Amaliadewi29.blogspot.com

1

LANJUTAN ISOMETRI

Apabila reflexi geser dikalikan dengan salah satu dari ketiga isometri yang semula atau reflexi

geser dikalikan dengan reflexi geser lain, apakah akan diperoleh suatu isometri baru ?

1. Selidiki apa yang akan terjadi apabila sebuah reflexi geser dikalikan dengan sebuah

translasi. Andaikan R sebuah reflexi geser dengan sumbu t sehingga = dengan

. Andaikan sebuah translasi yang lain,

Maka = ()

= ()

Oleh karena hasilkali dua translasi adalah translasi, maka ada ruas garis berarah

sehingga = .

Dengan demikian maka = .

Apabila tidak tegak lurus pada t, maka adalah suatu reflexi geser.

Sehingga adalah suatu reflexi geser atau suatu reflexi.

Begitu pula sebab = jika .

Jadi = () =

Oleh karena = maka = .

2. Perhatikan sekarang hasilkali reflexi geser dengan reflexi pada garis.

Misalkan reflexi pada garis s dan R sebuah reflexi geser maka

= () = () = ()

Apabila , maka sebuah translasi. Jadi pula () adalah sebuah

translasi. Sehingga pula juga sebuah translasi. Apabila , maka adalah

sebuah rotasi, maka sebuah rotasi; juga sebuah rotasi.

Jadi hasilkali sebuah reflexi geser dengan sebuah reflexi pada garis adalah sebuah

translasi atau sebuah rotasi.

Amaliadewi29.blogspot.com

2

3. Hasilkali sebuah reflexi geser dengan sebuah rotasi atau dengan suatu reflexi geser yang

lain juga tidak akan menghasilkan transformasi yang lain kecuali yang telah diperoleh.

Teorema 1.1

Diketahui 3 titik yang tak kolinear A, B, dan C.

Jika ada 3 titik lain A, B, C maka ada paling banyak satu isometric yang memetakan A pada A,

B pada B, dan C pada C.

Bukti

Andaikan ada dua isometri 1 dan 2 sehingga

1() = = 2()

1() = , = 2()

1() = = 2()

Karena 1 dan 2 isometri-isometri maka = , = dan = . Oleh karena A,

B, C tak segaris maka A, B, C juga tak segaris.

Andaikan 1() 2() dan andaikan 1() = , 2() = maka PA = P'A' = P. Jadi A

terletak pada sumbu ruas garis " pula. Jadi A, B, C segaris.

Jadi haruslah 1() = 2(), . Ini berarti 1 = 2.

Teorema 1.2

Jika s sebuah garis melalui titik asal sebuah system koordinat orthogonal dan jika memetaka

A = (1, 0) pada B = (h, k) dan P = (x, y). maka = ( + , ).

Bukti

Amaliadewi29.blogspot.com

3

Andaika T memetakan P = (x, y) pada titik ( + , ),

() = ( + , ).

Akan dibuktikan bahwa = . Untuk ini kita buktikan terlebih dahulu bahwa T sebuah

isometric. Andaikan 1 = (1, 1), 2 = (2, 2) dua titik sebarang, maka

1 = (1) = (1 + 1 , 1 1)

Dan

2 = (2) = (2 + 2 , 2 2)

Jadi

(12)

2 = [(1 + 1) (2 + 2)]2 + [(1 1) (2 2)]

2

= [(1 2) + (1 2)]2 + [(1 2) (1 2)]

2

= (2 + 2)(1 2)2 + (2 + 2)(1 2)

2

Oleh karena = () dan () = 0, maka = . Berhubung = 1 dan =

2 + 2 maka 2 + 2 = 1. Jadi akhirnya 12 = (1 2)2 + (1 2)2 = 12

Amaliadewi29.blogspot.com

4

Sehingga T sebuah Isometri

Kemudia diperoleh secara berturut-turut :

() = (0,0)

() = (, )

() = (. + . , ) = (2 + 2, 0) = (1,0)