MATRIKSDisusun oleh :

RIDHO ANANDA, S.Pd

KLIK NEXT . . .

DAFTAR ISI

1. Notasi Matriks2. Istilah Dalam Matriks3. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan4. Perkalian Matriks5. Invers Matriks6. Aplikasi Matriks7. Daftar Pustaka8. Penutup

NOTASI MATRIKSMatriks adalah susunan sekelompok bilangan dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom dan diletakkan di antara dua tanda kurung.

Bentuk umum :

൮

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛൲

𝑎𝑚𝑛 adalah elemen atau unsur matriks yang terletak pada baris ke-m dan kolom ke-n

Baris

Kolom

BACK . . .

ISTILAH DALAM MATRIKS

1. Ordo matriks menunjukkan banyaknya baris dan kolom dari suatu matriks. Contoh 𝐴𝑚 𝑥 𝑛 artinya matriks A berordo 𝑚 𝑥 𝑛 dimana banyak baris m dan banyak kolom n.

2. Transpos Matriks A adalah sebuah matriks baru yang disusun dengan cara menuliskan baris pertama matriks A menjadi kolom pertama matriks baru, baris kedua matriks A menjadi kolom kedua matriks baru, dan seterusnya. Simbol transpos

matriks A adalah 𝐴′ atau 𝐴𝑡 atau 𝐴ሚ dibaca A aksen atau A transpos atau putaran A.

NEXT . . .

Klik Contoh

Klik contoh

4. Kesamaan dua matriks, matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika a) Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B b) Semua elemen yang seletak pada matriks A dan matriks

B mempunyai nilai yang sama.

5. Macam-macam matriks a) Matriks baris b) Matriks kolom c) Matriks persegi panjang d) Matriks persegi yang terdiri atas matriks segitiga atas,

matriks segitiga bawah, matriks identitas, atau matriks persegi biasa.

Klik Contoh

BACK . . .

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKSSyarat ordo-ordo matriks yang dijumlahkan atau dikurangkan

harus sama.

Operasi penjumlahan dan pengurangan dilakukan dengan mengoperasikan setiap elemen matriks satu dengan yang lainnya yang seletak.

Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan :

a. Bersifat komutatif b. Bersifat Asosiatif

c. Memiliki unsur identitas yaitu matriks O = ቀ0 00 0ቁ sehingga

A + O = O + A = A d. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif yaitu (−𝐴)

sehingga 𝐴+ሺ−𝐴ሻ=O

BACK . . .

Klik Contoh

PERKALIAN MATRIKS

1. Perkalian Matriks dengan Konstanta Apabila A adalah sebuah matriks berordo 𝑚 𝑥 𝑛 dan 𝑘 adalah suatu bilangan real, maka 𝑘𝐴 adalah matriks baru berordo 𝑚 𝑥 𝑛 yang diperoleh dari hasil perkalian 𝑘 dengan elemen-elemen matriks A. Sifat-sifat perkaliannya : a) ሺ𝑘+ 𝑙ሻ𝐴= 𝑘𝐴+ 𝑙𝐴 b) 𝑘ሺ𝐴+ 𝐵ሻ= 𝑘𝐴+ 𝑘𝐵 c) 𝑘ሺ𝑙𝐴ሻ= ሺ𝑘𝑙ሻ𝐴 d) 1ሺ𝐴ሻ= 𝐴 e) ሺ−1ሻ𝐴= −𝐴

NEXT . . .

