MAKALAH

LOGIKA MATEMATIKA

Diajukan sebagai salah satu tugas Ujian Akhir Semester

Mata Kuliah : Bahasa Indonesia

Dosen Pengampu : Indrya Mulyaningsih, M.Pd

Disusun Oleh :

Agus Ahmad Durri

(14121510609)

Fakultas / Jurusan : Tarbiyah / Tadris Matematika

Kelas / Semester : C / 2 (dua)

IAIN SYEKH NURJATI CIREBON Jl. Perjuangan By Pass Sunyaragi Cirebon - Jawa Barat 45132

Telp : (0231) 481264 Faxs : (0231) 489926

2013

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah ‘Azza wa jalla yang telah

melimpahkan Rahmat dan Hidayah serta Inayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

makalah ini yang Alhamdulillah tepat pada waktunya yang berjudul “Logika Matematika”.

Shalawat serta salam, senantiasa penulis curahkan kepada baginda Rasul yakni Nabi

Besar Muhammad Saw dan keluarganya, sahabatnya, sampai pada umatnya akriruzaman.

Semoga Allah ‘Azza wa jalla menjadikan makalah ini sebagai wasilah untuk penulis dan

para pembaca dalam meraih syafaatul ‘uzma Rasulullah SAW.

Makalah ini Insya Allah tersusun dengan sistematis berisikan tentang logika

matematika, dengan pembahasannya mengenai konjungsi, disjungsi, implikasi dan

biimplikasi. Ucapan terima kasih yang mendalam penulis haturkan kepada rekan-rekan dan

semua pihak yang telah memberikan masukan yang bermanfaat sehingga makalah kami ini

dapat terselesaikan tepat pada waktunya

Dengan segala kerendahan hati, penulis sangat mengharapkan kritik dan sarannya yang

bersifat membangun, agar penulis dapat menyusun makalah lebih baik lagi, penulis

menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah ini, karena

kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah ini dapat

bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya

Cirebon, Mei 2013

Agus Ahmad Durri

2

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL / COVER............................................................................... 1

KATA PENGANTAR.............................................................................................. 2

DAFTAR ISI............................................................................................................. 3

DAFTAR TABEL..................................................................................................... 4

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 5

A. Latar Belakang.......................................................................................................... 5

B. Tujuan Penulisan....................................................................................................... 6

C. Manfaat Penlisan....................................................................................................... 6

BAB II PEMBAHASAN.......................................................................................... 7

A. Oprasi Negasi............................................................................................................ 7

B. Konjungsi ................................................................................................................. 7

C. Disjungsi.................................................................................................................... 8

D. Implikasi.................................................................................................................... 9

E. Biimplikasi................................................................................................................ 12

F. Konvers, Invers dan Kontraposisi........................................................................ 13

G. Bilangan Berkuantor.............................................................................................. 14

H. Penarikan Kesimpulan............................................................................................... 16

1. Modus Ponens...................................................................................................... 17

2. Modus Tollens...................................................................................................... 17

3. Silogisme.............................................................................................................. 18

I. Hubungan Antara Logika dan Himpunan................................................................. 19

BAB III PENUTUP.................................................................................................. 20

A. Kesimpulan................................................................................................................ 20

B. Saran.......................................................................................................................... 21

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................. 22

3

DAFTAR TABEL

Tabel 1 : Tabel kebenaran oprasi negasi.............................................................. 7

Tabel 2 : Tabel kebenaran konjungsi................................................................... 7

Tabel 3 : Tabel kebenaran disjungsi..................................................................... 8

Tabel 4 : Tabel kebenaran implikasi.................................................................... 10

Tabel 5 : Tabel kebenaran tautologi..................................................................... 11

Tabel 6 : Tabel kebenaran kontradiksi................................................................. 11

Tabel 7 : Tabel kebenaran implikasi logis............................................................ 12

Tabel 8 : Tabel kebenaran biimplikasi................................................................. 12

Tabel 9 : Tabel kebenaran biimplikasi logis........................................................ 13

Tabel 10 : Tabel kebenaran modus ponens............................................................ 17

Tabel 11 : Tabel kebenaran modus tollens............................................................. 18

Tabel 12 : Tabel kebenaran silogisme.................................................................... 18

4

BAB I

PENDAHULUAN

5

A. Latar Belakang

Di zaman yang modern ini berbagai kajian ilmu matematika telah berkembang

pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai, angka-

angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga

terjadi didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas sistem matematis.

Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematika diperoleh atas realita kehidupan

yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan aplikasi dan bagian

matematika ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah

dalam bahasa matematika sering disebut logika.

Theresia Tirta Saputro (1992:3) berpendapat bahwa logika merupakan suatu

aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga

menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran – kebenaran yang dapat dibuktikan

secara matematis. Meskipun tanpa perhitungan melalui angka-angka atau dengan

statistik, tetapi dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya. Logika sebagai suatu

metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti ketepatan penalaran.

Pada abad ke-18 Masehi, G.W.Leibniz. ahli matematika berkebangsaan Jerman,

pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika yang lainnya yang berjasa

dalam pengembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, dan

Bertrand Russel (Sartono Wirodikromo dkk, 1999:5).

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata,

ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga berarati ilmu pengetahuan. Dalam arti luas,

logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas

antara pealaran yang benar dengan penalaran yang salah (Kusumah, 1986:1). Proses

berpikir yang terjadi disaat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-

pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan

penalaran.

6

Hal ini merupakan suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika,

penalaran dan argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari.

Merupakan matakuliah penting terutama bagi Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam seperti Ilmu Komputer. Topik ini sangat penting karena dapat

meningkatkan daya nalar mahasiswa dan dapat diaplikasikan di dalam kehidupan nyata

dan pada saat mempelajari matakuliah lainnya.

Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para mahasiswa

memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan

logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang mata kuliah Logika

Matematika.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa masalah

sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi?

2. Bagaimanakah invers, konvers, dan kontraposisi itu?

3. Apa itu bilangan berkuantor?

4. Bagaimana penarikan kesimpulan terakhirnya?

C. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam

merumuskan masalah tersebut, yaitu sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi

2. Untuk mengetahui invers, konvers, dan kontroposisi dalam logika matematika.

3. Untuk mengetahui apa itu bilangan berkuantor.

4. Untuk mengetahui penarikan kesimpulan dalam logika matematika.

7

BAB II

PEMBAHASAN

A. Operasi Negasi

Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah

pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “~”. Jika p adalah pernyataan tunggal, maka

~p adalah pernyataan majemuk.1 Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah

salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang

berlawanan.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Tabel 1p q

B S

S B

Contoh:p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

B. Konjungsi

Konjungsi adalah pernyataan baru yang dinyatakan dari dua pernyataan dengan kata

hubung “dan”. Kalau tersebut dinotasikan dengan and . Dua pernyataan p dan q yang

dinyatakan dalam bentuk p∧q disebut konjungsi dan dibaca p dan q. Suatu pernyataan

yang apabila kedua-duanya memenuhi permintaan benar (B) maka jawabannya benar.

Jika tidak demikian maka salah.

Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

Tabel 2

p q p∧q

B B B

B S S

S B S

S S S

Contoh :1 Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu, hal. 56

8

1) p∧q

p q ∼ p p∧q

B B S S

B S S S

S B B B

S S B S

2) p : Dana lahir di Madura

q : Dana Kuliah di Malang

p∧q : Dana lahir di Madura dan Kuliah di Malang

C. Disjungsi

Apabila terdapat dua pernyataan, dapat dibentuk sebuah pernyataan baru dengan

kata penghubung “atau” yang dinotasikan “∨”. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan

dalam bentuk p∨q disebut disjungsi dan dibaca p atau q. Sesuatu pernyataan apabila

salah satunya benar, maka pernyataan disjungsi benar, jika tidak demikian bernilai salah.

Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

Tabel 3

p q p∨q

B B B

B S B

S B B

S S S

Contoh :

1) ∼ p∨∼q

p q ∼ p ∼q ∼ p∨∼q

B B S S S

B S S B B

S B B S B

S S B B B

2) p : Zahro membeli baju

q : Zahro membeli tas

9

p∨q : Zahro membeli baju atau tas

3) Diketahui : p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika

q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara

Ditanya : Buatlah tabel kebenarannya

Penyelesaian

p : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika

q : Siswa MA Nurul Huda menjadi juara

p ∨ q : Siswa MA Nurul Huda memenangkan piala olimpiade matematika atau

menjadi juara

Tabel kebenarannya adalah :

p q p ∨ q

Siswa MA Nurul Huda

memenangkan piala

olimpiade matematika (B)

Siswa MA Nurul

Huda menjadi

juara (B)

Siswa MA Nurul Huda meme-

nangkan piala olimpiade mate-

matika atau menjadi juara (B)

Siswa MA Nurul Huda

memenangkan piala

olimpiade matematika (B)

Siswa MA Nurul

Huda tidak

menjadi juara (S)

Siswa MA Nurul Huda

memenangkan piala olimpiade

matematika (B)

Siswa MA Nurul Huda tidak

memenangkan piala

olimpiade matematika (S)

Siswa MA Nurul

Huda menjadi

juara (B)

Siswa MA Nurul Huda menjadi

juara (B)

Siswa MA Nurul Huda tidak

memenangkan piala

olimpiade matematika (S)

Siswa MA Nurul

Huda tidak

menjadi juara (S)

Tidak mendapat juara (S)

D. Implikasi

Suatu pernyataan kebenaran dari p dan q dalam bentuk implikasi dinyatakan dengan

pernyataan baru yaitu “Jika p maka q”. Hal ini dinotasikan dengan “p q” atau p⇒q.

Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar konsekwennya salah,

dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar atau yang lebih mudah dipahami

suatu pernyataan apabila p benar, q salah bernilai salah. Bila tidak demikian bernilai

benar. Jadi pernyataan p ⇒ q terjadi pernyataan salah, hanya karena p benar, q salah.

10

Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

Tabel 4

p q p⇒q

B B B

B S S

S B B

S S B

Contoh :

1) p⇒( p∧q)

p q p∧q p⇒( p∧q)

B B B B

B S S S

S B S B

S S S B

2) p : Lisa memilih jurusan IPA

q : Nilai rata-rata dibidang studi MIPA sekurang-kurangnya 8

p⇒q : Lisa memilih jurusan IPA maka nilai rata-rata bidang studi MIPA sekurang-

kurangnya 8

Dalam implikasi terdapat implikasi logis sebagai salah satu bentuk ekuivalensi logis

dalam logika matematika. Dibawah ini akan diuraikan mengenai implikasi logis, namun

terlebih dahulu akan diuraikan bentuk-bentuk pernyataan logika matematika yaitu

tautologi dan kontradiksi.

a. Tautologi

Tautologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai benar untuk nilai suatu

kebenaran atau sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa

memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.2

Untuk menentukan atau membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan

tautologi. Kita dapat menggunakan tabel kebenaran berikut ini :

Tabel 5

2 Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga, hal.24

11

p q p ¿ q ( p ¿ q ) ⇒ q

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

B

Pada kolom terakhir terdapat ( p ¿ q ) ⇒ q yaitu notasi tautologi yang terbentuk

dari pernyataan “jika ( p dan q ) maka q”. Yang nilai kebenarannya selalu benar untuk

semua komponen – komponennya.

b. Kontradiksi

Kontradiksi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai

kebenaran atau suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi

yang salah.3 Dalam sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa

memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Hal ini merupakan kebalikan dari tautologi yang tersusun dari komponen “p dan

negari q” ( p ¿ ~ q), sebagaimana tabel berikut ini:

Tabel 6

p q ~ q p ¿ ~ q q ¿ ( p ¿ ~ q )

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

S

S

S

Kolom terakhir tampak jelas, bahwa semua komponen bernilai salah. Oleh karena

itu q ¿ ( p ¿ ~ q ) adalah suatu kontradiksi.

c. Implikasi logis

Implikasi logis adalah sutau implikasi yang mempunyai nilai logika selalu benar

untuk nilai kebenaran dari komponennya.4 Dengan kata lain, implikasi logis adalah

implikasi yang merupakan tautologi yang dilambangkan dengan “⇒”

Contoh :

Dengan tabel kebenaran, tunjukan bahwa ( p ¿ q ) ⇒ ( p ∨ q ) merupakan suatu

implikasi logis.

