kumpulan modul matematika angkatan 2008 · pdf filebahan pelatihan ini mencakup materi yang...

1

KUMPULAN MODUL MATEMATIKA ANGKATAN

2008

SERTIFIKASI GURU DALAM JABATAN

OLEH:

JOKO SOEBAGYO, S.Pd

Email: [email protected]

Website: www.jokosby.wordpress.com

Telp. 021 – 77827188

HP. 0812 1333 706

Depok

Tahun 2009

mailto:[email protected]

http://www.jokosby.wordpress.com/

2

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat ALLAH SWT yang masih memberi nikmat kepada kita semua.

Amin. Buku kumpulan modul matematika sertifikasi guru disusun dalam rangka

arsiper dan memudahkan penelusuran bagi guru matematika yang sudah dan yang

akan melaksanakan sertifikasi guru. Buku ini berisi modul angkatan 2008 dn 2009

yang terdiri dari 17 Modul. Semoga saja Buku Kumpulan Modul matematika

sertifikasi ini dapat bermanfaat buat kita semua.

Depok, 27 Agustus 2009

Penyusun

3

DAFTAR ISI

MODUL MATEMATIKA ANGKATAN 2008

1. ANALISIS KOMBINATORIAL DAN STATISTIKA ............................................................ 4

2. GEOMETRI TRANSFORMASI ................................................................................... 20

3. INTEGRAL ............................................................................................................ 28

4. LIMIT .................................................................................................................. 40

5. LOGIKA MATEMATIKA ........................................................................................... 54

6. PELUANG ............................................................................................................ 72

7. VEKTOR .............................................................................................................. 77

2


1. ANALISIS KOMBINATORIAL DAN STATISTIKA

I. PENDAHULUAN

A. Kompentensi yang diharapkan

Setelah mengikuti pelatihan ini peserta diharapkan menguasai materi

pembelajaran kombinatorik, peluang dan statistika, mampu menyelesaikan masalah

yang berhubungan dengan kombinatorik seperti faktorial, permutasi dan kombinasi,

mampu menentukan ruang sampel dan kejadian serta mampu menghitung peluang

suatu kejadian, mampu menyelesaikan hal-hal yang berkaitan dengan statistika.

Peserta juga diharapkan dapat mengiplementasikan pembelajaran materi ini di kelas.

B. Pentingnya mempelajari Bahan Pelatihan

Bahan pelatihan ini mencakup materi yang dapat diberikan pada siswa SMA,

namun ada beberapa bagian yang merupakan bahan pengayaan bagi guru atau

peserta pelatihan, yaitu pada topik binomium Newton, kejadian bersyarat dan angka

baku.

C. Tujuan Mempelajari Bahan Pelatihan

Tujuan yang diharapkan dalam mempelajari bahan pelatihan ini adalah peserta

pelatihan dapat:

a. menjelaskan pengertian faktorial, permutasi dan kombinasi b. menjelaskan pengertian dan menentukan ruang sampel dan kejadian c. menjelaskan dan menggunakan prinsip penjumlahan dan perkalian d. menjelaskan dan menentukan peluang suatu kejadian e. memecahkan masalah yang terkait dengan peluang f. menjelaskan pengertian statistika dan statistik g. menjelaskan cara-cara penyajian data, baik melalui gambar/ diagram

maupun tabel h. menjelaskan pengertian ukuran tendensi sentral dan ukuran pemusatan i. memecahkan masalah yang terkait dengan statistika

D. Prasyarat mempelajari Bahan Pelatihan

Prasyarat untuk mempelajari bahan pelatihan ini adalah himpunan, tetapi akan

lebih baik para peserta pelatihan sudah mengusai kaidah pencacahan

3

E. Strategi Pelatihan

Strategi pelatihan untuk bahan pelatihan adalah sebagai berikut:

1. Peserta mengerjakan Pretes, kemudian mendiskusikannya 2. Peserta dibagi menjadi 6 kelompok 3. Kelompok I menyajikan “ Masalah yang berkaitan dengan kombinatorik ”,

kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan 4. Kelompok II menyajikan “ Kejadian dan peluang dengan menggunakan

definisi peluang secara klasik maupun secara aksioma peluang “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan

5. Kelompok III menyajikan “ Peluang kejadian bersyarat dan peluang kejadian saling bebas “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan

6. Kelompok IV menyajikan “ Penyajian data dengan histogram dan poligon frekuensi “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan

7. Kelompok V menyajikan “ Statistika lima serangkai dari sekumpulan data “ kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan

8. Kelompok VI menyajikan “ Ukuran penyebaran dari sekumpulan data “ 9. Kemudian diskusi materi terkait dan soal-soal latihan

II. KOMBINATORIK, PELUANG DAN STATISTIKA

1. KOMBINATORIK

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai

berikut:

1. Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu? 2. Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila r <

n? 3. Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi? Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik

Ada 2 (dua) prinsip pokok yang dipakai untuk menyelesaikan persoalan

kombinatorik, yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.

Contoh:

Untuk Prinsip Penjumlahan

Suatu klub sepak bola mempunyai 40 anggota sedangkan klub bulutangkis mempunyai 20 anggota. a. Jika tidak ada anggota sepak bola yang merangkap menjadi anggota

bulutangkis, maka jumlah anggota kedau klub adalah 40 + 20 = 60 anggota. Jika kedua himpunan tidak beririsan, maka jumlah anggota kedua klub ditambahkan.

4

b. Jika ada 7 anggota yang merangkap menjadi anggota kedua klub, maka dibentuk 3 himpunan yang saling lepas atau tidak beririsan, yaitu: (i) Himpunan I terdiri dari pemain sepak bola saja (ii) Himpunan II terdiri dari pemain bulutangkis saja (iii) Himpunan III terdiri dari pemain sepak bola dan bulutangkis

Ketiga himpunan ini saling lepas dengan masing-masing anggota 40-7, 20-7 dan 7,

dengan demikian jumlah anggota dari kedua klub adalah 33+13+7= 53

Cara lain untuk memperoleh hasil di atas adalah dengan rumus

n ( A B ) = n ( A ) + n ( B ) - n ( A B )

Untuk Prinsip Perkalian Ahmad pergi dari kota A ke kota C dan harus melalui kota B. Dari kota A ke kota B

ada 3 jalan alternatif dan dari kota B ke kota C ada 2 jalan alternatif. Dengan

berapa banyak cara Ahmad bepergian dari kota A ke kota C?

A B C

Dengan demikian, menurut prinsip perkalian banyaknya cara bepergian dari kota

A ke kota C adalah 3 . 2 = 6 cara

Soal:

Diketahui empat angka 1, 2, 5, 8

a. Tentukan banyaknya bilangan yang terdiri dari dua angka diketahui. b. Tuliskan semua bilangan tersebut c. Berapa banyak bilangan yang bernilai ganjil

1.1. Permutasi

Definisi:

Susunan n unsur berbeda dengan memperhatikan urutannya disebut

permutasi dari n unsur tersebut.

n nP n !

5

Definisi:

Misalkan n bilangan asli. n faktorial atau n! adalah 1.2.3. . . . . . n

dan 0! = 1

Sifat 1:

Banyaknya permutasi dari r unsur ( r n ) yang diambil dari n unsur berbeda

adalah : n rP

n

n r

!

( ) !

Sifat 2:

Banyaknya permutasi dari n unsur dimana terdapat k unsur yang masing-

masing muncul q q qk1 2

, , . . . . . . . . . . , kali adalah: Pn

q q qk

!

! !. . . . . . . . !1 2

Sifat 3:

Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah: ( n - 1 )!

1.2. Kombinasi

Kombinasi adalah permutasi yang tidak memperhatikan urutan obyek.

Sifat :

Kombinasi r unsur ( r n ) dari n unsur adalah: n rC

n

r n r

!

!( ) !

1.3. Binomium Newton

( )a b C a bn

r

n

r

n

n r r

0

Soal:

1. Diketahui enam angka yaitu: 0, 1, 2, 3, 4 dan 5 a. Berapa banyak bilangan yang dapat dibentuk dari enam angka yang diketahui

terdiri dari tiga angka (digit), bila tiap angka hanya dapat digunakan sekali b. Berapa banyak daripadanya yang merupakan bilangan genap c. Berapa banyak yang lebih besar dari 330

2. Dengan berapa carakah enam pohon dapat ditanam membentuk lingkaran?

6

3. Dari kelompok yang yang terdiri atas lima pria dan tiga wanita, berapa banyak panitia yang beranggotakan tiga orang dapat dibentuk: a. tanpa pembatasan? b. dengan dua pria dan seorang wanita? c. dengan seorang wanita dan dua orang wanita bila seorang wanita tertentu

harus ikut dalam panitia?

4. Tentukan koefisien x7

dari (2x - 3)10

2. PELUANG

2.1. Pendahuluan

Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari

Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori peluang

dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat untung-untungan. Dalam

teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang berkaitan dengan uang logam, dadu,

kartu bridge dan lain-lain.

Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-

konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan

siswa dalam hal berolah pikir.

2.2. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian

Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan

Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “

Contoh:

1. Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

2. Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam S = { Angka, Gambar } atau S = { A, G }

S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }

Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu

kejadian digunakan huruf besar.

