MAKALAH ANALISIS KOMPLEKS

BENTUK BENTUK BILANGAN KOMPLEKS, NILAI MUTLAK, KONJUGAT, EKSPONEN, DAN AKAR BILANGAN KOMPLEKSD

I

S

U

S

U

NOLEH:KELOMPOK II

1. AGNES AGUSTINA PURBA

2. ICHSAN IRFANDI PAKPAHAN

3. JUWITA SIMAMORA

4. MAULIDA HAFNIKELAS:DIK B MATEMATIKA 2012

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2014KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat-Nya sehingga makalah Analisis Kompleks ini dapat diselesaikan.

Makalah ini berisi tentang bentuk bentuk bilangan kompleks, nilai mutlak, konjugat bilangan kompleks, eksponen dan akar bilangan kompleks.

Terima kasih kepada dosen pengampu mata kuliah Analalisis Kompleks yang memberikan bimbingan untuk pembuatan makalah ini dan juga kepada anggota kelompok II atas kerjasama yang baik, sehingga makalah ini dapat selesai dalam waktu yang telah ditetapkan. Satu harapan makalah ini dapat membantu dalam mencapai tingkat pemahaman tentang Bilangan Kompleks.

Makalah kami ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari para pembaca demi perbaikan makalah kami kedepannya.

Akhir kata, kami mohon maaf atas segala kesalahan dan kekurangan makalah kami ini.

Medan, Februari 2014

PenulisKelompok II

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

2DAFTAR ISI

3Bab I : PENDAHULUAN

A. Defenisi Bilangan Kompleks ...........................................................................

4B. Operasi Pada Bilangan Kompleks .....................................................................

4Bab II : PEMBAHASAN

A. Bentuk Bentuk Bilangan Komplek

51. Bentuk Rektangular 52. Bentuk Polar

63. Bentuk Eksponensial

7B. Nilai Mutlak

7C. Konjugat Bilangan Kompleks

81. Defenisi Konjugat

82. Bentuk Konjugat Bilangan Kompleks

93. Sifat Utama Konjugat

10D. Eksponen dan Akar Bilangan Kompleks

111. Eksponen

112. Akar Bilangan

12Bab III : KESIMPULAN

14DAFTAR PUSTAKA 15BAB IPENDAHULUAN

Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem bilangan real, tetapi sistem bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompleks.A. Definisi Bilangan Kompleks

Suatu bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut bilangan real, yang dinotasikan dengan (a,b) atau a + bi. Bilangan a disebut bagian real dan bilangan b disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks tersebut.

Selanjutnya sering digunakan notasi dengan satu huruf tunggal, misal z, untuk menyatakan suatu bilangan kompleks, yaitu dengan menuliskan

dan dengan notasi tersebut, bagian real dari z ditulis dengan Re(z), sedangkan bagian imajinernya ditulis dengan Im(z). Dalam hal ini, Re(z) = a dan Im(z) = b.

B. Operasi Pada Bilangan Kompleks

Jumlah dan selisih dua bilangan kompleks didefinisikan dengan menjumlahkan atau mengurangkan bagian real dan bagian imajiner yang bersesuaian, yaitu

Perkalian dua bilangan kompleks dapat dilakukan dengan menguraikan sesuai aturan aljabar umum, tetapi dengan mengingat , yaitu:

Dengan demikian perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan sebagai

BAB II

PEMBAHASAN

A. BENTUK-BENTUK BILANGAN KOMPLEKSAda beberapa bentuk penulisan bilangan kompleks yaitu : Bentuk Polar

Bentuk Rectangular

Bentuk Exponensial

1. BENTUK REKTANGULARBentuk bilangan kompleks a + jb disebut juga bilangan kompleks bentuk rektangularGambar grafik bilangan kompleks bentuk rektangular :

Dari gambar di atas titik A mempunyai koordinat (a,jb). Artinya titik A mempunyai absis a dan ordinat b2. BENTUK POLARBilangan kompleks bentuk rektangular a+ jb dapat juga dinyatakan dalam bentuk polar, dengan menggunakan suatu jarak (r) terhadap suatu titik polar (Jika OA = r, maka letak (kedudukan) titik A dapat ditentukan terhadap r dan ( .

Sehingga rumus yang didapatkan untuk mengubah suatu bilangan kompleks dari bentuk rektangular ke bentuk polar adalah:

r adalah sisi miring, yang nilainya adalah :

Besar sudut kemiringan dengan :

3. BENTUK EKSPONENSIALBentuk eksponensial diperoleh dari bentuk polar. Harga r dalam kedua bentuk itu sama dan sudut dalam kedua bentuk itu juga sama, tetapi untuk bentuk eksponensial harus dinyatakan dalam radian.

B. NILAI MUTLAK (MODULUS)

Nilai mutlak atau absolut atau modulus didefinisikan sebagai jarak antara z dengan sumbu koordinat x dan y dan diberikan sebagai

Contoh Soal

Tentukanlah nilai mutlak dari : a.

b.

Penyelesaian :

a. .b.

