laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip pada …1].pdftunak kasus 3 dimensi dengan variasi...
TRANSCRIPT
-
LAJU PERPINDAHAN KALOR DAN EFEKTIVITAS SIRIP
PADA KASUS 3 DIMENSI KEADAAN TAK TUNAK
TUGAS AKHIR
Untuk memenuhi sebagian persyaratan
Mencapai derajat sarjana S-1
Program Studi Teknik Mesin
Jurusan Teknik Mesin
Diajukan oleh :
SHIRLEEN YOHANA NIM : 045214006
Kepada
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
i
-
HEAT TRANSFER AND EFFECTIVITY OF FIN
IN 3 DIMENSIONAL UNSTEADY STATE CASE
FINAL PROJECT
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Sarjana Teknik Degree
In Mechanical Engineering
By :
SHIRLEEN YOHANA Student Number : 045214006
MECHANICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM
MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT
SCIENCE & TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
ii
-
SPECIAL THANKS TO :
My Dearest Lord Jesus Christ Who always love me the way I am Who has allowed me to reach my future with my own way And never leave me alone there My Dad n Mom, My Brother and Sister, Ryanto and Shirley, and also My little Liesl For the best love, exceptional, and support Even when my choice is really seems so strange for all of you And you can’t understand why I choose to do this job All my friends For the best friendship I ever have You are my wings forever, friends And for Someone Who has given me the very best times in my life I really appreciate the moments we’ve shared With love, tears, joy and laugh Thank you, My Friend Hope God will always give the best for you
“Not with force, not with power but only with My Spirit”, God says,
“My grace is all you need; for My power is strongest when you are weak”
(Zachariah 4:6, 2 Corinthians 12:9)
v
-
PERNYATAAN
Dengan ini penulis menyatakan bahwa dalam Tugas Akhir ini tidak terdapat hasil
karya orang lain yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di
suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan penulis tidak terdapat pula
pendapat atau karya yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang maupun
instansi lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan dicantumkan
dalam daftar pustaka sebagai sumber-sumber referensi.
Yogyakarta, 8 Januari 2008
Penulis
vi
-
INTISARI
Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui : (1) laju aliran kalor dan (2) efektivitas sirip pada keadaan tak tunak pada sirip berongga. Arah perpindahan kalor konduksi ditinjau dalam 3 arah, yakni arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z.
Penelitian ini dilakukan terhadap sebuah sirip berongga. Panjang sirip 1 cm dan penampang sirip berbentuk persegi berukuran 1 cm x 1 cm. Suhu awal sirip (Ti) sama dengan suhu dasar sirip (Tb) sebesar 200oC. Sirip tersebut dikondisikan pada lingkungan dengan suhu 50oC. Sifat-sifat bahan sirip seperti massa jenis (ρ) dan kalor jenis (c) diasumsikan tidak berubah terhadap perubahan suhu. Variasi dilakukan terhadap nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h1 (di luar sirip) dan h2 (di dalam rongga sirip) serta bahan sirip. Penyelesaian dilakukan secara simulasi numerik dengan metode beda hingga cara eksplisit.
Hasil penelitian memperlihatkan bahwa (1) makin besar nilai h1, laju aliran kalor semakin besar sedang efektivitas menurun. Untuk sirip Aluminium saat t = 4 detik,h2 = 10 W/m2oC, Tb = Ti = 200oC dan Tfluida = 50oC jika h1 berturut-turut: 1000 W/m2oC, 2000 W/m2oC, 3000 W/m2oC, 4000 W/m2oC, 5000 W/m2oC; maka laju aliran kalor : 62,2 W; 112,5 W; 154,9 W; 191,9 W; 224,7 W; efektivitas: 4,1; 3,7; 3,4; 3,2; 2,9. (2) Makin tinggi nilai h2, laju aliran kalor dan efektivitas meningkat. Untuk sirip Aluminium saat t = 4 detik, h1= 1000 W/m2oC, Tb = Ti = 200oC dan Tfluida = 50oC jika h2 berturut-turut : 100 W/m2oC, 200 W/m2oC, 300 W/m2oC, 400 W/m2oC, 500 W/m2oC; maka laju aliran kalor : 64,7 W; 67,6 W; 70,4 W; 73,1 W; 75,9 W; efektivitas : 4,3; 4,5; 4,7; 4,9; 5,1. (3) Makin besar nilai h1=h2, laju aliran kalor meningkat dan efektivitas menurun. Untuk sirip Aluminium saat t = 4 detik, Tb = Ti = 200oC dan Tfluida = 50oC jika h1=h2 berturut-turut : 300 W/m2oC, 400 W/m2oC, 500 W/m2oC, 600 W/m2oC, 700 W/m2oC; maka laju aliran kalor : 29,9 W; 39,3 W; 48,2 W; 56,9 W; 65,4 W; efektivitas : 6,7; 6,5; 6,4; 6,3; 6,2. (4) Sifat bahan sirip mempengaruhi laju aliran kalor dan efektivitas sirip. Bahan yang memiliki laju aliran kalor dan efektivitas yang baik berturut-turut adalah perak, tembaga, baja, aluminium, kuningan dan besi.
viii
-
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas
hikmat dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir
ini. Tugas Akhir ini merupakan persyaratan untuk dapat mencapai derajat sarjana
S-1 di Universitas Sanata Dharma. Penelitian Tugas Akhir ini membahas
mengenai laju aliran kalor dan efektivitas pada sebuah sirip pada keadaan tak
tunak kasus 3 dimensi dengan variasi koefisien perpindahan panas konveksi h1
dan h2 serta variasi bahan.
Menyadari bahwa ada begitu banyak pihak yang telah memberikan
dukungan bagi penulis, mulai sejak awal masa studi di Universitas Sanata Dharma
sampai dengan terselesaikannya penulisan Tugas Akhir ini, maka pada
kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Dr. Ir. P. Wiryono P., S.J. selaku Rektor Universitas Sanata Dharma.
2. Ir. Greg. Heliarko, SJ., SS., B.ST., MA., M.Sc. selaku Dekan Universitas
Sanata Dharma
3. Bapak Budi Sugiharto, S.T., M.T. selaku Ketua Program Studi Teknik Mesin
Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak Ir. FX. Agus Unggul Santosa selaku Dosen Pembimbing Akademik.
5. Bapak Ir. PK. Purwadi, M.T. selaku Dosen Pembimbing Tugas Akhir.
6. Segenap dosen dan karyawan Jurusan Teknik Mesin Universitas Sanata
Dharma.
7. Laboran Laboratorium Teknik Mesin Universitas Sanata Dharma.
8. Segenap warga masyarakat Paingan yang telah membantu menciptakan iklim
belajar yang kondusif bagi mahasiswa.
9. Bapak dan Ibu Pdt. F.Z. Assa untuk dukungan doanya yang tiada henti.
10. Orang tua dan saudara-saudara penulis yang senantiasa memberi dukungan
doa, moral maupun material.
11. Rekan – rekan mahasiswa Teknik Mesin Universitas Sanata Dharma untuk
semangat dan solidaritasnya.
12. Teman-teman kos Dewi yang sudah berbagi suka duka selama masa studi ini.
ix
-
13. Teman-teman yang telah begitu sering penulis repotkan selama ini: Mas Toa,
Cik Ita, Dima, Bli Pande, Supri, Fendi, Hengky, Juwan, Hendro, Nanang,
Andi, Age, Dono, Aji dan masih banyak lagi.
14. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.
Penulis juga menyadari bahwa dalam penulisan Tugas Akhir ini
masih terdapat banyak kekurangan dan masih pelu disempurnakan. Oleh karena
penulis sangat menghargai kritik dan saran sehingga dapat melakukan perbaikan
di kemudian hari.
Akhir kata, penulis berharap Tugas Akhir ini dapat bermanfaat bagi
rekan-rekan mahasiswa yang mungkin akan melakukan penelitian sejenis maupun
bagi pembaca lainnya.
