makalah murni bersih.docx
TRANSCRIPT
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
1/15
1
BAB I
PENDAHULUAN
1. 1 Latar BelakangDalam mendefinisikan suatu integral tertentu, sebagaimana telah diketahui
misalkan suatu fungsi f terdefinisikan pada interval tertutup [a, b] yang berhingga
atau terbatas. Biasanya untuk menghitung integral tertentu () digunakanTeorema Dasar Kalkulus. Namun demikian banyak kasus integral tertentu tidak dapat
dihitung dengan metode integrasi dan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus. Hal ini
disebabkan karena anti turunan dari integran atau integral tak tentunya tidak
mempunyai anti turunan. Misalnya adalah integral tertentu,
dx
Bentuk integral di atas disebut integral tak wajar.
Integral tak wajar ialah integral suatu fungsi yang berbentuk sebagai berikut:
(i) () ,dimanaf(x) harga nilai limitnya menjadi tak hingga untuk suatu harga x dalam
interval [a, b], dan dinamakan integral tak wajar jenis pertama.
(ii) ()
atau ()
atau ()
dimana salah satu atau kedua harga limi batas integralnya adalah tak hingga,
bentuk ini dinamakan integral tak wajar jenis kedua.
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
2/15
2
Dari kedua jenis integral tak wajar di atas maka, dapat dikatakan bahwa empat contoh
integral tak wajar yang diberikan di atas merupakan bentuk integral tak wajar jenis
pertama.
Bentuk integral tak wajar di atas akan semakin banyak dijumpai pada
penerapan integral, dan ada metode khusus untuk menyelesaikannya. Pengintegralan
secara numerik ini akan lebih mudah dikerjakan dengan menggunakan bantuan
komputer. Selain menggunakan metode komputer dalam penyelasaian masalah
integral tak wajar di atas, juga terdapat salah satu metode yang cukup praktis dan bisa
dipakai yaitu menggunakan ekspansi deret MacLaurin.
Dari uraian di atas, penulis tertarik untuk melihat tentang penggunaan ekspansi
deret MacLaurin pada penyelesaian masalah integral tak wajar dengan menulis
makalah yang berjudul Menghitung Integral Tak Wajar Menggunakan Ekspansi
Deret MacLaurin.
1. 2Rumusan MasalahBerdasarkan latar belakang yang disampaikan, maka rumusan masalah dalam
penulisan makalah ini yaitu: Bagaimana menghitung integral tak wajar menggunakan
ekpspansi deret MacLaurin?
1. 3 Tujuan PenulisanTujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui cara menghitung
integral tak wajar menggunakan ekspansi deret MacLaurin.
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
3/15
3
BAB II
PEMBAHASAN
2. 1 Integral Tak WajarDalam mendefinisikan integral tentu () sebagai limit jumlah Reimann
ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
a. Batas pengintegralan berhinggab. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a, b]Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut
integral tak wajar.
Jenis-jenis integral tak wajar:
1. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga2. Integral tak wajar dengan integran tak hingga
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :
(i). () = ()
(ii). () = ()
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen dan
memiliki nilai yang berhingga itu. Jika tidak, integral disebut divergen
(iii). () = () + ()
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
4/15
4
= () + ()
Jika () dan () konvergen, maka () konvergen
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
5/15
5
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga1.
Integran Tak Hingga di Ujung Suatu Selang
Definisi:
Andaikanf kontinu pada selang setengah terbuka [ a, b) dan andaikan () = Maka
()
()
Andaikanf kontinu pada selang setengah terbuka [ a, b) dan andaikan () = Maka
()
()
Asalkan limit pada ruas kanan ada. Dalam hal ini dikatakan bahwa integral tak
wajar tersebut konvergen. Dalam hal lain integral tersebut divergen.
2. Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang PengintegralanDefinisi:
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan ( ) =
maka
()
()
()
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
6/15
6
Asal saja kedua integral di ruas kanan konvergen. Apabila tidak, integral
() disebut divergen.
2. 2 Ekspansi deret MacLaurinDalam penerapan integral tentu, dari rumus diferensial dan integrasi deret
pangkat secara tidak langsung telah diperoleh ekspansi fungsi suku banyak yang
dinyatakan dalam bentuk deret pangkat.
Secara umum ekspansi deret pangkat untuk fungsi dengan suku banyak
diberikan oleh,
() ( )
= + ( ) + ( )+ ( )+ . . . + ( ) + . . .
dimana jari-jari konvergennya adalahR 0. Menurut diferensial deret pangkat jari-jari konvergensi fungsi dan turunannya adalah R 0. Dengan mendiferensialkanfungsifsampai dengan tak hingga pada interval konvergensinya dihasilkan,
f(x) = + ( ) + ( )+ ( )+ . . . + ( ) + . . .
f(x) = + ( ) + 3( )+ 4( )+ . . . + ( ) + . . .
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
7/15
7
f (x) = + 6( ) + ( )+ . . . + ( )( ) + . . .
f (x) = + 24( ) +. . . + ( )( )( ) + . . .
fiv(x) = + ( ) +. . . + ( )( )( )( ) + . . .
..
fn(x) = + ( ) + ( ) + . . .
Jikax = a disubstitusikan pada persamaanf(x),f(x),f (x),f (x),fiv(x), . . .,fn(x)dihasilkan:
f(a) = c0, atau c0 =f(a)
f(a) = c1, atau c1 =f(a)
f (a) = 2 c2, atau c2 = ()
f(a) = 6c3, atau c3 = ()
fiv
(a) = 6c3, atau c3=()
dan secara umum dihasilkan,
fn(x) = , atau = =
()
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
8/15
8
Dengan demikian dapat disimpulkan, jika fungsi:
() ( )
= + ( ) +( )+ ( )+. . . + ( ) + . . .
untuk setiap nilaix yang terletak dalam interval konvergensinya berlaku ketentuan,
()
Koefisien, cn ini sering dijumpai dalam rumus deret Taylor. Berikut ini secara formal
diberikan rumus ekspansi deret Taylor bagi fungsi yang konvergen dengan jari-jari
konvergensiR 0.
