada subgrupo escribe en un papel las indicaciones para ir de una casa a otra; c) se intercambian los papeles; d) despus de leer las indicaciones, cada subgrupo representa grficamente ese recorrido en un croquis o plano; e) vuelven a intercambiar los papeles; f) cada grupo interpreta el croquis o plano y, en forma verbal, es ex resado por un representante de cada equipo. Lo que se expresa verbalmente, debe coincidir con las indicaciones primeras y esto ocurre cuando el croquis o plano responde correctamente a esas indicaciones. Es frecuente que los alumnos se equivoquen al verbalizar los recorridos. Los errores ms comunes son confundir sentido con direccin y derecha con izquierda. En la actividad N3, a partir de la lectura del plano, se incorpora la nocin de calles paralelas y calles perpendiculares, Usted podr sugerir a los alumnos observar el entorno para encontrar ejemplos de paralelismo y perpendicularidad (en paredes, puertas, ventanas, bancos, escritorios, etc.). Respecto de la nocin de ngulo y su clasificacin, se recomienda: a) recurrir al plegado de papeles para obtener ngulos rectos, ngulos que son la mitad de un recto y ngulos que son un cuarto de un recto; b) obtener por plegado cuatro ngulos rectos y vincularlos con: la interseccin de pares de rectas de direcciones vertical, horizontal; delante, atrs; izquierda, derecha; norte, sur; este, oeste; c) realizar cambios de direccin en una marcha: giro completo; medio giro; cuarto de giro; d) representar grficamente los desplazamientos realizados.25

La representacin grfica, permite que se puedan expresar ideas y conocimientos; es una forma de comunicacin en la que se utilizan esquemas, construcciones geomtricas, figuras o dibujos. Es una descripcin y esta, ya sea verbal o grfica, obliga a quien la hace a observar, ordenar, situar en el espacio, establecer relaciones entre el objeto que se va a representar y su representacin grfica. Por eso, describir no es tarea fcil, tambin es necesario tener presente la forma, las caractersticas y la ubicacin en el espacio del objeto. La representacin grfica tambin es una herramienta til, ya que puede ayudar a encontrar estrategias para la resolucin de problemas. En geometra, es importante tanto para expresar formas como para comprender razonamientos. Cuando se plantean situaciones problemticas en las que se pide calcular el permetro de una figura o el valor de un ngulo de la misma, es comn que el alumno, ara facilitar la resolucin: a) represente grficamente la figura, b) ubique en ella los datos que se le aportan. Esta estrategia facilita el razonamiento correcto y la posterior resolucin. Por tal motivo, en el Mdulo 2 para alumnos, se insiste en los recorridos, las distancias y la re presentacin grfica de las mismas (actividad NQ4 d). E n 1a actividad N6, el a lumno debe encontrar el o los planos (representacin grfica) que corresponden al desarrollo del cubo. Se su giere que, de ser posible, los alumnos hagan en cartulina el plano del desarrol lo de un prisma (caja de zapatos) y luego lo armen.

Operaciones

Se analizarn las operaciones de multiplicacin y divisin, teniendo en cuenta: su naturaleza; los tipos de problemas que se resuelven con ellas; las propiedades elementales; los errores algortmicos ms frecuentes que suelen cometer los alumnos.La multiplicacion Su naturaleza

La multiplicacin debe entenderse, en principio, como una operacin aritmtica entre nmeros naturales. El punto de partida de esta operacin son dos nmeros y el punto de llegada otro nmero distinto (o no) de los anteriores. Ejemplos: 2 x 5 = 10 2x1=2 La multiplicacin es una suma abreviada? La interpretacin de la multiplicacin como una suma abreviada en todos los casos, es un error, ya que la multiplicacin no es un caso particular de la suma. Es otra operacin que puede definirse a partir de la suma pero no se reduce a26

ella. La multi plitacin es una o peracin aritmtica que puede interpretarse como suma ab reviada (sin ser lo mismo) cuando se trabaja con nmeros naturales, por lo menos, en uno de los dos factores. En cambio, no puede pensarse en suma abreviada cuando debe resolverse por ejemplo 0,2 x 0,3 (este caso de multiplicacin de dos ex presiones decimales, ser tratado en el Mdulo 3). Otra interpretacin de la multiplicacin, es considerarla un producto cartesiano. Un ejemplo prctico de esta interpretacin, es el portero elctrico (para las zonas urbanas), o un tablero de hotel como el que figura en la actividad N18 (dibujo del tablero). Hay 5 habitaciones por piso (PB. l y 2) O sea que en la PB hay: (PB l), (PB 2), (PB 3), (PB 4) y (PB 5); en el ler.Piso: (11), (l2), (l3), (14) y ( l 5 ) ; (2l), (22), (23), (24) y (25). en el 2 Piso: Estos pares ordenados son el producto de los elementos pisos (PB, l y 2 por los elementos habitaciones (1, 2, 3, 4 y 5). Si se quiere averiguar cuantas habitaciones tiene el hotel en total, basta con multiplicar: 3 (pisos) x 5 (habitaciones) = 15 habitaciones.

Los problemas que se resuelven con la multiplicacion

Los solucionables por suma reiterada (actividades N 11, N 12, N 13, N 14 y N15). Ejemplo: Un caf cuesta $1,30, cunto debe pagarse por 3 cafs? + $ 1,30 $ 1,30 $ 1,30

$3,90

$ 1,30 x3 = $ 3,90

27

El planteo de las dos situaciones multiplicativas son de distinta naturaleza, sin embargo, ambas se resuelven empleando la multiplicacin. Es conveniente trabajarlos conjuntamente.Propiedades de la multiplicacin

Las propiedades de la multiplicacin que se trabajan en el Mdulo 2 ara alumnos son: conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la suma y s e la resta. El alumno adulto probablemente las aplique intuitivamente. A continuacin se le propone una forma de trabajarlas.Propiedad conmutativa

Juan quiere saber cuantas latas de aguarrs le quedan despus de una venta importante. Revisa primero las cajas y cuenta G latas en cada una. Luego cuenta las cajas y verifica que hay 5. Despus calcula 6 x 5 = 30 latas Un amigo que lo ayuda comienza contando las cajas (5) y luego contina con las latas que h ay en cada caja (6). Entonces, calcula: 6x5=5x6 Cuando se piensa en situaciones en las que se puede intercambiar el orden de las cosas sin que se altere el resultado, se est pensando en operaciones conmutativas. La multiplicacin es una operacin conmutativa.

28

Propiedad asociativa

De qu otra forma se puede expresar 5 x 8? Como 8 = 2 x 4, entonces:

5 x 8 = 5 x ( 2 x 4 )

Sin enunciar la propiedad se puede proponer expresar de otra forma las operaciones:

Finalmente se puede solicitar a los alumnos que verbalicen los procedimientos, antes de enunciar la propiedad.Propiedad distributiva

El planteamiento didactico de esta actividad es muy similar al anterior; se ha reservado el uso de esta propiedad para multiplicar nmeros de dos dgitos. Ejemplo: Hay 12 estantes y hay 15 libros en cada estante. Cuantos libros hay en total? La resolucin es 15 x 12, pero como

12 = 10 + 2, entonces se puede expresar la operacinanterior as: 15 x (10 + 2) que se resuelve:

15x10 + 15x2 150 + 30 = 180 6como 12=6+6

15x6 + 15x6 90 + 90 = 180 como 12=8+4

15x8 + 15x4 120 + 60 = 180Esta propiedad est ligada a la suma abreviada, por ello su tratamiento puede ser anterior al de la propiedad asociativa, que implica realizar dos multiplicaciones consecutivas.