Contoh:

1. Pada percobaan melempar sebuah dadu. a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:

A = { 2, 4, 6 }

7

b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka: B = { 2, 3, 5 }

c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:

C = { 1, 2, 3, 4, 6 }

2. Pada percobaan melempar dua mata uang logam. a. Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:

P = { AA }

b. Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka: Q = { AG, GA }

Latihan 1:

1. Jika 3 buah uang logam dilempar, tentukan: a. Ruang Sampel S b. Kejadian R yaitu kejadian muncul semuanya gambar c. Kejadian S yaitu kejadian muncul satu angka dan dua gambar

2. Jika 2 buah dadu dilempar, yaitu dadu I dan dadu II, tentukan: a. Ruang Sampel S b. Kejadian A yaitu kejadian muncul jumlah kedua mata dadu sama dengan 7 c. Kejadian B yaitu kejadian muncul mata dadu I angka 2

2.3. Peluang Suatu Kejadian

Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau

Frekuensi Relatif

Contoh:

1. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali,

maka frekuensi relatif muncul angka = 7

1 5

2. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar sebanyak 28

kali, maka frekuensi relatif muncul gambar = 28

50

Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya

kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu

tertentu.

. . .

. . sec . .. . .

banyaknya kejadian yang m unculPeluang kejadian ara frekuensi relatif

banyaknya percobaan yang dilakukan

8

Latihan 2:

Lakukan percobaan di bawah ini dengan kelompokmu !

1. Melempar sebuah uang logam sebanyak: 25 kali, 30 kali, 50 kali, dan 100 kali. Kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif munculnya gambar!

2. Melempar sebuah dadu sebanyak 10 kali, kemudian hitung peluang secara frekuensi relatif a. munculnya mata dadu bilangan prima b. munculnya mata dadu 5 c. munculnya mata dadu 2

Menghitung Peluang Secara Klasik

Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka peluang muncul gambar

= 1

2

Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:

Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G }

banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1

atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar

sebuah mata uang logam: p = n G

n S

( )

( )

Jadi, p =1

2

Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang

Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan

ini disebut peluang.

a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu c. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1

d. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B = , maka

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )

e. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B , maka

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )

9

Soal:

1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasil lemparan dicatat dalam bentuk tabel sbb:

Muncul

mata dadu

1 2 3 4 5 6

Frekuensi 14 17 20 18 15 16

Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 3

a. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu 1 b. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan genap c. Tentukan frekuensi relatif muncul mata dadu bilangan prima

2. Seorang dokter menggunakan obat Y untuk penyakit Z dengan peluang 0,8. Tentukan jumlah orang yang diharapkan sembuh jika ia menggunakan obat Y untuk penyakit Z pada 300 orang

3. Dua buah dadu dilantunkan secara bersama-sama. Tentukan peluang: a. Jumlah mata dadu yang muncul 7 b. Dadu I muncul mata dadu 2 dan dadu II muncul mata dadu 3 c. Dadu I muncul mata dadu 2 atau dadu II muncul mata dadu 5

2.4. Kejadian Majemuk

Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B = ,

maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )

Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B ,

maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )

2.5. Peluang Komplemen suatu Kejadian

Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )

2.6. Kejadian Bersyarat

Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan kejadian bersyarat

yaitu Kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu

10

atau B/A, maka peluangnya adalah: P(B/A) =P A B

P A

( )

( ) atau

P(A B) = P(A). P(B/A)

2.7. Kejadian Saling Bebas

Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika

P(A B) = P(A) . P(B)

Soal:

1. Suatu pengiriman 10 pesawat TV 3 diantaranya dinyatakan cacat. Berapakah peluang sebuah hotel membeli 4 pesawat TV tersebut dan 2 TV ternyata cacat?

2. Tiga buah buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi empat novel, tiga buku syair dan sebuah kamus. Berapakah peluang a. kamus terpilih? b. dua novel dan sebuah buku syair yang terpilih?

3. Dua kartu diambil secara berturutan tanpa dikembalikan dari suatu kotak kartu bridge. Berapakah peluang kartu yang terpilih lebih besar dari 2 tetapi lebih kecil dari 9?

4. Bila A dan B dua kejadian yang saling asing dengan P(A) = 0,4 dan P(B) = 0,5, hitunglah:

a. P(A B) b. P(A’)

c. P(A’ B) 5. Dalam sebuah kotak berisi 15 telur 5 telur diantaranya rusak. Untuk memisahkan

telur baik dan telur yang rusak dilakukan pengetesan satu persatu. Berapakah peluang diperoleh telur rusak ke 3 pada pengetesan ke 5?

3. STATISTIKA

Pengertian Statistika dan Statistik

Statistika adalah ilmu yang merupakan cabang dari matematika. Dalam statistika

terdiri dari dua kegiatan:

a. Mengumpulkan data, menyajikan data dalam bentuk diagram dan menghitung nilai-nilai ukuran data sehingga menjadi satu nilai yang mudah dimengerti makna dari data tersebut.

b. Menggunakan pengolahan data pada (a) untuk membuat kesimpulan atau meramalkan hasil yang akan datang.

11

Kegiatan (a) disebut Statistika Deskriptif dan kegiatan (b) disebut Statistika

Inferensial.

Nilai-nilai ukuran data sehingga mudah dimengerti maknanya disebut statistik.

Statistik memberikan karakteristik-karakteristik tertentu dari data. Nilai ukuran

terkecil, nilai ukuran terbesar, nilai rataan, median, modus, jangkauan data, kuartil,

desil dan persentil disebut statistik.

3.1. Pengertian Populasi, Sampel dan Data

Definisi:

Populasi adalah kumpulan dari semua obyek atau benda yang akan diteliti.

Sampel adalah sub kumpulan obyek atau benda yang merupakan bagian dari

populasi. Data adalah bentuk jamak dari datum. Datum adalah suatu informasi

yang diperoleh dari suatu pengamatan. Dengan demikian data adalah kumpulan

dari datum-datum.

3.2. Statistik Lima Serangkai (Ukuran terkecil, Ukuran Terbesar, Kuartil Bawah,

Median dan Kuartil Atas)

Median adalah data tengah dari suatu kumpulan data yang telah diurutkan.

Jika n ganjil, maka n 1

2 merupakan bilangan bulat, sehingga median adalah

datum yang ke n 1

2, sedangkan jika n ganjil, maka median adalah

x x x x xn n n n n

2 21

2 21

2

1

2

1

2( ) ( )

Contoh:

Tentukan statistik lima serangkai dari data:

79, 63, 94, 100, 83, 92, 78, 62, 53, 84, 76

Jawab:

Data diurutkan terlebih dahulu: 53, 62, 63, 76, 78, 79, 83, 84, 92, 94, 100

Ukuran terkecil : 53

Ukuran terbesar : 100

12

Kuartil 1 (Q1) : 63 76

269 5,

Median : 79

Kuartil 3 (Q3) : 84 92

288

3.3. Rataan Kuartil dan Rataan Tiga

Rataan Kuartil = 1

2 1 2( )Q Q

Rataan Tiga = 1

42

1 2 3( )Q Q Q

3.4. Jangkauan Data, Jangkauan Antar Kuartil, Langkah, Pagar Dalam dan Pagar

Luar.

Definisi:

Jangkauan data atau Rentangan data adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum dari data.

J = x xm ax m in

Jangkauan antar kuartil adalah selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah. H = Q Q

3 1 , Jangkauan antar kuartil disebut juga hamparan

Satu langkah didefinisikan sebagai satu setengah panjang hamparan. Jika H menyatakan hamparan dan L menyatakan satu langkah maka:

L = 1,5 x H

Pagar Dalam dan Pagar Luar Pagar dalam (PD) adalah suatu nilai yang letaknya satu langkah di bawah

nilai kuartil bawah Q1 dan Pagar Luar (PL) adalah suatu nilai yang

letaknya satu langkah di atas kuartil atas Q3

PD = Q1- L dan PL = Q

3 + L

13

3.5. Penyajian Data dalam bentuk Diagram

Penyajian data dalam bentuk diagram, misalnya:

a. Diagram Kotak Garis b. Diagram Batang Daun c. Diagram Batang d. Diagram Garis e. Diagram Lingkaran

3.6. Daftar Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif, Frekuensi Kumulatif, Histogram

Frekuensi, Poligon Frekuensi dan Ogive

Daftar Distribusi Frekuensi adalah suatu cara mengorganisasikan data dengan membagi data menjadi beberapa kelompok atau kelas, kemudian setiap kelompok atau kelas dari data dicatat mengenai banyaknya data atau frekuensi yang masuk dalam kelompok tersebut.

Frekuensi Relatif adalah frekuensi tiap kelas dibagi frekuensi total dikalikan 100%

Frekuensi Kumulatif adalah menjumlahkan setiap frekuensi dengan frekuensi kelas sebelumnya.

Histogram adalah salah satu cara menyatakan daftar distribusi frekuensi atau distribusi frekuensi relatif.

Poligon Frekuensi adalah garis yang menghubungkan titik tengah titik tengah pada histogram

Ogive adalah kurva distribusi frekuensi kumulatif

3.7. Data Statistika Deskriptif

Ukuran-ukuran Tendensi Sentral

Rataan Hitung, Rataan Geometris, Rataan Harmonis dan Rataan Kuadratis

Rataan Hitung

Misalkan suatu data disajikan dalam bentuk data tunggal yaitu:

x x xn1 2

, , . . . . . . . . . . . . . . , , rataan hitung adalah

xx x x

n

n1 2. . . . . . . . . . . .

atau xn

xi

i

n

1

1

14

Rataan untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

x

f x

f

f x f x f x

f f f

i ii

k

ii

k

k k

k

.. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

1

1

1 1 2 2

1 2

Rataan Geometris

Misalkan data bernilai positif terdiri atas x x xn1 2

, , . . . . . . . . . . . . . . , . Rataan

geometris

dinyatakan oleh g adalah akar ke n dari perkalian nilai-nilai data:

g x x xn

n

1 2. . . . . . . . . . . .

