TEOREMA-TEOREMA LIMIT FUNGSI

Limit Fungsi dan KontinuitasLimit Fungsi dan Kontinuitas3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

Menghitung limit fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti yang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsinya, semakin rumit pula masalah yang dihadapi. Untuk itu berikut ini diberikan suatu rangkaian rumus-rumus menghitung limit di suatu titik dengan cara sederhana. Kita mulai dengan teorema berikut: (bukti teorema diserahkan kepada pembaca).

Teorema 3.2.1 (Ketunggalan limit fungsi)

Jika dan maka L = M

Teorema 3.2.2(i) Jika m dan n konstanta, maka (ii) Teorema akibat: (iii) Teorema akibat, jika m suatu konstanta maka (iv)

(v)

(vi)

Teorema 3.2.3 (Operasi pada limit fungsi)

Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdefinisi pada selang buka I yang memuat a kecuali mungkin pada a sendiri dan misalkan limit f dan g di a ada, jika dan , maka:(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

, dengan n bilangan positif dan >0(vi) Teorema akibat k = konstanta.Teorema 3.2.4Misalkan Pn(x) dan Pm(x) adalah polinom-polinom (suku banyak) dengan:Pn(x) = cnxn + cn-1xn-1 + cn-2xn-2 + + c1x + c0 dan Pm(x) = cmxm + cm-1xm-1 + cm-2xm-2 + + c1x + c0cn, cn-1, cn-2, c0 dan cm, cm-1, cm-2, c0 adalah konstanta yang merupakan kosefisien-koefisien polinom, maka(i)

(ii)

Teorema : Limit nilai mutlak fungsi : jika suatu fungsi mempunyai limit disuatu titik, maka nilai mutlak fungsinya mempunyai limit dititik itu, tetapi kebalikannya tidak berlaku.

Sifat-sifat : jika maka

Contoh 6: Hitung limit fungsi berikut:1.

3. 2.

4.

Penyelesaian:1. = (-2)(-2)(-2) = -82.

3.

4.

Contoh 7: Hitung limit fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus limit:1.

4. 2.

5. 3.

Penyelesaian:1. ; a0

2.

3.

4.

5.

3.3 Limit Kiri dan Limit Kanan (Limit Sepihak)

2-2-110yxSebelum kita membahas konsep Limit kiri dan limit kanan, perhatikan dengan seksama fungsi f beserta grafik pada contoh berikut : Contoh :

Gambar grafik f(x) = fungsi f ini terdefenisi pada semua bilangan real kecuali di x = 0 jadi Df = R {0}.

Sebagaimana halnya pada contoh 2 maka pada contoh ini kita amati perilaku fungsi f(x) = disekitar x = 0. Bilamana x cukup dekat ke 0, maka f(x) tidak mendekati suatu nilai tertentu, sehingga kita katakan

tidak ada . Akan tetapi, bilamana x mendekati 0 dari arah kanan (dari arah nilai-nilai x yang besar dari 0), maka f(x) akan mendekati 1. dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi x mempunyai limit kanan di 0 dengan nilai limit kanan 1, ditulis

Demikian juga bilamana x mendekati 0 dari arah kiri (dari arah nilai-nilai x yang lebih kecil 0), maka f(x) akan mendekati bilangan -1. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai limit kiri di 0 dengan nilai limit kirinya -1, ditulis

Dari kenyataan ini kita defenisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut :

Definisi 3.3.1: (Definisi Limit Kanan)Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (a,b), maka limit kanan f dititik a ditulis sebagai:

atau ( f(x) L bila x a+)jika > 0 terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga 0< x - a < f(x) - L < perhatikan bahwa 0< xa < mengakibatkan x > a yang berarti x terletak disebelah kanan a

Definisi 3.3.2: (Definisi Limit Kiri)Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (c,a), maka limit kiri f dititik a ditulis sebagai:

atau ( f(x) L bila x a-)jika > 0 terdapat bilangan > 0 sedemikian sehingga 0< a x < f(x) - L < perhatikan bahwa 0< ax < mengakibatkan x < a yang berarti x terletak disebelah kiri a

y0xf(x)acLfGambar Limit Kiri fungsi f di afbaxf(x)Ly0Gambar Limit Kanan fungsi f di aPerhatikan gambar dibawah ini yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan dan limit kiri

Bandingkan kedua defenisi ini dengan defenisi limit fungsi f di a.

jika > 0 , > 0 sehingga 0 < | x a | < | f(x) L | < Bila x a+ , maka x > a. Akibatnya x a > 0, sehingga | x a | = x a, yang bila digantikan pada defenisi limit akan menghasilkan defenisi limit kanan. Demikian juga bila x a- , maka x < a. Akibatnya x a < 0, sehingga | x a | = a x, yang bila digantikan pada defenisi limit akan menghasilkan defenisi limit kiri.Catatan : 1. Semua sifat-sifat limit fungsi disuatu titik berlaku juga untuk limit sepihak bilamana x a diganti x a+ atau x a-. 2.

