MODUL 2

I. TUJUAN INSTRUKSIONAL: Mahasiswa dapat mengetahui ciri dan bentuk umum persamaan linier; Mahasiswa dapat mengenali sistem persamaan linier dan mencari

solusi sistem persamaan linier; Mahasiswa dapat mengetahui kegunaan dan aplikasi dari persamaan

linier dan sistem persamaan linier.

II. MATERI

A. Sejarah Perkembangan Aljabar Linier Istilah aljabar berasal dari kata bahasa Arab al-jabr yang artinya

reduksi. Istilah ini pertama kali digunakan oleh Mohammed al-Khowarizmi, yang

hidup sekitar tahun 800 Masehi di Bagdad. Aljabar linier digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier. Cara penyelesaian sistem persamaan linier juga pernah dijelaskan

dalam teks matematika kuno bahasa Cina yang berjudul: Chiu-Chang Suan-Shu (Sembilan Bab Seni Matematika) dalam bentuk berikut ini:

1 ikat gd jelek + 2 ikat gd sedang + 3 ikat gd baik = 39 tou1 ikat gd jelek + 3 ikat gd sedang + 2 ikat gd baik = 34 tou3 ikat gd jelek + 2 ikat gd sedang + 1 ikat gd baik = 26 tou

Berapa tou tiap ikat gd jelek, sedang dan buruk? Tou adalah ukuran mangkok perunggu di zaman Dinasti Chou.

B. Bentuk dan Ciri-Ciri Persamaan Linier

Sebuah persamaan dapat dikatakan berbentuk linier jika ia memiliki bentuk:

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b

Dalam persamaan di atas, ak merupakan koefisien dari xk dan b disebut konstanta persamaan.

Bentuk persamaan linier yang paling sederhana adalah persamaan linier dengan dua variabel (peubah):

y = a + bx

Fungsi linier menunjukkan hubungan antara satu variabel dengan variabel lainnya.

Setiap terjadi perubahan pada satu variabel akan mengakibatkan perubahan pada variabel lain dengan perbandingan yang konstan. Maka dihasilkan suatu kurva garis lurus.Bentuk umum persamaan liniernya:Y = m X + k, dimana:Y dan X = variabelm = slope/kemiringan kurvak = konstanta

M2-1

Y Y = mX + k

X

Untuk menentukan pers. kurva linier yang melalui titik A(X1,Y1) dan titik B(X2,Y2) dapat digunakan rumus berikut:

Contoh Kasus: Tentukan pers. kurva linier yang melalui titik A(2,2) dan titik B(3,4).

Penyelesaian:

=

Y = 2X –2

Suatu persamaan dikatakan linier jika memenuhi bentuk standar linier:a1X1 + a2X2 + ...+ anXn = bX1, X2, Xn = Variabel = Peubah a1, a2, a3 = koefisien dari Xb = konstanta persamaan

C. Sistem Persamaan Linier dengan 2 variabel (peubah):

a1X + b1Y = c1a2X + b2Y = c2

Contoh:2X + 3Y = 6X + Y = 2Dapat diselesaikan dengan metode:(1) Substitusi dan (2) Eliminasi

(1) Cara SubstitusiDengan memasukkan nilai satu variabel ke variabel lain.

Contoh:Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini dengan cara substitusi:2x + 3y = 6x + y = 2

Penyelesaian:X + y = 2 y = 2 – x2x + 3y = 6 2x +3(2-x) = 6 2x + 6 –3x = 6 -x = 0

M2-2

x

y

x = 0y = 2 – x y = 2 – 0 y = 2

(2) Cara EliminasiDengan mengeliminasi salah satu variabel melalui operasi pengurangan

atau penjumlahan, setelah salah satu baris dikalikan dengan suatu bilangan untuk menyamakan koefisien dari variabel yang akan dieliminasi.

Contoh: Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan metode eliminasi!