Klik Contoh

2. Perkalian Matriks dengan Matriks Syarat matriks A dapat dikalikan dengan matriks B manakala banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. 𝐴𝑚 𝑥 𝑛 .𝐵𝑛 𝑥 𝑝 = 𝐶𝑚 𝑥 𝑝

Sifat-sifat perkalian dua matriks: a) 𝐴 .𝐵 ≠ 𝐵.𝐴 (umumnya tidak komutatif) b) ሺ𝐴.𝐵ሻ.𝐶= 𝐴.ሺ𝐵.𝐶ሻ (bersifat assosiatif) c) 𝐴.ሺ𝐵+ 𝐶ሻ= 𝐴.𝐵+ 𝐴.𝐶 (bersifat distributif) d) 𝐼.𝐴= 𝐴.𝐼= 𝐴 dimana I adalah matriks identitas e) Jika 𝐴.𝐵= 𝑂 belum tentu 𝐴= 𝑂 atau 𝐵= 𝑂 𝐴.𝐵= 𝐴.𝐶 belum tentu 𝐵= 𝐶 f) Jika 𝑚 dan 𝑛 konstanta real dan A, B matriks maka

ሺ𝑚𝐴ሻሺ𝑛𝐵ሻ= ሺ𝑚𝑛ሻ(𝐴𝐵) g) (𝐴.𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡.𝐴𝑡 Klik Contoh

Back . . .

INVERS MATRIKS1. Dua Matriks saling Invers

Apabila A dan B masing-masing adalah matriks persegi berordo sama berlaku hubungan 𝐴.𝐵= 𝐵.𝐴= 𝐼. maka bisa dikatakan 𝐴 adalah invers B atau B adalah invers A. Jika matriks A adalah invers B maka 𝐴= 𝐵−1 atau 𝐵 adalah invers 𝐴 maka 𝐵= 𝐴−1.

2. Determinan matriks persegi Determinan dari matriks A dilambangkan sebagai det𝐴 atau ȁ�𝐴ȁ�. Determinan yang akan dijelaskan adalah matriks yang berordo 2𝑥2 dan 3𝑥3.

. .

Klik Contoh

Klik Contoh

NEXT . . .

3. Invers Matriks Persegi Pada matriks persegi ordo 2 𝑥 2 rumus untuk mencari inversnya adalah sebagai berikut : 𝐴−1 = 1ȁ�𝐴ȁ� 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 ሾ𝐴ሿ Misalkan 𝐴= ቀ

𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቁ maka 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 ሾ𝐴ሿ= ቀ𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎 ቁ.

Pada matriks persegi ordo 3 𝑥 3 atau lebih maka digunakan rumus Gauss-Jordan yang akan diuraikan lagi pada jenjang Perguruan Tinggi. Klik Contoh

Back . . .

APLIKASI MATRIKSPerhitungan matriks dapat diaplikasikan untuk menentukan himpunan persamaan suatu persamaan linear. Penyelesaian dapat dilakukan dengan :

a) Determinan b) Invers matriks

Back . . .

Klik Contoh

ORDO MATRIKS

Dipunyai matriks 𝐴,𝐵, dan 𝐶 sebagai berikut :

1) 𝐴= −1 23 −51 2 ൩ maka ordo matriks 𝐴 adalah 3 𝑥 2

2) 𝐵= ቂ1 2 34 5 6ቃ maka ordo matriks 𝐵 adalah 2 𝑥 3

3) 𝐶= 124൩ maka ordo matriks 𝐶 adalah 3 𝑥 1

Back . . .

TRANSPOSE MATRIKS

Dipunyai matriks-matriks sebagai berikut :

1) 𝑀= 1 23 45 6൩ maka transpose matriks ሺ𝑀𝑡ሻ= ቂ1 3 52 4 6ቃ

2) 𝐴= ቂ2 3 67 1 5ቃ maka transpose matriks ሺ𝐴𝑡ሻ= 2 73 16 5൩

3) 𝐵= 257൩ maka transpose matriks ሺ𝐵𝑡ሻ= ሾ2 5 7ሿ Back . .

.

MACAM-MACAM MATRIKS

1) Matriks baris contohnya ሾ1 3 5ሿ 2) Matriks kolom contohnya ቂ36ቃ 3) Matriks persegi

a) Matriks persegi biasa ቂ1 24 3ቃ atau 3 2 15 3 16 7 9൩ b) Matriks segitiga atas 3 4 10 6 20 0 4൩ c) Matriks segitiga bawah ቂ2 03 4ቃ d) Matriks identitas ቂ1 00 1ቃ atau 1 0 00 1 00 0 1൩ Back . .