Yogyakarta, 8 Januari 2008
x
-
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i
HALAMAN JUDUL (INGGRIS) ....................................................................... ii
HALAMAN PERSETUJUAN DOSEN PEMBIMBING ................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv
PERSEMBAHAN ...............................................................................................v
PERNYATAAN .................................................................................................vi
PERSETUJUAN PUBLIKASI ...........................................................................vii
INTISARI ...........................................................................................................viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix
DAFTAR ISI .......................................................................................................xi
DAFTAR TABEL ...............................................................................................xv
DAFTAR GAMBAR ..........................................................................................xvi
DAFTAR NOTASI .............................................................................................xix
BAB I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang .......................................................................................1
1.2. Batasan Masalah ....................................................................................3
1.2.1. Bentuk Geometri Sirip ..................................................................3
1.2.2. Model Matematika .......................................................................4
1.2.3. Kondisi Awal ................................................................................4
1.2.4. Kondisi Batas ................................................................................4
1.2.5. Asumsi ................................................................................................4
1.3. Tujuan ....................................................................................................5
1.4. Manfaat ..................................................................................................5
BAB II. DASAR TEORI
2.1. Perpindahan Kalor Pada Sirip ................................................................6
2.2. Perpindahan Kalor Konduksi .................................................................7
xi
-
2.3. Konduktivitas Termal ............................................................................8
2.4. Perpindahan Kalor Konveksi .................................................................9
2.4.1. Konveksi Bebas ............................................................................10
2.4.1.1. Bilangan Rayleigh (Ra) .......................................................11
2.4.1.2. Bilangan Nusselt (Nu ) ........................................................12
2.4.2. Konveksi Paksa ............................................................................13
2.5. Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi ................................................15
2.6. Laju Perpindahan Kalor .........................................................................16
2.7. Efektivitas Sirip .....................................................................................17
BAB III. PERSAMAAN NUMERIK DI SETIAP TITIK
3.1. Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol .......................................18
3.2. Penurunan Model Matematis .................................................................19
3.3. Persamaan Numerik di Setiap Volume Kontrol ....................................22
3.3.1. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di
Permukaan Benda .........................................................................22
3.3.2. Persamaan Numerik untuk Distribusi suhu di
Sudut Luar Benda .........................................................................25
3.3.3. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di
Rusuk Luar Benda ........................................................................27
3.3.4. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di
Dalam Benda ................................................................................29
3.3.5. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di
Rusuk Dalam Benda .....................................................................31
3.3.6. Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di
Sudut Dalam Benda ......................................................................34
BAB IV. METODE PENELITIAN
4.1. Benda Uji .........................................................................................37
4.2. Variasi Penelitian .............................................................................39
4.3. Peralatan Pendukung .......................................................................41
xii
-
4.4. Metode Penelitian ............................................................................42
4.5. Cara Pengambilan Data ...................................................................42
4.6. Cara Pengolahan Data .....................................................................43
BAB V. HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN
5.1. Hasil Perhitungan ............................................................................44
5.1.1. Variasi Nilai Koefisien Perpindahan
Kalor Konveksi (h1) ................................................................44
5.1.1.1. Distribusi Suhu .......................................................44
5.1.1.2. Laju Aliran Kalor ....................................................45
5.1.1.3. Efektivitas ...............................................................46
5.1.2. Variasi Nilai Koefisien Perpindahan
Kalor Konveksi (h2) ................................................................48
5.1.2.1. Laju Aliran Kalor ....................................................48
5.1.2.2. Efektivitas ...............................................................50
5.1.3. Variasi Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi
(h1 dan h2) dengan Nilai yang Sama ......................................52
5.1.3.1. Laju Aliran Kalor ....................................................52
5.1.3.2.Efektivitas ................................................................54
5.1.4. Variasi Bahan .........................................................................55
5.1.4.1. Laju Aliran Kalor ....................................................56
5.1.4.2. Efektivitas ...............................................................58
5.2. Pembahasan .....................................................................................60
5.2.1. Variasi nilai koefisien perpindahan kalor
konveksi (h1) ..........................................................................60
5.2.2. Variasi nilai koefisien perpindahan kalor
konveksi (h2) ..........................................................................61
5.2.3. Variasi Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi
(h1 dan h2) dengan Nilai yang Sama ......................................63
5.2.4. Variasi Bahan .........................................................................64
xiii
-
BAB VI. KESIMPULAN DAN SARAN
6.1. Kesimpulan ............................................................................................66
6.2. Saran ......................................................................................................67
DAFTAR PUSTAKA .........................................................................................68
xiv
-
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Nilai Konduktivitas Termal Beberapa Bahan .....................................9
Tabel 2.2 Konstanta untuk Perpindahan Kalor dari Silinder Tak-Bundar ..........14
Tabel 2.3 Nilai Kira-kira Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi .....................15
xv
-
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Sirip Untuk Pengujian .....................................................................3
Gambar 2.1 Perpindahan Kalor Konduksi ..........................................................8
Gambar 2.2 Perpindahan Kalor Konveksi ..........................................................10
Gambar 2.3 Silinder Horisontal ..........................................................................12
Gambar 2.4 Aliran Fluida pada Bidang Datar ....................................................13
Gambar 3.1 Keseimbangan Energi dalam Volume Kontrol ...............................18
Gambar 3.2 Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol untuk Penelitian .....19
Gambar 4.1 Benda Uji ........................................................................................37
Gambar 4.2 Pembagian Benda Uji ......................................................................38
Gambar 4.3 Pembagian Benda Uji menjadi Volume Kontrol ............................38
Gambar 5.1 Distribusi Suhu Sirip Aluminium pada Node 23b-33b
saat 4 Detik Pertama .......................................................................44
Gambar 5.2 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1=1000W/m2oC .............45
Gambar 5.3 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1=2000W/m2oC .............45
Gambar 5.4 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1=3000W/m2oC .............45
Gambar 5.5 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1=4000W/m2oC .............46
Gambar 5.6 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1=5000W/m2oC .............46
Gambar 5.7 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1=1000W/m2oC ........................46
Gambar 5.8 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1=2000W/m2oC ........................47
Gambar 5.9 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1=3000W/m2oC ........................47
Gambar 5.10 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1=4000W/m2oC ......................47
Gambar 5.11 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1=5000W/m2oC ......................48
Gambar 5.12 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h2=100W/m2oC .............48
Gambar 5.13 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h2=200W/m2oC .............49
Gambar 5.14 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h2=300W/m2oC .............49
Gambar 5.15 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h2=400W/m2oC .............49
Gambar 5.16 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h2=500W/m2oC .............50
Gambar 5.17 Efektivitas Sirip Aluminium saat h2=100W/m2oC ........................50
Gambar 5.18 Efektivitas Sirip Aluminium saat h2=200W/m2oC ........................50
xvi
-
Gambar 5.19 Efektivitas Sirip Aluminium saat h2=300W/m2oC ........................51
Gambar 5.20 Efektivitas Sirip Aluminium saat h2=400W/m2oC ........................51
Gambar 5.21 Efektivitas Sirip Aluminium saat h2=500W/m2oC ........................51
Gambar 5.22 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = h2 =300W/m2oC ....52
Gambar 5.23 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = h2 =400W/m2oC ....52
Gambar 5.24 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = h2 =500W/m2oC ....53
Gambar 5.25 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = h2 =600W/m2oC ....53
Gambar 5.26 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = h2 =700W/m2oC ....53
Gambar 5.27 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = h2 =300W/m2oC ................54
Gambar 5.28 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = h2 =400W/m2oC ................54
Gambar 5.29 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = h2 =500W/m2oC ................54
Gambar 5.30 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = h2 =600W/m2oC ................55
Gambar 5.31 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = h2 =700W/m2oC ................55
Gambar 5.32 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium ..............................................56
Gambar 5.33 Laju Aliran Kalor Sirip Tembaga .................................................56
Gambar 5.34 Laju Aliran Kalor Sirip Baja .........................................................56
Gambar 5.35 Laju Aliran Kalor Sirip Perak .......................................................57
Gambar 5.36 Laju Aliran Kalor Sirip Kuningan .................................................57
Gambar 5.37 Laju Aliran Kalor Sirip Besi .........................................................57
Gambar 5.38 Efektivitas Sirip Aluminium .........................................................58
Gambar 5.39 Efektivitas Sirip Tembaga .............................................................58
Gambar 5.40 Efektivitas Sirip Baja ....................................................................58
Gambar 5.41 Efektivitas Sirip Perak ...................................................................59
Gambar 5.42 Efektivitas Sirip Kuningan ............................................................59
Gambar 5.43 Efektivitas Sirip Besi .....................................................................59
Gambar 5.44 Laju Perpindahan Kalor Sirip Aluminium
dengan h1 divariasi dan h2 tetap ....................................................60
Gambar 5.45 Efektivitas Sirip Aluminium dengan h1 Divariasi dan h2 Tetap ...60
Gambar 5.46 Laju Perpindahan Kalor Sirip Aluminium
dengan h2 Divariasi dan h1 Tetap ..................................................61
Gambar 5.47 Efektivitas Sirip Aluminium dengan h2 Divariasi dan h1 Tetap ...62
xvii
-
Gambar 5.48 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium dengan Variasi h1 = h2 ........63
Gambar 5.49 Efektivitas Sirip Aluminium dengan Variasi h1 = h2 ....................63
Gambar 5.50 Laju Aliran Kalor Sirip dengan Variasi Bahan ............................64
Gambar 5.51 Efektivitas Sirip dengan Variasi Bahan ........................................64
xviii
-
DAFTAR NOTASI
q = Perpindahan kalor (Watt) k = Konduktivitas termal sirip (W/m °C)
xT∂∂ = Gradien suhu ke arah perpindahan kalor
ρ = Massa jenis (kg/m3) Cp = Kalor spesifik bahan (J/kg°C) h = Koefisien perpindahan kalor konveksi (W/m2 oC) A = Luasan permukaan dinding benda (m2) Tw = Suhu permukaan benda (oC) T∞ = Suhu fluida (oC) v = Viskositas kinematik (m2/s) Pr = Bilangan Prandtl Gr = Bilangan Grashof Ra = Bilangan Rayleigh Nu = Bilangan Nusselt Q = Laju perpindahan kalor (Watt) ε = Efektivitas sirip Asi = Luas permukaan sirip pada node i (m2) Ac0 = Luas penampang dasar sirip (m2) Ti = Suhu sirip pada node i (ºC) Tb = Suhu dasar sirip (ºC) T∞ = Suhu fluida (ºC) h = Koefisien perpindahan kalor konduksi (W/m2 ºC) n = Jumlah volume kontrol
xix
-
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Komputer adalah alat yang sangat dekat dengan kehidupan kita dewasa
ini. Seiring dengan perkembangan jaman, teknologi yang harus diaplikasikan oleh
komputer pun semakin canggih dan beragam. Hal ini menyebabkan kerja prosesor
sebagai otak dari komputer menjadi semakin berat dan tidak jarang menyebabkan
suhu prosesor menjadi tinggi. Kenaikan suhu ini dapat menyebabkan prestasi
kerja komputer menurun dan waktu untuk ‘berpikir’ menjadi lebih lama. Hal ini
tentu saja sangat merugikan karena tidak ada operator maupun industri yang
menghendaki prestasi kerja dan efisiensi yang rendah dari alat/mesin yang
digunakannya. Untuk mengatasi masalah tersebut maka proses pendinginan perlu
dipercepat.