Andaikanf adalah sebuah fungsi yang memiliki turunanf(x),f (x),f (x),. .., f
n(x), dan kontinu pada interval terbuka (a-r, a+r), dan f
n+1(x) ada pada interval
terbuka (a-r, a+r). ekspansi deret Taylor dari fungsif disekitarx = a diberikan oleh:
() () ()( ) () ( )
() ( )
() ( )
()
Dengan,Rn(x) disebut dengan galat (error) yang diberikan oleh.
() ()
() ()
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
9/15
9
dan,
()
Dari rumus di atas, diperoleh hampiran polinom Taylor orde-n,fn(x) adalah:
() () ()( ) () ( )
() ( )
Dalam kasus khusus a = 0 polinom Taylor orde-n dapat disederhanakan, yang
disebut polinom MacLaurin orde-n. Dengan demikian polinom MacLaurin orde-n
diberikan oleh rumus,
() () ()() () ()
() () ()
dimana sisa (galat/ error)Rn(x) diberikan oleh rumus.
() ()
() ()
dan c suatu titik antara x dan 0. Sehingga nilai hampiran fungsi polinom MacLaurin
adalah
() ()
()() ()
()
()
()
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
10/15
10
Deret-deret khusus
Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin maka dihasilkan ekspansi deret
untuk fungsi berikut ini,
1) Sinx = () ()
2) Cosx = () ()
3) ex = = 4) 5) ln(1+x) = ()
6) ln| |=
7) tan-1x = () () 2. 3 Menghitung Integral Tak Wajar Menggunakan Ekspansi Deret
MacLaurin
Sebagaimana telah diketahui bahwa, dalam menndefinisikan integral terttentu
()
, biasanya fungsi f diandaikan terdefinisikan pada interval tertutup [a, b]
yang berhingga atau terbatas. Biasanya untuk menghitung integral tertentu
() digunakan Teorema Dasar Kalkulus. Namun demikian banyak kasusintegral tertentu tidak dapat dihitung dengan metode integrasi dan menggunakan
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
11/15
11
Teorema Dasar Kalkulus. Hal ini disebabkan karena anti turunan dari integran atau
integral tak tentunya tidak mempunyai anti turunan. Misalnya adalah integral tertentu,
dx
bentuk integral di atas disebut integral tak wajar. Pengintegralan secara numerik ini
akan lebih mudah dikerjakan dengan bantuan komputer. Salah satu metode yang
dapat digunakan menggunakan ekspansi deret MacLaurin. Berikut ini disajikan
beberapa penerapan untuk menghitung integral yang dimaksud.
Contoh 2.3.1
Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin hitunglah,
, sampaidengan enam angka decimal
Penyelesaian
Dari fungsi yang akan di integralkan di atas dalam ekspansi deret MacLaurin, fungsi
cosx diberikan oleh,
Cosx = 1 +
+
+ . . .
Sehingga dihasil
1 cosx = 1(1 +
+
+ . . .)
=
. . .
dan,
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
12/15
12
(
. . .)
=
. . .
Dengan menggunakan hasil terakhir ini maka dihasilkan,
= (
. . .)
= [
]
=
= 0,5 0,013 889 + 0,000 278 0,000 004 = 0,486 385Jadi,
= 0,486 385
Contoh 2.3.2
Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin hitunglah, , sampaienam angka decimal
Penyelesaian
Dalam bentuk ekspansi deret MacLaurin, fungsi sinx diberikan oleh,
sinx = x
+
+
+ . . .Sehingga jikax diganti dengan dihasilkan,
sin = +
+
+ . . .
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
13/15
13
dengan menggunakan hasil diatas, maka dihasilkan:
= ( + + + . . .)
= [
]
=
= 0, 333 333 0,023 809 + 0,000 757 0,000 012 + 0,000 001
= 0,310 268
Jadi,
0,310 268
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
14/15
14
BAB III
PENUTUP
3. 1 KesimpulanDari pembahasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa:
a. Dalam kondisi khusus suatu integral tertentu (integral tak wajar) tidak dapatdiselesaikan menggunakan Teorema Dasar Integral Kalkulus
b. Salah satu metode yang bisa dipaki untuk menyelesaikan integral tak wajaradalah dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin
c. Rumus ekspansi deret MacLaurin diperoleh dari kondisi khusus yang terjadipada polinom Taylor orde-n dalam kasus khusus a = 0.
3. 2 SaranBerdasarkan kesimpulan di atas maka dalam menyelesaikan/ menghitung
integral tak wajar, ekspansi deret MacLaurin bisa dijadikan sebagai alternatif
penyelesaian
-
7/27/2019 makalah murni bersih.docx
15/15
15
DAFTAR PUSTAKA
Baisuni, Hasyim H. M. 1986.Kalkulus. Jakarta. UI-PRESS
Prayudi. 2009. Kalkulus Lanjut, Fungsi Banyak Variabel & Penerapannya.Yogyakarta: Graha Ilmu
Purcell, Edwin J, Verberg, Dale, (terjemahan I Njoman Susila, Barna Karta Sasmita,
Rawuh,). 1991. Kalkulus dan Geometri Analitis, Edisi Keempat, Jilid I.
Jakarta: Erlangga