.

CONTOH SOAL PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS

1. Jika 𝐴= ቂ1 23 4ቃ,𝐵= ቂ

2 30 1ቃ, dan 𝐶= ቂ5 2−1 0ቃ maka bentuk

yang paling sederhana dari ሺ𝐴+ 𝐶ሻ− (𝐴+ 𝐵) adalah. . . Jawaban ሺ𝐴+ 𝐶ሻ−ሺ𝐴+ 𝐵ሻ = ቀቂ1 23 4ቃ+ቂ

5 2−1 0ቃቁ−ቀቂ1 23 4ቃ+ቂ

2 30 1ቃቁ

= ቂ6 42 4ቃ−ቂ3 53 5ቃ

= ቂ3 −1−1 −1ቃ Back . .

.

LATIHAN SOAL PERKALIAN MATRIKS DAN KONSTANTA

1) 2ቂ𝑥 21 −𝑥ቃ= ቂ6 42 −6ቃ nilai 𝑥 adalah . . .

Jawaban : 2ቂ𝑥 21 −𝑥ቃ= ቂ6 42 −6ቃ

⟺ቂ2𝑥 42 −2𝑥ቃ= ቂ

6 42 −6ቃ Jadi 2𝑥= 6 maka nilai 𝑥= 3.

Back . . .

PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS

1) Hasil kali ቂ1 2 34 5 6ቃ1 23 45 6൩ adalah . . .

Jawaban :

ቂ1 2 34 5 6ቃ1 23 45 6൩

= ቂ1.1+ 2.3+ 3.5 1.2+ 2.4+ 3.64.1+ 5.3+ 6.5 4.2+ 5.4+ 6.6ቃ = ቂ22 2849 64ቃ

Back . . .

PERKALIAN DUA MATRIKS YANG SALING INVERS

1) Dipunyai dua matriks 𝐴 dan 𝐵 sebagai berikut : 𝐴= ቂ1 23 4ቃ dan 𝐵= ቈ−2 132 −12

Hasil kali kedua matriks adalah . . . Jawab

𝐴.𝐵= ቂ1 23 4ቃ−2 132 −12൩ = ൦1ሺ−2ሻ+ 2.32 1.1+ 2(−12)

3ሺ−2ሻ+ 4.32 3.1+ 4(−12)൪= ቂ1 00 1ቃ

Back . . .

DETERMINAN MATRIKS ORDO 2X21) Cara menentukan determinan matriks ordo 2 𝑥 2 sebagai

berikut :

Misalkan 𝐴= ቂ𝑎 𝑏𝑐 𝑑ቃ

Maka rumus mencari det𝐴 atau ȁ�𝐴ȁ�= 𝑎𝑑− 𝑏𝑐 Contoh soal :

a) Tentukan nilai determinan dari 𝐴= ቂ2 12 4ቃ.

Jawab 𝐴= ቚ2 12 4ቚ= 2.4− 1.2 = 6

NEXT . . .

DETERMINAN MATRIKS ORDO 3 X 3Menghitung determinan matriks yang berordo 3𝑥3 dapat dilakukan dengan dua cara yaitu cara sorus dan kofaktor.

Cara sorus : misalkan diketahui matriks 𝐴= 1 2 32 2 13 2 1൩ maka

ȁ�𝐴ȁ�= อ1 2 32 2 13 2 1อ

1 22 23 2

= ሺ1.2.1+ 2.1.3+ 3.2.2ሻ− (3.2.3+ 1.1.2+ 2.2.1) = ሺ2+ 6+ 12ሻ−ሺ18+ 2+ 4ሻ = 20− 24 = −4 NEXT . . .

