laporan praktikum komputasi proses bab i

LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES

I. DIFERENSIASI NUMERIS

DISUSUN OLEH :

Nama : Fajar Hamida Munfaridi

NIM : 13521084

Kelas : D

Asisten : 1. Heni Anggorowati

2. Andry Septian

3. Agus Kurniawan

4. Khuriyati A’malina

LABORATORIUM KOMPUTASI PROSES

JURUSAN TEKNIK KIMIA

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA

YOGYAKARTA

2015

BAB IPENDAHULUAN

A. Tujuan

Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk persamaan differensial

sederhana dengan menggunakan penyelesaian numerik.

B. Dasar Teori

Metode numerik adalah satu-satunya metode alternatif yang ada dalam upaya

menyelesaikan persoalan-persoalan matematis. Metode yang lain dikenal dengan

sebutan metode analitik. Ada dua alasan umum mengapa pilihan dijatuhkan kepada

metode numerik. Alasan pertama metode ini memberikan keefisienan dan keefektifan

di dalam menyelesaikan perpersolan-persoalan matematis dikarenakan

berkembangnya perangkat keras dan lunak komputer akhir-akhir ini. Alasan yang lain

adalah metode numerik memungkinkan untuk mengkaji parametrik dari persoalan

dengan medan yang bersifat sembarang. Alasan yang terakhir ini lebih bermakna

ketidakmampuan metode analitik untuk menyelesaikan persolan-persoalan matematis

aplikasi yang kompleks. Dalam banyak literatur analisa numerik diungkapkan bahwa

di dalam metode numerik keputusan menerima atau menolak suatu jawaban

aproksimasi (pembulatan nilai terhadap hasil pengukuran dan tidak berlaku untuk hal

yang sifatnya eksak) berdasarkan kepada toleransi kedekatan yang disepakati.

Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari

penyelesaian analitis atau eksak. Hasil pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak)

bisa jadi terdapat kesalahan (error) terhadap nilai eksak. Terdapat tiga macam

kesalahan:

1. Kesalahan Bawaan

Yaitu merupakan kesalahan dari nilai data. Misal kekeliruan dalam

menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya

pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

2. Kesalahan pembulatan

Kesalahan ini terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka

terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untuk

menggantikan bilangan eksak. Contoh, nilai: 3,1415926 dapat dibulatkan

menjadi 3,14.

1

3. Kesalahan Pemotongan

Kesalahan ini terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan

prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak

berhingga diganti dengan proses berhingga. Contoh fungsi dalam

matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk deret tak

terhingga yaitu:

Persamaan differensial merupakan model matematis yang paling sering

muncul dalam bidang keteknikan. Salah satu penyelesaiannya dengan metode beda

hingga (finite difference).

dF ( x )dx

∫ xo=f ( xo )= limx−. x 0

f ( x )−f (xo)x−xo

Jika h = x – xo = ∆x maka pendekatan turunan di atas adalah

f’(xo)¿f ( x )−f (xo)

h=

f ( x )−f (xo)∆ x

Diketahui suatu fungsi y = f(x), ingin dicari dydx

pada x = xo

Penyelesaiannya dapat menggunakan 3 cara yaitu:

1. Forward Difference (Beda Maju)

Beda hingga maju pertama dari y pada i atau x didefinisikan:Δyi= yi+1–yi. Beda

maju kedua pada i atau x di definisikan:

2

f (x0−ε ) f (x0−ε ) f (x0−ε )ForwardBackward

Central

e x=1+x+ x2

2!+ x3

3 !+ x4

4 !+.. . .. .. .. .

Δ2yi = yi+2–2yi+1+ yi atau

Δ2y(x) = y(ε+2h) –2y(ε +h) + y(ε).

Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan:

dydx

|x=x0≈f (x0+ε )−f ( x0 )

ε

2. Backward Difference (Beda Mundur)

Beda hingga mundur pertama dari y pada i atau x didefinisikan:∇yi= yi–yi-1 atau ∇y(ε) = y(ε) –y(ε -h)

Beda mundur kedua padai atau x didefinisikan:∇2yi=yi–2yi-1+yi-2

atau∇2y(ε) = y(ε) –2y(ε -h) + y(ε -2h)

Sehingga penyelesaiannya bisa dituliskan:

dydx

|x=x0≈f (x0 )−f ( x0−ε )

ε

3. Central Difference(Beda Pusat)

Beda hingga terpusat pertama dari y pada i atau x didefinisikan:

∂ yi=yi+1/2-yi-1/2

Atau δy(x) = y(ε +1/2 h) –y(ε -1/2 h)

Turunan beda terpusat selanjutnya adalah:

dyidε

= 12 h

=(yi+1 – yi-1) ;d 2 yd ε 2

=1

h 2(yi+1-2yi+yi-1)

Penyelesaiannya dapat dituliskan:

dydx

|x

=x 0≈f ( x 0+ε )−f ( x 0−ε )

2 ε

Menurut teori, cara central adalah yang terbaik. Semakin kecil ε, hasil makin

baik.

3

BAB IIPERSOALAN DAN PENYELESAIAN

A. Latihan

No 1

No 2

xo 1.0000ε 0.0005

xo xo + ε xo - ε f(xo) f(xo + ε) f(xo - ε)1.0000 1.0005 0.9995 1.5000 1.5050 1.4950

FORWARD 10.0058BACKWARD

9.9943

CENTRAL 10.0000

4

xo 2.0000ε 0.0001



55.9932

CENTRAL 56.0000

No 3

No 4

5

xo 3.0000ε 0.0050



3.0978

CENTRAL 3.0979

xo 4.0000ε 0.0050



0.2544

CENTRAL 0.2546

B. Tugas

6

y13−2 x=

4√2 x2 −2 y13+ x

(3 y13 )3=( 4√2 x2 )3+(3 x)3

y=[(2x2)

14 ]3

27+x3

xo 3.0000ε 0.0001


FORWARD 27.1627

BACKWARD 27.1609

CENTRAL 27.1618

BAB IIIPENUTUP

A. Kesimpulan

1. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk merumuskan persoalan

matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi hitungan/aritmatika biasa.

2. Terdapat tiga cara menyelesaikan persoalan secara diferensiasi numeris, yaitu :

a. Cara Forward

b. Cara Backward

c. Cara Central

3. Nilai y dari persamaan y=x5−2 x3+5 dengan cara forward, backward, dan

central masing masing adalah : 56,0068 ; 55,9932 ; 56,0000.

4. Nilai y dari persamaan y=2 x4+ 1

2x2−1

x dengan cara forward, backward, dan


5. Nilai y dari persamaan y=2 log(3x2 )+ 5

√x+3x

dengan cara forward, backward,

dan central masing masing adalah : 3,0981 ; 3,0978 ; 3,0979.

6. Nilai y dari persamaan y=

4

x2+

3√ x2

3+x

14

dengan cara forward, backward, dan


7. Nilai y dari persamaan y=[(2x2)

14 ]3

27+x3 dengan cara forward, backward, dan


8. Menurut teori, metode central adalah yang terbaik dibanding metode forward dan

metode backward.

B. Saran

1. Dalam proses input formula/rumus ke dalam ms. Excel harus teliti, karena salah

input akan mempengaruhi hasil.

7

2. Sebaiknya laboratorium menyediakan software terbaru, karena software terbaru

biasanya dalam penggunaan lebih simple dan lebih mudah. Selain itu dikarenakan

kebanyakan praktikan telah menggunakan software baru, bila praktikan tidak

menyimpan file dengan ekstensi compability mode, maka bila dibuka di software

lama file akan berubah (misalnya menjadi acak-acakan).

DAFTAR PUSTAKA

Anonim.2010.Buku Petunjuk Praktikum Komputasi Proses.Yogyakarta : Teknik Kimia UII

http://dokumen.tips/documents/metode-numerik-buku-ajar-unila-558b18cf0ef0d.html diakses

pada tanggal 20-10-2015 pk 21:50

https://www.academia.edu/9646952/LAPORAN_BAB_I diakses pada tanggal 20-10-2015 pk

21:34

8

laporan praktikum komputasi proses bab i

Documents