Ada beberapa cara untuk mempercepat proses pendinginan, antara lain
dengan meningkatkan kecepatan aliran fluida pendingin, menggunakan fluida
pendingin yang memiliki nilai perpindahan kalor konveksi lebih besar, atau
memperluas permukaan benda dengan menggunakan sirip. Untuk pendingin
prosesor komputer umumnya digunakan sirip karena lebih aman dan ekonomis.
Selain pada prosesor komputer, sirip banyak juga digunakan pada alat-alat dengan
suhu yang tinggi lainnya misalnya seperti motor bakar.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pola distribusi suhu, laju
aliran kalor dan efektivitas sirip pada keadaan tak tunak dengan variasi bahan dan
-
2
koefisien perpindahan kalor konveksi dengan menggunakan metode komputasi
beda hingga cara eksplisit.
Penelitian mengenai kasus benda 3 dimensi pernah dilakukan oleh
Dwi Akwin Tarwan dengan judul ”Distribusi Suhu pada Benda Padat Tiga
Dimensi Keadaan tak Tunak” yang bertujuan mengetahui pola distribusi suhu
pada benda padat 3 dimensi berbentuk kubus dengan variasi koefisien
perpindahan kalor konveksi h dan koefisien perpindahan kalor konduksi k dengan
asumsi bahwa sifat-sifat bahan tetap dan tidak ada pembangkitan energi. Hasil
yang diperoleh dari penelitian ini adalah semakin besar nilai h dan difusivitas
termal bahan (α ) pola distribusi suhunya semakin cepat menyesuaikan dengan
keadaan lingkungan.
Selain itu, ada pula penelitian berjudul ”Distribusi Suhu pada Benda
Padat Tiga Dimensi Berbangkit Energi Keadaan tak Tunak” yang dilakukan oleh
Leonardus Aditya S. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui distribusi
suhu dengan variasi koefisien perpindahan kalor konveksi h, variasi besar energi
pembangkitan dan variasi bahan. Hasilnya adalah semakin besar koefisien
perpindahan kalor konveksi h dan difusivitas termal bahan (
.q
α ) distribusi suhu
yang dihasilkan semakin cepat menyesuaikan dengan kondisi lingkungan,
semakin besar energi yang dibangkitkan distribusi suhu yang dihasilkan semakin
tinggi.
Kedua penelitian di atas mendukung peneliti untuk melakukan
penelitian tentang benda tiga dimensi yang sampai saat ini masih belum banyak
-
3
dilakukan. Bentuk geometris benda yang digunakan dalam penelitian ini berbeda
dengan benda pada kedua penelitian terdahulu.
1.2 Batasan Masalah
Sirip 3 dimensi dengan suhu awal yang seragam sebesar Ti secara tiba-
tiba dikondisikan pada suatu lingkungan dengan suhu fluida (T∞) dengan nilai
koefisien perpindahan kalor konveksi (h). Persoalan yang harus diselesaikan
adalah bagaimana pengaruh nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h dan
bahan sirip terhadap distribusi suhu, laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip
pada keadaan tak tunak.
1.2.1 Bentuk Geometri Sirip
Suhu udara = T∞
Nilai Koefisien Perpindahan Kalor = h1 Koefisien Perpindahan Kalor = h2
Suhu dasar sirip = Tb
Gambar 1.1 Sirip Untuk Pengujian
-
4
1.2.2 Model Matematika
Model matematika yang diperlukan untuk menghitung distribusi suhu pada
setiap posisi x, y, z saat t > 0 dituliskan dalam persamaan (1.1)
tT
zT
yT
xT
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2
…………………………………….…... ( 1.1 )
1.2.3 Kondisi Awal
Suhu sirip pada kondisi awal adalah seragam, yakni T=Ti. Secara
matematis dinyatakan dengan persamaan ( 1.2 )
T( x,y,z,t ) = Ti , berlaku untuk setiap posisi x, y, z …................ ( 1.2 )
1.2.4 Kondisi Batas
Seluruh permukaan sirip bersentuhan dengan udara luar kecuali pada
bagian dasar sirip yang suhunya adalah sama dengan suhu dasar ( Tb ).
1.2.5 Asumsi
a. Sifat-sifat bahan (massa jenis, kalor jenis, konduktivitas termal)
konstan (tidak berubah terhadap suhu) dan merata.
b. Suhu awal sirip merata sebesar Ti.
c. Suhu fluida di sekitar sirip nilainya tetap (T∞ tetap) dan seragam.
d. Nilai koefisien perpindahan kalor konveksi untuk udara di sekitar sirip
tetap dan merata
e. Selama proses berlangsung tidak terjadi perubahan bentuk dan volume.
f. Tidak ada pembangkitan energi di dalam sirip.
-
5
1.3 Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
a. Membuat program dengan metode beda hingga cara eksplisit untuk
menghitung laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip.
b. Mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas konveksi (h1)
terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip keadaan tak tunak.
c. Mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas konveksi (h2)
terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip keadaan tak tunak.
d. Mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas konveksi
(h1=h2) terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas sirip keadaan
tak tunak.
e. Mengetahui pengaruh variasi bahan sirip terhadap perpindahan kalor
dan efektivitas sirip pada keadaan tak tunak.
1.4 Manfaat
Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat, antara lain :
a. Dapat mengetahui pola distribusi suhu, laju perpindahan kalor dan
efektivitas sirip pendingin.
b. Dapat mengetahui pengaruh variasi koefisien perpindahan panas
konveksi (h) terhadap laju perpindahan kalor dan efektivitas pada sirip.
c. Dapat mengetahui pengaruh variasi bahan terhadap laju perpindahan
kalor dan efektivitas sirip.
d. Dapat digunakan sebagai referensi untuk penelitian lain yang sejenis.
-
6
BAB II
DASAR TEORI
2.1 Perpindahan Kalor Pada Sirip
Perpindahan kalor adalah peristiwa terjadinya aliran kalor karena
adanya perbedaan suhu di antara benda atau material. Ilmu perpindahan kalor
mencoba menjelaskan bagaimana energi kalor itu berpindah dari satu benda ke
benda lain, serta meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisi-kondisi
tertentu. Ilmu perpindahan kalor melengkapi hukum pertama dan kedua
Termodinamika yang berisikan tentang kekekalan energi dan arah perpindahan
kalor yang berlangsung pada arah tertentu.
Pada proses perpindahan energi terdapat tiga modus perpindahan kalor
antara lain : konduksi (conduction) atau hantaran, konveksi (convection) atau
rambatan dan radiasi (radiation) atau pancaran. Masing-masing cara perpindahan
kalor ini akan diuraikan tersendiri, tetapi karena perpindahan kalor radiasi yang
terjadi sangat kecil maka dapat diabaikan. Perlu ditekankan bahwa pada situasi
alam, kalor mengalir tidak hanya dengan satu cara tetapi dengan beberapa cara
yang terjadi secara bersamaan. Amat penting untuk diperhatikan bahwa di dalam
perekayasaan berbagai cara perpindahan panas tersebut akan saling
mempengaruhi untuk menentukan proses perpindahan energi, karena di dalam
praktek bila satu mekanisme mendominasi secara kuantitatif, maka diperoleh
penyelesaian secara prediksi (approximate solution) yang bermanfaat dengan
mengabaikan semua mekanisme kecuali mekanisme yang mendominasi.
-
7
2.2 Perpindahan kalor konduksi
Proses perpindahan kalor konduksi (conduction) atau hantaran adalah
proses perpindahan energi dari bagian yang bersuhu tinggi ke bagian yang
bersuhu rendah di dalam suatu medium (padat, cair, atau gas) atau antara medium-
medium yang berlainan yang bersinggungan secara langsung disebabkan karena
adanya gradien suhu (temperature gradient). Dalam aliran panas konduksi,
perpindahan energi kalor terjadi karena hubungan molekul secara langsung tanpa
adanya perpindahan molekul yang cukup besar. Persamaan perpindahan kalor
konduksi dapat dilihat pada persamaan (2.1) :
xTAkq∂∂
−= .. ……………………………………………………….... (2.1)
Pada persamaan (2.1) :
q = Laju perpindahan kalor (W)
k = Konduktivitas / hantaran termal (Thermal conductivity) sirip (W/m °C)
A = Luas permukaan benda yang mengalami perpindahan kalor tegak lurus
arah perpindahan kalor (m2)
xT∂∂ = Gradien suhu ke arah perpindahan kalor
Tanda minus diselipkan agar memenuhi hukum kedua Termodinamika, yaitu arah
aliran kalor yang akan mengalir ke tempat yang lebih rendah dalam skala suhu.