Jika dan bilangan kompleks, maka berlaku :

1. 2. 3. 4. C. KONJUGAT BILANGAN KOMPLEKS1. DEFENISI

Jika adalah suatu bilangan kompleks, maka dinamakan konjugat dari bilangan kompleks. Konjugate adalah bayangan cermin bilangan nyata (riel) dalam system bilangan kompleks, dimana tanda pada komponen imajiner berubah (berlawanan). Konjugasi dituliskan dengan tanda * .

Secara matematis, konjugat bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut :

2. CARA PENULISAN

Bentuk

Konjugasi

1. Rektanguler

2. Polar

-

3. Trigonometri

(cos + i sin )

(cos - i sin )

4. Eksponensial

Contoh Soal dan Penyelesaian

Nyatakan soal berikut dalam bentuk konjugasi

a. Z = a + ib

Konjugasi : z = a ib

b. Z = 3 7iKonjugasi : z = 3 + 7ic. Z = 4x + i(2-3y)

Konjugasi : z = 4x i(2-3y)

3. SIFAT SIFAT UTAMA KONJUGASI

1. 2. (* = * + *3. (* = *. *4. (* = */ *5. 6. 7. Contoh Soal dan Penyelesaian

Tentukan tempat kedudukan semua titik pada bidang datar sehingga Im

Penyelesaian :

Misalkan z = x + iy

Maka jika di substitusikan akan diperoleh :

Jadi tmpat kedudukan yang memenuhi adalah y = -2

D. EKSPONEN DAN AKAR BILANGAN KOMPLEKS

1. EKSPONEN

Selain dalam bentuk umum dan bentuk kutub , bilangan kompleks juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

Bentuk eksponenBentuk eksponen bilangan kompleks yaitu

dengan dinamakan rumus Euler.

Operasi aljabar bentuk eksponenMisalkan dan .

a. Perkalian

b. Pembagian

c. Invers sebarang bilangan kompleks yaitu

Bentuk pangkatMisalkan , maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan riil diperoleh

,

Rumus MoivreJika , maka bentuk pangkat di atas menjadi , atau , . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk yang disebut Rumus Moivre .

2. BENTUK AKARBentuk akarMisalkan , akar pangkat n dari bilangan kompleks ditulis atau . Jika diberikan bilangan kompleks dan n bilangan bulat positif, maka diperoleh n buah akar untuk yaitu

, .

Secara geometri, n buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n beraturan pada suatu lingkaran dengan pusat titik O dan jari-jari .

ContohTentukan semua akar dari dan gambarkan akar-akar tersebut dalam bidang kompleks.

Penyelesaian :

Misalkan , maka dan ,

,

Sehingga diperoleh

.

.

.

y

2

x .

BAB IIIKESIMPULAN

1. Beberapa bentuk penulisan bilangan kompleks yaitu : Bentuk Polar

Bentuk Rectangular

Bentuk Ekponensial2. Nilai mutlak atau absolut atau modulus didefinisikan sebagai jarak antara z dengan sumbu koordinat x dan y dan diberikan sebagai 3. Konjugat bilangan kompleks dimana dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut :

4. Bentuk eksponen bilangan kompleks yaitu dengan dinamakan rumus Euler.5. Bilangan kompleks mempunyai bentuk kutub , dan bentuk eksponen , dengan . DAFTAR PUSTAKASpiegel, Murray. 1987. Peubah Kompleks dengan Pengenalannya. Jakarta : Erlanggahttp://personal.fmipa.itb.ac.id/theo/files/2011/08/analisis_kompleks.pdfhttp://repository.binus.ac.id/content/bilangankompleks.dochttp://www.slideshare.net/agus_budiarto/bilangan-kompleks-lengkap

_1454092992.unknown

_1454093008.unknown

_1454093016.unknown

_1454093025.unknown

_1455305464.unknown

_1455307379.unknown

_1455307514.unknown

_1455306882.unknown

_1455305555.unknown

_1454093027.unknown

_1454093029.unknown

_1454093031.unknown

_1455305352.unknown

_1454093030.unknown

_1454093028.unknown

_1454093026.unknown

_1454093020.unknown

_1454093023.unknown

_1454093024.unknown

_1454093022.unknown

_1454093018.unknown

_1454093019.unknown

_1454093017.unknown

_1454093012.unknown

_1454093014.unknown

_1454093015.unknown

_1454093013.unknown

_1454093010.unknown

_1454093011.unknown

_1454093009.unknown

_1454093000.unknown

_1454093004.unknown

_1454093006.unknown

_1454093007.unknown

_1454093005.unknown

_1454093002.unknown

_1454093003.unknown

_1454093001.unknown

_1454092996.unknown

_1454092998.unknown

_1454092999.unknown

_1454092997.unknown

_1454092994.unknown

_1454092995.unknown

_1454092993.unknown

_1454092984.unknown

_1454092988.unknown

_1454092990.unknown

_1454092991.unknown

_1454092989.unknown

_1454092986.unknown

_1454092987.unknown

_1454092985.unknown

_1454092979.unknown

_1454092981.unknown

_1454092983.unknown

_1454092980.unknown

_1454092977.unknown

_1454092978.unknown

_1454092976.unknown

_1167932268.unknown