MAKALAH

FUNGSI KOMPOSISI DAN

LIMIT FUNGSI ALJABAR

Disusun Oleh:

BAGUS KURNIAWAN

XI IPS 3

SMA NEGERI 1 TANJUNG

TAHUN 2013LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Pengertian Limit Fungsi Secara Intuitif

Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak

mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut.

Untuk dapat memahami pengertian limit secara intuitif, perhatikanlah contoh berikut:

Fungsi f di definisikan sebagai f (x) =

Jika variabel x diganti dengan 2, maka f(x) = (tidak dapat ditemukan)

Untuk itu perhatikanlah tabel berikut :

x 0 1,1 1,5 1,9 1,999 2.000 2,001 2,01 2,5 2,7

f(x) 1 2,1 2,5 2,9 2,999 ??? 3,001 3,01 3,5 3,7

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa f (x) = : mendekati 3. jika x

mendekati 2, baik didekati dari sebelah kiri (disebut limit kiri) maupun di dekati dari sebelah

kanan (disebut limit kanan). Dapat ditulis :

2. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu

Menentukan limit dengan cara diatas tidaklah efisien. Untuk mengatasinya, kita dapat

menentukan nilai limit suatu fungsi dengan beberapa cara, yaitu:

a. Subtitusi

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai !

Penyelesaian :

Nilai limit dari fungsi f(x) = x2 – 8 dapat kita ketahui secara langsung, yaitu dengan cara

mensubtitusikan x =3 ke f(x)

Artinya bilamana x dekat 3 maka x2 – 8 dekat pada 32 – 8 =9 – 8 = 1 Dengan ketentuan

sebagai berikut:

a) Jika f (a) = c, maka

b) Jika f (a) = , maka

c) Jika f (a) = , maka

b. Pemfaktoran

Cara ini digunakan ketika fungsi-fungsi tersebut bisa difaktorkan sehingga tidak

menghasilkan nilai tak terdefinisi.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai !

Jika x = 3 kita subtitusikan maka f (3) = .

Kita telah mengetahui bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 tidak terdefinisi. Ini

berarti untuk menentukan nilai , kita harus mencari fungsi yang baru sehingga

tidak terjadi pembagian dengan nol. Untuk menentukan fungsi yang baru itu, kita tinggal

menfaktorkan fungsi f (x) sehingga menjadi:

Jadi, =

=

= 3 + 3 = 6

c. Merasionalkan Penyebut

Cara yang ke-tiga ini digunakan apanila penyebutnya berbentuk akar yang perlu

dirasionalkan, sehingga tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0.

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai !

Penyelesaian:

=

=

=

=

= = 1 . 0= 0

d. Merasionalkan Pembilang

Perhatikanlah contoh berikut!

Contoh:

Tentukan nilai !

Penyelesaian:

= .

=

=

=

=

=

= = =

3. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Bila Variabelnya Mendekati Tak Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar yang variabelnya mendekati tak berhingga,diantaranya:

dan

Untuk menentukan nilai limit dari bentuk-bentuk tersebut, dapat dilakukan cara-cara sebagai

berikut:

a. Membagi dengan pangkat tertinggi

Cara ini digunakan untuk mencari nilai . Caranya dengan membagi f(x) dan

g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x).

Contoh:

Tentukan nilai limit dari:

a. b.

Penyelesaian:

a. untuk menentukan nilai dari perhatikan pangkat tertinggi dari x pada f

(x ) = 4x – 1 dan g(x) = 2x + 1. ternyata pangkat tertinggi dari x adalah satu.

=

=

=

= = = 2

b. Perhatikan fungsi h (x) = ! Fungsi tersebut memiliki x dengan pangkat

tertinggi 2, yaitu x2 yang terdapat pada x2 – 2. jadi, untuk menentukan nilai

maka fungsi 4x + 1 dan x2 – 2 harus dibagi dengan x2 .