Rataan Harmonis

Misalkan data bernilai positif terdiri atas x x xn1 2

, , . . . . . . . . . . . . . . , . Rataan harmonis

dinyatakan oleh h adalah nilai yang memenuhi

1 1 1 1 1

1 2h n x x x

n

( .. . . . . . . . . . . . )

Hubungan antara rataan hitung, rataan geometris dan rataan harmonis

Misalkan diketahui data x x xn1 2

, , . . . . . . . . . . . . . . , bilangan-bilangan positif. Rataan

geometris lebih kecil atau sama dengan rataan hitung tetapi lebih besar atau

sama dengan rataan harmonis

Jadi: h g x

Rataan Kuadratis

Misalkan data terdiri atas x x xn1 2

, , . . . . . . . . . . . . . . , . Rataan kuadratis dinyatakan

oleh k adalah akar kuadrat dari rata-rata kuadrat data yang diketahui atau

15

k

x

n

i

2

Modus, Median, Kuartil, Desil dan Persentil

Modus adalah nilai yang paling banyak muncul.

Modus data dalam bentuk daftar distribusi frekuensi

Nilai Modus : M L co

( )1

1 2

L = batas bawah limit kelas modus

1= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya

2= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya

c = panjang kelas modus

Median data dalam daftar distribusi frekuensi

Median ( Me

k

L

nf

f) ( )

2

L = batas bawah limit kelas median

n = ukuran data

fk

frekuensi kumulatif sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

c = panjang kelas median

Kuartil, Desil dan Persentil

Untuk data tunggal kuartil adalah nilai data yang ke i n( )1

4, i =1, 2, 3

Jika i = 1 disebut kuartil bawah (Q1)

Jika i = 2 disebut kuartil tengah (Q2) atau Median

16

Jika i = 3 disebut kuartil atas (Q3)

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

Kuartil (Qi) = L

i nf

f

k

.

4 dimana i = 1, 2, 3

L = batas bawah limit kelas Qi

n = ukuran data

fk

frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi

f = frekuensi kelas Qi

c = panjang kelas Qi

Untuk Desil dan Persentil caranya sama, yaitu

Desil nilai data yang ke i n

sedangkan( )

,1

10 Persentil nilai data yang ke

i n( )1

100

3.8. Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah

a. Simpangan Rata-rata b. Ragam (Variansi) dan Simpangan baku c. Koefisien Keragaman d. Angka Baku

a. Simpangan Rata-rata Definisi:

Misalkan nilai-nilai data tunggal: x x xn1 2

, , . . . . . . . . . . . . . . , , maka simpangan rata-rata

SR =1

1nx xi

i

n

| | , dimana x = rataan hitung dan n = ukuran data

17

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi simpangan rata-rata adalah

SR = 1 1

11 1n

f x xnf x x f x x

i ii

k

k k| | ( | ) .. .. . . . . . . . . . . . . | | ) , dimana

n = ukuran data, k = banyaknya kelas dan fi= frekuensi kelas ke i

dan xi

titik tengah kelas ke i

Ragam (Variansi) dan Simpangan baku

Misalkan nilai-nilai data tunggal: x x xn1 2

, , . . . . . . . . . . . . . . , , maka ragam (variansi)

adalah: sn

x xn

x x x xi

i

n

n

2 2

11

2 21 1( ) [( ) .... .. . . . . . . . . ( ) ]

sedangkan simpangan baku adalah

s sn

x xi

i

n

2 2

1

1( )

Ragam dan simpangan baku data dalam daftar distribusi frekuensi adalah

sn

f x xi i

i

k

2 2

1

1( )

sedangkan simpangan baku adalah

s s2 1 2

1nf x xi i

i

k

( ) , dimana fi

frekuensi kelas ke i dan

xi

titik tengah kelas ke i

18

Koefisien Keragaman

Koefisien Keragaman (V) = simpangan baku

rataan hitung

s

x

.

.

Koefisien Keragaman dinyatakan dalam prosen:

V =s

xx100%

Angka Baku

Misalkan suatu nilai datum x dari kumpulan data mempunyai rataan hitung x

dan simpangan baku s, maka angka dari nilai x diberikan oleh

zx x

s

Tugas Terstruktur

Kerjakan soal-soal di bawah ini!

1. a. Berapa carakah dapat dibuat antrian masuk ke bis yang terdiri atas lima orang? b. Bila dua orang tidak saling mengikuti, ada berapa cara antrian yang dapat

terjadi? 2. Dalam berapa macam cara yang berbedakah suatu ujian yang terdiri atas delapan

soal dengan jawaban benar salah dapat dijawab? 3. Dari suatu kotak yang berisi empat bola hitam dan dua bola hijau, tiga bola

diambil secara berturutan. Tiap bola dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya. Tentukan peluang bola hijau yang terambil!

4. Suatu kota mempunyai dua mobil pemadam kebakaran yang bekerja saling bebas. Peluang suatu mobil tertentu tersedia bila dibutuhkan adalah 0,99 a. Berapakah peluang keduanya tidak tersedia bila dibutuhkan? b. Berapakah peluang suatu mobil tersedia bila dibutuhkan?

5. Skor berikut menyatakan nilai ujian akhir mata pelajaran statistika: 23 60 79 32 57 74 52 70 82 36

80 77 81 95 41 65 92 85 55 76

52 10 64 75 78 25 80 98 81 67

41 71 83 54 64 72 88 62 74 43

19

60 78 89 76 84 48 84 90 15 79

34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

Susunlah skor nilai di atas ke dalam daftar distribusi frekuensi, kemudian buatlah

histogram, poligon frekuensi dan ogive

Hitunglah:

a. Rataan hitung b. Modus c. Median d. Simpangan Kuartil e. Koefisien Keragaman (V) f. Selidiki pula apakah skor nilai di atas mengandung pencilan atau tidak!

SELAMAT BEKERJA

20


2. GEOMETRI TRANSFORMASI

GEOMETRI TRANSFORMASI 1. Pengertian Transformasi

Transformasi pada bidang V adalah fungsi bijeksi (satu-satu dan pada) dari V ke V.

Contoh :

a. 22: RRT , dengan )12,2(),( yxyxT .

T merupakan fungsi satu-satu karena 2211

,),( yxTyxT mengakibatkan

2211,),( yxyx

T merupakan fungsi pada karena setiap 2, Ryx , terdapat

2

2

1,

2R

yx, sehingga ),(

2

1,

2yx

yxT .

Karena T merupakan fungsi satu-satu dan pada maka T merupakan

transformasi.

b. 33: RRT , dengan )3,2,(),,(

2zyxzyxT .

T bukan merupakan fungsi satu-satu karena (1,2,2) (-1,2,2), tetapi

T (1,2,2)= T (-1,2,2)

Karena transformasi merupakan bijeksi, maka transformasi tersebut memiliki invers dan inversnya juga merupakan transformasi dan Invers dari suatu transformasi tunggal.

2. Hasil Kali Transformasi

Definisi : Misalkan F dan G dua transformasi dengan VVF : dan

VVG : maka komposisi dari F dan G ditulis sebagai GF yang

didefinisikan VPPFGPFG , .

Teorema 1 : Jika VVF : dan VVG : adalah suatu transformasi maka

hasilkali VVGF : juga transformasi.

(Buktikan !)

3. Jenis-jenis Transformasi Transformasi yang akan dibahas meliputi :

a. Isometri Transformasi U merupakan Isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasang titik

P dan Q dipenuhi PQ'Q'P dengan PU'P dan QU'Q .

21

Dengan perkataan lain isometri adalah suatu transformasi yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).

Teorema 2: Isometri adalah kolineasi Teorema 3 :

Isometri mempertahankan besar sudut.

Teorema 4:

Isometri mengawetkan kesejajaran.

b. Translasi / Geseran

S merupakan geseran bila terdapat ruas garis berarah AB sedemikian hingga

P dalam bidang dengan S(P) =P’ dipenuhi AB'PP ditulis SAB.

Teorema 5 : SAB = SCD jika dan hanya jika CDAB

Teorema 6 : Jika A, B, dan C tiga titik tak segaris maka SAB = SCD jika dan hanya

jika CABD merupakan jajar genjang.

Teorema 7 : Geseran adalah suatu isometri

Teorema 8 : Geseran mempertahankan arah garis

Teorema 9 : Hasilkali dua geseran SAB dengan SCD akan merupakan geseran lagi

SPQ dengan CDABPQ .

Teorema 10 : Terhadap ISAB

tidak terdapat titik tetap dan semua garis // AB

akan menjadi garis tetap.

Rumus geseran :

SOB (P(X,Y)) = P’(X’,Y’)

Dengan cara tulis vektor :

b

a

Y

X

'Y

'X

c. Pencerminan / Refleksi Definisi : Pencerminan terhadap garis s ditulis MS adalah pemetaan yang

memenuhi :

1) Untuk sB , MS (B) = B 2) Untuk sA , MS (A) = 'A sedemikian hingga s adalah sumbu 'AA .

a

a

b

B b

P (x, y)

X

Y

O

P’(x’,y’)

22

Garis s disebut sebagai sumbu pencerminan.

Teorema 11 : Pencerminan adalah suatu isometri.

Teorema 12 : Pencerminan adalah suatu involusi (MSMS = I )

Teorema 13 : Titik tetap terhadap pencerminan MS adalah titik pada s

dan semua garis yang s adalah garis tetap.

