1

1)(

2

−−

=x

xxf

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk

2

0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1,

seperti pada tabel berikut

x

f(x)

0.9 0.99 0.999 1.11.011.0010.9999 1.00011

?1.9 1.99 1.999 1.9999 2.0001 2.001 2.01 2.1

º2

f(x)

f(x)

Dari tabel dan grafik disamping

terlihat bahwa f(x) mendekati 2

jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskan

Sebagai berikut

21

lim2

=−x

3

1x x2

1

1lim

1=

−−

→ x

x

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati

1 adalah 2 1

12

−−

x

x

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa

berarti bahwa bilamana x dekat, tetapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat ke L

Lxfcx

=→

)(lim

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit.

1. limx cA A

→= , ∈,A c R 2. lim

x cx c

→=

Jika lim ( )x cf x

→ dan lim ( )

x cg x

→ keduanya ada dan ∈k R maka berlaku

pernyataan-pernyataan berikut:

4

pernyataan-pernyataan berikut:

1 { }lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x→ → →

± = ±

2 lim ( ) lim ( )x c x ckf x k f x

→ →=

3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )x c x c x cf x g x f x g x

→ → →=

4 lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x c

x cx c

f xf x

g x g x→

→→

= , asalkan lim ( ) 0x cg x

→≠

Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa cara.

1. Substitusi langsung 2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar) 3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)

Contoh

5

Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung)

a. 2

lim (3 5)x

x→

−

b. 2

2lim (2 7 6)x

x x→

− +

c. 1

lim 7 2 1x

x x→

−

d. 1

2 3lim

5 2x

x

x→−

++

Jawab

a. 2

lim (3 5) 3(2) 5 6 5 1x

x→

− = − = − =

b. 2 2

2lim (2 7 6) 2(2) 7(2) 6 8 14 6 0x

x x→

− + = − + = − + =

6

2x→

c. 1

lim 7 2 1 7(1) 2(1) 1 7 1 7x

x x→

− = − = =

d. 1

2 3 2( 1) 3 2 3 1lim

5 2 5( 1) 2 5 2 3x

x

x→−

+ − + − += = = −

+ − + − +

Contoh Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran)

a. 2

2

4lim

2x

x

x→

−−

b. 2

22

3 2lim

4x

x x

x→

− +

−

Jawab

7

Jawab

a. 2 2

2

4 2 4 4 4 0lim (tidak terdefinisi)

2 2 2 2 2 0x

x

x→

− − −= = =

− − −. Untuk

menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut. 2

2 2

( 2)4lim lim

2x x

xx

x→ →

−−=

−

( 2)

2

x

x

+

− 2lim( 2) 2 2 4xx

→= + = + =

b. 2 2

2 22

3 2 2 3(2) 2 4 6 2 0lim (tidak terdefinisi)

4 4 04 2 4x

x x

x→

− + − + − += = =

−− −. Untuk

menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

→ →

−− +=

−

2

22 2

( 2)3 2lim lim

4x x

xx x

x

−

−

( 1)

( 2)

x

x +( 2)x

8

→ →−2 24x xx −( 2)x

→

+

−=

+−

= =+

2

( 2)

1 lim

22 1 1

2 2 4

x

x

x

x

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan

Akar

a. b.2

2 2lim

2x

x

x→

+ −

−

2

21

2 3lim

1x

x

x→−

− +

−

Solusi:

a.

9

2 2x x→ − 1 1x x→− −

2

2 2 2 2 2 4 2 0lim (tidak terdefinisi)

2 2 2 2 2 0x

x

x→

+ − + − −= = =

− − −

2 2

2 2 2 2 2 2lim lim

2 2 2 2x x

x x x

x x x→ →

+ − + − + += ⋅

− − + +

( )( )( )

