GRUPOIDA

PENGERTIAN OPERASI BINER

Operasi biner dapat dipandang sebagai aturan yang mengaitkan dua elemen, dapat pula

dipandang sebagai suatu pemetaan.

Definisi 4.1 : Jika S suatu himpunan yang tidak kosong dan T = S x S

Operasi biner pada S adalah pemetaan

a) Jika maka operasi biner ini tidak tertutup, sebab ada pasangan berurutan

anggota dari S yang tidak dipasangkan dengan anggota dari S.

Jadi operasi biner pada himpunan S dikatan tidak tertutup jika (a, b) S x S dengan

, dengan perkataan lain operasi biner * tidak tutup jika

dengan a *b =

b) Jikat T = S x S maka operasi biner adalah tertutup, sebab setiap pasangan berurutan

anggota dari S dipasankan dengan anggota dari S

Jadi operasi biner pada himpunan S dikatakan tertutup jika setiap (a,b)

berlaku . Dengan perkataan lain berlaku

Karena T = S x S berarti pemetaan itu adalah

Definisi tersebut akan ditunjukkan dengan contoh berikut :

Contoh I

Misalnya S = himpunan semua bilangan asli

Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai pengurangan pada bilangan, artinya

a * b = a – b. operasi pengurangan adalah operasi biner yang tidak tertutup.

Untuk jelasnya perhatikan uraian sebagai berikut :

Ambil beberapa anggota S

Ambil S dan (2,4) x S tetapi (2,4) T.

(2,4) tidak dapat dipasangkan dengan anggota S

Jika a ≤ b dan (a.b) dengan T ≠ S, S (a,b) dipasangkan dengan (a,b) = a – b satu

anggota S = T S merupakan pemetaan. Jadi Operasi pengurangan tidak tertutup.

Contoh 2

S = Himpunan semua bilangan asli.

Operasi * pada himpunan S didefinisikan sebagai penjumlahan pada bilangan, artinya

a * b = a + b Operasi penjumlahan adalah operasi biner yang tertutup.

Perhatikan uraian berikut :

S = {1, 2, 3 …. }

S x S = { (a, b) | a S dan b S dan b } dan T = S x S

Ambil beberapa anggota S sebagai berikut :

Jadi operasi penjumlahan adalah tertutup.

Definis 4.2

1. Operasi biner * pada himpunan S disebut tertutup jika

2. Operasi biner * pada himpunan S disebut komulatif jika dan hanya jika

3. Operasi biner * pada himpunan S disebut asosiatif

Jika dan hanya jika

Contoh

A = {1, 2, 3… }

a. Operasi pengruangan pada himpunan A :

Tidak tertutup,

Tidak komulatif, 7 – 3 ≠3 – 7

Tidak asosiatif (7-3) – 1 ≠ 7 – 93 – 1) .

b. Operasi penjumlahan pada himpunan A mempunyai sifat :

Tertutup, 3 + 2 = 5

Komulatif, 3 + 2 = 2 + 3

Asosiatif, 93+2) + 4 = 3 + (2 + 4)

Tabel Caykey

Tabel caykey merupakan salah satu cara untuk mendefinisikan operasi biner pada

himpunan, khusunya himpunan berhingga

Misalnya himpunan S = {a, b, c} dengan operasi * didefinisikan dengan tabel 1.

* a b c

a b c b

b a c b

c c b a

Tabel 1.

Anggota yang dioperasikan dicantumkan pada bari pertama (paling atas) dan pada kolom

pertama (paling kiri).

Hasil kali anggota S dinyatakan dalam bujur sangkar yang didalam, mulai baris kedua

dan kolom kedua.

Cara membaca tabel Cayley sebagai berikut :

Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kiri kita baca pada kolom paling kiri

Anggota yang akan dioperasikan dari sebelah kanan kita baca pada baris paling atas.