Rumus umum pencerminan I :

Misalkan persamaan garis s : ax + by + c = 0, dan P’ = MS(P), SP maka harus

memenuhi :

1) s'PP 2) Titik tengah s'PP Dari syarat di atas akan diperoleh persamaan dalam x’ dan y’ dan di dapat:

22

22

ba

cbyaxb2y'y

ba

cbyaxa2x'x

Rumus umum pencerminan II :

Jika s dinyatakan dengan persamaan bentuk normal

0Psinycosx:s maka diperoleh :

cosP22siny2cosx'x

sinP22cosy2sinx'y

Atau dengan persamaan matriks :

sin

cosP2

y

x

2cos2sin

2sin2cos

'y

'x

P

P`

s

s

X

Y

s

P

23

Bagaimana dengan kejadian berikut :

i. Jika s berhimpit dengan sumbu x ii. Jika s berhimpit dengan sumbu y

iii. Jika s berhimpit dengan garis y = x iv. Jika s berhimpit dengan garis y = - x

d. Rotasi Bagaimana MtMs untuk sembarang s dan t ?

Dengan sifat segitiga kongruen maka diperoleh

AP = A’P = A’’P dengan 2t,s2''APAm

Sehingga pemetaan di samping disebut

putaran dengan sudut 2 .

Definisi : Rotasi terhadap P dengan sudut dengan lambang ,pR adalah

pemetaan yang memenuhi :

1) ,pR (P) = P

2) ,pR (A) = A’ dengan PA’ = PA, 'APAm

Sudut positip jika arah putar berlawanan dengan arah jarum jam, sudut

negatip bila arah putar searah perputaran jarum jam. Sedangkan = 0

maka ,pR = I. Putaran atau rotasi dengan sudut tidak nol hanya memiliki

satu titik tetap yaitu titik pusat putaran.

Teorema 14 : Sebarang putaran ,p

R selalu dapat dianggap sebagai

hasilkali dua pencerminan MtMs dengan P perpotongan (s,t)

dan 2

1t,sm

Teorema 15 :Rotasi (putaran) merupakan suatu isometri.

A’

A’’

P A

s

t

o o

x x

24

Teorema 16 : ,

1

, ppRR

Rumus putaran i. Dengan pusat putaran O(0,0)

Diperoleh rumus putaran ,O

R

cosysinx'y

sinycosx'x atau

y

x

cossin

sincos

'y

'x

ii. Dengan pusat putaran P(a,b)

Diperoleh rumus putaran ,P

R

by

ax

cossin

sincos

b'y

a'xatau

q

p

y

x

cossin

sincos

'y

'x dengan

bcosbsinaq

asinbcosap

Teorema 17 :Terhadap IR,P

satu – satunya titik tetap adalah P (titik

pusat) ada garis tetap jika R = merupakan rotasi dengan

sudut 180o.

e. Dilatasi Definisi : Diketahui sebuah titik A dan sebuah bilangan positif r, suatu dilatasi

dengan faktor r dan pusat A adalah padanan yang bersifat :

1) D (A) = A

2) Jika AP maka P’ = D (P) adalah titik pada sinar AP sehingga AP’ = r (AP)

Dilatasi dengan pusat A dan faktor r ditulis DA,r.

O

'y,'x'A

y,xA

A2 A1

y

x

x

y y

O

'A

A

b,aP

x

25

Rumus umum Dilatasi :

DO,r ((x,y)) = (rx,ry) , y,x pada bidang O(0,0)

DA,r ((x,y)) = bk1ky,ak1kx , A(a,b)

Untuk pembuktian lihat gambar i) dan ii)

Buktikan rumus tersebut!

4. Similarity Definisi : Suatu transformasi T adalah transformasi kesebangunan (disingkat

kesebangunan) apabila ada sebuah konstanta 0k sehingga untuk setiap

pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = k PQ dengan P’= T (P) dan Q’ = T (Q).

O x

y

y,xP

'y,'x'P

x

O

y

y,xP

'y,'x'P

b,aA

'p

p

a

i). ii).

26

Teorema 18 : Similarity adalah suatu kolineasi.

Bukti : Misalkan Lk adalah similarity dan s garis lurus. Akan dibuktikan Lk (s) adalah garis

lurus lagi. Pembuktian sama dengan dalam isometri.

Teorema 19 : Hasilkali similarity Lm dengan Lk adalah similarity lagi dengan faktor km.

Bukti : diturunkan dari definisi.

Teorema 20 : similarity mempertahankan besar sudut.

Bukti :

Ambil ABC

Andaikan A’ = Lk (A)

B’ = Lk (B)

C’ = Lk (C)

maka A’B’ = k AB,

B’C’ = k BC,

C’A’ = k CA

Maka 'C'B'A ~ ABC sehingga

ABCm'C'B'Am .

Corollary : similarity mempertahankan ketegaklurusan.

Teorama 21: similarity mempertahankan kesejajaran.

Buktikan !

Isometri

sentral

Pencerminan

Similaritas

sentral

Dilatasi

Transformasi Affiine

Misalkan T subset, R2 TTf : transformasi affine pada T . Maka f dapat

berbentuk

0x a x efy c d y w

.

B

A

C

A’

B’

C’

27

Transformasi affine tidak mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan factor

pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y. Perhatikan peta dari beberapa

bangun oleh transformasi affine berikut.

Secara umum transformasi linier T pada nR , dinyatakan oleh bxAxT ,

dengan A adalah matriks nxn yang determinannya tidak nol dan b adalah vector di

nR . Sebuah transformasi ditentukan oleh matriks A dan vector b .

28


3. INTEGRAL

INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I.

Notasi : F(x) = f(x) dx

Integral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan.

Contoh : cxdxx32

3

1 cxdxx

434

Integral tak tentu adalah operator linear, yaitu bersifat :

1. dxxkf )( = dxxfk )(

2. dxxgxf )]()([ = dxxf )( + dxxg )(

Rumus-rumus Dasar Integral Tak Tentu

1. cxn

dxxnn 1

1

1, n ≠ - 1 2. cxxdx cossin

3. cxxdx sincos 4. cxdxx

ln1

5. cedxexx

6. ca

adxa

xx

ln

7. cx

x

dx 1

2sin

1

8. cxtgn

x

dx 1

21

9. cx

xx

dx 1

2sec

1

10. ctgnxxdx2

sec

11. cctgxxdxec2

cos 12. cxxtgnxdx secsec

13. cecxecxctgxdx coscos

29

Contoh :

cxxdxxx sin52

1)cos52(

43

INTEGRAL TENTU

Definisi :

Misal f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], f dikatakan terintegralkan pada [a,b] jika

n

i

iiP

xxf

10

)(lim ada, selanjutnya

b

a

dxxf )( disebut Integral Tentu (Integral

Riemann) f dari a ke b, dan didefinisikan

b

a

dxxf )( = n

i

iiP

xxf

10

)(lim .

b

a

dxxf )( menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva y = f(x) dan sumbu x

dalam selang [a,b], jika

b

a

dxxf )( bertanda negatif maka menyatakan luas daerah yang

berada dibawah sumbu x.

Definisi :

a

a

dxxf )( = 0

b

a

dxxf )( = -

a

b

dxxf )( , a > b

30

Teorema Dasar Kalkulus Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka

b

a

dxxf )( = F(b) – F(a)

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = baxF )]([

Contoh :

1. Perlihatkan bahwa jika r Q dan r -1, maka

11

11

r

a

r

bdxx

rrb

a

r

Jawab :

Karena F(x) = 1

1

r

xr

suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut TDK,

11)()(

11

r

a

r

baFbFdxx

rrb

a

r

Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat : Misal f dan g terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka kf dan f + g terintegralkan, dengan

1.

b

a

dxxkf )( k

b

a

dxxf )(

2. dxxgxf

b

a

)]()([ =

b

a

dxxf )( +

b

a

dxxg )(

Contoh :

Hitung dxxx )64(

2

1

2

Jawab :

dxxdxxdxxx

2

1

22

1

2

1

264)64( = 4

2

1

32

1

2

36

2

xx

31

= 43

1

3

86

2

1

2

4 = 12

Sifat-Sifat Integral Tentu

1. Sifat Penambahan Selang Teorema :

Jika f terintegralkan pada suatu selang yang mengandung tiga titik a, b dan c, maka

dxxf

c

a

)( = dxxf

b

a

)( + dxxf

c

b

)( bagaimanapun urutan a, b dan c.

Contoh :

1. dxxdxxdxx

2

1

21

0

22

0

2 2. dxxdxxdxx

2

3

23

0

22

0

2

3. dxxdxxdxx

2

1

21

0

22

0

2

2. Sifat Simetri Teorema :

Jika f fungsi genap [f(-x) = f(x)] , maka dxxf

a

a

)( = 2 dxxf

a

0

)( dan

Jika f fungsi ganjil [f(-x) = - f(x)], maka dxxf

a

a

)( = 0.

Contoh :

1.

04

cos24

cos dxx

dxx

244

1.

4cos8

0

dxx

2. dx

x

x5

52

5

4

= 0

32

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

1. Teknik Subtitusi a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu

Teorema :

Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g(x)

maka f(g(x))g’(x) dx = f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c

Contoh :

Hitunglah dxx

xsin.

Jawab : Misalkan u = x = x1/2 sehingga du = 2/1

2

1x dx maka

dxx

xsin = 2 dxxx

2/1

2

1sin = 2 udusin = 2cosu + c = 2cos x + c

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.

Teorema :

Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g,

maka duufdxxgxgf

bg

ag

b

a

)(

)(

)()('))((

Contoh :

Hitung

1

02

)62(

1dx

xx

x

Jawab :

Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6 jika x = 0 dan u = jika x

= 1, jadi

1

02

)62(

1dx

xx

x =

1

02

)62(

)1(2

2

1dx

xx

x

33

= )6ln9(ln2

1ln

2

1

2

1 96

9

6

uu

du =

2

3ln

2

1

2. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri

a. sin n x dx, cos n x dx

Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut

sin 2 x = 2

2cos1 x , cos 2 x =

2

2cos1 x

Contoh :

1. cos 4 x dx = dxx

2

2

2cos1 =

4

1(1 + 2 cos 2x + cos 2 2x) dx

= 4

1dx +

4

1cos 2x (2) dx +

8

1(1 + cos 4x) dx

= 8

3x +

4

1sin 2x +

32

1 sin 4x + c

b. sin m x cos n x dx

Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang, maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.

