Masalah Harga Batas

Metode NumerikProdi Teknik Sipil

Contoh Masalah Harga BatasKonduksi dan konveksi panas pada sebatang balok, suhu ditahan konstan pada kedua ujungnya

T adalah suhu pada balok dan Ta suhu ambien (lingkungan).

Metode Equilibrium

• Diskritasi daerah solusi kontinu ke dalam grid beda hingga diskrit

• Pendekatan turunan eksak dalam PDB harga batas dengan aproksimasi beda hingga (ABH)

• Substitusi ABH ke dalam PDB untuk mendapatkan Persamaan Beda Hingga (PBH)

• Menyelesaikan sistem PBH

Metode Equilibrium (lanjutan)

Masalah harga batas PDB orde dua

Kita pilih n sebagai titik basis dan kita aproksimasi beda hingga (ABH) pada titik tersebut. Grid beda hingganya adalah sebagai berikut :

ABH beda-tengah orde dua untuk

dan kita substitusikan ke persamaan masalah harga batas PDB orde duasehingga terbentuk

dan masing-masing adalah

dan

Metode Equilibrium (lanjutan)

Kita kalikan semua suku dengan x2, kita kumpulkan suku-suku, dan kita potong suku-suku sisanya akan menghasilkan :

Penerapan persamaan tersebut pada tiap titik dalam grid beda hingga diskrit akan menghasilkan sistem tridiagonal dari PBH, yang bisa diselesaikan dengan algorithma thomas.

ContohPersamaan transfer panas yang merupakan masalah harga batas PDB orde dua

Kita dekati T” dengan ABH beda tengah orde dua, akan dihasilkan

Kita kalikan semua suku dengan x2, kita kumpulkan suku-suku, dan kita potong suku-suku sisanya akan menghasilkan :

didapatkandanMisalkan

Penerapan pers. tsb pada titik-titik grid dalam, x = 0,25, 0,50, dan 0,75 cm, akan menghasilkan

Contoh (lanjutan)

Dengan memasukkan harga T1 dan T5, maka dihasilkan sistem tridiagonal (bisa diselesaikan dengan gauss jordan atau thomas algorithma)

Jika ditabelkan, perhitungan akan menghasilkan sebagai berikut

Contoh (lanjutan)Jika kita ambil x = 0,125 cm, maka dihasilkan

Penerapan pada grid-grid dalam akan dihasilkan sbb.

Contoh (lanjutan)

Jika ditabelkan, perhitungan akan menghasilkan sebagai berikut