MENENTUKAN DETERMINAN DENGAN KOFAKTORMenentukan determinan dengan kofaktor, kali pertama yang harus diperhatikan adalah tanpa pada tiap elemen yaitu

+ − +− + −+ − +൩ untuk matriks dengan ordo 3 𝑥 3

൦

+ − + −− + − ++ − + −− + − +൪ untuk matriks dengan ordo 4 𝑥 4

Sehingga misalkan matriks 𝐴= 𝑎1 𝑎2 𝑎3𝑎4 𝑎5 𝑎6𝑎7 𝑎8 𝑎9൩ maka

Dengan baris 1 diperoleh ȁ�𝐴ȁ�= 𝑎1ቚ𝑎5 𝑎6𝑎8 𝑎9ቚ− 𝑎2ቚ𝑎4 𝑎6𝑎7 𝑎9ቚ+ 𝑎3ቚ𝑎4 𝑎5𝑎7 𝑎8ቚ NEXT . . .

CONTOH SOAL

1) Dipunyai matriks 𝐴= 1 2 32 2 13 2 1൩. Determinan matriks A

adalah . . . Jawab Dengan baris-2 maka ȁ�𝐴ȁ�= −2ቚ2 32 1ቚ+ 2ቚ1 33 1ቚ− 1ቚ1 23 2ቚ = −2ሺ−4ሻ+ 2ሺ−8ሻ− 1(−4) = −4

Back . . .

CONTOH SOAL INVERS MATRIKS ORDO 2 X 2

1) Dipunyai matriks A = ቂ2 31 4ቃ. Tentukanlah nilai dari 𝐴−1.

Jawab : 𝐴−1 = 1ȁ�𝐴ȁ� 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴

= 18− 3ቂ4 −3−1 2 ቃ

= −15ቂ4 −3−1 2 ቃ

= ൦−45 3515 −25൪ Back . .

.

APLIKASI MATRIKS DALAM SOAL PEMECAHAN MASALAH

1) Di sebuah toko, Aprilia membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan harga Rp 4.000,- Julia membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp 9.500,- Januar ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga . . . Jawab : Misalkan barang A = A dan barang B = B maka Diketahui Aprilia ⟹4𝐴+ 2𝐵= 4000

Julia ⟹10𝐴+ 4𝐵= 9500

Ditanyakan : 𝐴+ 𝐵 ?

NEXT . . .

DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN 4𝐴+ 2𝐵= 400010𝐴+ 4𝐵= 9500 ⇒ ቂ4 210 4ቃቂ𝐴𝐵ቃ= ቂ

40009500ቃ Jadi 𝐷= ቚ4 210 4ቚ= −4

𝐷𝐴 = ቂ4000 29500 4ቃ= −3000

𝐷𝐵 = ቂ4 400010 9500ቃ= −2000

Jadi 𝐴= 𝐷𝐴𝐷 = 𝑅𝑝 750,− dan 𝐵= 𝐷𝐵𝐷 = 𝑅𝑝 500.−

Nilai 𝐴+ 𝐵= 750+ 500 = 𝑅𝑝 1.250,−

Jadi, harga barang A dan barang B Rp 1.250,- NEXT . . .

DENGAN MENGGUNAKAN INVERS4𝐴+ 2𝐵= 400010𝐴+ 4𝐵= 9500 ⇒ ቂ4 210 4ቃቂ𝐴𝐵ቃ= ቂ40009500ቃ

Maka :

ቂ4 210 4ቃቂ𝐴𝐵ቃ= ቂ

40009500ቃ ቂ𝐴𝐵ቃ= ቂ

4 210 4ቃ−1ቂ40009500ቃ= 1−4ቂ 4 −2−10 4 ቃቂ

40009500ቃ = −14ቂ−3000−2000ቃ= ቂ

750500ቃ Jadi harga barang 𝐴= 𝑅𝑝 750,− dan harga barang 𝐵= 𝑅𝑝 500,−.

Total harga barang A dan barang B adalah Rp 1.250,-

Back . . .

DAFTAR PUSTAKA

Cunayah, Cucun dkk. 2006. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung : Yrama Widya

Larson, Ron dan David. 2009. Elementary Linear Algebra. Sixth Edition. Boston : Houghton Mifflin Harcourt Publishing Company.

Back . . .

PENUTUP

Sekian dan terimakasih. . .Semoga Bermanfaat