MAKALAH

SEJARAH MATEMATIKA

METODE LINGKARAN DESCARTES

Nama Kelompok :

Muardi

(G1D012006)

Endang Kurnia Setiawati

(G1D0120

Khairunnisa Hayyu Sumaya

(G1D012015)

Maretha Chintya Anggraini

(G1D0120

Yuli Larasati

(G1D012040)PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS MATARAM

2015

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Awal Sejarah Descartes

Menurut ahli sejarah, heroditus (450 M) menyatakan bahwa geometri berasal dari mesir. Ilmu geometri lahir dari tardisi pengukuran tanah ditepi sungai Nil. Pengukuran tanah senantiasa dilakukan sebagai akibat banjir yang sering terjadi. Sebuah manuskrip tua orang mesir bertajuk Papyrus Rhind yang ditulis oleh Ahmes 2000 SMsaat ini disimpan di museum London Inggrismenginformasikan tentang aturan-aturan dan rumus-rumus untuk mencari luas lading dan ini gudang gandum yang digunakan waktu itu.Orang mesir juga telah mengetahui banwa bentuk aljabar ax + b = 0 secara geometris dapat dinyatakan sebagai garis lurus. Demikian pula dengan bentuk-bentuk pangkat dua, telah mampu mereka ujudkan sebagai bentuk-bentuk seperti elips, parabola, dan hiperbola.Matematikawan Rene Descartes, yang lahir di sebuah desa La Haye Perancis 1596, adalah orang yang memiliki ketertarikan pada bidang geometri ini. filosof, ilmuwan, matematikus Perancis yang tersohor. Waktu mudanya dia sekolah Yesuit, College La Fleche. Begitu umur dua puluh dia dapat gelar ahli hukum dari Universitas Poitiers walau tidak pernah mempraktekkan ilmunya samasekali. Meskipun Descartes peroleh pendidikan baik, tetapi dia yakin betul tak ada ilmu apa pun yang bisa dipercaya tanpa matematik. Karena itu, bukannya dia meneruskan pendidikan formalnya, melainkan ambil keputusan kelana keliling Eropa dan melihat dunia dengan mata kepala sendiri. Berkat dasarnya berasal dari keluarga berada, mungkinlah dia mengembara kian kemari dengan leluasa dan longgar. Tak ada persoalan duit.

Dari tahun 1616 hingga 1628, Descartes betul-betul melompat ke sana kemari, dari satu negeri ke negeri lain. Dia masuk tiga dinas ketentaraan yang berbeda-beda (Belanda, Bavaria dan Honggaria), walaupun tampaknya dia tidak pernah ikut bertempur samasekali. Dikunjungi pula Italia, Polandia, Denmark dan negeri-negeri lainnya. Dalam tahun-tahun ini, dia menghimpun apa saja yang dianggapnya merupakan metode umum untuk menemukan kebenaran. Ketika umurnya tiga puluh dua tahun, Descartes memutuskan menggunakan metodenya dalam suatu percobaan membangun gambaran dunia yang sesungguhnya. Dia lantas menetap di Negeri Belanda dan tinggal di sana selama tidak kurang dari dua puluh satu tahun. (Dipilihnya Negeri Belanda karena negeri itu dianggapnya menyediakan kebebasan intelektual yang lebih besar ketimbang lain-lain negeri, dan karena dia ingin menjauhkan diri dari Paris yang kehidupan sosialnya tidak memberikan ketenangan cukup).

Descartes telah menemukan sebuah metode untuk menyajikan sebuah titik sebagi bilangan berpasangan dalam sebuah bidang datar. Bilangan-bilangan tersebut terletak pada dua garis saling tegak lurus satu dengan yang lainnya dan berpotongannya di sebuah titik yang dinamakan Origin (0,0), biasanya disimbolkan dengan hurus capital 0(0,0).Bidang itu dinamakan bidang koordinat atau yang lebih dikenal dengan system koordinat cartesius. Bidang koordinat terbagi dalam empat kwarter atau kudran. Contih P adalah sebuah titik (3,5). Bilangan 3 dinamakan koordinat x untuk P dan 5 dinamakan koordinat y untuk P. Selanjutnya, koordinat x di sebut absis dan koordinat y disebut ordinat.Dengan kelahiran bidang koordinat, terjadilah revolusi besar dalam bidang matematika. Dengan cerdasnya Descartes menyajikan bentuk-bentuk aljabar yang dilahirkan oleh orang-orang Mesir dan Khwarismi ke dalam bentuk permasalahan geometri secara systematic.Descartes mampu menghadirkan dan menjerat pengetahuan matematika masa lampau kedalam system koordinatnya. Kini aljabarnya orang-orang Mesir dan Khwarismi hadir tidak lagi sebagai bentuk bangun belaka melainkan muncul sebagai sosok bentuk yang lengkap dengan koordinatnya.Pada tahun 1649, Ratu Cristina mengundang Descartes ke Stockhol Swedia guna mengajarinya ilmu filsafat. Dalam pandangan hidupnya, Descartes menolak untuk mempercayai segala sesuatu sampai bisa membangun atau menemukan landasan untuk mempercayai hal itu sebagai sebuah kebenaran. Pandangan Descartes yang paling terkenal adalah Cogito, ego sum (Saya berfikir oleh karenannya saya ada). Pada tahun 1650, Descartes meninggal dalam undangan Ratu Cristina di Swedia tersebut.BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Metode Lingkaran Descartes