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Los errores ms frecuentes

Las equivocaciones estn estrechamente relacionadas con dos aspectos; el primero tiene que ver con el grado de claridad que se tenga del concepto de multiplicacin, y el segundo con la dificultad para relacionar el concepto con el procedimiento. Esto ltimo tambin tiene que ver con haber o no haber construido el algoritmo de la multiplicacin. Cuando los errores son tratados solamente como dificultad en el procedimiento y la solucin que se da, es la repeticin infinita del algoritmo para lograr la mecanizacin; en realidad, los obstculos no se superan. Es necesario tratar de comprender la naturaleza del error. Si el problema est, por ejemplo en una incorrecta aplicacin de la propiedad distributiva, se tratar de replantear problemas que lleven al uso de esa propiedad, es decir, volver a trabajar los contenidos conceptuales, ya que seguramente alli se encuentra la base del error. Manejar correctamente el algoritmo, significa comprender que, para resolver, por ejemplo: 26 x4 Al multiplicar 4 x 6 unidades, se obtienen 24 unidades que son 2 decenas y 4 unidades sueltas. CDU 2 6 x 4 Se escriben las 4 u. sueltas en la columna de las unidades y se colocan las 2 decenas en la columna de las decenas Al multiplicar 4 x 2 decenas se obtienen 8 decenas a las que se suman las 2 decenas correspondientes a las 24 unidades Se obtienen 10 decenas = 1 centena y 0 decenas sueltas.

1 0 4

Los errores mas frecuentesl

Errores en la aplicacin de la propiedad distributiva: CDU 3 4 2 x 3 3 4 6 multiplicando mu1tiplicador

Se realiz el producto del multiplicador por las unidades del multiplicando, pero, para las siguientes cifras, se opt por repetir sin multiplicar.

Olvido de las decenas del multiplicador: C D U

3 4 2 x3 5 1.710* Agregar de manera incorrecta las agrupaciones de a diez: CDU

2.040 (2+3=5;4x5=20).l

Las decenas (2) y las centenas (2) son sumadas a las cifras correspondientes (4 y 3) antes de multiplicarla por el 4 (2+ 4 = 6 ; 4 x 6 = 24) Olvidar las decenas o centenas que deben sumarse: CDU

1 4 7 x 8, 8 2 6Se omiti: a) Al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas, sumar a este resultado las 5 decenas correspondientes a las 56 unidades obtenidas al multiplicar 8 x 7 unidades. b) Al multiplicar 8 x 1 centena, sumar a este resultado las 3 centenas correspondientes a las 37 decenas obtenidas al multiplicar 8 x 4 decenas = 32 decenas y 32 decenas + 5 decenas = 37 decenas = 3 centenas y 7 decenas sueltas U M C D U

7 x 8 1.176* Realizar el producto del multiplicador solo por las decenas o centenas que deben sumarse: CDU

3 6 2 x 7

31

Existen numerosas variantes de errores. Pueden provenir de algn paso, alguna accin, dentro del algoritmo que el alumno olvida o no ha llegado a comprender. El aprendizaje meramente instrumental tiene una rigidez que seguramente generar errores ante algun cambio en la situacin original. Es necesario que el alumno pueda relacionar conceptos y procedimientos, para que cada uno de los pasos del algoritmo tenga sentido, Se sugiere partir, entonces, de la revisin de algunos conceptos relacionados con la multiplicacin que son: Sistema de numeracin decimal. Propiedad asociativa de la multiplicacin Propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma. Interpretacin de la multiplicacin como suma abreviada. Una estrategia que podra facilitar la comprensin de los algoritmos de la multiplicacin y d e la divisin es la construccin de la tabla pita gorica. En el Mdulo 2 para alumnos se trabaja con tablas de doble entrada, y l a pitagrica es un ejemplo que, adems, puede ser utilizado como recurso cuando el alumno tenga dudas con respecto a las multiplicaciones bsicas (tablas de multiplicar), consultndolas cuando fuere necesario.

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Cmo trabajar esta tabla? En primer lugar, sera conveniente que se les diera a los alumnos para completar. Una vez completada se les puede proponer que tracen la diagonal que va desde el 0 hasta el 100 y plantear por ejemplo: Observen los nmeros a ambos lados de la diagonal. A qu conclusiones se puede arribar? Observe los numeros de las columnas y las filas. Qu diferencias y qu similitudes encuentra? Hay nmeros repetidos? Cuales? Los nmeros que estn en la diagonal, en qu se diferencian de los dems? Y todas las preguntas que usted considere oportunas. Tambin se podr pedir al alumno que registre todas sus observaciones para ser ledas y discutidas en la

reunin presencial.De las respuestas y reflexiones de los alumnos surgirn las propiedades de la multiplicacin: la conmutativa: simetra respecto de la diagonal; el cero absorbe cualquier nmero (la columna y la fila que lo contienen, tienen como resultado del producto, el cero). De a qu se concluye que cualquier nmero multiplicado por cero, da como resul tado, cero; la fila y la columna correspondiente al producto de los nmeros x 1, da por resultado el mismo nmero; de aqu se concluye que cualquier nmero multiplicado x 1, da ese mismo nmero; en matemtica se dice que el 1 es el elemento neutro de la multiplicacin; los nmeros de la diagonal corresponden. todos a cuadrados perfectos. Ej.:

2x2=4 3x3=9 ............................... 10x10=100

La divisin

En la divisin se dispone de dos nmeros iniciales (dividendo y divisor) y a partir de ellos se obtiene otro que recibe el nombre de cociente. Cuando en la division, el resto es cero; la divisin se llama exacta. Cuando el resto no es cero, la divisin se llama entera. naturales, es otro nmero natural. Por ejemplo: 3 : 2 = 1,50.33

Se debe tener presente que no siempre el cociente entre dos nmeros En este caso el cociente (1,50) es una expresin decimal (nmero racional),

Por otro lado: 10:5 es igual a 2 porque 2 x 5=10 3 : 2 = 1,50 porque 1,50 x 2 = 3

l

La divisin es la operacin inversa de la multiplicacin. La divisin no es un caso especial de la sustraccin. Es una operacin que, slo a veces, puede resolverse por restas reiteradas.Los problemas que se resuelven con la division

Si bien la division tiene tres si gnificados: como particin, como reparto y como bsqueda de nmero de elementos en un conjunto que da lugar a la formacin de pares, en el Mdulo 2 para alumnos y en ste se trabaja solo en los dos primeros sentidos, ya que en la vida cotidiana se utiliza la divisin en situaciones asociadas a repartir y partir. * Cada caja de chiclets cuesta $1,50. Tengo $6, Cuntas cajas puedo comprar? * Con $ 6, puedo comprar 4 cajas de chiclets. Cunto cuesta cada una? EI procedimiento multiplicativo correspondiente implica repetir $1,5O cuatro veces para obtener $6 en total. $1,50 1 caja $1,50 1 caja $1,50 $1,50 1 caja 1 caja

Las cantidades desconocidas que se deben calcular son distintas para ambos problemas: en el primero: 4 cajas; en el segundo: $ 1,50. En el primer problema, se puede llegar a la solucion por resta reiterada. Tengo $6

He comprado 4 cajas de chiclets. Si quisiramos resolver el segundo problema de la misma manera, sera imposible ya que no se pueden restar 4 cajas de $6. La divisin puede resolverse en algunos casos como resta reiterada pero no siempre. El segundo problema es34

un ejemplo. Este problema requiere realizar un reparto: los $6 los debo repartir entre las 4 cajas. Las actividades N24 y N25 del Mdulo 2 para alumnos plantean situaciones de este tipo de divisin. En cambio en la actividad N26 se plantean situaciones similares a las del primer problema, ya que se pueden resolver como resta reiterada e implican la idea de particin: se deben "partir los $6 en x partes de $1,50 cada una.La propiedad distributiva de la divisin con respecto.a la suma

El al goritmo clsico de la divisin resulta de una aplicacin inicial de la propiedad distributiva a la derecha (ya que solamente en esa direccin es posible la division respecto de la suma) y de la multiplicacin sistemtica de la descomposicin de los nmeros. Por ejemplo: 458 : 4 se realiza teniendo en cuenta que: (400 + 50 + 8) : 4 = 400 : 4 + 50 : 4 + 8 : 4. Adems al realizar 50 : 4 resulta un resto de 1 decena que debe ser convertida en unidades para continuar el algoritmo (18 : 4).