2 2

2

2 2lim

2 2 2x

x

x x→

+ −=

− + + ( )( )2

( 2) 4lim

2 2 2x

x

x x→

+ −=

− + +

10

( )( )2 2 2 2x x x− + + ( )( )2 2 2x x− + +

2

2limx

x

→

−=

( )2x − ( )2 2x + + 2

1lim

2 2x x→=

+ +

1 1 1 1

2 2 42 2 2 4 2= = = =

++ + +

b. 22

2 21

2 ( 1) 32 3 2 4 0lim

1 1 01 1 ( 1)x

x

x→−

− − +− + −= = =

−− − −

2 2 2

2 2 21 1

2 3 2 3 2 3lim lim

1 1 2 3x x

x x x

x x x→− →−

− + − + + += ⋅

− − + +

( ) ( )2

2 2

11

( )( )( )

( )( )( )→− →−

→−

− + − += =

− + + − + +

−=

22 2 2

2 2 2 21 1

2

1

2 3 4 3lim lim

1 2 3 1 2 3

1lim

x x

x

x x

x x x x

x

( )− 21 x ( ) →−=

+ ++ +

= = = =+++ − +

22 1

2

1lim

2 32 3

1 1 1 1

2 2 42 42 ( 1) 3

x xx

cx

)(lim xfcx −→

Jika x menuju c dari arah kiri

(dari arahbilangan yang lebih kecil dari c)

limit disebut limit kiri,

Jika x menuju c dari arah kananc x

)(lim xfcx +→

LxfLxfLxfcxcxcx

==⇔=+− →→→

)(limdan)(lim)(lim

12

Jika x menuju c dari arah kanan

(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)

limit disebut limit kanan,

c x

Jika )(lim xfcx +→

≠)(lim xfcx −→

Maka tidak ada)(lim xfcx→

Diketahui fungsi berikut: 2

2 ; 1

( ) ; 1 2

3 ; 2

x x

f x x x

x x

+ ≤ −

= − < <− + − ≥

. Tentukanlah:

a. 1

lim ( )xf x

→− b.

2lim ( )xf x

→

Jawab a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan

13

a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan

adalah 2x + sedangkan untuk x menuju -1 dari kanan aturan fungsi

yang digunakan adalah 2x . Oleh karena itu, untuk mencari 1

lim ( )xf x

→−

digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)

1 1lim ( ) lim ( 2) 1 2 1x x

f x x− −→− →−

= + = − + =

2 2

1 1lim ( ) lim ( 1) 1x x

f x x+ +→− →−

= = − =

11 1lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1

xx xf x f x f x

− + →−→− →−= = ⇒ =

b. Perhatikan untuk x menuju 2 dari kiri aturan fungsi yang

digunakan adalah 2x sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan

aturan fungsi yang digunakan adalah 3x− + . Oleh karena itu,

untuk mencari lim ( )f x→

digunakan limit sepihak

14

untuk mencari 2

lim ( )xf x

→ digunakan limit sepihak

(limit kiri dan limit kanan) 2 2

2 2lim ( ) lim 2 4x x

f x x− −→− →

= = =

2 2lim ( ) lim ( 3) 2 3 1x xf x x

+ +→ →= − + = − + =

12 2lim ( ) lim ( ) lim ( ) tidak ada

xx xf x f x f x

− + →−→ →≠ ⇒

2

2 ; 1

( ) ; 1 2

3 ; 2

x x

f x x x

x x

+ ≤ −

= − < <− + − ≥

)(lim1xf

x→

≥+

<<

≤

=

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

)(lim0xf

x→a. Hitung

b. Hitung) Jika ada

Diketahui:

15

1x→

)(lim2xf

x→c. Hitung

0)(lim0

=→

xfx

2

0 0

lim ( ) lim 0x x

f x x− −→ →

= =

0 0

lim ( ) lim 0x x

f x x+ +→ →

= =

Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri

dan limit kanan di x=1

b. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x=1

1 1

lim ( ) lim 1x x

f x x− −→ →

= =

2lim ( ) lim2 3f x x= + =

+− →→≠

11lim)(limxx

xf

)(lim xf

Karena maka

Tidak ada

2

2 2lim ( ) lim2 6x x

f x x→ →

= + =

2

1 1

lim ( ) lim2 3x x

f x x+ +→ →

= + = )(lim1xf

x→Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka

tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=2

a.

b.

c.

f.

g.