Perpindahan kalor konduksi terjadi pada medium yang bersifat diam.
-
8
Gambar 2.1 Perpindahan Kalor Konduksi
Δ x
T2T1
q
A k
2.3 Konduktivitas Termal
Dengan persamaan (2.1) kita dapat melaksanakan pengukuran dalam
percobaan untuk menentukan konduktivitas termal berbagai bahan. Untuk gas-gas
pada suhu agak rendah, pengolahan analisis teori kinetik gas dapat dipergunakan
untuk meramalkan secara teliti nilai-nilai yang diamati dalam percobaan.
Nilai konduktivitas termal beberapa bahan dapat dilihat dalam Tabel
(2.1). Pada umumnya konduktivitas termal itu sangat tergantung pada suhu. Jika
aliran kalor dinyatakan dalam Watt, satuan untuk konduktivitas termal ialah Watt
per derajat Celcius. Laju kalor, dan nilai angka konduktivitas termal itu
menunjukkan berapa cepat kalor mengalir dalam bahan tertentu.
-
9
Tabel 2.1 (Nilai Konduktivitas Termal Beberapa Bahan)
Konduktivitas
Termal
k
Kalor Spesifik
Cp
Bahan W/mºC J/kgºC
Logam
Perak (murni)
Tembaga (murni)
Aluminium
(murni)
Nikel (murni)
Besi (murni)
Baja karbon 1%C
410
385
202
93
73
43
234
383,1
896
445,9
452
473
Bukan
Logam
Kuarsa
Magnesit
Batu pasir
Kaca
Kayu mapel
41,6
4,15
1,83
0,78
0,17
820
1130
710
880
240
Zat Cair Air-raksa
Air
8,21
0,556
1430
4225
Gas
H
He
Udara
Uap air jenuh
0,175
0,141
0,024
0,0206
14314
5200
1005
2060
(J.P.Holman, 1995, hal 7)
2.4 Perpindahan Kalor Konveksi
Konveksi adalah transpor energi dengan kerja gabungan dari konduksi
kalor, penyimpanan energi dan gerakan campuran. Konveksi sangat penting
sebagai mekanisme perpindahan energi antara permukaan benda padat, cair atau
-
10
gas. Perpindahan kalor konveksi dapat dilihat seperti pada Gambar 2.2. Persamaan
perpindahan kalor konveksi dapat dilihat pada persamaan (2.2) :
q = h. A (Tw - T∞ ) .......................................................................... (2.2)
Dengan :
q = Perpindahan kalor (Watt)
h = Koefisien perpindahan kalor konveksi (W/m2 oC)
A = Luasan permukaan dinding benda (m2)
Tw = Suhu permukaan benda (oC)
T∞ = Suhu fluida (oC)
Aliran
u q A
Arus bebas
T∞
Tw
u∞
Gambar 2.2 Perpindahan Kalor Konveksi
Perpindahan kalor konveksi dapat terjadi apabila ada medium yang
bersifat bergerak, misal: angin, air, minyak, dan lain-lain.
2.4.1 Konveksi Bebas
Perpindahan kalor konveksi bebas terjadi bilamana sebuah benda
ditempatkan dalam suatu fluida yang suhunya berbeda dengan suhu benda.
-
11
Perbedaan suhu menimbulkan aliran kalor antara fluida dan benda serta
mengakibatkan perubahan kerapatan lapisan-lapisan fluida di dekat permukaan.
Perbedaan kerapatan ini menyebabkan fluida yang lebih berat mengalir ke bawah
dan fluida yang ringan akan mengalir ke atas. Jika gerakan fluida itu hanya
disebabkan oleh perbedaan kerapatan yang diakibatkan oleh gradien suhu, tanpa
dibantu pompa atau kipas, maka mekanisme perpindahan kalor yang bersangkutan
disebut konveksi bebas atau alamiah.
Pada prinsipnya cara pemindahan energi dalam fluida pada arus
konveksi bebas dan arus konveksi paksa adalah sama, hanya intensitas gerakan
pencampurannya dalam konveksi bebas pada umumnya lebih kecil sehingga
koefisien perpindahan kalornya lebih kecil dari konveksi paksa.
Untuk menghitung besarnya perpindahan kalor konveksi bebas, harus
diketahui nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h terlebih dahulu. Nilai h
dapat dicari dari Bilangan Nusselt yang merupakan fungsi dari bilangan Rayleigh
(Ra), Nu=f(Ra)=f(Gr.Pr).
2.4.1.1.Bilangan Rayleigh (Ra)
Untuk silinder horizontal berdiameter D, bilangan Rayleigh
dinyatakan dengan persamaan (2.3) :
( ).Pr
vTTg.β.
Gr.PrRa 2w ∞−== …………………………………………….. (2.3)
Dengan ( )
2TT
T,T1β wf
f
∞−==
g = Percepatan gravitasi = 9,81 (m/detik2 )
-
12
δ = Panjang karakteristik, untuk silinder horizontal δ = D (m)
Tw = Suhu dinding (K)
T∞ = Suhu fluida (K)
Tf = Suhu film (K)
v = Viskositas kinematik (m2/detik)
Pr = Bilangan Prandtl
Gr = Bilangan Grashof
Tw
D
T∞
Gambar 2.3 Silinder Horisontal
2.4.1.2.Bilangan Nuselt (Nu)
Untuk silinder horizontal, bilangan Nusselt dinyatakan dengan:
Untuk 10-5 < Gr Pr < 1012 :
( )[ ]1/6
16/99/16
1/2
0,559/Pr1
Gr.Pr0,3870,60Nu⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++= ………………………...…… (2.4)
Untuk aliran laminar dari 10-6 < Grd Pr < 109 :
( )( )[ ] 9/416/9
1/4d
dPr/559,01
.PrGr0,5180,36Nu
++= ………………………………………... (2.5)
-
13
2.4.2. Konveksi Paksa
Proses perpindahan kalor konveksi paksa ditandai dengan adanya
fluida yang bergerak dikarenakan adanya peralatan bantu. Alat bantu tersebut
dapat berupa kipas angin, fan, blower, pompa, dll. Perbedaan kerapatan
mengakibatkan fluida yang berat akan mengalir ke bawah dan fluida yang ringan
akan mengalir ke atas.
Untuk menghitung laju perpindahan kalor konveksi paksa, nilai
koefisien perpindahan kalor konveksi h harus diketahui. Bilangan Nusselt yang
digunakan untuk menghitung h harus dipilih sesuai dengan kasusnya, karena
setiap kasus mempunyai bilangan Nusselt tersendiri. Pada konveksi paksa
bilangan Nusselt merupakan fungsi dari bilangan Reynold, Nu = f.(Re.Pr). Pada
kasus sirip diasumsikan konveksi paksa terjadi sesuai aliran fluida pada bidang
datar dapat dilihat pada Gambar 2.4 .
Gambar 2.4 Aliran Fluida pada Bidang Datar
-
14
Untuk berbagai bentuk geometri benda, koefisien perpindahan kalor
rata –rata dapat dihitung dari persamaan (2.6):
3/1Pr.n
ff v.duC
kh.d
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∞ ……………………………………………… (2.6)
Tabel 2.2 Konstanta untuk Perpindahan Kalor dari Silinder Tak-bundar
Geometri Redf C n
5 x 103 - 105 0,246 0,588
5 x 103 - 105 0,102 0,675
5 x 103– 1,95 x 104
0,160 0,0385
0,638 0,782
5 x 103 - 105 0,153 0,638
4 x 103 – 1,5 x 104 0,228 0,731
U∞ d
U∞d
U∞d
U∞d
U∞d
(J.P.Holman, 1995, hal 268)
Nilai kira-kira koefisien perpindahan kalor konveksi ditunjukkan dalam Tabel 2.3
-
15
Tabel 2.3 Nilai Kira-kira Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi
h Modus W/m2oC Btu/h.ft2.oF Konveksi bebas, ∆T=30oC
Plat vertikal, tinggi 0,3 m (1 ft) di udara
Silinder horizontal, diameter 5 cm, di udara
Silinder horizontal, diameter 2 cm, dalam air
Konveksi paksa Aliran udara 2m/s di atas plat bujur
sangkar 0,2 m Aliran udara 3,5 m/s di atas plat
bujur sangkar 0,75 m Udara 2 atm mengalir di dalam
tabung diameter 2,5 cm, kecepatan 10 m/s
Air 0,5 kg/s mengalir di dalam tabung 2,5 cm
Aliran udara melintas silinder diameter 5 cm, kecepatan 50 m/s
Air mendidih Dalam kolam atau bejana Mengalir dalam pipa
Pengembunan uap air, 1 atm Muka vertikal Di luar tabung horisontal
4,5
6,5
890
12
75
65
3500
180
2500-35.000 5000-100.000
4000-11.300 9500-25.000
0,79
1,14
157
2,1
13,2
11,4
616
32
440-6200 880-17.600
700-2000 1700-4400
(J.P.Holman, 1995, hal 12)
2.5. Koefisien Perpindahan Kalor Konveksi
Koefisien perpindahan kalor konveksi (h) bervariasi terhadap jenis
aliran (laminar atau turbulen), bentuk ukuran benda dan area yang dialiri aliran,
sifat fluida, suhu rata-rata, dan posisi sepanjang permukaan benda. Koefisien
perpindahan kalor juga tergantung pada mekanisme dari perpindahan kalor yang
mungkin saja terjadi dengan konveksi paksa (gerak fluida yang disebabkan oleh
sebuah pompa atau baling-baling), atau dengan konveksi bebas (gerak fluida yang
-
16
disebabkan bougancy effect) ketika h bervariasi terhadap posisi sepanjang
permukaan benda. Untuk kemudahan dalam beberapa aplikasi-aplikasi
perancangan, ini sebagai nilai rata-rata hm, di atas permukaan betul-betul
dipertimbangkan dari pada nilai lokal h.
