BAB IPENDAHULUAN Matriks adalah Susunan skalar atau bilangan yang berbentuk jajaran empat persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom yang diletakkan dalam kurung biasa atau kurung siku. Ukuran suatu matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal). Suatu matriks berukuran m x n yang terdiri dari m baris dan n kolom. Dalam menyatakan suatu matriks biasanya digunakan huruf kapital atau huruf besar dalam susunan alphabet misal: A, B, dan C. Sedangkan dalam menyatakan unsur atau elemen atau anggota digunakan huruf kecil dalam susunan alphabet, misal: a, b, dan c. Dalam menunjukkan sebuah matriks kadang kala digunakan sepasang tanda kurung; ( ), garis tegak ganda || || dan dipakai penulisan sepasang kurung siku [ ]. Sifat-sifat Operasi matriks untuk bilangan real dan , selalu berlaku yang disebut hukum komutatif perkalian(. Tetapi untuk matriks,AB dan BA tidak selalu setara. Kesetaraan tidak terjadi karena tiga alasan : Kemungkinan petama, hasil kali AB dapat didefenisikan tetapi BA tidak dapat didefenisikan. Sebagai contoh,jika adalah matriks dan B adalah Matriks .Mungkin pula terjadi bahwa keduanya dapat didefenisikan tetapi memiliki ukuran yang berbeda.Ini terjadi jika A adalah matriks dan B adalah matriks . Kemungkinan terakhir, sebagaimana pada contoh di bawah, kita memperoleh dapat didefenisikan dan memiliki ukuran yang sama.Perhatikan matriks-matriks ini. A = B= Dengan mengalikan keduanya maka akan diperoleh :AB = BA = Jadi, ABBAMeskipun hukum komutatif perkalian tidak berlaku dalam aritmatika matriks, banyak hukum-hukum aritmatika lain yang berlaku untuk matriks.

BAB IIPEMBAHASANA. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS1. Pengertian Matriks Matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan atau dapat didefenisikan juga sebagai himpunan skalar yang disusun menurut baris dan kolom dan terdapat dalam kurung pembatas. Bilangan-bilangan yang menyusun baris atau-pun kolom dari suatu matriks disebut elemen-elemen matriks.Untuk batasnya adalah :

Kita akan melihat bagaimana matriks-matriks dapat digabungkan melalui operasi-operasi aritmatika seperti penjumlahan,pengurangan dan perkalian.Contoh matriks : Sebagai contoh ; matriks pertama pada contoh-1 memiliki tiga baris dan tujuh kolom, sehingga ukurannya adalah 3 kali 7 (37). Matriks yang hanya terdiri dari satu kolom disebut matriks kolom. Dan matriks yang hanya terdiri dari satu baris disebut matriks baris. Akan tetapi di bawah ini adalah bukan matriks, Di atas bukan matriks karena bukan susunan persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom.2. Ordo Suatu Matriks Setiap matriks selalu mempunyai ukuran yang disebut ordo suatu matriks atau order suatu matriks. Didefinisikan bahwa matriks yang terdiri dari m-baris dan n-kolom yang disebut matriks yang berordo m n. Matriks-matriks yang berordo sama disebut sederajat atau komparabel.Contoh : A =Dari matriks A di samping berordo 32 (3 menyatakan baris dan 2 menyatakan kolom)3. Penyajian Matriks A yang berordo m x n (m banyaknya baris dan n banyaknya kolom)

Am x n =Keterangan: a11 :adalah elemen Matriks A yang berada di baris ke-satu dan kolom ke-satu a22 :adalah elemen Matriks A yang berada di baris ke-dua dan kolom ke-duaamn : adalah elemen Matriks A yang berada di baris ke-m dan kolom ke-n Untuk menyatakan matriks maka menggunakan huruf kapital dan huruf kecil untuk menyatakan kuantitas numeric, sehingga kita dapat menulis :A = atau C = Dan matriks umum m x n sebagai;= dan untuk notasi yang singkat, maka matriks dapat ditulis :m x n atau Entri pada baris i dan kolom j dalam matriks A juga bisa dinyatakan dengan simbol . Jadi untuk matriks A = kita memiliki = -1, , dan .

4. Beberapa Jenis Matriks Khususa) Matriks Baris adalah suatu matriks yang terdiri dari satu baris yang mengandung n unsur.Secara umum matriks baris berordo 1 x nContoh :

b) Matriks Kolom adalah suatu matriks yang terdiri dari satu kolom yang mengandung m unsur. Secara umum matriks kolom berordo m x 1.Contoh:

c) Matriks Bujur Sangkar Adalah Setiap matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Sebuah matriks bujur sangkar dengan n-baris dan n-kolom sering disebut berordo-n.Contoh :

A = adalah matriks bujur sangkar ordo 2d) Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya nol ( 0)

Contoh : e) Matriks Diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol.