=

=

=

=

= = 0

b. Mengalikan dengan faktor lawan

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan . Jika kita dimitai

menyelesaikan maka kita harus mengalikan [f (x) + g (x)] dengan

sehingga bentuknya menjadi:

.

= ataupun sebaliknya.

Contoh:

Tentukan nilai dari

Penyelesaian:

= .

=

=

=

=

=

  FUNGSI KOMPOSISI

A. Fungsi dan Jenis-jenisnya1. Pengertian Fungsi

B.Î A dipasangkan dengan tepat satu y ÎFungsi atau pemetaan adalah suatu relasidari himpunan A ke Himpunan B dalam hal ini setiap x B.®Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f:A Mis.A B Ket.a. domainnya adalah {a, b, c, d }b. kodomainnya adalah { 1,2,3, 4}c. range adalah { 2, 3 }2. Sifat-Sifat Fungsia. Fungsi SurjektifSuatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan daerah kodomainnya disebut fungsi surjektif atau fungsi ontoB disebut funsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf¬¬¬ = B®Fungsi f:AA Bb. Fungsi InjektifSebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut fungsi injektif.(Fungsi satu-satu).A dan a1 ≠ a2, maka berlaku f(a1) ≠ f(a2).Î B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 ®Fungsi f : A A Bc. Fungsi BijektifB denga A = {3, 4, 5} dan B = { a, b, c} dinyatakan dengan pasnagan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Disebut fungsi sutrjektif karena range fungsi f sama dengna kodomain fungsi f atau Rf ¬¬ = B.®Misalkan fungsi f : A A BB disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus fungsi surjektif dan injektif.®Fungsi f : A B. Operasi Aljabar pada FungsiMisalkan ditentukan fungsi f(x) dan g(x) maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut,1. ¬(f + g) (x) = f(x) + g(x)2. (f – g ) (x) = f(x) – g(x)3. (f x g) (x) = f(x) x g(x)4. (x) =Contoh.Diketahui f(x) = x¬¬¬2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. tentukan g(x)Jawab.(f+g)(x) = f(x) + g(x)x2 + 5 = (x2 + 3x – 1 ) + g(x)g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1g(x) = -3x + 6C. Fungsi Komposisi1. Pengertian Fungsi KomposisiMisalkan fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x+ 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2.Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untukf(1) = 1 + 1®x = 1 f(2) = 2 + 1®x = 2 f(t) = t + 1®x = t jika x diganti dengan g(x), diperolehf(g(x)) = g(x) + 1= x2 + 1Misalkan fungsi h(x) = f(g(x)) = x2 + 1.Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan fungsi komposisi g dan f. fungsi ini ditulis dengan f o g, dibaca “ f bundaran g”.Dengan cara yang serupa, diperolehg(f(x) = g( x + 1 )2

= (x + 1)2Fungsi g(f(x)) selanjutnya ditulis sebagai (g o f)(x)C dengan g(b) = c. komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca : g bundara f ) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan® B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B ®Misalkan fungsi f : A (g o f)(a) = g(f(a))Pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. hal ini dapat dituliskan (g o f)(a) = g(f(a)).Contoh :Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x – 7. Tentukana. (f o g )(3)b. (g o f )(-2)Jawab :1) Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi komposisi.a. Cara pertamaDengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu(f o g )(x) = f(g(x))= f(2x – 7)= 3(2x – 7) + 5= 6x – 21 + 5= 6x – 16Untuk memperoleh nilai (f o g )(3), subtitusikan nilai x = 3 ke (f o g )(x), yaitu (f o g )(3) = 6(3) – 16 = 2Jadi (f o g )(3) = 2b. Cara keduaKita ketahui bahwa (f o g )(3) = 2Untuk itu, terlebih dahulu kita cari g(3), yaitu g(3) = 2(3) – 7 = -1Jadi, (f o g )(3) =f(g(3))= f(-1)= 3(-1) + 5= 22) Ada dua cara juga untuk menentukan nilainyaa) Cara pertama(g o f)(x) = g9f(x))= g(3x + 5)= 2(3x + 5) – 7= 6x + 10 – 7= 6x + 3Dengan demikian, (g o f)(-2) = 6(-2) + 3= -9b) Cara kedua(g o f)(x) = g9f(-2))= g(3(-2) + 5)= g(-1)= 2(-1) – 7= - 9Jadi, (g o f)(-2) = - 92. Sifat-Sifat Komposisi Fungsia. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu(f o g )(x) ≠ (g o f )(x)Bukti :Misalkan diketahui fungsi-fungsif(x) = 5x – 4g(x) = 2x + 8h(x) = x2Komposisi fungsi f o g dan g o f dapat ditentukan di bawah ini .a) (f o g )(x) = f(g(x))= f(2x + 8)= 5(2x + 8) – 4= 10x + 36b) (g o f )(x) = g(f(x))