2.6. Laju Perpindahan Kalor
Laju perpindahan kalor atau laju aliran kalor merupakan banyaknya
jumlah kalor yang dapat dilepas oleh sirip ke lingkungan dalam bentuk konveksi
pada setiap volume kontrol yang bersentuhan dengan udara luar dapat dilihat pada
persamaan (2.7).
nqqqqQ ++++= ...210
( ) ( ) ( ) ( ∞∞∞∞ −+ )+−+−+−= TTAhTTAhTTAhTTAhQ nsnsss ........... 221100
(( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∑
=∞
n
iisi TTAhQ
0. )) …………………………………………….. (2.7)
Dengan :
Q = Laju perpindahan kalor (W)
q = Perpindahan kalor di setiap node (W)
Asi = Luas permukaan sirip pada node i (m2)
Ti = Suhu sirip pada node i (ºC)
T∞ = Suhu fluida (ºC)
h = Koefisien perpindahan kalor konduksi (W/m2 ºC)
n = Jumlah volume kontrol
-
17
2.7. Efektivitas Sirip
Efektivitas sirip merupakan perbandingan antara kalor yang dilepas
sirip sesungguhnya dengan kalor yang dilepas seandainya tidak ada sirip atau
tanpa sirip, dapat dilihat pada persamaan (2.8).
( )( )
( )∞=
∞
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=∑
TTAh
TTAh
bc
n
iisi
.. 00ε ……………………………………….……. (2.8)
Dengan :
ε = Efektivitas sirip
Asi = Luas permukaan sirip pada node i (m2)
Ac0 = Luas penampang dasar sirip (m2)
Ti = Suhu sirip pada node i (ºC)
Tb = Suhu dasar sirip (ºC)
T∞ = Suhu fluida (ºC)
h = Koefisien perpindahan kalor konduksi (W/m2 ºC)
n = Jumlah volume kontrol
-
18
BAB III
PERSAMAAN NUMERIK DI SETIAP TITIK
3.1 Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol
Kesetimbangan energi pada volume kontrol (ruang yang dibatasi
kontrol surface di mana energi dan materi dapat lewat) dapat dinyatakan dengan
persamaan dan dapat dilihat pada Gambar 3.1
Ein+ Eg - Eout= Est ................................................................................. (3.1)
dengan :
Ein = energi yang masuk volume kontrol per satuan waktu (W)
Eout = energi yang keluar volume kontrol per satuan waktu (W)
Est = energi yang tersimpan di dalam volume kontrol per satuan waktu (W)
Eg = energi yang dibangkitkan dalam volume kontrol per satuan waktu (W)
EoutEg
Est
volume kontrol
Ein
Gambar 3.1 Keseimbangan Energi dalam Volume Kontrol
-
19
Dalam hal ini Ein dan Eout terkait dengan proses-proses yang terjadi pada
kontrol surface sehingga merupakan fungsi luas permukaan, sedangkan Eg dan Est
merupakan fungsi volume. Pada keadaan steady state tidak terjadi perubahan
energi dalam.
3.2. Penurunan Model Matematis
x
z
y
qx+dx
qz+dz qy+dy
qx
qy qz dz
dy
dx
yo+dy
yo
xo+dx xo
Gambar 3.2 Kesetimbangan Energi pada Volume Kontrol untuk Penelitian
Penurunan model matematis untuk kasus ini adalah sebagai berikut:
Ein = qx + qy + qz
Eout = qx+dx + qy+dy + qz+dz
sehingga persamaan (3.1) dapat diuraikan sebagai berikut:
( Ein - Eout ) + Eg = Est
(qx + qy + qz ) – (qx+dx + qy+dy + qz+dz ) = ρ .c.V.tT∂∂ ...................................... (3.2)
-
20
qx – qx+dx + qy – qy+dy + qx – qz+dz = ρ .c.V. tT∂∂
Dengan :
qx = xTdzdyk∂∂
− ... ; qx+ dx = dzdydxxTk
xxTk ...... ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−
qy = yTdzdxk∂∂
− ... ; qy+ dy = dzdxdyyTk
yyTk ...... ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
−
qz = zT
dydxk∂
∂− ... ; qz+ dz = dydxdzz
Tkzz
Tk ...... ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−
Maka diperoleh :
tTVc
dydxdzzTk
zzTk
zTdydxk
dzdxdyyTk
yyTk
yTdzdxk
dzdydxxTk
xxTk
xTdzdyk
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
−−∂∂
−
...
.........
.........
.........
ρ
tTVc
dydxdzzTk
zzTk
zTdydxk
dzdxdyyTk
yyTk
yTdzdxk
dzdydxxTk
xxTk
xTdzdyk
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
−
...
.........
.........
.........
ρ
tTVc
dydxdzzTk
zzTdydxk
zTdydxk
dzdxdyyTk
yyTdzdxk
yTdzdxk
dzdydxxTk
xxTdzdyk
xTdzdyk
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
−
...
..........
...........
...........
ρ
-
21
tTVc
dydxdzzTk
z
dzdxdyyTk
y
dzdydxxTk
x
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
...
.....
....
....
ρ
Dikalikan dzdydx ..
1 maka diperoleh :
tTc
zTk
zyTk
yxTk
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ...... ρ ............................................ (3.3)
Untuk nilai konduktivitas termal bahan (k) yang konstan, persamaan (3.3) di atas
dapat dinyatakan sebagai berikut :
tT
zT
zyT
yxT
x ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂ .1.
α ......................................................... (3.4)
sehingga model matematis untuk benda tiga dimensi dalam kasus ini adalah :
tT
zT
yT
xT
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2
; x0
-
22
3.3. Persamaan Numerik di Setiap Volume Kontrol
Pada penelitian mengenai distribusi suhu pada benda padat 3 dimensi
ini terdapat enam persamaan utama yang menjadi dasar untuk mencari persamaan
numerik pada tiap volume kontrol.
Persamaan utama tersebut adalah persamaan untuk menghitung
distribusi suhu di :
1. Permukaan benda
2. Sudut luar benda
3. Sudut dalam benda
4. Rusuk luar benda
5. Rusuk dalam benda
6. Dalam benda
3.3.1 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Permukaan Benda
Y
Z
q1q2
q3
q4
q5
q6i,j,k+1
i+1,j,k
i,j,k-1
i-1,j,k
i,j,k
i,j-1,k
T~,h
∆x∆x = ∆y = ∆z X
-
23
Kesetimbangan Energi
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=++++++tTcVqqqqqq ρ0654321
di mana
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzyk
xTT
kAq ,,,,1,,,,1,,,,1
1 2.
2−
Δ=
Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ
=Δ
−= −
−−
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzyk
xTT
kAq ,,,,1,,,,1,,,,1
2 2.
2−
Δ=
Δ−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ
=Δ−
= +++
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxkz
TTkAq ,,1,,
,,1,,,,1,,3 22
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= +
++
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxkz
TTkAq ,,1,,
,,1,,,,1,,4 22
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= −
−−
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxky
TTzxk
yTT
kAq ,,,1,,,,1,,,,1,
5 . −Δ=Δ−
ΔΔ=Δ
−= −
−−
)())(.()( ,,2
1,,1,,16n
kjin
kjin
kji TTxhTTzxhTTAhq −Δ=−ΔΔ=−= ∞∞∞
Volum kontrol di permukaan benda adalah V= ½.∆x.∆y.∆z
Nilai ∆x = ∆y = ∆z, sehingga persamaan kesetimbangan energi menjadi:
( ) ( )
( ) ( )( )
[ ] ( )tTTzyxc
TTxhTTxk
TTxkTTxk
TTxkTTxkn
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔΔ=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+
∞−
−+
+−
,,1
,,
,,2
1,,,1,
,,1,,,,1,,
,,,,1,,,,1
2..0
)(22
22
ρ
-
24
dikalikan dengan xk Δ.