Metode decartes untuk mengkontruksi garis singgung adalah lebih bersifat aljabar dari pada infinitesimal dalam karakter.

Mesikipun pendekatkan fermat lebih dekat ke konteks infinitesimal,tetapi pendekatan aljabar Descartes memberi pengaruh yang lebih besar terhadap perkembangan kalkulus.

Metode Descartes untuk menentukan garis singgung terhadap kurva di titik melibatkan : pertama meletakkan titik pada perpotongan antara sumbu - dengan garis normal terhadap kurva dititik .Garis singgung terhadap kurva di kemudian diperoleh dengan menentukan garis yang melalui P dan tegak lurus terhadap garis normal di atas.

Secara umum,suatu lingkaran dengan pusat

dan jari-jari akan juga memotong kurva di titik kedua di sekitar .Tetapi, jika merupakan garis normal terhadap kurva di titik ,maka titik adalah titik ganda perpotongan dari kurva dan lingkaran .

Dengan mengasumsikan adalah polinomial ,maka persamaan

(5.3)

(Dengan dan tetap) akan memiliki absis dari koordinat titik sebagai akar gandanya.

Perhatikan bahwa suatu polinomial yang memiliki akar ganda,misalkan

pasti berbentuk Descartes mensyaratkan bahwa persamaan (5.3) memiliki akar ganda ,sehingga diperoleh

Dengan menyamakan koofisien dari yang berpangkat sama ,dia memperoleh nilai dalam bentuk akar ganda Akhirnya, diperoleh bahwa kemiringan garis singgung terhadap kurva di titik adalah (yaitu negatif dari seper-kemiringan garis normal terhadap kurva

yaitu 2.2 Contoh Soal Metode Descartes

Contoh soal 1 :

Perhatikan parabola atau Kemudian persamaan (5.3) memberikan

Karena ini adalah persamaan berderajat 2, maka ruas kanan persamaan (5.4) haruslah polynomial berderajat 2, sehingga :

Dengan menyamakan koefisien dari x yang berpangkat sama, diperoleh :

atau Dengan mensubstitusikan diperoleh sub-normal dan kemiringan garis singgung terhadap parabola di ( adalah

Contoh soal 2 :

Perhatikan parabola Untuk kasus ini, persamaan (5.4) adalah dalam bentuk

Penguraian persamaan diatas memberikan :

Dengan menyamakan koefisien kedua ruas di atas, diperoleh :

Yang akhirnya memberikan nilai Dengan mensubstitusikan , diperoleh sub-normal dan kemiringan dari garis singgung terhadap parabola di adalah BAB III

KESIMPULAN1. Metode Descartes untuk mengkontruksikan garis singgung lebih bersifat aljabar dari pada infitesimal tetapi metode Descartes memberi pengaruh yang lebih besar terhadap perkembangan kalkulus.

2. Menurut Descartes Secara umum,suatu lingkaran dengan pusat

dan jari-jari akan memotong kurva di titik kedua di sekitar .Tetapi, jika merupakan garis normal terhadap kurva di titik ,maka titik adalah titik ganda perpotongan dari kurva dan lingkaran .

Dengan mengasumsikan adalah polinomial ,maka persamaan nya dapat dituliskan :

3. Menurut Descartes mensyaratkan bahwa persamaan yang memiliki akar ganda maka persamaanya dapat dituliskan sebagai berikut:

Akhirnya, diperoleh bahwa kemiringan garis singgung terhadap kurva di titik adalah terhadap kurva yaitu