400:4 =lOO 50:4 = 1 0 y sobra 1 decena = 10 unidades18 : 4 = 4 y sobran 2 unidades ( resto). 114 cocienteLos errores mas frecuentes

Aplicacin incorrecta del sistema de numeracin decimal En un campo hay 604 manzanos dispuestos en filas de 6 manzanos cada una. Cuntas filas completas tiene el campo? El mayor problema suele presentarse cuando las centenas se agotan en el reparto y no hay decenas que repartir. El alumno, entonces, tiene en cuenta las unidades y olvida las decenas (puesto que no las hay), tanto en el dividendo como, lo que es peor, en el cociente. Lo expresa as:

En este caso, es conveniente utilizar el material que aparece al final del Mdulo 1 para alumnos: recortar 6 centenas (cuadrados de 100 cuadraditos) y 4 cuadraditos sueltos (unidades) y realizando los canjes correspondientes, resolver la divisin construyendo el algoritmo,

35

Otro procedimiento vlido, es la estimacin previa a partir de sucesivas multiplicaciones por la unidad seguida de ceros, por ejemplo :

Esto imp lica un imp ortante trabajo de estimacin de resultados, ya que le permite al alumno saber que va a contar con centenas, decenas y unida des en el cociente, pues ste va a estar entre 100 y 1.000. Suele ocurrir que, llegado el momento de verificar el resultado con la calculadora, el alumno olvide colocar la coma decimal (en la calculadora, el punto), por ejemplo, si tiene que resolver: 12,5 : 4. Si previamente el alumno estimo que el resultado de 12,5 : 4 tiene que ser un poco mayor que 3 (ya que 12 : 4 = 3), difcilmente podr aceptar que 12,5 : 4 de por resultado 31. l La primera cifra del dividendo es de menor valor absoluto que la cifra del divisor En la actividad N30 del Mdulo 2 para alumnos, se plantea el algoritmo 376 : 5 en el que el valor absoluto de la cifra de las centenas es menor que 5 y esto suele ser motivo de errores por la dificultad que presenta. Lo mismo que en el caso anterior se sugiere trabajar con el material que se adjunta al final del Mdulo 1 para alumnos. Como las 3 centenas no se pueden partir en 5 partes iguales, habr que canjearlas por decenas (30 tiritas) y sumarles las 7 decenas sueltas. De esta manera, hay que resolver 37 : 5. Se le puede sugerir al alumno que consulte la tabla pita grica o, como se le pro pone en la actividad mencionada, que complete a tabla del 5 para buscar e nmero que, multiplicado por 5 da un valor que se aproxima a 37. Este procedimiento es equivalente al inverso del utilizado para buscar productos en la tabla pitagrica.

Se lee: dos por tres, es seis.

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Se lee: seis dividido tres, es dosl

Aplicacin incorrecta de la propiedad distributiva a la derecha de la divisin respecto de la suma

Rosa cobr este mes $405. Si le pagan $5 la hora. Cuntas horas trabaj? Es un ejemplo similar al mencionado en el caso del campo con las manzanas, ya que tambin ste tiene 0 en las decenas, pero aqu tambin se da la otra dificultad: la cifra de las centenas es menor que 5.

No se tienen en cuenta las unidades en el momento de dividir. Si se aplicara correctamente la propiedad distributiva a la derecha, no podra cometerse ese error ya que:

En general, los errores, obstculos y dificultades de la divisin, tienen su origen en la incorrecta aplicacin de: las reglas del sistema de numeracin decimal; la propiedad distributiva a la derecha de la divisin respecto de la suma; no recordar las tablas y tratar de buscar mentalmente los productos. La actividad N27 del Mdulo 2 para alumnos, propone el algoritmo tradicional como procedimiento para resolver la operacin 733 : 3. Teniendo en cuenta las dificultades que, en general, presenta la divisin, se utilizaron como recurso visual, tres tonalidades diferentes de un mismo color, con el fin de establecer con facilidad la relacin entre la explicacin con palabras y la simbolizacin numrica.37

Como en el caso de la multiplicacin,. es importante detectar el origen del error para evitar mecanizaciones tediosas que no solucionan el problema.

EstadisticaTablas de doble entrada

Las tablas de doble entrada son un recurso valioso para la organizacion de datos y el posterior anlisis de los mismos. El adulto est familiarizado con ellas, ya que los medios de comunicacin las utilizan como ordenadores de la informacin. Las actividades N19, N20 y N21, presentan diferentes tipos de tablas, desde un tablero de un hotel, donde los pisos estn en la vertical y el nmero de habitacin en la horizontal, hasta una tabla de posiciones de equipos de ftbol. La actividad N21, le propone al alumno buscar tablas de doble entrada en diarios y revistas. Se su giere, de ser posible, trabajar con los alumnos los planos de las guas que se venden en quioscos y libreras o en folletos tursticos de las localidades. Con el propsito de facilitar la ubicacin de zonas, barrios o calles, esos planos, hechos en escala, tienen en el borde horizontal, nmeros y en el vertical, letras. Trabajar ubicaciones y recorridos implica no solo continuar con la propuesta iniciada en geometra, sino tambin ejercitar la lectura e interpretacin de las tablas de doble entrada.Promedio

Es importante favorecer en los alumnos, la comprensin de las informaciones que a diario reciben de los medios para interpretar, crticamente, algunos datos cuantitativos. A continuacin se presentan algunas definiciones de conceptos que servirn para interpretar ese tipo de informacin. El propsito no es que usted los trabaje con los alumnos, sino que los utilice para aclarar dudas cuando la situacin lo requiera. Poblacin: conjunto de individuos (de variada naturaleza) sobre el que se efectan observaciones, Por ejemplo, los habitantes de la ciudad de La Rioja forman una poblacion. Muestra: parte de la poblacin sobre la que se trabaja o se observa. Por ejemplo, se toma una muestra de 100 habitantes de La Rioja. Frecuencia: nmero de veces que se repite un suceso en la muestra observada. Podra ser la cantidad de mujeres, en la muestra tomada. Promedio (o media aritmetica): es el cociente entre 1. suma de todos los valores obtenidos y el nmero de observaciones realizadas. Por ejem lo, se podra obtener la edad promedio de la muestra, sumando todas las e dades y dividiendo por el total de las personas de la muestra. Moda: es el valor de mayor frecuencia de la muestra considerada.38

39

EVALUACIINSe presentan tres actividades de evaluacin que usted podr reformular o modificar segn las dificultades y logros de los alumnos durante el desarrollo del mdulo. En caso de cambiar los valores de la actividad N3, tenga presente que la suma debe tener como resultado un nmero entero, ya que en el Mo dulo 2 para alumnos, no se trabaj la divisin con expresiones decimales. l- El restaurante La Moderna ofrece comidas para enviar a domicilio. stas son algunas de las ofertas: MINUTAS

Un grupo de ocho amigos decide hacer el siguiente pedido: 5 milanesas 2 supremas de pollo 3 hamburguesas completas 4 porciones de papas fritas Y deciden dividir el importe por partes iguales entre los ocho, cunto pag . . cada uno?.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . *.,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .,

2.- Este es el plano de la zona de envo del restaurante La Moderna. a) Nombre dos calles que sean perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................,............................................................................ b) Qu clase de ngulo es el que aparece en el plano, limitado por las calles Rivadavia y Belgrano? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................................................................................................

c) Y el que est limitado por las calles Independencia y San Martn? . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Roca e Independencia son paralelas? Por qu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rivadavia

San Martn

3.- stos son los gastos diarios de Juan, durante una semana: Lunes Marres Mircoles J ueves Viernes Sbado Domingo $ $ $ $ 8,75 13,00 9,25 19,00

Cual fe el promedio de gastos esa semana?... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bindstein, Mirta y Hanfling, Mirta: Matemtica 1. Buenos Aires, Aique, 1993, cap. 2, 7, 8. Buenos Aires (Provincia). Direccin de Educacin Primaria: Matemtica para maestros. Buenos Aires, 1991. Catala, Flamarich, Fortuny Aymemmi. Invitacion a la didctica de la geometria. Madrid, Sntesis, 1989. Chemello, Graciela; Carozi de Rojo, Mnica y otros: La matemtica y su didctica.Nuevos y antiguos debates, en Didcticas especiales. Buenos Aires, Aique, 1992. Maza Gmez, Carlos: Enseanza de la multiplicacin y de la divisin. Madrid, Sntesis, 1991.