2
( ) ( )( ) ( )( )
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
TTtkxc
TTk
xhTT
TTTT
TTTT
,,1
,,
2
,,1
,,,1,
,,1,,,,1,,
,,,,1,,,,1
)(22
−ΔΔ
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−
+−+−
+−+−+
∞−
−+
+−ρ
Nilai k
xhΔ = Bi , kcρ =
α1 dan ( )2x
tΔΔα = Fo sehingga persamaan menjadi :
( )n kjin kjioi
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
in
kji TTFTBTT
TTTBT ,,
1,,
1,1,1,,
1,,,,1,,11,, .22)26( −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
+++++− +
∞−−
++−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
+++++−=
∞−−
++−+
TBTT
TTTFBFoTT
in
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
oin
kjin
kji1,1,1,,
1,,,,1,,11,,
1,, 22
))26(1.(
Syarat Stabilitas :
1-6Fo-2BiFo≥ 0
Fo(6+2Bi) 1 ≤
Fo )3(2
1+
≤iB
Jika Fo= ( )2xt
ΔΔα
maka )3(2
2
+Δ
≤ΔiBxt
α
-
25
3.3.2 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Sudut Luar Benda
X
Y Z
q1 q2
q3
q4
q5
q6
i,j,ki+1,j,k
i,j,k+1
i,j-1,k
T~,h
T~,h
∆x = ∆y = ∆z ∆x
T~,h
Kesetimbangan Energi
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=++++++tTcVqqqqqq ρ0654321 ; di mana:
)(4
)(2
.2
)( ,,2
1,,1,,11n
kjin
kjin
kji TTxhTTzyhTTAhq −Δ=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=−= ∞∞∞
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzykx
TTkAq ,,,,1
,,,,1,,,,12 42
.2
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= +
++
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxkz
TTkAq ,,1,,
,,1,,,,1,,3 422
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= +
++
)(4
)(22
)( ,,2
1,,1,,14n
kjin
kjin
kji TTxhTTyxhTTAhq −Δ=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=−= ∞∞∞
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxky
TTzxky
TTkAq ,,,1,
,,,1,,,,1,5 42
.2
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= −
−−
)(4
))(2
.2
()( ,,2
1,,1,,16n
kjin
kjin
kji TTxhTTzxhTTAhq −Δ=−ΔΔ=−= ∞∞∞
-
26
Volum kontrol di permukaan benda adalah V=1/8.∆x.∆y.∆z
( )
( )
( )
[ ] ( )tTT
c
TTxhTTxk
TTxhTTxk
TTxkTTxhn
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−ΔΔΔ=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+
∞−
∞+
+∞
,,1
,,
,,
2
1,,,1,
,,
2
1,,1,,
,,,,1,,
2
1
zy.x.1/8..0
)(44
)(44
4)(
4
ρ
dikalikan dengan xk Δ.
4
( )
( )
( )
[ ] ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
TTtkxc
TTkxhTT
TTkxh
TT
TTTTkxh
,,1
,,
2
,,1
,,,1,
,,1
,,1,,
,,,,1,,1
210
)(
)(
)(
−ΔΔ
=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−
+−Δ
+−
+−+−Δ
+
∞−
∞+
−∞
ρ
Nilai k
xhΔ = Bi , kcρ =
α1 dan ( )2x
tΔΔα = Fo sehingga persamaan menjadi :
( )[ ] ( )n kjin kjio
nkji
nkji
nkjii
nkji TTF
TBiTTTBT ,,1
,,1,1,1,,,,11,, 213)33( −=+++++− +∞−+−
( )[ ] ( )n kjin kjioin kjin kjin kjiin kji TTFTBTTTBT ,,1,,,1,1,,,,1,, 2.3)33( −=+++++− +∞−+−
( )[ ]∞−+−+ +++++−= TBTTTFBFoTT in kjin kjin kjioin kjin kji 32))33(21.( ,1,1,,,,1,,1,,
Syarat Stabilitas :
1-6Fo-6BiFo≥ 0
Fo(6+6Bi) 1 ≤
Fo )1(6
1+
≤iB
-
27
Jika Fo= ( )2xt
ΔΔα
maka )1(6
2
+Δ
≤ΔiB
xtα
3.3.3 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Rusuk Luar Benda
X
Y
Z
q1q2
q3
q4
q5
q6
i-1,j,k i+1,j,k
i,j,k+1
i,j-1,k i,j,k
T~,h
T~,h
∆x = ∆y = ∆z ∆x
Kesetimbangan Energi
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=++++++tTcVqqqqqq ρ0654321 ; di mana:
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzykx
TTkAq ,,,,1
,,,,1,,,,11 42
.2
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= −
−−
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzykx
TTkAq ,,,,1
,,,,1,,,,12 42
.2
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= +
++
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxkz
TTkAq ,,1,,
,,1,,,,1,,3 22
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= +
++
)(2
)(2
)( ,,2
1,,1,,14n
kjin
kjin
kji TTxhTTyxhTTAhq −Δ=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=−= ∞∞∞
-
28
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxky
TTzxky
TTkAq ,,,1,
,,,1,,,,1,5 22
.−
Δ=
Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= −
−−
)(2
))(2
.()( ,,2
1,,1,,16n
kjin
kjin
kji TTxhTTzxhTTAhq −Δ=−ΔΔ=−= ∞∞∞
Volum kontrol di permukaan benda adalah V=¼.∆x.∆y.∆z
( ) ( )
( )
( )
[ ] ( )tTT
c
TTxhTTxk
TTxhTTxk
TTxkTTxkn
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−ΔΔΔ=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+
∞−
∞+
+−
,,1
,,
,,
2
1,,,1,
,,
2
1,,1,,
,,,,1,,,,1
zy.x.¼..0
(22
)(22
44
ρ
dikalikan dengan xk Δ.
4
( ) ( )( )
( )
[ ] ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
TTtkxc
TTk
xhTT
TTk
xhTT
TTTT
,,1
,,
2
,,1
,,,1,
,,1
,,1,,
,,,,1,,,,1
0
)(22
)(2
2 −ΔΔ
=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−
+−Δ
+−
+−+−
+
∞−
∞+
+−
ρ
Nilai k
xhΔ = Bi , kcρ =
α1 dan ( )2x
tΔΔα = Fo sehingga persamaan menjadi :
( ) ( )( )( )
( )n kjin kjion
kjiin
kjin
kji
nkjii
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
TTF
TTBTT
TTBTT
TTTT
,,1
,,
,,1,,,1,
,,1,,1,,
,,,,1,,,,11
)(22
)(22 −=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
+−+−
+−+−+
∞−
∞+
+−
( )n kjin kjioi
nkji
nkji
nkji
nkji
in
kji TTFTBT
TTTBT ,,
1,,
1,1,
1,,,,1,,1,, .42
2)46( −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+++++− +
∞−
++−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+++++−=
∞−
++−+
TBT
TTTFBFoTT
in
kji
nkji
nkji
nkji
oin
kjin
kji1,1,
1,,,,1,,11,,
1,, 42
2))46(1.(
-
29
Syarat Stabilitas :
1-6Fo-4BiFo≥ 0
Fo(6+4Bi) 1 ≤
Fo )32(2
1+
≤iB
Jika Fo= ( )2xt
ΔΔα
maka )32(2
2
+Δ
≤ΔiB
xtα
3.3.4 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Dalam Benda
Y
Z
∆x = ∆y = ∆z
∆x
q1 q2
q3
q4
q5
q6
i,j,k
i-1,j,k i+1,j,k
i,j-1,k
i,j+1,k
i,j,k-1
i,j,k+1
X
Kesetimbangan Energi
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=++++++tTcVqqqqqq ρ0654321 ; di mana :
-
30
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzyk
xTT
kAq ,,,,1,,,,1,,,,1
1 . −Δ=Δ−
ΔΔ=Δ
−= −
−−
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzyk
xTT
kAq ,,,,1,,,,1,,,,1
2 . −Δ=Δ−
ΔΔ=Δ
−= +
++
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxk
zTT
kAq ,,1,,,,1,,,,1,,
3 . −Δ=Δ−
ΔΔ=Δ
−= +
++
( ) )()()( ,,1,,,,1,,,,1,,4 n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxk
zTT
kAq −Δ=Δ
−ΔΔ=
Δ
−= −
−−
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxky
TTzxk
yTT
kAq ,,,1,,,,1,,,,1,
5 −Δ=Δ
−ΔΔ=
Δ
−= −
−−
( ) )()()( ,,,1,,,,1,,,,1,6 n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxky
TTzxk
yTT
kAq −Δ=Δ
−ΔΔ=
Δ
−= +
++
Volum kontrol di permukaan benda adalah V= ∆x.∆y.∆z
( ) ( )( )( )
[ ] ( )tTT
c
TTxkTTxk
TTxkTTxk
TTxkTTxkn
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−ΔΔΔ=+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ+−Δ
+−Δ+−Δ
+−Δ+−Δ+
−−
−+
+−
,,1
,,
,,,1,,,,1,
,,1,,,,1,,
,,,,1,,,,1
zy.x..0
)(
)( ρ
dikalikan dengan ∆x.k
( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )
nkji
nkjin
kjin
kjin
kjin
kjin
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji TT
tkxc
TTTTTT
TTTTTT,,
1,,
2
,,,1,,,,1,,,1,,
,,1,,,,,,1,,,,1 0)()(
−ΔΔ
=+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−+−+−
+−+−+−+
−−−
++− ρ
Nilai k
xhΔ = Bi , kcρ =
α1 dan ( )2x
tΔΔα = Fo sehingga persamaan menjadi :
( )[ ] ( )n kjin kjio
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji TTF
TTTTTTT ,,1
,,,1,,1,1,,1,,,,1,,1,,16 −=++++++− ++−−++−
( )[ ]∞+−+++−
+ ++++++−= n kjin
kjin
kjin
kjin
kjin
kjioon
kjin
kji TTTTTTFFTT ,1,,1,1,,1,,,,1,,1,,1
,, )61.(
-
31
Syarat Stabilitas :
1-6Fo≥ 0
6Fo≤ 1
Fo 61
≤
Jika Fo= ( )2xt
ΔΔα
maka α6
2xt Δ≤Δ
3.3.5 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Rusuk Dalam Benda
X
Y
i,j+1,k
Z
q1
q2
q3
q4
q6
i+1,j,k
i,j,k+1
i,j,k-1
q7
q8
i,j,k
q5
i-1,j,k
i,j-1,k
∆x = ∆y = ∆z ∆x
T~,h
T~,h
Kesetimbangan Energi
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=++++++tTcVqqqqqq ρ0654321 ; di mana:
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzyk
xTT
kAq ,,,,1,,,,1,,,,1
1 . −Δ=Δ−
ΔΔ=Δ
−= −
−−
-
32
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzyk
xTT
kAq ,,,,1,,,,1,,,,1
2 2.
