TUGAS INDIVIDU

MATEMATIKA STATISTIK

Dosen Pengampuh : Moh.Hafiyussholeh S.Si, M.Pmat

Nama : Lukman Hakim (105 714)

Kelas : 2010-D

RUANG SAMPEL

Definisi 1.1Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut

ruang sampel, sedangkan anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik sampel.

Ruang sampel biasa disimbolkan dengan huruf S, sedangkan anggota-anggota ruang sampel didaftar dengan menuliskannya diantara dua kurung kurawal (alokade), masing-masing anggota dipisah dengan tanda koma.

Contoh 1Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6} dengan 1 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada satu,2 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada dua, dan seterusnya.Contoh 2Dari himpunan H = {1, 2, 3, 4, 5} dilakukan eksperimen menyusun nomor undian berupa bilangan 3 angka yang angka-angkanya saling berlainan.

a. Jika A adalah peristiwa munculnya nomor undian ganjil, tentukan A dan banyaknya anggota A.

b. Jika B adalah peristiwa munculnya nomor undian genap tentukan B dan banyaknya anggota B.

Penyelesaian:a. A = peristiwa munculnya nomor undian ganjil, maka A = {e1, e3, …, e58, e60}.

Selanjutnya selidiki bahwa n(A) = n (ganjil yang angka pertamanya 1) + n (ganjil yang angka pertamanya 2) + … + n (ganjil yang angka pertamanya 5) = 6 + 9 + 6 + 9 + 6 = 36.

b. B = peristiwa munculnya nomor undian genap, maka B = {e2, e5, e7, …, e59}. Selanjutnya n(B) = n (genap yang angka pertamanya 1) + n (genap yang angka pertamnya 2) + … + n (genap yang angka pertamanya 5).= 6 + 3 + 6 + 3 + 6 = 24= n(S) – n(A) = 60 – 36 = 24.

KEJADIAN

DefinisiKejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang Sampel. Pada umumnya

kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :1. Kejadian sederhana; yaitu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel.

Contoh:{1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.

2. Kejadian majemuk; yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari satu titik sampelContoh:

{1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.

3. Dari definisi kejadian juga dapat disimpulkan bahwa S dan ∅ juga suatu kejadian, karena S⊂S dan ∅⊂ S.

PELUANG KEJADIAN

Definisi Peluang KlasikJika suatu percobaan menghasilkan n hasil yang tidak mungkin terjadi bersama-sama

dan masing-masing mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi, maka peluang suatu

kejadian A ditulis P (A )=n(A)n

, dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam kejadian A.

Setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul dengan kesempatan yang sama itu berpeluang muncul yang sama dengan 1/n.Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah terjadi, berarti n(A) = 0, maka P(A) = 0/n = 0, sehingga peluangnya = 0.Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu terjadi terus menerus, berarti n(A)=n maka P(A) = n/n = 1. Sehingga peluangnya = 1

Kesimpulannya adalah bahwa nilai P(A) terletak diantara nol dan satu, atau ditulis 0≤ P(A)≤1Contoh:Sebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan peluang munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua.Penyelesaian:Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar pada lemparan pertama dan sisi angka pada lemparan kedua, maka D = {(G,A)}. Karena semua titik sampel bersempatan sama untuk terjadi maka P(D) = ¼.

PELUANG BERSYARAT

DefinisiPeluang bersyarat B dengan dengan diketahui A ditentukan Oleh:

P (B|A )= P (A∩B )P ( A )

, bila>P (A )

Akibat 1P (A ∩B )=P (A ) .P(B│ A)

Akibat 2Bila suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3, …. dapat terjadi maka

P(A1∩ A2∩ A3∩….)= P(A1).P(A2|A1).P(A3| A1∩ A2)…

Contoh:Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu secara berturut-turut sebanyak dua kali.Tentukan peluang pengambilan pertama As dan pengambilan kedua King.Penyelesaian

MisalkanA: kejadian pertama (terambil kartu As) B: kejadian kedua (terambil kartu King)Maka P(A) = 4/52 dan P(B∩A)=4/51 (karena satu kartu telah terambil).Jadi P(A∩B)=P(A) P(B∩A) = 4/52. 4/51 = 4/663.

