A

x

y (x,y)

x

y

a

b (a,b)

P

AP

x

y

A

r

LIMIT FUNGSI DUA PEUBAH

Definisi 1

Jika P(x,y) dan A(a,b) titik-titik di dalam R2 , maka jarak antara P dan A yang ditulis

AP .

dimana :

22

byaxAP

Gambar 6 : jarak P dan A di R2

Definisi 2 (Bola buka di R)

Misalkan A(a,b) titik di R2 dan r bilangan positif , maka bola buka B(A,r) didefinisikan

sebagai himpunan semua titik di dalam lingkaran berpusat di A dengan jari-jari r , atau himpunan

semua titik P(x,y) di R2 dimana rAP

Jadi B(A,r) }),{(222 rbyaxRyx

Gambar 7: Bola buka B(A,r)

Definisi 3

0

B ,, 00 yxB

L

L

L

Z

X

Y

Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisi pada bola buka B(A,r) dan (x0,y0)titik limit

dari B , maka

Lyxfmilyxyx

,00 ,,

jika 0 yang cukup kecil, maka terdapat 0 sehingga untuk setiap Byx, dan

2

0

2

0 yyxx berlaku Lyxf ,

Tafsiran geometris definisi limit fungsi dua peubah

Dari gambar 8, jika (x,y) di dalam bola buka B(x0,y0, ), maka LyxfL , .

Sifat :

Jika lim f (x,y) = L1 dan lim g ( x ,y) = L2

(x,y ) (X0 ,Y0 ) (x,y) (x0 ,y0 )

Maka

lim f (x,y) + g ( x ,y)] = L1 + L2

(x,y ) (X0 ,Y0 )

lim f (x,y) - g ( x ,y)] = L1 - L2

(x,y ) (X0 ,Y0 )

lim f (x,y) . g ( x ,y)] = L1 . L2

(x,y ) (X0 ,Y0 )

lim f (x,y) ] = k L1 , k = konstanta

(x,y ) (X0 ,Y0 )

lim = ,L2 ≠ 0

(x,y ) (X0 ,Y0 )

Catatan:

Dalam konsep limit ini:

1. f tidak harus terdefinisi di (a,b).

2. Jika lim f (x,y) = L

(x,y ) (a ,b )

ada maka bagaimanapun caranya (x,y) mendekati (a,b) nilai f(x,y) selalu mendekati L.

Contoh 1

Buktikan 11323,1,

yxmilyx

Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap 0 , terdapat 0 sehingga 1132 yx ,

dimana 0 22

31 yx .

Dengan menggunakan sifat baba diperoleh

331293221132 yxyxyx .

Karena

22311 yxx dan

22313 yxy

maka

33121132 yxyx22

312 yx +22

313 yx

= 531522

yx ,

sebab

0 22

31 yx

Dengan memilih 5

1,

maka

3233121132 yxyx

dimana

0 22

31 yx

Jadi terbukti bahwa

11323,1,

yxmilyx

( Diktat Matematika Dasar II Unhas )

Contoh

Jika f ( x,y ) = maka lim f (x,y) tidak ada , buktikan !

(x,y ) (0 ,0 )

Penyelesaian :

Titik (x, y) dapat mendekati (0,0) melalui tak hingga banyak arah.Untuk itu akan dilihat ketika

(x, y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x, sumbu y. dan garis y = mx .Jika (x, y) mendekati (0,0)

sepanjang(melalui) sumbu x ,jadi

y = 0 ,

maka lim f (x,y) = lim

(x,y ) (0 ,0) (x,y ) (0 ,0 )

= lim

(x) (0)

Di sisi lain, (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) sumbu

y (x = 0), maka

lim f (x,y) = lim

(x,y ) (0 ,0) (x,y ) (0 ,0 )

= lim

(y) (0)

= lim

(y) (0)

Terlihat bahwa dari dua arah yang berbeda diperoleh nilai yang berbeda, dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa limit f tidak ada untuk (x, y) (0, 0).

Pada contoh di atas kita tidak perlu mencari limit f dari arah lain, karena dari dua arah sudah

didapatkan nilai yang berbeda, sehingga dapat segera disimpulkan bahwa limitnya tidak ada. Jika

dari dua arah tersebut nilainya sama, perlu dicari dari arah lainnya, misal arah y = mx.

KONTINUTAS

Definisi 4

Fungsi f dua peubah dikatakan kontinu pada (x0,y0) jika memenuhi :

i. f(x0,y0) ada

ii. yxfmilyxyx

,00 ,,

ada

iii. 00,,

,,00

yxfyxfmilyxyx

Contoh

0

3

, 22

2

yx

yx

yxf

Selidikilah kontinuitas di titik (0,0)

Jawab :

i. f(0,0) = 0 ada

ii. yxfmilyx

,0,0,

= 03

22

2

0,0, yx

yxmil

yx

Bukti

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang (melalui) sumbu x

,jadi y = 0 , maka

*lim f (x,y) lim f (x,y)

(x,y ) (0 ,0) (x , y ) (0 ,0)

lim

Jika (x,y) (0,0)

Jika (x,y) = (0,0)

x 0

lim

x 0

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang (melalui) sumbu

y (x = 0), maka

*lim f (x,y) lim f (x,y)

(x,y ) (0 ,0) (x , y ) (0 ,0)

lim

y 0

lim

y 0

Jika (x, y) mendekati (0,0) sepanjang(melalui) y = x ,

Maka;

lim f (x,y) lim f (x,y)

(x,y ) (0 ,0) (x , y ) (0 ,0)

lim

x 0

lim

x 0

lim = lim = 0

x 0

Dapat disimpulkan bahwa lim f (x,y) = 0

(x,y ) (0 ,0)

iii. 00,0,0,0,

fyxfmilyx

Jadi f(x,y) kontinu di titik (0,0).

Contoh 2.7

0

, 22 yx

xy

yxf

Selidikilah kontinuitas di titik (0,0)

Jawab :

i. f(0,0) = 0 ada

ii. yxfmilyx

,0,0,

= 22

0,0, yx

xymil

yx

Tidak ada limitnya

Bukti

Ambil S1 himpunan semua titik pada sumbu x berarti y = 0, maka

yxfmilyx

,0,0,

= 0,0

xfmilx

= 00

02

0 xmil

x

, 1, Syx

Ambil S2 himpunan semua titik pada garis y = x

maka yxfmilyx

,0,0,

= 2

122

2

0 xx

xmil

x

, 2, Syx

karena yxfmilyx

,0,0,

= 0 untuk (x,y) S1 tidak sama dengan

yxfmilyx

,0,0,

= 2

1 untuk (x,y) S2 berarti

22

0,0, yx

xymil

yx

tidak ada.

Maka fungsi diatas tidak kontinu di titik ( 0,0 )

, jika (x,y) (0,0)

, jika (x,y) = (0,0)

Tugas kelompok

MATEMATIKA DASAR II

“LIMIT DAN KEKONTINUAN”

OLEH:

KELOMPOK II

JAMALUDDIN H22112011

AKMAL H22112268

MUH. IQBAL MAULANA H22112289

AHMAD JAMIL H12110290

UNIVERSITAS HASANUDDIN

2013