Contoh : f) Matriks Identity ( Satuan ) adalah matriks diagonal yang elemen elemen diagonal utamanya semua sama dengan 1 dan elemen di luar diagonal utama sama dengan nol.

g) Matriks Skalar adalah matriks diagonal utamanya sama dengan k, Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks skalar dengan k = 1.

h) Matriks Segitiga Bawah ( Lower Triangular ) adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol.

Contoh : i) Matriks Segitiga Atas ( Upper Triangular ) adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol.

Contoh : j) Matriks Simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri, Dengan perkataan lain A = AT dan matriks simetris merupakan matriks bujur sangkar.Contoh :

A = dan AT = k) Matriks Antisimetris adalah matriks yang transposenya adalah negatifnya, Dengan perkataan lain AT = - A Contoh :

A= , AT =

l) Matriks Hermitian adalah matriks dengan transpose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri. Dengan perkataan lain AH = - AContoh

A = dan AH = m) Matriks Invers ( Kebalikan ) : Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar ordo n dan berlaku AB = BA + I maka dikatakan B invers dari A dan ditulis B = A-1 sebaliknya A adalah invers dari B dan ditulis A = B-1 n) Matriks Komutatif. Adalah Jika A dan B matriks yang bujur sangkar dan berlaku AB = BA.dan Anti Komutatif Jika AB = -BA.

B. OPERASI PADA MATRIKS Penggunaan matriks yaitu sebagai suatu alat yang sangat ampuh untuk mempersingkat pekerjaan dalam menyelesaikan suatu persamaan/model-model linier. Tetapi untuk aplikasi lain, kita perlu mengembangkan pemahaman mengenai aritmatika matriks dimana matriks-matriks dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan sesuai dengan kebutuhan. Selanjutnya akan ditunjukkan untuk mengembangkan aritmatika matriks tersebut.1. Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan menjadi matriks C (ditulis C = A + B) jika dan hanya jika:Ordo C = Ordo A = Ordo BJika A = dan B = matriks yang berukuran sama , maka A + B adalah suatu matriks C = , di mana cij = aij + bij untuk setiap i dan j. untuk semua baris dan kolomKesetaraan Matriks. Dua matriks A dan B dikatakan sama (A = B), jika Ordonya sama dan Elemen-elemen yang seletak sama.Contoh-1 :

Jika , maka

dan dengan eliminasi/ subtitusi diperoleh:

, lalu Contoh-2 :A = B = C = Jika x = 5 maka A=B, tetapi untuk matriks A C karena A dan C tidak mempunyai ukuran yang sama. Karena alasan yang sama maka B C karena memiliki ukuran yang berbeda. 2. Penjumlahan dan Pengurangana) Penjumlahan Matriks Jika matriks A dan B memiliki ordo yang sama, maka jumlah matriks A dan B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang bersesuaian (seletak). Jumlah matriks A dan B dinotasikan dengan A + B.

Dalam notasi matriks, jika A= dan B = memiliki ukuran yang sama maka:(A+B)ij = (A)ij + (B)ij = aij +bij(A-B)ij = (A)ij - (B)ij = aij - bijContoh-1 :

Apabila A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka A + B = B + A. Sifat tersebut dinamakan sifat komutatif penjumlahan dua matriks.

b) Pengurangan Matriks Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama maka matriks hasil pengurangan A dan B sama artinya dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks lawan B.Jadi A B = A + ( B). Telah kita ketahui bahwa jika a dan b dua bilangan real, maka berlaku: dengan adalah lawan dari b.

Dengan kata lain, pengurangan matriks A oleh matriks B dilakukan dengan cara menjumlahkan matriks A dengan lawan dari matriks B.Contoh -1: Diketahui matriks Tentukanlah matriks

Penyelesaian:

Contoh -2: Diketahui matriks . Tentukanlah: a. c. b. d.

Pembahasan : a.

b.

c.

d. Dari Contoh di atas dapat kita ketahui bahwa dalam pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif.

3. Kelipatan Skalar Perkalian skalar ialah perkalian suatu matriks dengan bilangan (skalar). Hasil kali matriks A dengan bilangan p ditulis p.A, ialah matriks yang ordonya sama dengan matriks A, dan elemen-elemennya didapat dari perkalian setiap unsur A dengan p.Contoh :A = , B = C = Kita memiliki :2A =, (-1)B = , C = Atau, Contoh :

A = maka 2A = =4. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real Pada umumnya perkalian Matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB BA.Definisi Perkalian dua matriks, dilakukan dengan mengalikan baris pada matriks pertama terhadapa kolom matriks ke-dua. hanya dapat dilakukan pada matriks yang ordonya ber-sesuaian (jumlah kolom pada matriks pertama = jumlah baris pada matriks ke dua).