L1: 2x + 5 y = 8L2: 3x – 2 y = -7

3L1: 6x + 15y = 24-2L2: -6x + 4y = 14 +

19y = 36 atau y = 2 (dst.)

Pertimbangkan suatu sistem persamaan linier L1 dan L2 dengan variabel x dan y. Solusi atas sistem persamaan linier itu adalah suatu pasangan nilai u = (k1,k2) yang memenuhi kedua persamaan itu. Buatlah representasi geometris (grafis) dari sistem persamaan linier berikut ini:

x-y = -3x + 2y = 3

x+y = 12x + 2y = 6

x + y = 13x + 3 y = 3

Apa yang dapat disimpulkan!!!

D. Kegunaan dan Aplikasi Persamaan LinierAljabar linier dapat diterapkan pada berbagai bidang ilmu antara lain Statistik, Ekonomi dan Bisnis, Elektro, Ilmu Komputer.

a. Penerapan di Bidang Statistik1) Analisis regresi linier sederhana untuk menunjukkan hubungan

dan pengaruh satu variabel bebas terhadap satu variabel terikat melalui pers. regresi linier sederhana:

Y = a + bX. Sebagai contoh:Y = Volume penjualan, X = biaya iklan.2) Analisis regresi linier ganda untuk menunjukkan hubungan dan

pengaruh beberapa variabel bebas terhadap satu variabel terikat melalui pers. regresi linier ganda:

Y = a + b1X1 + b2X2; Contohnya: Y = Volume penjualan, X1 = Biaya iklanX2 = Kualitas produk.

b. Penerapan di Bidang Ekonomi:1) Teori permintaan

M2-3

Permintaan atas suatu barang dipengaruhi oleh beberapa faktor antara lain harga barang tersebut (Px), harga barang lain (Py), pendapatan (I), dan selera (Ts).

Qdx = f(Px, Py, I, Ts)

Pembahasan fungsi permintaan dapat dibatasi dengan asumsi bahwa jumlah barang yang diminta hanya dipengaruhi oleh harga barang tersebut:

Qdx = f(Px) Qdx = - mPx + a

Jika harga barang naik, maka jumlah barang yang diminta akan menurun, dan sebaliknya.

P

Qdx = -mPx + c

0 Q

2) Teori penawaranPenawaran suatu barang dipengaruhi oleh berbagai faktor antara lain harga barang tersebut (Px), teknologi (T), pajak (Tx), dan subsidi.

Qsx = f(Px, T, Tx, S)

Dengan hanya mempertimbangkan perubahan faktor harga saja dan faktor-faktor lain dianggap tetap, dapat dibuat fungsi penawaran:

Qsx = mPx + a

c. Aplikasi di bidang teknik elektro1) Jaringan Listrik

P

Q

Dengan menerapkan Hukum Kirchhoff I dan II diperoleh:Pada simpul P I1 + I3 = I2 pada loop kiri 6 I1 + 2 I2 = 0pada loop kanan 2 I2 + 3 I3 = 18

Kemudian dapat diubah menjadi sistem pers. linier: I1 – I2 + I3 = 06 I1 + 2 I2 = 0

2 I2 + 3 I3 = 18

M2-4

18 V

1 OHm1 Ohm

3 Ohm

2 Ohm 2 Ohm

2 Ohm

I1 I2 I3

Latihan:

1. Apakah 5x + 7y – 8yz = 16 merupakan persamaan linier?2. Apakah x + y + ez = 16 merupakan pers. linier?

3. Apakah ekuivalen dengan pers. linier?

4. Selesaikan sistem persamaan linier:a. L1: 3x - 2y = 7

L2: x + 2y = 1 b. L1: 2x + 5y = 8

L2: 3x - 2y = -7 5. Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini:

L1: x – 2y + 3z = 5L2: 2x + y – 4z = 1L3: 3x + 2y – 7z = 3

6. L1: x + 2y + z = 8L2: -x + 3y – 2z = 1L3: 3x + 4y – 7z = 10

M2-5