= g(5x – 4)= 2(5x – 4) + 8= 10x – 8 + 8=10xSehingga terbukti (f o g )(x) ≠ (g o f )(x)b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu.((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)Bukti :f(x) = 2x + 1g(x) = x2 – 6x + 7h(x) = x - 2Komposisi fungsi ((g o h ) o f)(x) dan (g o (h o f))(x) dapat ditentukan di bawah ini .a) ((g o h ) o f)(x) = (( g (x – 2) o f)= (((x-2)2 – 6(x-2) + 7) o f)= ((x2-4x+4-6x+12+7) o f)= (x2-10x+23) o f)= (f(x))2-10 f(x)+23= (2x+1)2 – 10(2x+1) + 23= 4x2+4x+1-20x-10+23= 4x2-16x+14b) ((g o (h o f))(x) = (g o (h o f)(x)= (g o (h(2x+1))= (g o ((2x+1)-2)= (g o (2x-1))= (2x-1)2-6(2x-1)+7= 4x2 -4x+1-12x+6+7= 4x2-16x+14Jadi ((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)Bukti :Misalkan f(x) = x2 -3x +2 dan I(x) = xa) (f o I)(x) = f(I(x))= f(x)= x2 -3x +2b) (I o f)(x) = I(f(x)= I(x2 -3x +2)= x2 -3x +2Soal :R. jika g(x) = x2 – 9 dan (g o f))(x)= 4x2 + 12x. tentukan f(x).® R dan g : R ®1) Diketahui fungsi f: R Jawab :Diketahui (g o f)(x)= 4x2 + 12x(f(x))2 – 9 = 4x2 + 12x(f(x))2 = 4x2 + 12x + 9(f(x))2 = (2x + 3)2F(x) = 2x + 3Jadi f(x) = 2x + 3R. jika g(x) = x + 2 dan (f o gf))(x)= 5x + 7, tentukan f(x).® R dan g : R ®2) Diketahui fungsi f: R Jawab:(f o gf))(x)= 5x + 7f(g(x)) = 5x + 7f(x + 2) = 5x + 7Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan di atasa) Cara satu :f(x + 2) = 5x + 7Pada ruas kanan harus terbentuk factor (x + 2) sehinggaf(x + 2) = 5x + 7= 5(x + 2) – 10 + 7= 5(x + 2) – 3

Karena f(x + 2) = 5(x +2) – 3 maka f(x) = 5x – 3.Jadi, f(x) 5x – 3b) Cara dua :Perhatikan f(x +2) = 5x + 7.Dari persamaan ini, variable ruas kanan adalah (x + 2), sedangkan variable ruas kanan adalah x. dengan demikian, (x + 2) bersesuaian dengan x.x + 2 = xx = x – 2Jadi, (x + 2) di ruas kiri diubah menjadi x, sedangkan variable x di ruas kanan diubah menjadi x – 2. dengan demikian diperoleh :f(x) = 5(x – 2) + 7= 5x – 10 + 7= 5x – 3Jadi, f(x) = 5x – 3.