Contoh :

Tentukan : 1. sin 3 x cos –4 x dx 2. sin 2 x cos 4 x dx

c. tg n x dx, cotg n x dx.

Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x = cosec 2 x – 1

dalam kasus cotg.

34

Contoh :

cotg 4 x dx = cotg 2 x (cosec 2 x – 1) dx = cotg 2 x cosec 2 x dx – cotg 2 x dx = -

cotg 2 x d(cotg x) - (cosec 2 x – 1) dx = -3

1cotg 3x + cotg x + x + c

d. tg m x sec n x dx, cotg m x cosec n x dx

Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau

cosec 2 x.

Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.

Contoh :

Tentukan : 1. tg –3/2 x sec 4 x dx 2. tg 3 x sec –1/2 x dx

e. sin mx cos nx dx, sin mx sin nx dx, cos mx cos nx dx.

Gunakan kesamaan : sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x] sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x] cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]

Contoh :

sin 2x cos 3x dx = 1/2 sin 5x + sin (-x) dx

= 1/10 sin 5x d(5x) – ½ sin x dx = - 1/10 cos 5x + ½ cos x + c.

3. Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika pengintegralan dengan teknik

subtitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih

sederhana dari integral mula-mula.

vduuvudv

Contoh :

1. dxxex

Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex

dxxex = dxexe

xx = xex –ex + c

35

4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).

a. Fungsi Integran yang memuat bentuk n bax

Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n bax

Contoh : Hitung dxxx3

4

Jawab : Misalkan u = dxxx3

4 maka 3u = x – 4 dan 3

2u du = dx

Shg dxxx3

4 = cxxduuuu 34

73

23)4()4(

7

33.)4(

b. Integran yang memuat bentuk 222222

,, axxaxa

Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t. Contoh :

1. Tentukan dx

x

x

2

24

Jawab :

Jawab : Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan 2

4 x = 2 cos t , shg

dx

x

x

2

24

= tdtctgdtt

t

t 2

2)cos2(

sin4

cos2 = - ctg t – t + c

= cx

x

x

2sin

4 12

5. Integral Fungsi Rasional Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang ditulis :

)(

)()(

xQ

xPxF , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0

Fungsi Rasional dibedakan atas : a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada

pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom pada penyebut. b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi polinom pada

pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi polinom pada penyebut. Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang lebih sederhana Contoh :

36

1

3

1

2

1

15

2 xxx

x

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda

Contoh :

Tentukan dx

xxx

x

32

35

23

Jawab :

31)3)(1(

35

32

35

23 x

C

x

B

x

A

xxx

x

xxx

x

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1) dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan maka

diperoleh : A = -1 , B = 2

1 , dan C = 2

3 sehingga

dx

xxx

x

32

35

23= dx

xdx

xx

dx

3

23

1

21

= - ln cxxx 3ln2

31ln

2

1

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang Contoh :

Tentukan dx

x

x

2)3(

Jawab :

22)3(3)3( x

B

x

A

x

x maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas kanan diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga

cx

xdx

x

dxx

dx

x

x

3

33ln

)3(

3

3

1

)3(22

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor k

bax )( dalam penyebut, maka ada

sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

k

k

bax

A

bax

A

bax

A

)(

...

)(2

21

c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda Contoh :

37

Tentukan dx

xx

xx

)1)(14(

136

2

2

Jawab :

114)1)(14(

136

22

2

x

CBx

x

A

xx

xx

Selanjutnya tentukan A, B dan C seperti cara diatas dan kemudian hitung integral setiap sukunya.

PENGGUNAAN INTEGRAL TERTENTU

1. Luas Daerah Bidang Rata a. Daerah Antara Kurva dan Sumbu Koordinat. Perhatikan gambar daerah rata dibawah ini

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik y = f(x), x = a, x =

b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :

A(R) = dxxf

b

a

)(

Jika gambar terletak dibawah sumbu X maka integral diatas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Perhatikan pula gambar daerah rata berikut ini :

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R)

ditentukan oleh : A(R) = dyyf

d

c

)(

Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu Y maka integral diatas bernilai negatif, karena

luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

38

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh

fungsi :

Untuk menghitung luas daerah rata ikuti pola berfikir sebagai berikut : 1. Gambar daerah yang bersangkutan 2. Potong daerah menjadi jalur-jalur dan beri nomor pada satu jalur tertentu 3. Hampiri luas jalur tertentu tersebut dengan luas persegi panjang 4. Jumlahkan luas jalur-jalur pada daerah tersebut 5. Ambil limit dari jumlah diatas dengan lebar jalur menuju 0, maka diperoleh integral

tertentu.

b. Daerah antara 2 Kurva

Perhatikan kurva-kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan g(x) f(x) pada selang [a,b], sebagai

gambar berikut :

xxgxfA ))()((

A = b

a

dxxgxf ))()((

Kita gunakan cara : potong, aproksimasikan, dan integralkan.

39

Tugas Terstruktur

1. Tentukan :

a. 2

02

sin1

cosdx

x

x b. dxxx )ln(

c. dxctgxtgx2

)( d. xdxecctgx3

cos

e. dx

x

x

2

2

9

f. dx

xx

x

54

12

2

2. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 22x dan

y = 422

xx

3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x, y = 2x dan y = 5 – x

4. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x dan y = -x + 6 5. Gambarlah daerah R yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x + 6, y = x3 dan 2y + x =

0. Kemudian hitunglah luasnya.

40


4. LIMIT

LIMIT FUNGSI

Perhatikan fungsi yang ditentukan oleh rumus 2

232)(

2

x

xxxf

Jika variabel x diganti 2 maka f(2) = 0

0 , merupakan bentuk tak tentu. Jadi f(x) tidak

ter-definisi pada x = 2, tetapi adakah suatu bilangan yang akan didekati oleh nilai f(x)

jika nilai x mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2?. Untuk mengetahui jawabannya

kita ambil nilai-nilai dari x yang mendekati 2 dari fihak kurang dari 2 (dari kiri)

misalnya: 0; 1; 1,5; 1,9; 1,999; 1,999999 dan nilai-nilai x yang mendekati 2 dari fihak

lebih dari 2 misalnya: 4; 3; 2,5; 2,1; 2,001; 2,000001. Kemudian dihitung nilai f pada

nilai-nilai x tersebut yang terlihat pada tabel berikut:

x f(x)

0 1

1 3

1,5 4

1,9 4,8

1,999 4,998

1,999999 4,999998

2 ?

2,000001 5,000002

2,001 5,002

2,1 5,02

2,5 6

3 7

4 9

Dari tabel di atas kita dapat menduga bahwa nilai f(x) akan mendekati 5 jika x

mendekati 2 yang ditulis 5)(lim2

xfx

.

41

Definisi

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang I yang memuat c (pada c

fungsi f boleh tidak terdefinisi). Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis

cx

lim f(x) = L jika untuk sembarang > 0 (bagaimanapun kecilnya), terdapat bilangan

> 0 sedemikian hingga |f(x) - L| < apabila 0 < |x - c| < .

Atau dengan kata lain jika x memenuhi 0 <|x - c| < maka |f(x) - L| <

Perhatikan gambar berikut:

Y

L+ y=f(x)

daerah |f(x)-L|< L

L-

c- c c+ X

daerah 0<|x-c|<

Contoh Buktikan 52

232lim

2

2 x

xx

x

Penyelesaian:

Tinjauan pendahuluan:

jika diberikan > 0, akan dicari > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x - 2| < maka

52

2322

x

xx <

untuk x 2,

52

2322

x

xx =

2

)2(52322

x

xxx =

2

8822

x

xx

= 2

)2)(42(

x

xx= |2x - 4| = 2 |x - 2|

dari hasil terakhir ini menyarankan pemilihan = 2

42

Bukti lengkap:

diberikan > 0 sembarang

pilih = 2

sehingga untuk nilai x yang memenuhi 0 < |x - 2| < akan berlaku

2

2 3 25

2

x x

x = 2 |x - 2| < 2 = 2

3 =

terbukti 2

limx

22 3 2

2

x x

x = 5

Limit satu sisi (limit kiri dan limit kanan

Definisi

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka (a,c). Limit f(x) untuk

x mendekati c dari kiri adalah L, ditulis cx

lim f(x) = L jika untuk sembarang > 0

(bagaimanapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian hingga |f(x)-L|<

apabila 0<c-x< . Atau dengan kata lain jika x memenuhi 0 < c - x < maka |f(x) - L|

<

Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang buka (c,d). Limit f(x) untuk

x mendekati c dari kanan adalah L, ditulis cx

lim f(x) = L jika untuk sembarang > 0

(bagai-manapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian hingga |f(x)-L|<

apabila 0<x-c< .

Atau dengan kata lain jika x memenuhi 0 < x - c < maka |f(x) - L| <

Contoh

Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai:

f(x) = sgn(x) =

1

0

1

jika

jika

jika

0

0

0

x

x

x

Y

1 y=f(x)

X

y=f(x) -1

Gambar

43

dalam contoh ini

0

lim

x

f(x) = -1 dan

0

lim

x

f(x) = 1

terlihat bahwa limit kiri tidak sama dengan limit kanan.