TEOREMA (ATURAN BAYES)

Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk adalah partisi dari ruang sampel S dengan P ¿ , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap kejadian A dalam S denga P ¿

Berlaku : P (B i|A )=

P (Bi∩ A )

∑i=1

k

P (Bi∩ A )=

P (Bi ) .P (Bi|A )

∑i=1

k

P (Bi ) . P (Bi|A )

Contoh :FKM ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan , yaitu 60% bus Jawa Indah, 30% Bus Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga 9% bus Jawa Indah tidak berAC, 20% bus Nusantara tidak berAC, dan 6% bus Kramat Jati tidak berAC. Jika sebuah Bus yang disewa dan ternyata tidak berAC, hitung peluang yang disewa adalah bus Jawa IndahPenyelesaian :MisalkanJ : kejadian yang terambil adalah bus Jawa IndahN : kejadian yang terambil adalah bus NusantaraK : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati

P (J|A )= P (J ) . P (A|J )P (J )P ( A|J )+P (N ) P (A|N )+P (K )P ( A|K )

= 60 %.9 %60 %.9%+30 %.20 %+10 %.6 %

=0,45

ATURAN PENJUMLAHAN

Teorema 1: Bila A dan B adalah kejadian sembarang. maka , P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)Bukti: Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi dari teori himpunan

|A∪ B| = |A| + |B| - |A∩ B|

Maka, P(A∪ B) = |A∪ B| / |S| = (|A| + |B| - |A∩ B|) / |S| = |A|/|S| + |B|/|S| - |A∩B|)/ |S| = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Pada dua kejadian yang saling meniadakan (terpisah), P(A∩ B) = 0, sehingga

P(A∪ B) = P(A) + P(B)Untuk n kejadian yang saling terpisah, maka,

P(A1∪A2 …∪ An) = P(A1) + P(A1) + … + P(An)

Teorema 2: Untuk tiga kejadian sembarang A,B, dan C, maka P(A∪ B∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩ B)- P(B∩ C) + P(A∩ B∩ C)

Contoh: Sebuah dadu dilemparkan sekali. Berapa peluang munculnya angka 3 atau 4?Penyelesaian:A = kejadian munculnya angka 3.P(A) = 1/6B = kejadian munculnya angka 4.P(B) = 1/6A∪ B = kejadian munculnya angka 3 atau 4Tidak mungkin satu kali lemparan menghasilkan 3 dan 4. Secara bersamaan, jadi dua kejadian ini terpisah, makaP(A∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

ATURAN PERKALIAN

Karena P(B | A) = P(A∩ B)/ P(A),maka dengan mengalikan secara silang diperoleh

P(A∩ B) = P(A).P(B | A)

Dikatakan bahwa kejadian A dan B terjadi secara serentak. Karena kejadian A∩ B dan B∩ A ekivalen, maka juga berlaku

P(A∩ B) = P(B) P(A | B)

Jadi, tidak penting mengetahui kejadian mana yang terjadi, A atau BContoh 1:Dari sebuah kotak yang berisi 20 bola, lima diantaranya berwarna merah. Dua buah bola diambil satu per satu secara acak tanpa mengembalikan bola pertama ke dalam kotak. Berapa peluang kedua bola yang terambil berwarna merah?Penyelesaian :Diketahui:A = kejadian bola pertama yang diambil adalah merahB = kejadian bola kedua yang diambil adalah merah (B terjadi setelah A terjadi)P(A) = 5/20 = 1/4P(B | A) = 4/19Ditanya P(A∩ B) = ?P(A∩ B) = P(A)P(B | A) = 1/4 x 4/19 = 1/19

Bila kejadian A dan B bebas, maka P(A∩ B) = P(A)P(B). Ini dinyatakan dengan teorema perkalian khusus sbb:Teorema. Dua kejadian A dan B dikatakan bebas jika dan hanya jika P(A∩ B) = P(A)P(B).Contoh 2:Dari Contoh 8 di atas, jika bola pertama dikembalikan ke dalam kotak dan isi kotak diacak kembali sebelum mengambil bola kedua, berapa peluang kedua bola yang terambil berwarna merah?Penyelesaian :A = kejadian bola pertama yang diambil adalah merahB = kejadian bola kedua yang diambil adalah merahP(A) = ¼ dan P(B) = ¼, maka P(A∩ B) = P(A)P(B)=1/16