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Introduccin Contenidos y actividades Nocin de proporcionalidad Las mediciones La longitud Las escalas Geometra Polgonos Clasificacion de los poligonos La superficie de los polgonos Calculo de superficies Operaciones Evaluacin Bibliografa

47 48 49 50 52 52 54 55 56 58

En el Mdulo 3 para alumnos se desarrollan contenidos de los ejes Operaciones, Medida y Geometra. En el eje Operaciones, como ya se procedi con otros temas, se trabaja la nocin de proporcionalidad a partir de situaciones cotidianas. El propsito es que los alumnos reconozcan si existe o no existe relacin de proporcionalidad entre dos magnitudes; y que utilizando las propiedades de la proporcionalidad, frente a una directa, puedan calcular valores no conocidos. Teniendo en cuenta que los adultos hacen este tipo de clculos utilizando el sentido comn, convendra que analizaran que estn utilizando tales propiedades. En el eje Medida se comienza diferenciando las magnitudes escalares de las no escalares. Este concepto no siempre es tratado en forma correcta, generndose confusin entre qu cosas pueden ser medidas y cmo, y cules son las que no se pueden medir. A. partir de la nocin de proporcionalidad y de magnitudes, se desarrolla el concepto de escala, que tambin se trata en los mdulos 2 y 5 de Ciencias Sociales. Es conveniente que los alumnos comprendan no slo el concepto de escala, sino que lo apliquen para calcular o representar distancias. Dentro de las magnitudes escalares, se desarrollarn, principalmente, el concepto de medir y el de dos de las magnitudes ms utilizadas; longitud y superficie. Al iniciar el tema de medidas de longitud se trabajar con unidades no convencionales hasta llegar a la necesidad de utilizar una unidad de medida convencional. Con respecto a la superficie, al igual que en el caso anterior, se comienza con unidades no convencionales hasta llegar a las convencionales establecidas en el SIMELA. En el eje Geometria, a partir de las curvas y los polilteros se arriba al concepto de polgonos, su clasificacin en regulares y no regulares, en el nombre que reci b en segn el nmero de lados y en el reconocimiento de sus elementos. Trabajar con la su perficie de los rectngulos, se considera propsito central ya que a partir de su formula y del concepto de la superficie se obtienen las frmulas de la mayora de las restantes figuras planas, Las actividades de clculo de superficie, son ejemplos de cmo en una misma actividad, se relacionan todos los ejes, ya que tambin se debe operar y medir. En el Mdulo 3 los objetivos tienden a que el alumno: * Afiance la comprensin y la correcta utilizacin de los al algoritmos de la multiplicacin y la divisin, especialmente con la unidad seguida de ceros.47

* *

Conceptualice la nocin de proporcionalidad. Comprenada en conceptos de medida: permetro, superficie y volumen.

* Aplique adecuadamente las unidades convencionales de longitud y superficie * Reconozca los elementos de los poligonos. * Utilice correctamente las frmulas para calcular superficies y volumenes.

* Emplee el concepto de escala para calcular longitude o para hacer representaciones.

CONTENIDOS Y ACTIVIDADESEl siguiente esquema sintetiza los contenidos del Mdulo 3 para alumnos.

Nocion de proporcionalidadSi bien el desarrollo de la proporcionalidad directa e inversa son contenidos del prximo mdulo, en el Mdulo 3 para alumnos se presenta la nocin de proporcionalidad en situaciones cotidianas. En general los adultos, no tienen formalizado este concepto pero lo a plicancuando preparan recetas de cocina, mezclas de combustible o de albailera, y realizan interpretacin de planos, mapas u hojas de ruta, etc. En el mdulo para alumnos, se han utilizado algunos de estos casos. Es apropiado en las instancias presenciales proponer otras situaciones cotidianas para reconocer si existe o no existe proporcionalidad directa. Respecto a la proporcionalidad, para que reconozcan cmo se relacionan dos magnitudes en forma directamente proporcional, usted puede trabajar con los alumnos a partir del error. Es comn que los adultos utilicen criterios para el reconocimiento de magnitudes directamente proporcionales que son incorrectos, por ejemplo, suele pensarse que: Si al aumentar una, tambin aumenta la otra, entonces son directamente proporcionales. Esto no slo confunde, sino que origina errores en la resolucin de problemas ya que utilizan las propiedades de proporcionalidad en situaciones en que no corresponden porque no existe tal relacin. Usted podr dar algunos ejemplos como las boletas de, servicios (electricidad, gas, telfono, etc.), ara demostrar que esta condicin es insuficiente. Es fcil comprobar que al doble de consumo no le corresponde el doble de importe. Otro de los errores relacionados con proporcionalidad, es considerar la razn como sinnimo de fraccin. Cuando se utiliza una razn, lo que se est haciendo es indicar la relacin que existe entre dos cantidades. Por ejemplo si decimos que de cada 3 personas 3 tas hay 5 bajas y escribimos la razn 3, esta escritu5 ra establece que la relacin entre bajos y altos, indica, entre otras cosas: Que hay ms bajos que altos. Que la cantidad de personas bajas es casi el doble que la cantidad de personas altas. Que en un grupo de 800 personas posiblemente 300 sern altas y 500 bajas, etc. En las relaciones, decir 3 de cada 5 es igual a decir 6 de cada 10 o 30 de cada 50, ya que la relacin es la misma.

Si se tiene en cuenta que se opera del mismo modo con las razones y con las fracciones, no es necesario establecer esas diferencias ante los alumnos, pero tampoco deben tratarse del mismo modo. En este sentido, es conveniente que se remarque la lectura correcta de una razn. Por ejemplo, si resulta 5 debe leer6 se cinco de cada seis y no "cinco sextos. La lectura correcta permite marcar la relacin entre esas cantidades y no un numero, como resulta de leer cinco sextos.49

En las razones, al igual que en las fracciones, se escribe la lnea de separacin en forma horizontal y no oblicua. Slo despus de utilizar correctamente la escritura, la lectura y el concepto de razn, los alumnos estn en condiciones de continuar con proporciones. Para comprender qu representan, las proporciones tambin requieren ser ledas correctamente.

En las roporciones al igual que en las razones, la lectura correcta permite observar la relacin que existe entre las cantidades, de tal manera que, en caso de conocer tres de las cuatro cantidades, al calcular la cuarta su resultado se interprete como un resultado lgico y no simplemente como el resultado de una cuenta. En el Mdulo 4 para alumnos se tratar nuevamente el tema de la proporcionalidad. En el Mdulo 3 se trabaja la proporcionalidad directa porque resulta ms sencillo para los alumnos. Si se observaran dificultades con este concepto en algunos adultos, convendra continuar con ms ejemplos tratando de que stos estn de acuerdo con las actividades cotidianas de los alumnos, como las que se enuncian a continuacin. a) Si para preparar 4 porciones de gelatina se requieren 2 tazas de agua, Cuntas tazas se necesitarn para 8 porciones? b) Si se gastan 3 panes de jabn en 2 meses, para cuantos meses alcanzarn 9 panes? (Gastando en forma regular el jabn,) c) Si en 3 hectreas se obtuvieron 15 toneladas de grano, Cuantas toneladas se obtendrn en 6 hectreas? (Se entiende que el rendimiento por hectrea se considera aqu de manera constante.) d) d) Cuantos kilos de fruta se espera cosechar, si de los 4 primeros frutales se cosecharon 80 kilos y en total existen 400 frutales? (Se supone que los frutales tienen el mismo rendimiento.) Las aclaraciones entre parentesis, indican lo que permanece constante en cada uno de los problemas enunciados. Cuando existe una relacin directamente proporcional, es conveniente indicar o buscar la constante de proporcionalidad. Si no se lo explicita, nada garantiza que lo sea. Por ejemplo, en el problema b) es ms lgico pensar que no gasta siempre la misma cantidad de jabn. Al sealar que se gas-

ta en forma constante queda claro que se supone una re gularidad en el problema que se plantea. Esto permitir decir que existe proporcionali dad directa. Por intuicin o por sentido comun hallarn y justificarn las respuestas, lo que no quita que se llegue tambin al resultado siguiendo el procedimiento matemtico correspondiente, ya que no siempre el resultado ser fcilmente calculable sin utilizar la proporcin escrita. En cuanto al procedimiento matemtico correspondiente, este se plantear en el Mdulo 4. El clculo aproximado del resultado, en forma mental o por intuicin, debe ser estimulado; pero es el procedimiento escrito el que permitir calcular correctamente en situaciones ms complejas. Otra de las. formas de trabajar con proporciones es a travs de tablas, stas tienen algunas ventajas, por ejemplo permiten interpretar los datos de un problema en forma ms ordenada, reconocer ms fcilmente la constante o calcular varias incgnitas a partir de un slo enunciado. Trabajar con el concepto de proporcionalidad es necesario para abordar un caso particular de las proporciones que es la escala.