2−
Δ=
Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ
=Δ
−= +
++
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxk
zTT
kAq ,,1,,,,1,,
43,,1,,
3 43
−Δ
=Δ
−ΔΔ=
Δ
−= +
++
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxk
zTT
kAq ,,1,,,,1,,
43,,1,,
4 43
−Δ
=Δ
−ΔΔ=
Δ
−= −
−−
( ) ( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTzxk
zTT
kAq ,,,1,,,,1,,,,1,
5 −Δ=Δ
−ΔΔ=
Δ
−= −
−−
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTzxk
zTT
kAq ,,,1,,,,1,,,,1,
6 22−
Δ=
Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ
=Δ
−= +
++
( )n kjin kjin kjin kji TTxhTTyxhTTAhq ,,1,,2,,2,,27 2)(2)( −Δ
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ
=−= +∞∞
( )n kjin kjin kjin kji TTxhTTyxhTTAhq ,,1,,2,,2,,28 2)(2)( −Δ
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ
=−= +∞∞
Volum kontrol di permukaan benda adalah V= 43 .∆x.∆y.∆z
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )tTT
c
TTxhTTxh
TTxkTTxk
TTxkTTxk
TTxkTTxk
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−ΔΔΔ=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−Δ
+−Δ+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+
++
−+
−+
+−
,,1
,,4
3
,,1,,2,,1,,2
,,,1,,,,1,
,,1,,,,1,,
,,,,1,,,,1
zy.x...0
22
2
43
43
2
ρ
dikalikan dengan xk Δ.
4
-
33
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )tkTT
c
TTk
xhTT
kxh
TTTT
TTTT
TTTT
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−Δ=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−Δ
+−+−
+−+−
+−+−
+
++
−+
−+
+−
,,1
,,2
,,1,,2
,,1,,2
,,,1,,,,1,
,,1,,,,1,,
,,,,1,,,,1
x.30
22
42
33
24
ρ
Nilai k
xhΔ = Bi , kcρ =
α1 dan ( )2x
tΔΔα = Fo sehingga persamaan menjadi :
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )n kjin kjio
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
TTF
TTBiTTBi
TTTT
TTTT
TTTT
,,1
,,
,,1,,2,,1,,2
,,,1,,,,1,
,,1,,,,1,,
,,,,1,,,,1
30
22
42
33
24
−=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−+−
+−+−
+−+−
+−+−
+
++
−+
−+
+−
( )n kjin kjioi
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
in
kji TTF
TBTT
TTTTBT ,,
1,,
,1,,1,
1,,1,,,,1,,12,, 3442
3324)418( −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++++++− +
∞−+
−++−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++++++−=
∞−+
−++−+
TBTT
TTTTFBFoTT
in
kjin
kji
nkji
nkji
nkji
nkjio
in
kjin
kji 442
3324
3))418(
31.(
,1,,1,
1,,1,,,,1,,12,,
1,,
Syarat Stabilitas :
0)418(3
1 ≥+− BiFo
1)418(3
≤+ BiFo
Fo )418(
3
iB+≤
Jika Fo= ( )2xt
ΔΔα
maka )418(3 2
iBxt+Δ
=Δα
-
34
3.3.6 Persamaan Numerik untuk Distribusi Suhu di Sudut Dalam Benda
X q5
Y
i,j+1,k
Z
q1
q2
q3
q4
q6
i+1,j,k
i,j,k+1
i-1,j,k
q7
q8
i,j,k
i,j-1,k
T~,h
T~,h
T~,h
∆x = ∆y = ∆z ∆x
Kesetimbangan Energi
[ ] [ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∂∂
=++++++tTcVqqqqqq ρ0654321 ; di mana:
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzykx
TTkAq ,,,,1
,,,,1,,,,11 22
. −Δ=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= −
−−
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkx
TTzykx
TTkAq ,,,,1
,,,,1,,,,12 4
)(2
.2
)(−
Δ=
Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= +
++
( ) ( )( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxkz
TTyxk
zTT
kAq ,,1,,43,,1,,
43,,1,,
3 −Δ=Δ
−ΔΔ=
Δ
−= +
++
( ) )(4
3)()( ,,2
1,,43
1,,14n
kjin
kjin
kji TTxhTTyxhTTAhq −Δ=−ΔΔ=−= ∞∞∞
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxky
TTzxky
TTkAq ,,,1,
,,,1,,,,1,5 22
.−
Δ=
Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= −
−−
-
35
( )n kjin kjin
kjin
kjin
kjin
kji TTxky
TTzxky
TTkAq ,,,1,
,,,1,,,,1,6 42
.2
−Δ
=Δ
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=
Δ
−= +
++
)(4
)(2
.2
)( ,,2
2,,2,,27n
kjin
kjin
kji TTxhTTzxhTTAhq −Δ=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=−= ∞∞∞
)(4
)(2
.2
)( ,,2
2,,2,,28n
kjin
kjin
kji TTxhTTzxhTTAhq −Δ=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ΔΔ=−= ∞∞∞
Volum kontrol di permukaan benda adalah V=3/8.∆x.∆y.∆z
( ) ( )
( )
( ) ( )[ ] ( )
tTT
c
TTxhTTxh
TTxkTTxk
TTxhTTxk
TTxkTTxk
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−ΔΔΔ=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−Δ
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
+−Δ
+−Δ
+
∞∞
+−
∞+
+−
,,1
,,
,,
2
2,,
2
2
,,,1,,,,1,
,,
2
1,,1,,
,,,,1,,,,1
zy.x.3/8..0
)(4
)(4
42
)(4
343
42
ρ
dikalikan dengan xk Δ.
8
( ) ( )( )( ) ( ) [ ]
( )tkTT
c
TTk
xhTTk
xh
TTTT
TTk
xhTT
TTTT
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
Δ
−Δ=+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−Δ
+−Δ
+−+−
+−Δ
+−
+−+−
+
∞∞
+−
∞+
+−
,,1
,,2
,,2,,2
,,,1,,,,1,
,,1,,1,,
,,,,1,,,,1
x.30
)(2)(2
24
)(66
24
ρ
Nilai k
xhΔ = Bi , kcρ =
α1 dan ( )2x
tΔΔα = Fo sehingga persamaan menjadi :
( )n kjin kjioii
nkji
nkji
nkji
nkji
nkji
iin
kji TTF
TBTBT
TTTTBBT ,,
1,,
21,1,
,1,1,,,,1,,121,, 3462
4624)4618( −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++++++− +
∞∞+
−++−
-
36
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++++++−=
∞∞+
−++−+
TBTBT
TTTTFBBFoTT
iin
kji
nkji
nkji
nkji
nkjio
iin
kjin
kji21,1,
,1,1,,,,1,,121,,
1,, 462
4624
3))4618(
31.(
Syarat Stabilitas :
0)4618(3
1 21 ≥++− ii BBFo
1)4618(3 21
≤++ iio BB
F
Fo )4618(
3
21 ii BB ++≤
Jika Fo= ( )2xt
ΔΔα
maka )4618(3
21
2
ii BBxt++
Δ≤Δα
-
37
BAB IV
METODE PENELITIAN
4.1. Benda Uji
Benda uji terbuat dari logam dan memiliki bentuk penampang berupa
persegi yang berlubang di bagian tengah. Bahan benda uji dan nilai koefisien
perpindahan kalor konveksi (h) akan divariasikan. Untuk mempermudah
perhitungan maka benda uji dibagi menjadi 81 bagian seperti pada gambar 4.2,
kemudian 81 bagian benda uji tersebut dibagi lagi menjadi 165 buah elemen yang
lebih kecil (node) dengan volume kontrol ∆x.∆y.∆z. Setiap node diwakili oleh
sebuah volume kontrol. Pembagian node ini dapat dilihat pada gambar 4.3.
