MANAJEMEN SAINS

BAB IIIMETODE GRAFIK

Pemrograman Linier

• Metoda optimasi untuk menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan linier pada kondisi pembatasan-pembatasan(constraints) tertentu

Pemrograman Linier• Elemen penting adalah :Variabel keputusan ( decision variabel ) : x1,

x2, ...,xn adalah variabel yang nilai-nilainya dipilih untuk dibuat keputusan

Fungsi tujuan ( objective function): Z=f(x1, x2, ...,xn) adalah fungsi yang akan dioptimasi( dimaksimumkan atau diminimumkan)

Pembatasan( constrains) : g(x1, x2, ...,xn) < bi adalah pembatasan yang harus dipenuhi.

Pembatasan tanda

Pemrograman LinierModel Pemrograman Linier Maksimuma. Tentukan variabel keputusan x1, x2, ...,xn

b. Sedemikian rupa sehingga :Z = c1 x1 + c2 x2 + ...+ cn xn ( Fungsi tujuan maksimum )

c. Dengan pembatasan-pembatasan :a11 x1 + a 12 x2 + ...+ a 1n xn ≤ b1

a21 x1 + a 22 x2 + ...+ a 2n xn ≤ b2

am1 x1 + a m2 x2 + ...+ a mn xn ≤ bm

d. Dimana x1, x2, ...,xn ≥ 0

Pemrograman LinierModel Pemrograman Linier Minimuma. Tentukan variabel keputusan x1, x2, ...,xn

b. Sedemikian rupa sehingga :Z = c1 x1 + c2 x2 + ...+ cn xn Fungsi tujuan minimum

c. Dengan pembatasan-pembatasan :a11 x1 + a 12 x2 + ...+ a 1n xn ≥ b1

a21 x1 + a 22 x2 + ...+ a 2n xn ≥ b2

am1 x1 + a m2 x2 + ...+ a mn xn ≥ bm

d. Dimana fungsi pembatas non negatif tidak diperlukan , atau tidak terbatas

METODE GRAFIK• Metoda grafik hanya dapat digunakan dalam

pemecahan masalah pada model (program linier) linier yang berdimensi : 2 X n atau m X 2 dimana m menunjukkan jumlah baris (menunjukkan batasan-batasan) ditentukan oleh banyaknya sumber yang akan dialokasikan ke setiap jenis kegiatan. Sedang n menunjukkan jumlah kolom ditentukan oleh jumlah/macam kegiatan yang memerlukan sumber-sumber tersebut.

Metode Grafik

Langkah-langkah penggunaan metode grafik dapat ditunjukkan secara ringkas sebagai berikut :

• Menentukan fungsi tujuan dan menformulasikannya dalam bentuk matematis.

• Mengidentifikasi batasan-batasan yang berlaku dan menformulasikannya dalam bentuk matematis

• Menggambarkan masing-masing garis fungsi batasan dalam satu sistem sumbu

• Mencari titik yang paling menguntungkan ( optimal ) dihubungkan dalam fungsi tujuan.

METODE GRAFIK• Suatu perusahaan sepatu membuat dua macam sepatu. Merk I

dengan sol karet dan merk II dengan Sol dari kulit. Untuk memproduksi sepatu perusahaan menggunakan 3 jenis mesin, mesin A untuk membuat sol karet, mesin B untuk membuat sol kulit dan mesin C untuk membuat bagian atas dan assembling bagian atas dengan sol. Untuk Merk I diperlukan waktu 2jam mesin A dan 6 jam mesin C sedang merk II diperlukan 3jam di mesin B dan 5 jam di mesin C.Jam kerja mesin A =8 jam , mesin B= 15jam dan mesin C =30 jam. Merk I memberi keuntungan Rp 30.000 sedang Merk II memberi keuntungan Rp 50.000

• Berapa yang harus diproduksi setiap merknya agar memperoleh keuntungan maksimal

METODE GRAFIK

Penyelesainnya :• Variabel keputusan X untuk Merk I dan Y

untuk Merk II• Tujuan dari permasalahan diatas adalah

memaksimumkan laba yang diperoleh dari Merk I = Rp 30.000 dan Merk II = Rp 50.000 maka dapat di formulasikan sebagai berikutMemaksimumkan Z = 3X + 5Y:

METODE GRAFIK

METODE GRAFIK

METODE GRAFIK

METODE GRAFIK3) 6x+5y = 30 Titik potong terhadap sumbu X maka y=0

6x+0=306x=30X=5Jadi titik potong terhadap sumbu X adalah (5,0)

Titik potong terhadap sumbu Y maka x =00+5y =305y =30Y= 6Jadi titik potong terhadap sumbu Y adalah ( 0,

METODE GRAFIK

METODE GRAFIK

METODE GRAFIK

METODE GRAFIK

Untuk menentukan nilai optimum adalah titik yang ada pada daerah fisibel yang jauh dari titik origin (0) sehingga sebaiknya yang dibandingkan titik-titik yang ada disudut-sudut daerah fisibel

Pada gambar diatas adalah :• Titik ( 0, 0)• Titik ( 4, 0 )• Titik (4, 6/5)• Titik (5/6, 5)• Titik ( 0, 5)

METODE GRAFIK

Nilai Optimuma) Titik ( 0, 0 )

Pada titik ini nilai x=0 dan y=0 maka Z=0b) Titik ( 4, 0 )

Pada titik ini nilai x=4 dan y= 0 maka Z= 3(4) + 5(0) =12

c) Titik (4, 6/5)Perpotongan garis 2x=8 dan garis 6x+5y=30 sehingga untuk x=4 maka : 6(4) +5y = 305y =30- 24y=6/5Z = 3(4) + 5(6/5)Z=18

METODE GRAFIK

d) Titik (5/6, 5)Perpotongan garis 3y =15 dan garis 6x+5y=30 sehingga untuk y=5 maka :6x + 5(5) = 306x= 30 -25X = 5/6Z= 3 (5/6) + 5 (5) Z = 27,5

Metode Grafik

e) Titik (0,5)Pada titik ini nilai x =0 dan y=5 maka Z = 3(0) + 5(5) = 25

Jadi optimum pada titik ( 5/6,5) dan Z = 27,5Jadi perusahaan kalau menginginkan laba yang

tinggi memproduksi produks merk I sebanyak 5/6 dan merk II sebanyak 5