Las mediciones :En el mundo fisico y sensible, la cantidad se manifiesta de dos modos distintos, para diferenciarlas, se puede partir de las siguientes preguntas:l

Cuantas hojas tiene este mdulo! * Cunta agua hay en el vaso!

Para responder a la primera pregunta es suficiente contar y responder con un nmero, pero no se puede contestar a la segunda del mismo modo. Se puede contar la cantidad de agu?; En el primer caso la respuesta es. una cantidad discreta o discontinua, y para cuantificarla basta contar una por una las unidades que la integran. En el segundo caso, la respuesta es una cantidad continua y para cuantificarla es necesario utilizar una unidad de la misma especie y determinar cuntas veces cabe esta unidad en el objeto que se quiere cuantificar. Las primeras cantidades se cuentan, porque se trata de cantidades discontinuas; las segundas se miden, porque son cantidades continuas. Es necesario tener presente este tipo de clasificacin porque es comn que se trabaje con ambas cl ases en forma simultnea. La primera actividad que se propone a los alumnos, es reconocer qu cosas pueden ser o no ser me didas con precisin, sin diferenciar entre las cantidades continuas y discontinuas.51

Para medir una cantidad es necesario establecer una unidad que puede o no puede ser elegida arbitrariamente. Si se quiere medir una longitud, es log i c o que se piense en unidades tales g como el metro o el kilmetro en lugar de pasos, una ramita o cualquier otro objeto, por ser las primeras de uso frecuente y generalizado. Pero, para construir estas unidades convencionales, la humanidad tuvo que recorrer un largo camino. En la antigedad, slo se utilizaron unidades no convencionales (objetos, partes del cuerpo humano, etc,) Transcurrieron muchos siglos hasta que se obtuvieron sistemas de unidades convencionales, universalmente aceptad as. Por eso para estudiar las medidas de longitud, como tambien las de superficie, el camino lgico es a travs de las unidades arbitrarias en una primera instancia, para llegar despus a las convencionales establecidas en el SIMELA. El uso de unidades no convencionales en una primera instancia, facilita que los alumnos comprendan el concepto de medida. Comenzar con unidades como el metro, que en muchos casos es frecuente, no permite ver por que exsten unidades convencionales. El alumno tendr que comprender la necesidad de utilizar unidades que resulten comunes a todos. Por ejemplo, su gerir que mida el ancho del aula o la altura de la puerta, utilizando el largo del b orrador o una tiza como unidad de medida de longitud; o bien que el mismo objeto sea medido con diferentes unidades, y que compare y analice los resultados. En los sistemas como el SIMELA, la existencia de multiplos y submltiplos, tiene por finalidad disponer de unidades ms grandes o ms chicas que la unidad base, ya que sta en muchas ocasiones resulta inapropiada. Por ejemplo, para medir la distancia que existe entre su ciudad y la ciudad de Roma, o para medir el largo de una hormiga, el metro es una unidad apropiada? Una vez comenzado el trabajo con unidades convencionales, es importante que se observe si los alumnos tienen la nocin del tamao de cada unidad; si usted detectara dificultades, podra proponer actividades como las N4, N5 y N6 del mdulo para alumnos, para que el adulto pueda expresar la equivalencia entre una unidad y sus mltiplos y submltiplo s . De nada sirve correr la Coma para uno u otro lado, si no se entiende la equivalencia entre las distintas unidades. Las escalas Posiblemente, los alumnos hayan interpretado un plano, un mapa, un molde de costura o el es quema de algn electrodomestico, en estos casos han operado con el concepto de escala, pero quiz no tienen formalizado dicho concepto. Estas experiencias de vida, resultan tiles para desarrollar el contenido de las escalas. Por esta razn se utilizaron en el abordaje del tema, mapas, planos, etc.52

Posiblemente, algn alumno podr preguntar por alguna de las no utilizadas en el mdulo, en todos los casos, lo importante es remarcar que solo son maneras diferentes de .expresar lo mismo. El concepto de escala, como ya se expres; se trabaja tambin en los mdulos 1, 2 y 5 de Ciencias Sociales. Fundamentalmente, lo que debe quedar claro es que la escala es la relacin (razn) entre la medida con que se representa una distancia y la medida real de esa distancia. Por lo tanto: 1 100.000 1 : 50.000 indica que por cada cm representado la distancia real es de 100.000 cm. Indica que cada cm representa 50.000 cm.

En los ejemplos anteriores, no se indican unidades, sino que se podr medir en cm, mm u otra unidad para obtener la correspondencia en la misma unidad.

Esta representacin es frecuente en mapas. Muchas veces el segmento est dividido, en segmentos menores para establecer distancias reales ms pequeas. El uso e interpretacin correcta de la escala, permite comprender la relacin entre magnitudes muy grandes o muy pequeas. Por ejemplo las dimensiones que tiene el sistema solar y los cuerpos que lo integran, que se estudian en el Mdulo 3 de Ciencias y Tecnologa, son imposibles de comprender si no es a travs de una proporcin o un grfico en escala. La ejercitacin adicional se plantear de acuerdo con el tipo de dificultad que presenten los alumnos. Si el problema radica en que no puede o perar con el concepto, ser necesario proponer actividades como la N30 del Mdulo 3 para alumnos y trabajar con planos, mapas o esquemas, para calcular longitudes utilizando la escala que se indique en cada caso. Una actividad para proponer a los alumnos, podria ser dar la medida real de un objeto, y tomando la de su representacin, hallar la escala utilizada. Una actividad que integre todo lo anterior, sera representar algn objeto con una escala previamente establecida por los alumnos, por ejemplo la representacin del aula, del patio, de un armario, etc.53

GeometraEl edificio geometrico fue construido por los seres humanos a lo largo de muchos siglos. Sobre l se han escrito importantes tratados que generaron discusiones entre matemticos ilustres; transcurrieron siglos h asta llegar a algunos acuerdos. La enseanza de la geometria tambin pas por perodos criticos. Durante mucho tiempo se ense matemtica y especialmente geometria, con un ordenamiento, una sistematizacin y un rigor cientifico que poco tena que ver con las posibilidades y los intereses personales de los alumnos para aprender matemtica. El tratamiento de la geometria en el Mdulo 3 para alumnos, va desde la geometra fsica (de las representaciones grficas y materializadas), a la geometria abstracta (conceptualizaciones matemticas). No hay dudas, desde el punto de vista didctico, de que la geometra del mundo fsico es un modelo excelente para el desarrollo de la geometra matemtica. Se comenz el estudio de la geometra (en el Mdulo 2) resentando actividades que intentaron poner en contacto a los alumnos con algunos conceptos geomtricos. A partir del-Mdulo 3 para alumnos se incorpora el lenguaje de las representaciones geometricas.