Suhu dasar sirip = Tb
Suhu awal sirip = Ti
Suhu fluida = T∞
x = L
x = 0 L
h2h1
Y
X
Z
Gambar 4.1 Benda Uji
-
38
Gambar 4.2 Pembagian Benda Uji
81 Bagian Benda Uji
yang dipergunakan dalam perhitungan
11a 10a
9a 8a
7a 6a
5a 4a
2a 1a
3a
12a
34a
66a
57a
45a 59a 60a
11b
58a
61a
55b
56a
23a
65a 64a
63a 62a
44c
33c 23
3
c b 12 1a
2
22c
11c
Gambar 4.3. Pembagian Benda Uji menjadi Volume Kontrol
-
39
Spesifikasi Data Penelitian :
1. Benda uji
a. Ukuran L : 1 cm
b. Tebal sirip : 0,2 cm
c. Jumlah node Gambar 4.3 : 165 node
d. Jumlah node total : 1320 node
e. Elemen (∆x=∆y=∆z) : 0,1 cm
f. Bahan (variasi) : dari logam
g. Suhu awal (Ti) : 200°C
h. Suhu dasar (Tb) : 200°C
2. Kondisi Lingkungan
a. Suhu fluida (T∞) : 50 °C
b. Koefisien perpindahan panas konveksi di luar benda (h1) : divariasikan
c. Koefisien perpindahan panas konveksi di dalam benda (h2) : divariasikan
4.2. Variasi Penelitian
Pada penelitian ini diambil beberapa variasi untuk mengetahui
perbedaan dan hasil pengujian yang paling efektif. Variasi tersebut antara lain :
a. Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi (h1 dan h2)
Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h1 dengan nilai h2 yang
tetap adalah :
-
40
No. Variasi h1, W/m2oC 1
2
3
4
5
1000
2000
3000
4000
5000
Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h2 dengan nilai h1 yang
tetap adalah :
No. Variasi h2, W/m2oC 1
2
3
4
5
100
200
300
400
500
Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h1 dan h2 dengan harga
yang sama adalah :
No. Variasi h1 = h2, W/m2oC
1
2
3
4
5
300
400
500
600
700
b. Variasi bahan sirip
Penelitian ini dilakukan pada beberapa jenis bahan dengan spesifikasi :
-
41
Sifat Bahan
No. Bahan Densitas
bahan (ρ),
kg/m3
Kalor
spesifik
bahan
(Cp),
J/kg°C
Konduktivitas
termal bahan
(k), W/m°C
Difusivitas
termal bahan
(α), m/s2 x
105
1. Aluminium 2.707 896 204 8,418
2. Tembaga 8.954 383,1 386 11,234
3. Baja 7.897 452 73 2,026
4. Perak 10.525 234 407 17,004
5. Kuningan 8.522 385 111 3,412
6. Besi 7.833 465 54 1,474
4.3. Peralatan Pendukung
Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini berupa :
1. Perangkat keras
Komputer dengan spesifikasi : AMD Athlon 64 2,01 Ghz, RAM 512 share
VGA dan Printer Canon Pixma iP1600
2. Perangkat lunak
a. Windows XP Professional
b. Microsoft Word Office 2003
c. Microsoft Excel Office 2003
d. AutoCAD 2004
e. Mechanical Desktop 2004
-
42
4.4. Metode Penelitian
Metode yang diterapkan dalam penelitian ini adalah metode komputasi
beda hingga cara eksplisit dengan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Membagi benda uji menjadi elemen-elemen kecil. Suhu pada elemen
tersebut diwakili oleh suhu node pada elemen tersebut.
2. Menuliskan persamaan numerik pada tiap node dengan metode beda
hingga cara eksplisit berdasarkan prinsip kesetimbangan energi.
3. Membuat program sesuai dengan bahasa pemrograman yang diperlukan.
4. Memasukkan data-data yang diperlukan untuk mengetahui besar suhu
pada elemen kecil.
5. Data suhu hasil perhitungan yang diperoleh di atas dipergunakan untuk
menghitung laju aliran kalor yang dilepas sirip serta menghitung
efektivitas sirip tersebut.
4.5 Cara Pengambilan Data
Pengambilan data dalam penelitian ini dilakukan dengan terlebih
dahulu membuat program sesuai dengan metode yang digunakan. Setelah selesai
pembuatan program, input program yang berupa koefisien perpindahan kalor
konveksi h1 dan h2 serta bahan (ρ, cp dan k ). Hasil perhitungan suhu, laju aliran
kalor serta efektivitas sirip dicatat sebagai data-data penelitian.
-
43
4.6 Cara Pengolahan Data
1. Hasil perhitungan yang didapat melalui MS Excel dicatat sebagai data
penelitian.
2. Data-data tersebut kemudian diolah dengan MS Excel sehingga didapatkan
tampilan gambar dalam bentuk grafik. Grafik-grafik tersebut digunakan
untuk membantu menyimpulkan laju aliran kalor serta efektivitas sirip.
-
44
BAB V
HASIL PERHITUNGAN DAN PEMBAHASAN
5.1. Hasil Perhitungan
5.1.1. Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi (h1)
Perhitungan distribusi suhu, laju aliran kalor dan efektivitas dari
waktu ke waktu dengan variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h1
dilakukan dengan sirip dari bahan Aluminium dengan nilai koefisien pepindahan
kalor konveksi h2 sebesar 10 W/m2oC.
5.1.1.1. Distribusi Suhu
Distribusi suhu diwakili dengan hasil perhitungan suhu pada node
23b sampai dengan 33b (node di dalam benda) pada saat 4 detik pertama.
Distribusi Suhu Sirip Aluminium pada Node 23b-33b saat 4 Detik Pertama h1= 1000W/m2oC, h2=10W/m2oC, Tb=Ti= 200oC, Tf luida=50oC
170175180185190195200205
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
Node
Suhu
, oC
t = 0.5 detik t = 0.75 detik t = 1.5 detik t = 4 detik t = 0.25 detik
Gambar 5.1 Distribusi Suhu Sirip Aluminium pada Node 23b-33b saat 4 Detik Pertama
-
45
5.1.1.2. Laju Perpindahan Kalor
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 1000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
60
62
64
66
68
70
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.2 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = 1000W/m2oC
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 2000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
100
110
120
130
140
150
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.3 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = 2000W/m2oC
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 3000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.4 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = 3000W/m2oC
-
46
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 4000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.5 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = 4000W/m2oC
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 5000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
0
100
200
300
400
500
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.6 Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium saat h1 = 5000W/m2oC
5.1.1.3.Efektivitas
Efektivitas Sirip Aluminium pada kondisi h1=1000W/m2oC, h2=10W/m2oC, Tb=Ti=200oC, Tf luida=50oC
3.0
3.4
3.8
4.2
4.6
5.0
0 1 2 3Waktu, detik
Efek
tifita
s
4
Gambar 5.7 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = 1000W/m2oC
-
47
Efektivitas Sirip Aluminium pada kondisi h1=2000W/m2oC, h2=10W/m2oC, Tb=Ti=200oC, Tf luida= 50oC
3.0
3.4
3.8
4.2
4.6
5.0
0 1 2 3 4Waktu, detik
Efek
tifita
s
Gambar 5.8 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = 2000W/m2oC
Efektivitas Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 3000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
3.0
3.4
3.8
4.2
4.6
5.0
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Efek
tifita
s
Gambar 5.9 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = 3000W/m2oC
Efektivitas Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 4000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
3.0
3.4
3.8
4.2
4.6
5.0
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Efek
tifita
s
Gambar 5.10 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = 4000W/m2oC
-
48
Efektivitas Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 5000W/m2oC, h2 = 10W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
4.8
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Efek
tifita
s
Gambar 5.11 Efektivitas Sirip Aluminium saat h1 = 5000W/m2oC
5.1.2. Variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi (h2)
Perhitungan distribusi suhu, laju aliran kalor dan efektivitas dari
waktu ke waktu dengan variasi nilai koefisien perpindahan kalor konveksi h2
dilakukan dengan sirip dari bahan Aluminium dengan nilai koefisien pepindahan
kalor konveksi h1 sebesar 1000 W/m2oC.
5.1.2.1.Laju Aliran Kalor
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 1000W/m2oC, h2 = 200W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
60
63
66
69
72
75
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.12 Laju Aliran Sirip Aluminium saat h2 = 100W/m2oC
-
49
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 1000W/m2oC, h2 = 200W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
65
68
71
74
77
80
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.13 Laju Aliran Sirip Aluminium saat h2 = 200W/m2oC
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 1000W/m2oC, h2 = 300W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
68
71
74
77
80
83
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.14 Laju Aliran Sirip Aluminium saat h2 = 300W/m2oC
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 1000W/m2oC, h2 = 400W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
65
70
75
80
85
90
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.15 Laju Aliran Sirip Aluminium saat h2 = 400W/m2oC
-
50
Laju Aliran Kalor Sirip Aluminium pada kondisi h1 = 1000W/m2oC, h2 = 500W/m2oC, Tb = Ti = 200oC, Tf luida = 50oC
70
75
80
85
90
95
0 1 2 3 4
Waktu, detik
Kalo
r yan
g D
ilepa
s Si
rip,
W
Gambar 5.16 Laju Aliran Sirip Aluminium saat h2 = 500W/m2oC
5.1.2.2.Efektivitas
Efektivitas Sirip Aluminium pada kondisi h1=1000W/m2oC, h2=100W/m2oC, Tb=Ti=200oC, Tf luida=50oC
4.0
4.3
4.6
4.9
5.2
5.5
0 1 2 3 4Waktu, detik
Efek
tifita
s
Gambar 5.17 Efektivitas Sirip Aluminium saat h2 = 100W/m2oC
Efektivitas Sirip Aluminium pada kondisi h1=1000W/m2oC, h2=200W/m2oC, Tb=Ti=200oC, Tf luida=50oC