Teorema

cx

lim f(x) = L jika dan hanya jika cx

lim f(x) = L dan cx

lim f(x) = L

Y y=f(x) Y Y

y=f(x)

y=f(x)

y=f(x) y=f(x)

c X c X c X

(i) (ii) (iii)

Gambar

gambar(i) cx

lim f(x) = cx

lim f(x) maka cx

lim f(x) ada

gambar(ii)cx

lim f(x) cx

lim f(x) maka cx

lim f(x) tidak ada

gambar(iii) lim ( ) lim ( )x c x c

f x f x maka cx

lim f(x) tidak ada

Contoh Misalkan fungsi f didefinisikan f(x) =

3

33

3

3

9

5

2

x

x

x

jika

jika

jika

x

x

x

-3 3 X

Gambar

3

lim

x

f(x) = 3

lim

x

(x+5) = 2 dan

3

lim

x

f(x) =

3

lim

x

29 x = 0

karena 3

lim

x

f(x) 3

lim

x

f(x) maka 3

limx

f(x) tidak ada

3

lim

x

f(x) = 3

lim

x

29 x = 0 dan

3

lim

x

f(x) = 3

lim

x

(x-3) = 0

Y

44

karena 3

lim

x

f(x) =3

lim

x

f(x) = 0 maka 3

limx

f(x) = 0 (ada)

Teorema-teorema tentang limit

Misalkan n bilangan bulat positip, k konstanta dan f,g fungsi-fungsi yang mempunyai

limit di c, maka:

1. cx

lim k = k 2. cx

lim x = c

3. cx

lim k f(x)= k cx

lim f(x) 4. cx

lim [f(x)+g(x)] = cx

lim f(x) + limx c

g(x)

5. cx

lim [f(x)-g(x)] = cx

lim f(x) - cx

lim g(x) 5. cx

lim [f(x) g(x)] = cx

lim f(x) cx

lim g(x)

7. cx

lim( )

( )

f x

g x =

)(lim

)(lim

xg

xf

cx

cx , asalkan cx

lim g(x) 0 6. cx

lim [f(x)]n = [cx

lim f(x)]n

9. cx

lim ( )n f x = ncx

xf )(lim , asalkan cx

lim f(x) 0 dimana n genap

Teorema-teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit

Contoh

1. Carilah 3

limx

2x4

Penyelesaian: 3

limx

2x4 = 2 3

limx

x4 = 2 [3

limx

x]4 = 2 (3)4 = 162

2. Carilah 2

x 4

lim (3x 2x )

Penyelesaian: 2

x 4

lim (3x 2x ) = 2

x 4

lim 3x - x 4

lim 2 x = 3[x 4

lim x ]2 - 2 x 4

lim x = 3[4]2 -

2(4) = 40

3. Jika x c

lim f (x ) 4 dan x c

lim g(x ) 8 carilah 2 3

x c

lim [f (x ) g(x ) ] ,

Penyelesaian: 2 3

x c

lim [f (x ) g(x ) ] =2 3

x c x c

[ lim f (x ) lim g(x ) ] =2

3x c x c

[ lim f (x )] lim g(x ) =

24 (2) 32

Teorema

Jika f suatu fungsi polinomial atau fungsi rasional makacx

lim f(x) = f(c) asalkan dalam

kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol.

45

Contoh

1. Hitunglah 2

x 1

lim (3x 4x 5)

Penyelesaian: 2f (x ) (3x 4x 5) , f (1) = 3(1)2 + 4(1) - 5 = 2 jadi

2

x 1

lim (3x 4x 5) 2

2. Hitunglah 863

613107lim

2

45

2 xx

xxx

x

Penyelesaian: f(x) =863

613107

2

45

xx

xxx f(2) =

5 4

2

7(2) 10(2) 13(2) 6

3(2) 6(2) 8= -

1 1

2

Jadi 863

613107lim

2

45

2 xx

xxx

x

= -1 1

2

3. Hitunglah 2

limt

2

2

3 10

6

t t

t t

Penyelesaian:f(t) = 2

2

3 10

6

t t

t t f(2) =

2

2

(2) 3(2) 10

(2) (2) 6=

0

0 (bentuk tak tentu).

Karena di t = 2 nilai penyebutnya nol, maka teorema diatas tidak dapat diterapkan,

adapun cara menyelesaikannya adalah

2

limt 6

103

2

2

tt

tt =

2

limt )3)(2(

)5)(2(

tt

tt =

2

limt )3(

)5(

t

t=

2 5

2 3=

7

5

5. Hitunglah 0

4 4limx

x x

x

Penyelesaian: 4 4

( )x x

f xx

0(0)

0f (bentuk tak tentu)

0

4 4limx

x x

x =

0

4 4 4 4lim

4 4x

x x x x

x x x

= 0

(4 ) (4 )lim

( 4 4 )x

x x

x x x

= 0 0

2 2 2 1lim lim 4

4( 4 4 ) ( 4 4 ) 2 4x x

x

x x x x x

46

4. Hitunglah 3

limx

4

3( )x

Penyelesaian:

f(x) = 4

3( )x f(3) =

4

0 penyebutnya nol sehingga teorema diatas tidak dapat

diterapkan (ini akan dibahas selanjutnya sebagai limit tak hingga)

Limit fungsi trigonometri

Fungsi sinus dan kosinus mempunyai limit pada setiap bilangan real c yaitu limx c

sin x

= sin c dan limx c

cos x = cos c. Fungsi-fungsi f(x) = sec x = 1

cos x, f(x) = csc x =

1

sin x, f(x) = tan x =

sin

cos

x

x dan f(x) = ctg x =

cos

sin

x

x mempunyai limit pada setiap

bilangan real kecuali pada bilangan yang membuat penyebutnya nol. Misalnya f(x) =

sec x = 1

cos x mempunyai limit pada semua bilangan real kecuali pada x =

2 + k

dengan k bilangan bulat.

Rumus:

1. 1sin

lim0 x

x

x

2. 1sin

lim0 x

x

x

3. 1tan

lim0 x

x

x

4. 1tan

lim0 x

x

x

Contoh:

1. hitunglahx

x

x 3

4sinlim

0

2. hitunglahx

x

x 4sin

3sinlim

0

3. hitunglahx

x

x 2sin

5tanlim

0

Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian:

x

x

x 3

4sinlim

0

x

x

x 4sin

3sinlim

0

x

x

x 2sin

5tanlim

0

=3

4

4

4sinlim

0 x

x

x

=4

3

4sin

4

3

3sinlim

0 x

x

x

x

x

=2

5

2sin

2

5

5tanlim

0 x

x

x

x

x

=x

x

x 4

4sinlim

3

4

0

= 3

4 =

3

4 =

2

5

47

Limit Takhingga

Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 3

22

( )x, fungsi f di x = 2 tidak

terdefinisi tetapi bagaimana nilai f untuk x 2 dan x mendekati 2, perhatikan tabel

berikut:

Untuk x mendekati 2 dari fihak lebih dari 2 (dari kanan)

x 3 5/2 7/3 9/4 21/10 201/100 2001/1000

f(x) 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000

Terlihat bahwa nilai f bertambah besar tak terbatas jika x mendekati 2 dari kanan,

ditulis lim( )x x2

2

3

2 = +

Untuk x mendekati 2 dari fihak kurang dari 2 (dari kiri)

x 1 3/2 5/3 7/4 19/20 199/100 1999/1000

f(x) 3 12 27 48 300 30.000 3.000.000

Terlihat bahwa nilai f bertambah besar tak terbatas jika x mendekati 2 dari kiri, tulis

lim( )x x2

2

3

2 = +

dari dua pengertian diatas dikatakan f bertambah besar tak terbatas jika x mendekati

2, ditulis lim( )x x2

2

3

2 = +

Y

y = f(x) y = f(x)

x = 2

Gambar

Definisi

Misalkan f fungsi yang tedefinisi pada selang terbuka I yang memuat c (pada c fungsi

f boleh tidak terdefinisi). bila x mendekati c nilai f(x) bertambah besar tak terbatas

ditulis limx c

f(x)= + jika untuk sembarang bilangan N > 0 terdapat > 0 sedemikian

hingga f(x)>N, bila x memenuhi 0 < |x-c| <

48


f(x)

N

c- c x c+

Gambar

Hal serupa jika g(x) = 3

22

( )x maka nilai g(x) menurun tak terbatas bila x mendekati

2 ditulis lim( )x x2

2

3

2= -

Definisi

Misalkan f fungsi yang tedefinisi pada selang buka I yang memuat c (pada c fungsi f

boleh tidak terdefinisi). Bila x mendekati c nilai f(x) menurun tak terbatas ditulis

limx c

f(x)=- jika untuk sembarang bilangan N < 0 terdapat >0 sedemikian hingga

f(x)<N bila x memenuhi 0< |x - c| < .