Penyelesaian :

3 Ibid., hal.254 Ibid., hal.27

12

Tabel 7

p q p ¿ q p V q (p ¿ q ) ⇒ (p V q )

B

B

S

S

B

S

B

S

B

S

S

S

B

B

B

S

B

B

B

B

Pada kolom kel enam tabel di atas, tampak bahwa nilai logika ( p ¿ q ) ⇒ ( p ∨

q ) selalu benar. Hal ini yang dinamakan implikasi logis.

E. Biimplikasi

Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk “ .... jika dan hanya jika ....” dinamakan

diimplikasi yang dinyatakan dengan notasi “p q” atau “ p ⇔ q” (dibaca : p jika dan

hanya jika q ) artinya menurut Theresia Tirta Saputro (1992:35) memberikan kesimpulan

bahwa sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya

mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai

kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah. Biimplikasi memiliki niliai

kebenaran yang sama dengan bentuk singkat dari ( p ⇒ q ) ¿ ( p ⇒ q ).

Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.

Tabel 8

p q p ⇔ q

B B B

B S S

S B S

S S B

Untuk menentukan kebenaran nilai biimplikasi dapat digunakan table kebenaran

dengan meninjau p ⇔ q≡ ( p⇒q )∧(q⇒ p).

p q p⟺q p⇒q q⇒ p ( p⇒q )∨(q⇒ p)

B B B B B B

B S S S B S

S B S B S S

S S B B B B

Contoh :

13

1) p⇔( p∧q)

p q p∧q p ⇔( p∧q)

B B B B

B S S S

S B S S

S S S B

2) p : 3 bilangan prima

q : 3 hanya mempunyai dua faktor pembagi

p⟺q : 3 bilangan prima jika dan hanya jika 3 hanya mempunyai dua faktor

pembagi

Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi logis yang merupakan

tautologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar. Diimplikasi logis dilambangkan

“”. Berikut ini tabel kebenarannya, yaitu biimplikasi logis ( p ⇒ ~ q ) ( q ⇒ ~ p ).

Tabel 9

p q ~ p ~ q p ⇒~q q ⇒~p (p ⇒ ~ q) (q ⇒ ~ p)

B

B

S

S

B

S

B

S

S

S

B

B

S

B

S

B

S

B

B

B

S

B

B

B

B

B

B

B

F. Konvers, Invers dan Kontraposisi

1. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers

Implikasi :

Jika x2 bilangan asli, maka x adalah bilangan asli

Konvers :

Jika x adalah bilangan asli, maka x2 bilangan asli

2. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut invers

Implikasi :

Jika fungsinya linier, maka grafiknya garis lurus.

Invers :

Jika fungsinya bukan linier, maka grafinya bukan garis lurus.

3. Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut kontraposisi

14

Implikasi :

Jika harga naik, maka permintaan turun.

Invers :

Jika permintaan tidak turun, maka harga tidak naik.

Pengertian diatas dapat ditarik kesimpulan dalam bentuk Skema konvers, invers dan

kontraposisi sebagai berikut:

p q konvers q p

invers kontraposisi invers

~p ~q konvers ~q ~p

Contoh:

Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan: “ Jika binatang itu bertubuh

besar maka binatang itu disebut gajah”.

Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar

Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah

Kontraposisi : Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar

Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen-komponennya

bernilai sama.

Contoh:

Jika p : 2 bilangan genap (B)

q : 3 bilangan ganjil (B)

maka p ⇔ q : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B)

G. Bilangan Berkuantor

1. Pernyataan Berkuantor

Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka

akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau

pernyataan.

Contoh pernyataan berkuantor:

15

Semua manusia fana Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa

Ada bunga mawar yang berwarna merah

Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter.

Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta

pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).5 Fungsi

pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat

bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota

dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan.

Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi

proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana”

maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi

dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x).

2. Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Simbol " yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum.

Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta

pembicaraannya) maka ("x Î A) p(x) atau "x, p(x) atau "x p(x) adalah suatu

pernyataan yang dapat dibaca sebagai “untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan

pernyataan “untuk semua x, berlaku p(x)”.

3. Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Simbol $ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu”

disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A

(himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ($x Î A) p(x) atau $x! p(x) atau

$x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga

p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan

simbol $! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.

4. Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor

Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan

berkuantor tersebut.

Contoh:

Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah “Ada

mahasiswa yang mengerjakan tugas”

5 Budiono, op.cit, hal. 82

16

Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia

adalah tidak kekal” atau "x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau

$x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol : ~

["x p(x)] º $x ~ p(x)

5. Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel

Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang

mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat

terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai

benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2

x A3 x . . . x An.

H. Penarikan Kesimpulan

Penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukannya himpunan

pernyataan tunggal yang saling berelasi dan telah diketahui kebenarannya , kemudian

dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk.

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut

premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan

yang sudah dibuktikan sebelumnya. Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah

kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti

(evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan

dari premis-premis.

Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan (diketahui)

disebut premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang diturunkan dari

premis-premis disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan satu atau lebih premis yang

sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi yang diturunkan dari premis-

premisnya disebut argumen.6

Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu

merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya. Metode yang

sederhana untuk membuktikan suatu argument sah (valid) adalah dengan bantuan tabel

kebenaran.

Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk.

Premis (1) P1

Premis (2) P2

6 Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito, hal.141

17

Premis (3) P3

………… …

Premis (n) Pn

Konklusi ∴ k

Berberapa pola penarikan kesimpulan yang sah, yaitu :

1. MODUS PONENS

Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk {( p⇒q)∧ p }→ q atau

dituliskan :

Premis 1: p⇒q (suatu pernyataan yang benar)

Premis 2: p (suatu pernyataan yang benar)

Konklusi :q (suatu pernyataan yang benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus ponens merupakan

argumentasi yang sah yaitu :

Tabel 10

p q p → q ( p→ q)∧ p {( p →q )∧ p }→q

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Contoh :

Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat x2−14 x+49=0 mempunyai dua akar real yang

sama.

Premis 1: Jika diskriminan persamaan x2−14 x+49=0 sama dengan nol, maka

persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang sama (x¿¿1=x2)¿

Premis 2: D=(−14 )2−4,49=0

Konklusi : Persamaan x2−14 x+49=0 mempunyai dua akar real yang sama.

2. MODUS TOLLENS

Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk {( p⇒q)∧∼q }→∼ p atau

dituliskan:

Premis 1: p⇒q (benar)

Premis 2:∼ q (benar)

Konklusi :∼ p (benar)

18

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus tollens merupakan

argumentasi yang sah yaitu :

Tabel 11

p q p q p → q ( p→ q)∧∼q [( p →q)∧∼q]→ p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

Contoh :

Premis 1: Jika △ ABC sama sisi, maka∠ A=∠B=∠C

Premis 2:∠ A ≠∠B≠∠C

Konklusi :△ ABC bukan segitiga sama sisi

3. SILOGISME

Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk {( p⇒q )∧ (q⇒r ) }→( p⇒ r) atau

dituliskan :

Premis 1: p⇒q (benar)

Premis 2:q⇒r (benar)

Konklusi : p⇒r (benar)

Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa silogisme merupakan

argumentasi yang sah yaitu :

Tabel 12

p q p p∨q ( p∨q)∧ p [( p∨q)∧∼ p]→ q

B B S B S B

B S S B S B

S B B B B B

S S B S S B

Contoh :

Premis 1: Jika pada △ ABC berlaku (a−b)cosC=0 maka

a=b∨C=900

Premis 2: Jika a=b atau C=900 maka △ ABC adalah sama kaki atau siku-siku

19

Konklusi : Jika pada △ ABC berlaku (a−b)cosC=0 maka △ ABC sama kaki atau siku-siku.

I. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )

"x, B(x) R(x)

B(x)

R(x)

2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )

$ x, P(x) G(x)

2

P(x) G(x)

3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )

Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap

"x, J(x) ~ G(x)

J(x) ~ G(x)

20

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan penggunaan akal

dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan kebenaran – kebenaran yang

dapat dibuktikan secara matematis. Dalam logika matematika terdapat operasi logika

sebagai salah satu kajian ilmu logika matematika, diantaranya :

1. Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah

pernyataan.

2. Konjungsi merupakan pernyataan kebenaran apabila p dan q benar, bila tidak

demikian bernilai salah.

3. Disjungsi yaitu p atau q ( p V q ), suatu pernyataan harus salah satu kompenen yang

bernilai benar atau keduanya, maka akan bernilai benar.

4. Implikasi yaitu pernyataan “jika p amaka q” dengan ketentuan q tidak boleh salah (S)

untuk mendapatkan nilai kebenaran yang benar, kecuali kedua-duanya salah (S).

5. Biimplikasi (.... jika dan hanya jika ...” yaitu suatu pernyataan bernilai benar apabila

komponen – komponennya memiliki kebenaran yang sama.

6. Konvers, invers, dan kontraposisi yaitu jika suatu bentuk implikasi p q diubah

menjadi q p disebut konvers, jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~

p ~ q disebut invers, dan jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q

~ p disebut kontraposisi

7. Pernyataan berkuantor meliputi kuantor umum (uantor universal), kuantor khusus

(kuantor eksistensial), negasi suatu pernyatan yang mengandung kuantor, dan fungsi

pernyataan yang mengandung lebih dari satu variabel.

8. Penarikan kesimpulan meliputi modus ponens, modus tollens,dan silogisme.

Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk {( p⇒q)∧ p }→ q

Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk {( p⇒q)∧∼q }→∼ p

Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk {( p⇒q )∧ (q⇒r ) }→( p⇒ r)

9. Hubungan Antara Logika Dan Himpunan

o Semua bilangan bulat adalah bilangan real

o Ada bilangan prima yang genap

o Tidak ada bilangan ganjil yang genap

21

B. Saran

Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap kepada pembaca khususnya para

mahasiswa berikutnya dapat mengembangkan makalah ini supaya lebih sederhana dan

lebih mudah dimengerti serta semoga pengetahuan mengenai logika matematika dapat

diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalm banyak aspek kehidupan.

Melalui logika kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan benar atau salah. Hal

terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah

kemampuan mengambil kesimpulan dengan benar atau salah.

22

DAFTAR PUSTAKA

Kusumah, Y.S. 1986. Logika Matematika Elementer. Bandung: Tarsito.

Tirta, S.T. 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta:

Erlangga.

Budiono. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Jakarta: Dian Ilmu.

Kurnianingsih, Sri dkk. 2001. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Erlangga.

Sartono Wirodikromo dkk. 1999. Matematika Untuk SMU Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Depdiknas, 2003. Kurikulum Berbasis Kompotensi Untuk Sekolah Menengah Umum, Jakarta:

Depdiknas.

Ajah, Diki. 2012. Disjungsi,konjungsi,negasi,implikasi dan biimplikasi.

http://kuskuskom.blogspot.com/2012/10/disjungsikonjungsinegasiimplikasi-

dan.html (diakses tanggal 05 Mei 2013)

Italiana. 2012. Logika Matematika. http://ronyflush.blogspot.com/2013/01/makalah-logika-

matematika.html (diakses tanggal 05 Mei 2012)

Ismayani, Ani. 2009. Logika Matematika. http://www.matematikamenyenangkan.com/logika-

matematika/ (diakses tanggal 20 Mei 2013)

Harahap, E.M. 2012. Makalah Logika Matematika.

http://makalahmajannaii.blogspot.com/2012/10/makalah-logika-matematika.html

(diakses tanggal 20 Mei 2013)

Noverdi, Fajar. 2012. Kuantor. http://fajarnoverdi.blogspot.com/2010/12/pengertian-

kuantor.html (diakses tanggal 20 Mei 2013)

23