makalah murni bersih.docx

7/27/2019 makalah murni bersih.docx

1/15

1

BAB I

PENDAHULUAN

1. 1 Latar BelakangDalam mendefinisikan suatu integral tertentu, sebagaimana telah diketahui

misalkan suatu fungsi f terdefinisikan pada interval tertutup [a, b] yang berhingga

atau terbatas. Biasanya untuk menghitung integral tertentu () digunakanTeorema Dasar Kalkulus. Namun demikian banyak kasus integral tertentu tidak dapat

dihitung dengan metode integrasi dan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus. Hal ini

disebabkan karena anti turunan dari integran atau integral tak tentunya tidak

mempunyai anti turunan. Misalnya adalah integral tertentu,

dx

Bentuk integral di atas disebut integral tak wajar.

Integral tak wajar ialah integral suatu fungsi yang berbentuk sebagai berikut:

(i) () ,dimanaf(x) harga nilai limitnya menjadi tak hingga untuk suatu harga x dalam

interval [a, b], dan dinamakan integral tak wajar jenis pertama.

(ii) ()

atau ()

atau ()

dimana salah satu atau kedua harga limi batas integralnya adalah tak hingga,

bentuk ini dinamakan integral tak wajar jenis kedua.


2/15

2

Dari kedua jenis integral tak wajar di atas maka, dapat dikatakan bahwa empat contoh

integral tak wajar yang diberikan di atas merupakan bentuk integral tak wajar jenis

pertama.

Bentuk integral tak wajar di atas akan semakin banyak dijumpai pada

penerapan integral, dan ada metode khusus untuk menyelesaikannya. Pengintegralan

secara numerik ini akan lebih mudah dikerjakan dengan menggunakan bantuan

komputer. Selain menggunakan metode komputer dalam penyelasaian masalah

integral tak wajar di atas, juga terdapat salah satu metode yang cukup praktis dan bisa

dipakai yaitu menggunakan ekspansi deret MacLaurin.

Dari uraian di atas, penulis tertarik untuk melihat tentang penggunaan ekspansi

deret MacLaurin pada penyelesaian masalah integral tak wajar dengan menulis

makalah yang berjudul Menghitung Integral Tak Wajar Menggunakan Ekspansi

Deret MacLaurin.

1. 2Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang yang disampaikan, maka rumusan masalah dalam

penulisan makalah ini yaitu: Bagaimana menghitung integral tak wajar menggunakan

ekpspansi deret MacLaurin?

1. 3 Tujuan PenulisanTujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui cara menghitung

integral tak wajar menggunakan ekspansi deret MacLaurin.


3/15

3

BAB II

PEMBAHASAN

2. 1 Integral Tak WajarDalam mendefinisikan integral tentu () sebagai limit jumlah Reimann

ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :

a. Batas pengintegralan berhinggab. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a, b]Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut

integral tak wajar.

Jenis-jenis integral tak wajar:

1. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga2. Integral tak wajar dengan integran tak hingga

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :

(i). () = ()

(ii). () = ()

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen dan

memiliki nilai yang berhingga itu. Jika tidak, integral disebut divergen

(iii). () = () + ()


4/15

4

= () + ()

Jika () dan () konvergen, maka () konvergen


5/15

5

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga1.

Integran Tak Hingga di Ujung Suatu Selang

Definisi:

Andaikanf kontinu pada selang setengah terbuka [ a, b) dan andaikan () = Maka

()

()

Andaikanf kontinu pada selang setengah terbuka [ a, b) dan andaikan () = Maka

()

()

Asalkan limit pada ruas kanan ada. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral tak

wajar tersebut konvergen. Dalam hal lain integral tersebut divergen.

2. Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang PengintegralanDefinisi:

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan ( ) =

maka

()

()

()


6/15

6

Asal saja kedua integral di ruas kanan konvergen. Apabila tidak, integral

() disebut divergen.

2. 2 Ekspansi deret MacLaurinDalam penerapan integral tentu, dari rumus diferensial dan integrasi deret

pangkat secara tidak langsung telah diperoleh ekspansi fungsi suku banyak yang

dinyatakan dalam bentuk deret pangkat.

Secara umum ekspansi deret pangkat untuk fungsi dengan suku banyak

diberikan oleh,

() ( )

= + ( ) + ( )+ ( )+ . . . + ( ) + . . .

dimana jari-jari konvergennya adalahR 0. Menurut diferensial deret pangkat jari-jari konvergensi fungsi dan turunannya adalah R 0. Dengan mendiferensialkanfungsifsampai dengan tak hingga pada interval konvergensinya dihasilkan,

f(x) = + ( ) + ( )+ ( )+ . . . + ( ) + . . .

f(x) = + ( ) + 3( )+ 4( )+ . . . + ( ) + . . .


7/15

7

f (x) = + 6( ) + ( )+ . . . + ( )( ) + . . .

f (x) = + 24( ) +. . . + ( )( )( ) + . . .

fiv(x) = + ( ) +. . . + ( )( )( )( ) + . . .

..

fn(x) = + ( ) + ( ) + . . .

Jikax = a disubstitusikan pada persamaanf(x),f(x),f (x),f (x),fiv(x), . . .,fn(x)dihasilkan:

f(a) = c0, atau c0 =f(a)

f(a) = c1, atau c1 =f(a)

f (a) = 2 c2, atau c2 = ()

f(a) = 6c3, atau c3 = ()

fiv

(a) = 6c3, atau c3=()

dan secara umum dihasilkan,

fn(x) = , atau = =

()


8/15

8

Dengan demikian dapat disimpulkan, jika fungsi:

() ( )

= + ( ) +( )+ ( )+. . . + ( ) + . . .

untuk setiap nilaix yang terletak dalam interval konvergensinya berlaku ketentuan,

()

Koefisien, cn ini sering dijumpai dalam rumus deret Taylor. Berikut ini secara formal

diberikan rumus ekspansi deret Taylor bagi fungsi yang konvergen dengan jari-jari

konvergensiR 0.