Y

c- c xc+ X

y = f(x) y = f(x)

N

f(x)

Gambar

49

Limit satu pihak

Definisi

1. Misalkan f terdefinisi pada selang buka (a,c) limx c

f(x) = + jika untuk sembarang

bilangan N > 0 terdapat > 0 sedemikian hingga f(x) > N bila 0 < c - x < .(gambar

(i))

2. Misalkan f terdefinisi pada selang terbuka (c,d) limx c

f(x) = + jika untuk

sembarang bilangan N > 0 terdapat > 0 sedemikian hingga f(x) > N bila 0 < x - c

< .(gambar (ii))

f(x) f(x)

N N

c- x c c x c+

Gambar (i) Gambar (ii)

Definisi yang serupa untuk limx c

f(x) = - dan limx c

f(x) = -

Contoh

Misalkan h adalah fungsi yang didefinisikan h(x) = 2

1

x

x, maka lim

x 1

2

1

x

x = - dan

limx 1

2

1

x

x = +

Y

2

1 X

Gambar

50

Teorema

Jika r sembarang bilangan bulat positip maka

(a). limx 0

1

xr

= + (b). limx 0

1

xr

= jika

jika

r

r

ganjil

genap

Contoh

limx 0

1

3x

= + dan limx 0

1

4x

= + sedangkan limx 0

1

3x

= - dan limx 0

1

4x

= +

Teorema

Jika c sembarang bilangan real dan jika limx c

g(x) = 0 dan limx c

f(x) = k dimana k

konstanta tak nol maka: (i) jika k>0 dan g(x) 0 dari arah positip maka

limx c

f x

g x

( )

( )= +

(ii) jika k>0 dan g(x) 0 dari arah negatip maka limx c

f x

g x

( )

( )= -

(iii) jika k<0 dan g(x) 0 dari arah positip maka limx c

f x

g x

( )

( )= -

(iv) jika k<0 dan g(x) 0 dari arah negatip maka limx c

f x

g x

( )

( )= +

Teorema ini juga berlaku untuk limit satu sisi

Contoh

1. Tentukan limx 4

2 1

4

x

x

Penyelesaian:

karena limx 4

(2x-1) = 7 > 0 dan limx 4

(x-4) = 0 (dari arah positip) maka limx 4

2 1

4

x

x= +

2. Tentukan limx 4

2 1

4

x

x

Penyelesaian:

karena limx 4

(2x-1) = 7 > 0 dan limx 4

(x-4) = 0 (dari arah negatip) maka limx 4

2 1

4

x

x = -

51

Limit di tak hingga

Pandang fungsi f yang didefinisikan f(x) = 2

1

2

2

x

x

misalkan jika diambil nilai x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 dan seterusnya yaitu nilai

x bertambah besar tak terbatas maka nilai f dapat dilihat dalam tabel berikut:

x 0 1 2 3 4 5 10 100

f(x) 0 1 5/8 18/10 32/17 50/26 200/101 20.000/10.001

Terlihat bahwa jika nilai x bertambah besar tak terbatas maka kita menduga nilai f

akan mendekati 2 ditulis limx

2

1

2

2

x

x = 2

Definisi

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang buka (a,+ ) limit f(x) bila x bertambah

besar tak terbatas adalah L ditulis limx

f(x) = L jika untuk sembarang bilangan >0

(bagai-manapun kecilnya) terdapat bilangan N > 0 sedemikian hingga |f(x) - L| <

apabila x > N.


f(x) L

L- y = f(x)

N x

Gambar

Dengan cara yang serupa untuk f(x) = 2

1

2

2

x

x

misalkan jika diambil nilai x = 0, -1, -2, -3, -4, -5, -10, -100, -1000 dan seterusnya

yaitu nilai x menurun tak terbatas maka nilai f dapat dilihat dalam tabel berikut:

x 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 -100

f(x) 0 1 5/8 18/10 32/17 50/26 100/101 20.000/10.001

52

Terlihat bahwa jika nilai x menurun tak terbatas maka kita menduga nilai f akan

mendekati 2 ditulis limx

2

1

2

2

x

x = 2

Definisi

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang buka (- ,a) limit f(x) bila x menurun

tak terbatas adalah L ditulis limx

f(x) = L jika untuk sembarang bilangan > 0

(bagaimanapun kecilnya) terdapat bilangan N < 0 sedemikian hingga |f(x) - L| <

apabila x < N.


L f(x)

L-

x N X

Gambar

Teorema

Jika r sembarang bilangan bulat positip, maka

(i) limx

1

xr

= 0 (ii) limx

1

xr

= 0

Contoh

1. Tentukan limx

4 3

2 5

x

x

Penyelesaian: limx

4 3

2 5

x

x= lim

x

3

5

4

2

x

x

=

3

5

lim (4 )

lim (2 )

xx

xx

=

3

5

lim 4 lim ( )

lim 2 lim ( )

xx x

xx x

=

4 0

2 0 = 2

2. Tentukan limx

23

3 4

x x

x

53

Penyelesaian: limx

23

3 4

x x

x= lim

x

2

3

3 2

1x

x x

=

2

3

3 4

lim (1 )

lim ( )

xx

x xx

=

3

3 4

lim 1 lim ( )

lim ( ) lim ( )

xx x

x xx x

=

3. Tentukan limx 3 2

5 1

2 5

x

x x x

Penyelesaian: limx 3 2

5 1

2 5

x

x x x

= limx

2 3

2

5 1

5 12

x x

x x

= 0

4. Tentukan 2 2

lim ( 2 1)x

x x

Penyelesaian: 2 2

lim ( 2 1)x

x x =

2 22 2

2 2

2 1lim ( 2 1)

2 1x

x xx x

x x

=

2 2

2 2 2 2

( 2) ( 1) 1lim lim

2 1 2 1x x

x x

x x x x

=

2 2

1

2 1lim 0

1 1

x

x

x x

Catatan: Pembahasan limit pada x menuju tak hingga dapat diperluas untuk

limx

f(x) = + , limx

f(x) = - , limx

f(x) = + dan limx

f(x) = -

54


5. LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

I. PENDAHULUAN

Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan

pelajaran-pelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan

bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika

dipelajari metode-metode dan prinsip-prinsip yang dapat dipakai untuk

membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect),

sehingga dapat membantu menyatakan ide-ide tepat dan tidak mempunyai

arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan

kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari

sebuah pernyataan atau lebih.

II. PERNYATAAN

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran

benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat

tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.

III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK

Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan

pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan

pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah

pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya,

sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang

diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah

kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap

pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponen-komponen

pernyataan majemuk. Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu

tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan

55

majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan

pernyataan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

Untuk menggabungkan pernyataan-pernyataan tunggal menjadi

pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang

disebut operasi-operasi logika matematika.

Contoh:

1. Jakarta adalah ibukota negara RI

2. Merah putih adalah bendera negara RI

3. 2 adalah bilangan prima yang genap

4. Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap

Soal:

Buatlah contoh pernyataan tunggal dan majemuk, kemudian tentukan nilai

kebenarannya!

OPERASI LOGIKA

Adapun operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk

adalah

1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol “ ~ “

2. Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol “ “

3. Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol “ “

4. Implikasi, dengan kata perangkai Jika ……, maka …….., simbol “ “

5. Biimplikasi, dengan kata perangkai …….jika dan hanya jika ……., simbol “

“

Contoh pernyataan majemuk:

1. Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih

2. Ani dan Ana anak kembar

3. Cuaca hari ini mendung atau cerah

4. Jika x = 0 maka x x2

5. Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga

sudutnya sama

56

V. TABEL KEBENARAN

1. Operasi Negasi

Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya

pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan “ ~ “

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka ~p adalah pernyataan majemuk.

Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi

dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar.

Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang

berlawanan

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

p ~ p

B S

S B

Contoh:

p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

~ p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2. Operasi Konjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara

menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai

dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan “ “

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya

bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai

salah


57

p q p q

B B B

B S S

S B S

S S S

3. Operasi Disjungsi



atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan “ “

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu

komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai

benar

jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-

duanya.


Disjungsi Inklusif: Disjungsi Eksklusif:

p q p q p q p q

B B B B B S

B S B B S B

S B B S B B

S S S S S S

58

4. Operasi Implikasi



Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan “

“

Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar

dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai

benar.


p q p q

B B B

B S S

S B B

S S B

5. Operasi Bi-implikasi



…… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi

dilambangkan dengan “ “

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-

koponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-

koponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai

salah.


p q p q

B B B

B S S

S B S

S S B

59

VI. BENTUK-BENTUK PERNYATAAN

Bentuk-bentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam:

1. Kontradiksi

2. Tautologi

3. Kontingensi

Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh

substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam

segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal,

tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi

maupun kontradiksi.

Contoh:

Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau

kontingensi!

( ~p q ) v ( q p )

p q ~ p ~ p q q p ( ~p q ) v ( q p )

B B S S B B

B S S S B B

S B B B S B

S S B S B B

60

Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas

suatu tautologi

Soal:

Selidiki apakah pernyataan-pernyataan di bawah ini suatu tautologi,

kontradiksi atau kontingensi!

1. ( p q ) p

2. ( p q ) [ ( ~ q r ) ( r p ) ] 3. ( p v q ) ( ~ p q )

VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS

Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut

implikasi logis.

Contoh:

p q p q ( p q ) p [ ( p q ) p ] p

B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran

sama disebut ekwivalen logis dengan notasi “ “ atau “ “

Contoh:

p q p q p q q p ( p q ) ( q p )

B B B B B B

B S S S B S

S B S B S S

S S B B B B

61

Karena p q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ( p q ) ( q p

), maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis.

Jadi, p q ( p q ) ( q p )

Soal:

Selidiki apakah pernyataan di bawah ini apakah implikasi logis atau ekwivalen

logis!

1. [( p q ) v r ] [( p ~ q ) v r]

2. [ ~ ( p q )] ( p q )

VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI

Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut

konvers

Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ p ~ q disebut

invers

Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi ~ q ~ p disebut

kontraposisi

Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb:

konvers

p q q p

invers kontraposisi invers

~p ~q ~q ~p

konvers

62

Contoh:

Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

“ Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah “

Konvers : Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh

besar

Invers : Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan

gajah

Kontraposisi: Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh

besar

Soal:

Buatlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:

1. Jika dua buah garis saling tegak lurus maka kedua garis itu membentuk

sudut siku-siku

2. Jika x = 3 maka x2

= 9

IX. PENGERTIAN KUANTOR

Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada

suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu

kalimat tertutup atau pernyataan.