Contoh-1 :

Contoh-2 :A = dan B = maka AB = = (5)A(1x3) dan B(3x1) maka C( 1x1)Contoh -3: Diketahui matriks: Tentukanlah: a. d. b. e. c. f.

Penyelesaian: a.

b.

c.

d.

e. =

= f.

Dari contoh di atas terlihat bahwa matriks , sementara

Apabila A, B, dan C adalah matriks-matriks yang seukuran/sepadan untuk dikalikan, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks, yaitu: Tidak bersifat komutatif, kecuali untuk matriks-matriks khusus. Bersifat asosiatif, Bersifat distributif, . Dengan demikian, pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif, tetapi berlaku sifat asosiatif dan distributif.

Sifat 1:

5. Transpos Suatu Matriks

Transpose Matriks A adalah sebuah matriks baru yang disusun dengan cara menuliskan baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru, baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks baru, dan seterusnya. Transpose matriks A dinotasikan dengan AT. Jika A adalah suatu matriks ,maka transpose matriks A adalah apabila matriks A berordo maka berordo .Contoh: A = , B= C = D= AT= BT CT = DT =

Definisi : Jika A adalah matrik bujur sangkar, maka trace dari A yang dinyatakan sebagai tr (A) didefenisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace dari A tidak dapat didefenisikan jika A bukan matriks bujur sangkar.Misal:

Diketahui :

maka, transpose dari A ditulis

Misal A = berukuran (m x n) maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran (n x m) maka AT =.Beberapa Sifat matriks transpose :(i) ( A + B ) T = AT + BT (ii) (AT ) T = A(iii) ( AT ) = (A)T (iv) ( AB ) T = BT AT Catatan :

Bila Matriks A = adalah suatu matriks kompleks, Maka Transpose Hermitian (Conjugate Transpose) yaitu AH = = , jika z = x yi maka = x + yiContoh :

A = maka AH = 6. Trace dari Sebuah Matriks

A= B = Tr (A) = a11 + a22 + a33 Tr (B) = -1 + 5 + 7 + 0 =11

C. INVERS ; ATURAN ARITMATIKA MATRIKS1. Sifat-sifat Operasi Matriks Untuk bilangan real dan , selalu berlaku yang disebut hukum komutatif perkalian(. Tetapi untuk matriks dan tidak selalu setara. Kesetaraan tidak terjadi karena tiga alasan : Kemungkinan petama, hasil kali dapat didefenisikan tetapi tidak dapat didefenisikan. Sebagai contoh,jika adalah matriks dan B adalah Matriks . Mungkin pula terjadi bahwa keduanya dapat didefinisikan tetapi memiliki ukuran yang berbeda. Ini terjadi jika matriks A adalah matriks dan B adalah matriks .Contoh : AB dan BA Tidak Selalu SetaraPerhatikan matriks-matriks

Dengan mengalikan keduanya akan diperoleh

Jadi, Meskipun hukum komutatif perkalian tidak belaku dalam aritmatika matriks, banyak hukum-hukum aritmatika lain yang berlaku untuk matriks. Beberapa hukum yang paling penting terangkum dalam teorema berikut.2. Sifat-sifat Aritmatika Matriks Dengan mengasumsikan bahwa ukuran matriks sedemikian rupa sehingga operasi operasi yang disebutkan dapat dilakukan, aturan-aturan aritmatika matriks berikut ini berlaku.i. (Hukum komutatif penjumlahan )ii. (Hukum Asosiatif penjumlahan)iii. (Hukum Asosiatif Perkalian)iv. (Hukum Distributif kiri)v. (Hukum Distributif kanan)vi. vii. viii. ix. x. xi. xii. xiii. Untuk membuktikan kesetaraan pada teorema ini kita harus menunjukkan bahwa matriks pada ruas kiri memiliki ukuran yang sama dengan matriks pada ruas kanan dan entri-entri yang bersesuaian pada kedua ruas adalah setara. Dengan pengecualian hukum asosiatif perkalian, semua bukti memiliki pola umum yang sama.Contoh: Hubungan Asosiasi Pada Perkalian MatriksSebagai sebuah ilustrasi hukum asosiatif pada perkalian matriks, perhatikan matriks-matriks berikut. , , Maka, Maka,

Dan

Sehingga sebagaimana dinyatakan pada sifat-sifat aritmatika matriks diatas. 3. SIFAT-SIFAT MATRIS NOL Dengan mengasumsikan ukuran matriks sedemikian rupa sehingga operasi-operasi berikut dapat dilakukan ,aturan-aturan aitmatika matriks berikut ini berlaku.a. b. c. d.