Andaikanf adalah sebuah fungsi yang memiliki turunanf(x),f (x),f (x),. .., f

n(x), dan kontinu pada interval terbuka (a-r, a+r), dan f

n+1(x) ada pada interval

terbuka (a-r, a+r). ekspansi deret Taylor dari fungsif disekitarx = a diberikan oleh:

() () ()( ) () ( )

() ( )

() ( )

()

Dengan,Rn(x) disebut dengan galat (error) yang diberikan oleh.

() ()

() ()


9/15

9

dan,

()

Dari rumus di atas, diperoleh hampiran polinom Taylor orde-n,fn(x) adalah:

() () ()( ) () ( )

() ( )

Dalam kasus khusus a = 0 polinom Taylor orde-n dapat disederhanakan, yang

disebut polinom MacLaurin orde-n. Dengan demikian polinom MacLaurin orde-n

diberikan oleh rumus,

() () ()() () ()

() () ()

dimana sisa (galat/ error)Rn(x) diberikan oleh rumus.

() ()

() ()

dan c suatu titik antara x dan 0. Sehingga nilai hampiran fungsi polinom MacLaurin

adalah

() ()

()() ()

()

()

()


10/15

10

Deret-deret khusus

Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin maka dihasilkan ekspansi deret

untuk fungsi berikut ini,

1) Sinx = () ()

2) Cosx = () ()

3) ex = = 4) 5) ln(1+x) = ()

6) ln| |=

7) tan-1x = () () 2. 3 Menghitung Integral Tak Wajar Menggunakan Ekspansi Deret

MacLaurin

Sebagaimana telah diketahui bahwa, dalam menndefinisikan integral terttentu

()

, biasanya fungsi f diandaikan terdefinisikan pada interval tertutup [a, b]

yang berhingga atau terbatas. Biasanya untuk menghitung integral tertentu

() digunakan Teorema Dasar Kalkulus. Namun demikian banyak kasusintegral tertentu tidak dapat dihitung dengan metode integrasi dan menggunakan


11/15

11

Teorema Dasar Kalkulus. Hal ini disebabkan karena anti turunan dari integran atau

integral tak tentunya tidak mempunyai anti turunan. Misalnya adalah integral tertentu,

dx

bentuk integral di atas disebut integral tak wajar. Pengintegralan secara numerik ini

akan lebih mudah dikerjakan dengan bantuan komputer. Salah satu metode yang

dapat digunakan menggunakan ekspansi deret MacLaurin. Berikut ini disajikan

beberapa penerapan untuk menghitung integral yang dimaksud.

Contoh 2.3.1

Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin hitunglah,

, sampaidengan enam angka decimal

Penyelesaian

Dari fungsi yang akan di integralkan di atas dalam ekspansi deret MacLaurin, fungsi

cosx diberikan oleh,

Cosx = 1 +

+

+ . . .

Sehingga dihasil

1 cosx = 1(1 +

+

+ . . .)

=

. . .

dan,


12/15

12

(

. . .)

=

. . .

Dengan menggunakan hasil terakhir ini maka dihasilkan,

= (

. . .)

= [

]

=

= 0,5 0,013 889 + 0,000 278 0,000 004 = 0,486 385Jadi,

= 0,486 385

Contoh 2.3.2

Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin hitunglah, , sampaienam angka decimal

Penyelesaian

Dalam bentuk ekspansi deret MacLaurin, fungsi sinx diberikan oleh,

sinx = x

+

+

+ . . .Sehingga jikax diganti dengan dihasilkan,

sin = +

+

+ . . .


13/15

13

dengan menggunakan hasil diatas, maka dihasilkan:

= ( + + + . . .)

= [

]

=

= 0, 333 333 0,023 809 + 0,000 757 0,000 012 + 0,000 001

= 0,310 268

Jadi,

0,310 268


14/15

14

BAB III

PENUTUP

3. 1 KesimpulanDari pembahasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa:

a. Dalam kondisi khusus suatu integral tertentu (integral tak wajar) tidak dapatdiselesaikan menggunakan Teorema Dasar Integral Kalkulus

b. Salah satu metode yang bisa dipaki untuk menyelesaikan integral tak wajaradalah dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin

c. Rumus ekspansi deret MacLaurin diperoleh dari kondisi khusus yang terjadipada polinom Taylor orde-n dalam kasus khusus a = 0.

3. 2 SaranBerdasarkan kesimpulan di atas maka dalam menyelesaikan/ menghitung

integral tak wajar, ekspansi deret MacLaurin bisa dijadikan sebagai alternatif

penyelesaian


15/15

15

DAFTAR PUSTAKA

Baisuni, Hasyim H. M. 1986.Kalkulus. Jakarta. UI-PRESS

Prayudi. 2009. Kalkulus Lanjut, Fungsi Banyak Variabel & Penerapannya.Yogyakarta: Graha Ilmu

Purcell, Edwin J, Verberg, Dale, (terjemahan I Njoman Susila, Barna Karta Sasmita,

Rawuh,). 1991. Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi Keempat, Jilid I.

Jakarta: Erlangga

makalah murni bersih.docx

Documents