Jika atau tidak ada, maka juga tidak ada.3. Jika fungsi f terdefenisi pada selang terbuka (c,d) maka

ditulis , dan ditulis Berdasarkan catatan nomor 3, maka dapat dipahami bahwa :

karena f terdefinisi pada Df = [ 0, ) yang berarti f terdefenisi pada interval buka (0,), sehingga menurut catatan no.3 :

ditulis = 0hubungan antara limit fungsi disatu titik dengan limit kiri dan limit kanannya dititik itu diberikan dalam teorema berikut :

Teorema 3.3.3.a

Catatan : Teorema ini menyatakan bahwa limit kiri dan limit kanan fungsi f di a dapat dihitung dengan cara menghitung limit fungsinya di a, asalkan limit fungsi tersebut ada.

Teorema 3.3.3.b

Jika

Contoh 1.a. 1012-1xyy = x2y = 2Gambar 6Diberikan fungsi

Tunjukkan bahwa tidak ada, dan gambar grafiknya.

Penyelesaian:

f(x) = Untuk menghitung limit kiri dari f digunakan persamaan

(domain dari f di sebelah kiri dari 1). Sebaliknya untuk menghitung limit kanan dari f digunakan persamaan . Sehingga

sedangkan

karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa tidak ada.

Contoh 2:

Diberikan fungsi f(x) = a. Gambar grafik f b.

1012-1yf(x)3-1-2xGambar 7Tentukan , jika adac. Tentukan , jika ada

Penyelesaian:a. Grafik fungsi f diatur oleh 3 persamaan yaitu :y = 2x + 1, pada selang [1,+)y = -x2 , pada selang [-1,1)y = x2 + 2x,, pada selang (-,-1)sehingga grafik f merupakan gabungan dari tiga kurva diatas (gambar 7)

b. Dengan menggunakan definisi limit, dapat ditunjukkan bahwa pada titik a = -1 maka:

Limit kiri : dan

Limit kanan : karena limit kiri sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa

c. Pada titik a = 1 , maka

Limit kiri : dan

Limit kanan : karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bahwa

tidak ada.Contoh 3:

x12345678912345678-1-2-30Gambar 8Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada selang (-3,9] dan grafiknya menyerupai kata lim (gambar 8) sebagai berikut:

Perhatikan bahwa grafik fungsi f adalah sebuah lengkungan yang tidak terputus pada selang (-3,1) ; [1,3) ; [3,6); (6,9].Dari grafik di atas mudah diketahui bahwa :

Perhatikan bahwa, dititik x = -3, hanya ada limit kanan dan f(-3) tidak terdefinisi sedangkan dititik x = 9, hanya ada limit kiri dan f(9)= 5 ( terdefinisi)

Dan dititik x = 1, sehingga tidak adademikian juga dititik x=3, sehingga tidak ada

Dan dititik x=6, sehingga

dan f(6) = 8Catatan:Nilai fungsi disuatu titik tidak mempengaruhi penentuan limit di titik tersebut.

3.4 Limit Tak Hingga Dan Limit Di Tak Hingga

3.4.1. LIMIT TAK HINGGA

Definisi 3.4.1.1:Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka:(i) Limit f(x) dikatakan membesar tanpa batas (+) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:

jika M > 0, > 0 sedemikian sehingga

(ii) Limit f(x) dikatakan mengecil tanpa batas (-) bilamana x mendekati a, ditulis sebagai:

jika M>0, >0 sedemikian sehingga

Sebagai illustrasi perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 1:

Selidiki perilaku fungsi f(x) = disekitar 0; (x 0)Perhatikan nilai-nilai fungsi f bilamana x dibuat dekat ke 0; (x 0)

Tabel 3.4.1.1x

0

f(x)210100001000000?-100000010123x-1-2-3-4-1-2-42yf(x) = , x>0 f(x) = , x0 f(x) = , x 0grafik f akan membesar tanpa batas bilamana x mendekati 0, dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan, sehingga dikatakan:

Meskipun dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya sama-sama menuju , akan tetapi bukan suatu bilangan, maka dikatakan:

(membesar tanpa batas atau tidak ada.)b.

10123x-1-2-3y-1-2-4f(x) = , x>0 f(x) = , x