4. MATRIKS IDENTITAS Adalah matriks bujursangkar dengan bilangan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada entri-entri lainnya, seperti :dan seterusnya Matiks dengan bentuk seperti ini disebut matiks identitas dan dinyatakan dengan Jika adalah sebuah matriks identitas , maka sebagaimana diilustrasikan dalam contoh beikut, dan Jadi matriks identitas mempunyai peranan yang sama dalam arimatika matriks sebagimana peranan bilangan 1 dalam hubungan numerik Contoh:Perkalian dengan Matriks Identitas

Maka

Dan

5. Sifat- sifat Invers Matriks yang dapat dibalik hanya memiliki tepat satu invers Jika B dan C kedua-duanya invers dari matriks A, maka B = C.Bukti.Karena B adalah invers dari A, maka BA = . Dengan mengalikan kedua ruas disisi kanannya dengan C diperoleh (BA)C = Tetapi sehingga C=B.Jadi, jika A dapat dibalik, maka invers nya dapat dinyatakan dengan simbol . Maka, dan

Teorema-1Matriks

Dapat dibalik jika dan invers nya dapat dihitung sesuai rumus

Teorema-2Jika dan adalah matriks- matiks yang dapat dibalik dengan ukuran yang sama ,maka dapat dibalik dan

Bukti.Jika kita dapat menunujukkan bahwa maka kita dapat menunujukkan bahwa matriks dapat dibalik dan bahwa Tetapi Argumentasi yang sama menunjukkan bahwa ( Sehingga,Hasil kali dari sejumlah matriks yang dapat dibalik adalah matiks yang dapat dibalik, dan invers dari hasil kali tersebut adalah merupakan hasil kali dari invers-invers dalam urutan yang terbalik. Contoh Invers dari Hasil Kali. Pehatikan matiks-matriks berikut ini.

Dengan menggunakan rumus pada teorema 1 kita memperoleh

Selain itu,

Oleh karena itu, ( sebagaimana dinyatakan oleh teorema-2. Pangkat Suatu MatriksJika A adalah sebuah matriks kuadrat, maka didefinisikan pangkat bilangan bulat tak negatif menjadi

Akan tetapi, jika A dapat dibalik maka kita mendefenisikan pangkat bilangan bulat menjadi

Teorema berikut,menunjukkan bahwa hukum-hukum yang sudah dikenal dari eksponen adalah Benar.Teorema-3. Jika adalah matriks kuadrat dan serta adalah bilangan bulat ,maka

Teorema selanjutnya menetapkan beberapa sifat tambahan dari eksponen matriks tersebut.Teorema-4. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik,maka:a. b. c. Dan Kita simpulkan bagian ini dengan sebuah teorema menyetarakan sifat-sifat utama dari operasi transpos. Sifat-sifat Transpos.Teorema-5. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan, maka dapat dilakukan : a. b. (A+Bc. d. Transpose hasil kali dari sejumlah matriks setara dengan hasilkali dari transpos-transposnya dengan urutan terbalik.

BAB IIIPENUTUP SOAL !1. A = B = C = Hitunglah :a. A + B = b. A C = c. -2A = 2. Perhatikan Matriks-matriuks berikut : A= B = Maka hitunglah pernyataan ini adalah...a. 4B 2Ab. tr(A)c. tr(B)

3. Jika A = B= Maka hitunglah pernyataan berikut ini :a. 2AT + B = b. BT + 5AT =

4. Misalkan A adalah matriks Hitunglah A3 dan A-3 !

5. Hitunglah invers matriks-matriks berikut :A = B = C = Dan Buktikan bahwa matriks A dan matriks B di atas memenuhi hubungan(AB)-1 = B-1A-1 !

DAFTAR PUSTAKAAnton,Howard,Chris Rorres. Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan. PT Gelora Aksara Pratama. Jakarta : 2004.Anton,Howard. Elementary Linear Algebra Terj.Aljabar Linier Elementer Edisi Kelima. Erlangga. Bandung.Ayres,Frank,JR. Teori dan Soal-soal Matriks. Erlangga. Jakarta : 1994.Hadley,G. Linear Algebra Terj.Aljabar Linear. Erlangga. Jakarta : 1983.J.Leon, Steven. Aljabar Linier dan Aplikasinya edisi ke-5. Erlangga. Ciracas : 2001.Mulyana,Tatang, Karso. Aljabar Linear. Universitas Terbuka. Jakarta : 2003.Muis, Abdul ,Perang Siasat Matematika Dasar. Kreasi Wacana. Jakarta :2002.

13 Matriks,Operasi Matriks, dan Invers;Aturan Aritmatika Matriks