La idea de poligonal surge al considerar segmentos consecutivos no alineados. Si los segmentos o lados de la poligonal no se cruzan, la poligonal recibe el nombre de simple. De lo contrario se llama poligonal cruzada. En ambos casos puede ser abierta o cerrada. Simples

abierta

Cruzadas

Dentro de las cuatro posibilidades que se presentan en las poligonales, las cerradas y simples son las que, matemticamente, renen las propiedades ms interesantes. Los alumnos deben notar que los puntos del plano quedan divididos en tres clases; los de la poligonal, los interiores a la poligonal y los exteriores a ella. Esta clasificacin de los puntos, permite construir el concepto de polgono. La unin entre la poligonal cerrada y simple con su regin interior determina un polgono: es importante que se establezca con claridad que al polgono pertenecen tanto los puntos del borde o frontera (poligonal), como tambin los interiores. Respecto de la actividad N 31 (pg. 225) es conveniente que sea el alumno quien compare las dos figuras y establezca las diferencias. Una de las principales, es que la poligonal es una lnea en cambio el polgono no. Por eso en la poligonal slo existe una dimensin, la longitud. En un polgono son dos las dimensiones y, por lo tanto, tienen como propiedad especfica la superficie. Esto es tratado para facilitar al alumno la conceptualizacin de permetro y de superficie.

Generalmente, la primera clasificacion que se establece entre los polgonos es: convexos y no convexos (o cncavos). Esta clasificacin no fue desarrollada en el Mdulo 3 para alumnos, pero si en el grupo surgiera la necesidad de hacerlo, se sugiere la siguiente actividad: presentar dos- poligonos, uno convexo y otro cncavo! como los siguientes.

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Solicitar que indiquen las diferencias que observan entre uno y otro. Muchas sern las diferencias que encuentren, y sin lugar a dudas una de ellas ser la propiedad de convexidad de uno de los polgonos. La forma cmo expresen esta condicin podr variar de un alumno a otro, pero el concepto ser el mismo. Una figura es cncava (o no convexa) cuando con un par de puntos pertenecientes a ella puede determinarse un segmento que no est incluido en dicha figura. Es necesario hacer notar que con encontrar al menos un par de untos que cumplan con este requisito, es suficiente para que la figura se clasifique en cncava. Por lo tanto, para ser convexa no debe existir ningn par de puntos que determine un segmento que no est incluido en la figura.

a y b determinan un segmento no incluido en el poligono. Es cncavo.

La clasificacin en cncavo y convexo, no solo se aplica a los polgonos. Por lo tanto es necesario verificar que el concepto sea general y no particular para los polgonos. Por ejemplo con ngulos, con las lentes, etc. Los polgonos, puden ser regulares o irregulares. Con respecto a esta clasificacin, es comn que se interprete que para que un polgono sea regular sus lados deben ser iguales. Si bien es cierto que esta condicin es necesaria, no es suficiente. Un polgono es regular si y, slo s, si todos sus lados y todos sus ngulos son iguales. La clasificacin ms utilizada, es la que divide a los polgonos segn el nmero de lados. Algunos de estos figuran permanentemente en nuestro lenguaje, como el tringulo, el cuadriltero, etc. En general, esta ultima clasificacin no presenta dificultades. Es conveniente remarcar que los tringulos y los cuadri: l teros son polgonos, por lo tanto tienen sus mismas propiedades.

En ningn momento se ha hecho la diferenciacin entre superficie y rea, porque se considera innecesaria y slo contribuira a confundir a los alumnos, ya que la gran mayora de los adultos utiliza el termino superficie como sinonimo de rea y no es necesario establecer su diferenciacin.

Algo semejante ocurre con los trminos congruente e igual, los adultos en general desconocen la palabra congruente, pero utilizan permanentemente la palabra igual, en algunos casos como sinnimo de congruente. De nada servira insistir en la diferencia. Al igual que en la longitud, para llegar al clculo de superficie y al uso de unidades convencionales, se crey necesario incorporar el concepto de superficie y el uso de unidades no convencionales. Por eso en la actividad N40, se ha intentado diferenciar el perimetro de la superficie. A diferencia de las lneas cuya pro piedad es la longitud, la propiedad caracterstica de los polgonos es la superficie. Para medir una longitud se necesita otra longitud, es decir una magnitud de la misma especie, y, para medir una superficie, es necesario utilizar otra superficie como unidad. Se pueden utilizar entonces, baldosas (si se trata de un piso), manzanas (en el caso de un sector de una ciudad), cermicas o azulejos (en el caso de una pared), etc. Adems, el alumno podr proponer otras unidades posibles para medir superficies y medir la misma superficie con distintas unidades (actividades N42 y N43). Si bien se puede tomar cualquier superficie como unidad, es conveniente que las ltimas que se utilicen durante las actividades que se propongan sean cuadrados, ya que el metro cuadrado es una superficie cuadrada. Tambin en este caso el alumno debe ver la necesidad de utilizar unidades convencionales incluidas en el SIMELA, En el tratamiento de los mltiplos y submltiplos hay dos aspectos centrales a tener en cuenta: la relacin entre las unidades y la formacin de la idea del tamao de las unidades de superficie ms usuales. Estos dos aspectos se pueden trabajar simultneamente como en las actividades N44, N45 y N46. Ante dificultades, se puede llevar un metro y con tiza o al gn objeto que permita marcar, dibujar con los alumnos las unidades apropiad;as. Por ejemplo: medir la superficie del pizarrn, del patio o de. una pared. Dibujar entonces cuadrados de 1 m por 1 m, o de 1 dm por l dm de 1 cm 2 2 2 por l cm y luego contar los m , dm o cm . De esta actividad, que puede repetirse con distintos objetos y diferentes unidades, surgen varias situaciones adicionales: a) elegir la unidad apropiada; b) la unidad elegida no est contenida un nmero exacto de veces; c) la equivalencia (si se eligen dos unidades distintas para medir la misma superficie). En el caso a), se verifica si tienen nocin del tamao de las unidades para elegir la apropiada. De no ser as, al intentar resolver la actividad, se darn cuenta de que es muy pequea o muy grande la unidad elegida. La situacin b) se dar en casos como el siguiente.

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Sobre el patio se han dibujado cuadrados de 1 m cada uno, en total hay 12, pero queda superficie del patio sin medir. Cmo se determina la medida de la superficie restante?2

Aqu los alumnos pueden proponer: 1) Estimar lo que qued (ms o menos 2 2 2 4m dando un total de 16m ). 2) Completar el resto de la medicin con dm (en este caso se dibuja en lo que queda del patio, cuadrados de 1 dm por 1 dm). Finalmente, se podrn comparar las dos respuestas. En c), se presenta una buena ocasin para mostrar equivalencias. Si por 2 ejemplo, la superficie de un pupitre es de 18 dm , al medirla con cuadradtos de 2 1 cm por 1 cm, se obtendrn 1.800cm . Para medir superficies tambin se utilizan las unidades agrarias, fundamentalmente, la hectarea. Generalmente los hombres y mujeres que trabajan o han trabajado en el campo, tienen presente esta unidad de medida. Con ellos solo ser necesario trabajar la equiva lencia con el hectmetro cuadrado (1 hectrea). Con los alumnos que no ten gan una nocion clara del tamao de una hectrea, 2 se la deber relacionar con el h m , establecer la manzana de al unas ciudades como una superficie similar (se debe tener presente la irregulari d:ad de las manzanas) . Calculo de superficies En el Mdulo 3 se trabajar solo el clculo (con frmula) de la superficie de rectngulos. En muchas ocasiones, es pecialmente en geometra, se presentan las formulas para calcular una superficie un volumen o al una medida de la figura geomtrica como una imposicin del maestro o el libro y que el alumno, sin comprenderla, debe aceptar. En tales casos, los alumnos tienen la sensacin de que son el mandato de algn matemtico que vivi hace mucho tiempo y que d eben ser utilizadas mecnicamente. Las actividades N47, N48 y, especialmente, la N49, permiten que el alumno descubra la frmula para calcular la superficie de los rectngulos. En el rectngulo de la actividad N49, la superficie la obtuvo multiplicando 10 cm por 6 cm, que son las medidas de ese rectngulo, pero el procedimiento se puede generalizar, ya que en todos los casos, el producto de la base por la altura permite hallar la superficie de un rectngulo. Si el alumno, es quien generaliza, podr:

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La obtencin, comprensin y utilizacin de las frmulas por parte de los alumnos, permite ir de lo concreto y particular a lo general, representativo y abstracto. La frmula para calcular superficies de rectngulos es fundamental, ya que las frmulas para el resto de las guras (directa o indirectamente), estn relacionadas con sta. De ser necesario, se pueden proponer actividades similares a la N49. Si los alumnos comp renden el concepto de superficie y el de multiplicacin, no tendrn dificul tades para aplicar o reconstruir la frmula para calcular la superficie del rectngulo; de lo contrario, hay que verificar en cual de estos dos conceptos est la dificultad, para poder superarla. Otras actividades podran ser las que los alumnos -piensen en situaciones cotidianas en donde necesiten calcular las superficies. Por ejemplo, calcular la superficie de un vidrio que debe ser reemplazado, la de una huerta que debe ser abonada o sembrada, la de una pared que se quiere empapelar, etc. Luego de haber hecho calculos simples, se pueden proponer actividades como la N51, donde intervienen muchos de los temas desarrollados en el mdulo para alumnos. Ejercicios semejantes, pueden realizarse, no slo a travs del grf ico de las paredes, sino tomando una habitacin para graficar sus paredes, medirlas y luego resolver la actividad. El aula siempre ofrece posibilidades mu buenas para generar actividades. En este sentido, es bueno llevar o pedir que los alumnos lleven instrumentos para medir. En este tipo de actividades, la vivencia que se genera por tener que obtener los datos para resolver el problema, generalmente, hace que stos sean ordenados y utilizados correctamente.

OperacionesLos algoritmos se olvidan fcilmente cuando no son comprendidos. La comprensin del algoritmo tanto de la multiplicacin como de la divisin, est b asada, principalmente, en un manejo apropiado del sistema de numeracin decimal. Los alumnos, en muchas ocasiones operan mal al querer aplicar un mecanismo que no comprenden o no lo recuerdan por haber sido incorporado solo en forma mecnica. Si en un grupo hay alumnos que cometen errores al multiplicar o dividir, en especial con dos cifras, no es conveniente insistir con ms cuentas, como mximo se lograr que temporariamente obtengan algunos resultados correctos. En estos casos, es necesario observar las cuentas realizadas por ellos. Se notar que, en general, los errores se relacionan con el sistema de numeracin decimal, ya sea porque encolumnan mal o porque transforman unidades de uno a otro orden en forma incorrecta.

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Para superar estos errores, es necesario que usted plantee actividades que se refieran al sistema de numeracin decimal y luego rehacer junto con los alumnos las operaciones resueltas incorrectamente, indicando por qu se opera de esa manera, para que puedan reconocer la causa de sus errores. En la historieta que introduce al tema multiplicacion y en la actividad N12, se sugiere que en lugar de multiplicar por 12, se multipli que por 2 y por 10 y que se sumen los resultados, ya que en esto consiste el algoritmo de la multiplicacin por dos cifras. Hasta que el algoritmo no est comprendido, es conveniente que se utilicen las columnas de C, D y U. Los alumnos solos sabrn cundo no usarlas ms. El mismo tipo de dificultades, presenta la multiplicacin de una expresin decimal por un nmero natural. Por lo tanto, es necesario insistir en las multi plicaciones entre nmeros naturales antes de pasar a agregar una mayor dificultad al utilizar la coma decimal. En las primeras multiplicaciones, es conveniente mencionar que se est multiplicando y que se ob tiene, por ejemplo, en la actividad N15: 2 por 4 centsimos, es igual a 8 centsimos y ubicarlo en la columna que corresponda. Las primeras actividades de multiplicacin (actividades N12 y N15) y de divisin (actividades N23 y N24) por dos cifras, es conveniente explicarlas oralmente para facilitar su comprensin, ya que la secuencia indicada para resolver las operaciones y sus justificaciones, pueden no ser comprendidas por todos los alumnos. No se puede agregar ms texto a los ejercicios para que no resulten demasiado extensos. La multiplicacin y la divisin por la unidad seguida de ceros, permite hacer clculos aproximados del resultado de una cuenta sin necesidad de hacerla con calculadora o escribindola. Hay que estimular a los alumnos para que antes de realizar una operacin, estimen un posible resultado. De esta manera, si al hacer una cuenta por escrito el clculo se realiza mal, notarn que el resultado no es correcto y revisarn la cuenta, Por ejemplo, si se tiene que multiplicar 154 por 13, se puede pensar que si se multiplica 154 por 10 y se obtiene 1540, entonces por 13 ser al o ms, tendr que dar aproximadamente 2000; si al hacer la cuenta da mucho ms o mucho menos, es evidente que hay un error. Es posible que muchos adultos utilicen estrategias semejantes, en estos casos conviene que las compartan con el resto del grupo. Esto los estimular y permitir a los otros ir construyendo sus propios procedimientos. Las actividades N17, N20 y N22, permiten que los alumnos descubran la propiedad referida a la multiplicacin y la divisin por la unidad seguida de ceros. Las tablas de equivalencias que se presentan, muestran que siempre ocurre lo mismo, descartando lo que en una sola cuenta podra parecer casualidad. El algoritmo de la division por dos cifras no es distinto al de una cifra, pero tiene sus particularidades. Por ejemplo60

Se puede dividir 7 centenas por 21 ? Como la respuesta es no, generalmente se dice: entonces se toma la cifra que sigue, esto no tiene la justificacin correspondiente y comienza a convertirse en un mecanismo incomprensible. Lo correcto es utilizar el sistema de numeracin y pensar, Como no se puede dividir 7 centenas en 21 partes iguales se transforman las 7 centenas en decenas, o sea 70, ms 4 que ya se tenan da 74 decenas. Se puede dividir 74 decenas por 21? La respuesta ahora es s. El problema es cunto se obtiene. En la actividad del mdulo para alumnos, para poder hallar cada una de las cifras del cociente, se agregaron todos los productos del dividendo por una cifra. Esta es una de las tcnicas posibles. Otra forma de hallar la primera cifra del cociente, es por tanteo. Este es el procedimiento ms utilizado, pero no es el mejor para iniciar el tema, porque implica muchos clculos innecesarios que pueden evitarse si el alumno sabe las tablas, o utiliza la tabla pitagrica sabiendo de lo que busca.

ll decenas se transforman en 110 unidades, ms las 8 que ya haba, da 118, por eso. ,se escribe el 8 junto al ll. Generalmente se dice se baja el 8 . Por qu?, para qu?. Si no se cambia o justifica este tipo de expresin, se cae en el mecanismo incomprensible. A partir de este paso, el ciclo se repite, se busca el cociente entre 118 y 21 y se sigue...

Si el propsito es obtener un cociente decimal, slo se necesita mostrar que el 5 obtenido en el cociente corresponde a las unidades, por lo tanto, para continuar, es necesario transformar 13 unidades en 130 dcimos (generalmente se dice se agrega un cero al resto), obteniendo en el cociente, como prxima cifra 6 dcimos, por eso se coloca la coma decimal en el resultado. Sintetizando, para los adultos que ya saben este tipo de procedimientos habr que justificarlos, mejorarlos y controlarlos. Para los que lo estn aprendiendo, es necesario que justifiquen permanentemente. Esto ayudar a que comprendan y no olviden los algoritmos. Recuerde que la calculadora podr ser utilizada para verificar los resultados.61

EVALUAClONLa siguiente es una actividad de integracion propuesta para la evaluacin. Es conveniente tener en cuenta que un error de medicin o de calculo, puede motivar que las respuestas que dependan de ste no sean correctas, pero esto no implica necesariamente que el alumno haya procedido mal. Campo La luz gena

En el grfico se ha hecho el esquema de un campo, el recuadro mayor corresponde a los lmites del campo; el interior al sector destinado a la vivienda. 1) Mida y escriba cuntos cm tiene el ancho (base) del rectngulo, 2) Si la medida real del ancho del campo es de 900m, cul es la escala utilizada para la representacin?. . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . , . . . . . , . . . , , , . . . , . , . . , , , , . , . . . , , , . , . .