→−2

5lim ( 20)xx

→−+ +2

2lim ( 3 1)x

x x

→

+−0

2lim

3x

x

x

→−

− −

−

2

22

2 8lim

4x

x x

x

→

−

−1

1lim

1x

x

x

+ +2 3 2x

d.

e.

h.

i.

17

→ −0 3x x

→

− +

−

2

2

5 6lim

2x

x x

x

→−

− ++

2

4

7 12lim

2 8x

x x

x

→

+ +

−

2

21

3 2lim

1x

x

x

→

−

− +

2

22

4lim

3 5x

x

x

1. Diketahui: 2; 1

( )1 1

x xf x

x

≤=

>, tentukan apakah

1lim ( )x

f x→

(jika ada)!

2. Diketahui:

2; 0

( ) 0 1

x x

f x x x

≤

= < ≤

, tentukan apakah 2

1 1x x

+ >

0lim ( )x

f x→

dan 1

lim ( )x

f x→

(jika ada)!

3. Diketahui: 2

2

2; 1

( ) ; 1 1

1 ; 1

x x

f x x x

x x

− − < −

= − − ≤ < + ≥

, tentukan apakah

1lim ( )x

f x→−

dan 1

lim ( )x

f x→

(jika ada)!

4. Diketahui:

2

3 2, 1

( ) 5, 1 3

3 1, 3

x x

f x x

x x

+ ≤

= < ≤ − >

, tentukan apakah 1

lim ( )x

f x→

dan

3lim ( )x

f x→

(jika ada)!

+ ≤

5. Diketahui: 2

3 2, 1

( ) 5 ,1 3

1, 3

x x

f x x

x x

+ ≤

= < ≤ − >

, tentukan apakah 1

lim ( )x

f x→

dan 3

lim ( )x

f x→

(jika ada)!

Soal Latihan Pilihan Ganda

Bab : Limit - 1

1. Nilai dari 2

1

2 1lim

1→

− ++x

x x

x= ….

a. -1

b. 0 c. 1

d. 2

e. 3

2. Nilai dari 2 4 5

lim+ −x x

= …. 2. Nilai dari 1

lim1→ −x x

= ….

a. -1

b. 0 c. 1

d. 2

e. 6

3. Nilai dari 2

2

2 3 4lim

2→

− +−x

x x

x= ….

a. -1

b. 0 c. 5

d. 2 e. 6

4. Nilai dari 2

21

3 4lim

1→−

− −−x

x x

x= ….

a. 1

2

b. 5

2

c. 1

2−

d. 5

2−

e. 0

5. Nilai dari 22

3 7lim

6→

− ++ −x

x

x x= ….

1 1a.

1

30

b. 1

11

c. 1

11−

d. 1

30−

e. 1

20

6. Nilai dari 2

4

9lim ....→

+=

x

x

x

a. 3/4

b. 5/4

c. 3/2

d. 0

e. 1/2

7. Nilai 2

22

4lim ....

3 5x

x

x→

−=

− +

a. 1

b. 4 c. 6

d. 8

e. 9

22 3− +x

8. Nilai dari 2

21

2 3lim ....

2→

− +=

−x

x

x

a. 1

4−

b. 1

6−

c. 1

4

d. 1

6−

e. 0

9. Nilai )(lim1

xfx +→

dari fungsi

, 11

( ) ,-1 1

1 , 1

xx

x

f x x x

x x

≤ − +

= < ≤ − >

adalah ....

a. 1

b. 0

c. -1

d. 2 e. Tidak ada

, 1x

x ≤ −

10. Nilai )(lim1

xfx −→

dari fungsi

, 11

( ) ,-1 1

1 , 1

xx

x

f x x x

x x

≤ − +

= < ≤ − >

adalah....

a. 1

b. 0

c. -1

d. 2

e. Tidak ada