Perhatikan hasil oeprasi pada daerah yang diarsir, c*b = b

Pembacaan Tabel 1 selanjutnya sebagai berikut :

a * b = a

a * b = c

a * c = b

b * a = a

b * a = b

b * c = b

c * a = c

c * b = c

c * c = a

Untuk selanjutnya sifat-sifat oeprasi biner melalui Tabel sebagai berikut :

1. Jika hasil kali di dalam bujursangkar hanya terdiri dari anggota S maka sifat tertutup

kembali

2. Jika letak anggota dalam tabel simetris terhadap diagonal utama maka operasi biner

komulatif. Pada tabel 1 operasi biner tidak komulatif

3. Untuk melihat sifat asosiatif harus dicoba bahwa memenuhi (a*b) * c =

a * (b*c). ketiga anggota a, b, c tersebut tidak diharuskan semuanya berlainan, boleh

dua anggota sama boleh juga tiga anggota sama.

Pengertian Grupoida

Struktur Aljabar suatu himpunan S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner

yang tertutup. Apabila himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur

Aljabar tersebut dinyatakan dengan S, *). Apabila himpunan S dilengkapi dengan dua

operasi biner * dan 0; maka struktur aljabar tersebut dinyatakan dengan (S,*,0) atau

(S,0,*). Struktur aljabar yang paling sederhana adalah grupoida.

Definisi 4.3

Suatu struktur dan perkalian pada himpunan bilangan dinyatakan dengan + dan x

A = {1,2,3 … }

B = { ….. 2,-1, 0,1 ,2 .. )

Q = { x | x bilangan rasional }

R = { x | x bilangan real }

Struktur Aljabar berikut adalah grupoida :

a) (A, +) dan ( A, x)

b) (B, +) dan (B,x)

c) (Q, +) dan (Q, x)

d) (R, +) dan (R, x)

Contoh 12

M1 adalah himpunan matriks ordo m x n

M2 adalah himpunan matriks ordo n x n

Perhatikan contoh 3 dan 4

(M1, +), (M2, +) dan (M2,x) adalah grupoida

Sifat-Sifat Grupoida

Definis 4.4

1. (G,*) suatu grupoida dari

Elemen i disebut elemen identitas kiri dari G

Jika memenuhi i * a = a dan (G,*)

Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kiri.

2. (G,*) suatu grupoida dengan

Elemen i disebut elemen identitas kanan dari G

Jika memenuhi a * i = a dan (G,*)

Elemen i disebut grupoida dengan elemen identitas kiri.

3. (G,*) suatu grupoida

Jika memenuhi a * b = b * a maka (G,*) disebut grupoida komulatif

4. (G,*) suatu grupoida dan

i disebut elemen identitas dari G

jika dan hanya jika memenuhi i * a = a * i = a

dalam hal demikian (G,*) disebut grupoida elemen identitas

contoh 15

a) (A, +) dengan A = {1, 2, 3 …. } adalah grupoida

Sifat-sifatnya adalah :

Tidak memnuhi delemen identitas penjumlahan sebab memenuhi 0 + a =

a + 0 = a dan 0 memenuhi a + b = b + a

Asosiatif, memenuhi (a + b ) + c = a (b + c)

Misalkan (G, *) grupoida dengan operasi biner * dinyatakan dengan suatu tabel

Cayley.

1. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu baris yang urutan anggotanya sama dengan

garis paling atas maka anggota pada kolom paling kiri merupakan suatu elemen

identitas kiri

2. Jika pada tabel Cayley terdapat suatu kolom yang urutan anggotanya sama dengan

kolom paling kiri maka anggota pada baris paling atas merupakan suatu elemen

identitas kanan

3. Jika pada tabel Cayley terdapat satu baris yang urutannya sama dengan urutan

baris paling atas dan satu kolom yang urutan anggotanya sama dengan kolom

paling kiri keduanya menuju elelem yang sama yaitu elemen identitas.