3) Cul es el permetro del campo? 4) Si por cada 25m de alambre perimetral se quiere colocar un cartel, cuntos carteles podrn ubicarse?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * . . . , . . . . . . . . . . . . .

5) Calcule la superficie total del campo 6) Cual es la superficie del sector destinado a vivienda? 7) Si el resto del campo es utilizado para criar animales. Cual es la superficie destinada a esta finalidad?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . , . . . . . . . I ,

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8) Exprese esta superficie en hm2, o sea, son . . . . . . . . . . . . . hectreas Si por ejemplo en el punto 1) el alumno mide mal y en lugar de medir 9cm lee 10cm, la escala ya no ser la dada, pero si usando lo que l midi (l0cm), calcula como escala 10 cm : 900 m o l cm 90 m 0 como lo exprese, el punto 2) es correcto. Este tipo de situaciones, pueden darse en cualquier punto de la evaluacin, y el criterio a adoptar debe ser el mismo.

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BlBLlOCRAFIA

Sobre aspectos didacticosBandet, J. y otros: Hacia el aprendizaje de las matematicas. Buenos Aires, Kapelusz, 1965. Castelnuovo, Emma: Didctica de la matemtica moderna. Mexico, Trillas, 1972. Mrquez, Cristina del Carmen: Ensear a pensar. Buenos Aires, Kapelusz, 1987, Cuaderno pedaggico N57. Polya, G.: Cmo plantear y resolver problemas. Mxico, Trillas, 1978.

Sobre contenidosAmadori, Liliana: Matemtica 2. Buenos Aires, Aique, 1994, Capitulo 4. Las mediciones: Rey, Mara Esther y otros: Aprendizaje y matemtica. La medida. Buenos Aires, Plus Ultra, 1982. Trama, Eduardo y otros: Matemtica 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 6. Tapia, Nelly: Matemtica ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 6. Poligonos: Trama, Eduardo y otros: Matemtica 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 4. Tapia, NeIly: Matemtica ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 5. La superficie, clculo: Trama, Eduardo y otros: Matemtica 2. Buenos Aires, Santillana, 1994, cap. 8. Tapia, Nelly: Matemtica ll. Buenos Aires, Estrada, 1978, cap. 11. Operaciones, potenciacion: Amadori, Li l iana: Matemtica 2. Buenos Aires, Aique, 1994, cap.s 5 y 11.

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Introduccin Contenidos y actividades Operaciones Proporcionalidad Las posibles dificultades de los alumnos Porcentaje Multiplicacion y division de expresiones decimales Medidas de capacidad y peso Geometra Medicin de angulos Evaluacin Anexo 1: Problemas Proporcionalidad Porcentaje 70 71 71 76 78 80 81 81 82 84 84. 86

INTRODUCCINLa organizacin de este mdulo destaca el concepto de proporcionalidad; se lo considera un tema fundamental por su utilidad en la vida cotidiana y en la a plicacin en otras disciplinas como, por ejemplo, la fsica. Adems, de l derivan otros temas como los de escala, porcentaje y descuento. La enseanza de la matemtica est estrechamente ligada a la resolucin de problemas. Por tal motivo, el objetivo central de este mdulo es presentar algunas herramientas que lo orienten a usted en: * la seleccin de problemas de proporcionalidad para plantear a los alumnos; * la eleccin de procedimientos de resolucin de problemas de regla de tres y de formas de representacin de planteos y soluciones; * la eleccin de estrategias para superar posibles errores conceptuales y/o de aplicacin de procedimientos por parte de los alumnos, Un tema no se agota con la resolucin de un solo tipo de problemas. Es conveniente enfrentar al alumno con situaciones que contemplen diferentes aspectos en relacin con un contenido particular, de tal forma que nuevos problemas den lugar a nuevas reflexiones y reformulaciones. Por tal motivo, se incorpor al final de este mdulo el Anexo 1 con propuestas de problemas, para ser utilizado cuando usted lo crea oportuno. En el eje Operaciones, es prioritario el concepto de proporcionalidad, cuyo tratamiento se inici en el Mdulo 3. Dicho concepto, se fue estructurando a partir de la formulacin de una secuencia de problemas con nivel creciente de complejidad. El propsito es que el alumno analice y confronte los posibles procedimientos de resolucin de situaciones de proporcionalidad y utilice el 1 que le resulte ms conveniente * Derivado del concepto de proporcionalidad, se plantea el concepto de porcentaje, que est presente en el quehacer cotidiano del adulto, en situaciones como: calcular el precio de un producto al que se le practica un descuento determinado (10%, 20%, etc.), comprender los descuentos que se le practican en su recibo de sueldo, interpretar noticias periodsticas de actua1p idad (resultado de elecciones, aumento en los servicios, etc.). Su tratamiento permite integrar el eje Estadistica a partir del anlisis e interpretacion de diagramas de barras, de torta y tablas de doble entrada. e Otro contenido del eje Operaciones es la multiplicacin y divisin de expresiones decimales. Se trabajan las operaciones mencionadas en situaciones problemticas, proponiendo, en primer lugar, la estimacin del resultado y, en segundo lugar, la resolucin exacta, aplicando el algoritmo que corresponda; finalmente, la verificacin del resultado con la calcu l adora.1. En la segunda impresin del Mdulo 4 para alumnos se suprimi la resolucin de problemas de proporcionalidad por funcin, debido a las dificultades que la misma presentaba (segn encuestas para docentes y alumnos de varias jurisdicciones), Relacionado con la resolucin por funcin slo se aclara el significado del termino en el lenguaje matemtico y se plantea la representacion grfica de la funcin. Por tal motivo se mantienen las situaciones que se resuelven slo con la observacin de dicha representacin. 69

En el eje Medida, se presentan las medidas de capacidad peso en situaciones de la vida diaria. Esto permite hacer referencia a las unidades convecionales establecidas por el SIMELA, y plantear la resolucin de problemas que integran los contenidos del Mdulo 4: proporcionalidad, porcentaje y operaciones con ! expresiones decimales. Respecto de la medicin de ngulos, se comienza comparando las aberturas de los mismos, con un ngulo patrn (unidad no convencional), para llegar a la unidad convencional. No se realizan o eraciones con estas unidades, ya que el propsito es que el alumno conozca el sistema utilizado para medir ngulos, el instrumento que se utiliza (el transportador) y la forma en que se mide, integrando de esta f orma los ejes Medida y Geometria. Los objetivos del Mdulo 4 para alumnos tienden a que el adulto:

Se trabajan contenidos de los cuatro ejes: Operaciones, Medidas, Geometria y Estadistica.

de ngulos

Situaciones problemticas

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OperacionesProporcionalidad

El trmino proporcin y sus derivados (proporcionado, proporcional, desproporcin, proporcionalidad, etc.), son utilizados en el lenguaje cotidiano con diferentes significados. En general, no coinciden con el concepto matemtico. Por esa razn, el Mdulo 4 para alumnos, se inicia con tres vietas que corresponden a tres situaciones en las que se emplean diferentes acepciones de algn derivado de la palabra proporcin. En las vietas 1 y 2, se utilizan los trminos desproporcionada proporcionada con un sentido esttico, que tiene que ver con la armonia de formas. En la vieta 3, la palabra desproporcin remite a un desequilibrio entre lo que se ofrece en venta (artculo) y el precio que se le asigna. Las tres situaciones siguientes, si bien plantean situaciones en las que la palabra proporcin y sus derivados tienen sentido matemtico, slo en las situaciones 2 y 3 los trminos se corresponden, estrictamente, con el concepto de proporcionalidad matemtica. Es probable que los alumnos descubran esto, una vez que hayan resuelto toda la secuencia de actividades que se les propone, referida al concepto de proporcionalidad directa e inversa. Es importante tener en cue