4. Jika letak anggota pada bujursangkar simetris terdapat garis diagonal utama maka

grupoida adalah komulatif

Contoh

S = {a,b,c} dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel

a * a = a

a * b = a

a * c = c

A elemen identitas kiri dari S

b * a = a

b * b = b

b * c = c

b elemen identitas kiri S

* a b c

a a b c

b a b c

c c b a

Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kiri a dan b

Contoh 19

S = {a, b, c } dengan operasi biner * dinyatakan dengan tabel

a * a = a

b * a = b

c * a = c

a elemen identitas kanan dari S

Demikian pula untuk b dan c

Jadi (S,*) grupoida tidak komulatif dan mempunyai elemen identitas kanan a,b, dan c

Contoh

S = { a, b , c d} dengan operasi biner * dinyatakan dengan Tabel 4

b * a = a

b * b = b

b * c = c

b * d = d

b elemen identitas kiri dari S

a * b = a

b * b = b

c * b = c

d * b = d

B elemen identitas kanan dari S

Karena b adalah elemen identitas kiri dan elemen identitas kanan, maka b merupakan

elemen identitas dari S.

Jadi (S,*) grupoida komulatif dengan elemen identitas b.

Sifat-sifat yang lain dari grupoida adalah sebagai berikut :

Definisi 4.5

* a b c

a a a a

b b b b

c c c c

* a b c d

a b a d c

b a b c a

c d c b c

d c d a b

1. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kiri jika untuk setiap

a,b,c G berlaku implikasi jika a, b = a c maka b = c

2. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan kanan jika kesamaan

ba = ca selalu menghasilkan b = c

3. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi hukum pelenyapan suatuatau pencoretan

atau penghapusan (canccellation law) jika dan a 0 dipenuhi ab =

ac b = c dan b a = c a b = c

4. Suatu grupoida G di katakan memenuhi persamaan kiri jika persamaan

xa = b mempunyai penyelesaian di G

5. Suatu grupoida G dikatakan memenuhi persamaan kanan jika

persamaan ay = b mempunyai penyelesaian di G.

Contoh

A = { 1, 2, 3, … }

B = { …., -2, -1, 0, 1, 2, …} dan B* = B – {0}

Q = {x | x bilangan rasional} dan Q* = Q – {0}

R = {x | x bilangan real} dan R* = R – {0}

a. Pada grupoida (A, +), (B, +), dan (R, +) berlaku hukum pelenyapan kiri dan

pelenyapan kanan, sebab anggota grupoida tersebut memenuhi

a + b = a + c

b + a = c + a

b. Pada grupoida (A*, x), (B*,x), (Q*, x) dan (R*, x) berlaku hukum pelenyatapan

kanan dan pelenyapan kiri, sebab anggota grupoida tersebut memenuhi

b . a = c . a b = c

a . b = a . c b = c

Apabila operasi biner * pada grupoida G dinyatakan dengan tabel Cayley maka

a. (G, *) memenuhi hukum pelenyatapan kiri jika dan hanya jika setiap bari dalam

tebel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan

b. (G, *) memenuhi hukum pelenyapan kanan jika dan jika hanya jika setiap kolom

dalam tabel terdiri dari anggota G yang memenuhi berlainan

c. (G,*) memenuhi hukum persamaan kiri jiak dan jika setiap kolom dalam tabel

terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan

d. (G,*) memenuhi hukum persamaan kanan jika dan hanya jika setiap baris dalam

tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan

Jadi dapat disimpulkan

1. Jika baris dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semunya berlainan maka

(G,*) memenuhi hukum pelenyapan kiri dan hukum persamaan kanan

2. Jika setiap kolom dalam tabel Cayley terdiri dari anggota G yang semuanya

berlainan maka (G,*) memenuhi hukum pelenyapan kanan dan hukum persamaan

kiri

Contoh

{G,*) grupoida dengan G ={ p,q,r) dan * dinyatakan dalam tabel

a. Setiap baris dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya berlainan. Jadi (G,*)

memenuhi hukum pelenyapan kiri dan memnuhi persamaan kanan

b. Setiap kolom dalam tabel terdiri dari anggota G yang semuanya sama. Jadi (G,*)

tidak memenuhi hukum pelenyapan kanan dan tidak memenuhi hukum persamaan

kiri.

* p q r

p p q r

q p q r

r p q r

DAFTAR PUSTAKA

Materi Pokok Struktur Aljabar, 1-12 ; PGTM 3929/ 4 SKS oleh Suherti Soebagio-A,

Sukirman,- Jakarta : Universitas Terbuka.