Kuantor dibedakan atas:

1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “ ”

2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “ “

Contoh:

Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5

63

Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 (

S )

atau x, x + 3 > 5 ( B )

Jika x bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-

pernyataan di bawah ini!

1. ( x) ( y ) ( x + 2y = 7 )

2. ( x) ( y) (x + 2y = x)

3. ( x) ( y) ( x > y )

4. ( x) ( y) ( x.y = 1 )

X. PERNYATAAN BERKUANTOR

Contoh pernyataan berkuantor:

1. Semua manusia fana

2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa

3. Ada bunga mawar yang berwarna merah

4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter

Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat

fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua

manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana

F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x) F(x)

Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!

1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )

2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )

3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )

4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )

XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari

pernyataan berkuantor tersebut.

64

Contoh:

Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “

adalah

“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “

Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi:

x, M(x) T x( ) , negasinya x, M(x) T(x)

Soal:

Buatlah negasi dari pernyataan-pernyataan berkuantor pada soal

sebelumnya!

XII. ARGUMEN

Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk

dimana pernyataan-pernyataan sebelumnya disebut premis-premis dan

pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen.

Contoh:

1. p q

2. p / q

1. ( p q ) ( r s )

2. ~ q v ~ s / ~ p v ~ r

1. p

2. q / p q

65

XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN

Bukti keabsahan argumen dapat melalui:

1. Tabel Kebenaran

2. Aturan Penyimpulan

Untuk argumen sederhana atau argumen yang premis-premisnya hanya

sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran,

namun untuk argumen yang premis-premisnya kompleks harus menggunakan

aturan-aturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan.

Contoh:

Buktikan keabsahan argumen

1. 1. p q

2. ~ q / ~p

2. 1. a b

2. c d

3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

Bukti:

Soal no. 1 menggunakan tabel kebenaran

p q ~p ~q p q [( p q) ~q] [(p q) ~q] ~p

B B S S B S B

B S S B S S B

S B B S B S B

S S B B B B B

66

Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen

sah

Soal no. 2 menggunakan aturan penyimpulan

1. a b

2. c d

3. ( ~b v ~d ) ( ~a v ~b )/ ~a v ~c

4. ( a b ) ( c d ) 1,2 Conj

5. ( ~b v ~d ) 3, Simpl

6. ~ a v ~c 4,5 DD

Soal:

Buktikan keabsahan argumen:

1. e ( f ~g)

2. ( f v g ) h

3. e / h

XIV. ATURAN PENYIMPULAN

1. Modus Ponens (MP) p q

p / q

2. Modus Tolens (MT) p q

~q / ~p

67

3. Hypothetical Syllogisme (HS) p q

q r / p r

4. Disjunctive Syllogisme (DS) p v q

~ p / q

5. Constructive Dillema (CD)

( p q ) ( r s )

p v r / q v s

6. Destructive Dillema (DD)

( p q ) ( r s )

~ q v ~ s / ~p v ~r

7. Conjunction (Conj)

p

q / p q

8. Simplification (Simpl)

p q

p

9. Addition ( Add) p

p v q

68

XV. ATURAN PENGGANTIAN

1. De Morgan

a. ~ ( p q ) ~ p V ~ q

b. ~ ( p V q ) ~ p ~ q

2. Komutatif

a. ( p q ) ( q p )

b. ( p V q ) ( q V p )

3. Asosiatif

a. ( p V q ) V r p V ( q V r )

b. ( p q ) r p ( q r )

4. Distributif

a. ( p V q ) r ( p r ) V ( q r )

b. ( p q ) V r ( p V r ) ( q V r )

5. Dobel Negasi

~ ( ~ p ) p

6. Implikasi

p q ~ p V q

7. Material Equivalen

a. p q ( p q ) ( q p )

b. p q ( p q ) V ( ~ p ~ q )

8. Eksportasi

p ( q r ) ( p q ) r

9. Transposisi

p q ~ q ~ p

10. Tautologi

a. ( p v p ) p

b. ( p p ) p

69

Contoh:

Selidiki keabsahan argumen di bawah ini!

1. a ( b c )

2. c ( d e ) / a ( b d )

3. ( a b ) c 1, Eksportasi

4. ( a b ) ( d e ) 3,4, Hypothetical Syllogisme

5. ~ ( a b ) V ( d e ) 4, Implikasi

6. ( ~ a V ~ b ) V ( d e ) 5, De Morgan

7. [(~ a V ~ b ) V d ] [(~ a V ~ b ) V e ] 6, Distribusi

8. (~ a V ~ b ) V d 7, Simplifikasi

9. ~ a V ( ~ b V d ) 8, Asosiasi

10. a ( b d ) 9, Implikasi

Soal:

Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

1. ( k V l ) ~ ( m n )

2. ( ~ m V ~ n ) ( o p )

3. ( o p ) ( q r ) / ( l V k ) ( r q )

XVI. HUBUNGAN ANTARA LOGIKA DAN HIMPUNAN

1. Semua bilangan bulat adalah bilangan real ( B(x); R(x) )

x, B(x) R(x)

B(x)

R(x)

70

2. Ada bilangan prima yang genap ( P(x); G(x) )

x, P(x) G(x) 2

P(x) G(x)

3. Tidak ada bilangan ganjil yang genap ( J(x); G(x) )

Ekuivalen dengan: Semua bilangan ganjil bukan bilangan genap

x, J(x) ~ G(x) J(x) ~ G(x)

LEMBAR KERJA

1. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini tautologi, kontradiksi atau

kontingensi

a. ( p v q ) ( ~ p r )

b. [( p q ) ( q p )] ( p q )

c. ( p q ) ( p ~q )

2. Selidiki apakah pernyataan di bawah ini implikasi logis, ekwivalen logis

atau tidak kedua-duanya

a. [( p q ) r] [( p ~q ) v r]

b. [( p q ) r] ( p v q )

c. [p ( q r )] [( p q ) r]

3. Buktikan keabsahan argumen di bawah ini!

1. j k

2. j v ( k v ~l )

3. ~ k / ~l v ~k

71

4. Ubahlah kalimat di bawah ini ke dalam notasi logika!

a. Tidak semua bunga mawar berwarna merah (B(x), M(x))

b. Semua mahasiswa baru harus mendaftar ulang (M(x), U(x))

c. Ada bilangan prima yang genap (P(x), G(x))

d. Beberapa tamu yang datang pejabat negara (T(x), P(x))

e. Tidak semua penumpang memiliki karcis (P(x), K(x))

SELAMAT BEKERJA

72


6. PELUANG

PELUANG

Dari angka-angka 0, 1, 2, dan 3 akan dibentuk bilangan yang terdiri dari 4 angka

yang berbeda (tidak ada pengulangan angka), caranya sebagai berikut:

Kotak I : Untuk angka ribuan. Karena angka 0 tidak dapat menempati kotak I,

maka tinggal 3 angka yang tersedia untuk dipilih menempati kotak I.

jadi, ada 3 kemungkinan.

Kotak II : Untuk angka ratusan. Karena 1 angka telah menempati kotak I dan

angka 0 dapat menempati kotak II, maka ada 3 angka yang tersedia

untuk dipilih menempati kotak II. Jadi, ada 3 kemungkinan.

Kotak II : Untuk angka puluhan. Karena 2 angka telah menempati kotak I, dan II,

maka tinggal 2 angka yang tersedia untuk dipilih menempati kotak III.

Jadi, ada 2 kemungkinan.

Kotak III : Untuk angka satuan. Karena 3 angka telah menempati kotak I, II, dan

III, maka tinggal 1 angka yang tersedia untuk dipilih menempati kotak

IV. Jadi, ada 1 kemungkinan.

I II III IV

3

I

3

I

3

II

3

I

3

II

2

III

3

I

3

II

2

III

1

IV

73

Jadi, banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda yang dapat dibentuk dari

angka-angka 0, 1, 2, dan 3 adalah: 3 x 3 x 2 x 1 = 18 bilangan.

Permutasi

Banyaknya permutasi dari r unsur yang dipilih dari n unsur dengan 0 r n adalah

!,

!

n

n r r

nP P P n r

n r

Contoh 1 : Pada pemilihan pengurus kelas di kelas anda, ditentukan seorang

sebagai ketua, seorang sebagai bendahara, dan seorang lagi sebagai

sekretaris. Jika ada 7 orang calon, tentukanlah banyaknya cara untuk

menyusun pangurus kelas !

Jawab : banyaknya cara adalah 7 !

7, 37 3 !

P

7 6 5 4 3 2 1

4 3 2 1

7 6 5

210 cara

Contoh 2 : Berapa banyaknya kendaraan bermotor yang dapat diberikan nomor

polisi yang menggunakan angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 tanpa ada angka

kembar dimana tiap nomor terdiri dari 4 angka.

Jawab : diket : n = 6, r = 4

dit : 6, 4P

penyelesaian: 6 ! 6 !

6 5 4 3 3606 4 ! 2 !

Permutasi dengan beberapa unsur yang sama

Misalkan terdapat n unsur, dengan 1 2, , ...,

kn n n unsur yang sama, maka banyaknya

permutasi n unsur tersebut adalah:

1 2

!

! !... !k

n

n n n

74

Contoh : Berapa banyaknya permutasi dari huruf-huruf pada kata

“MATEMATIKA” dapat disusun pada satu baris?

Jawab : Banyaknya huruf (unsur) : n = 10

Huruf yang sama: M = 2, A = 3, T = 2

Banyaknya permutasi yang mungkin adalah

10 ! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1512002 !3!2 ! 2 1 3 2 1 2 1

Permutasi Siklis

Permutasi siklis terjadi, bila penyusunan unsur-unsur dilakukan melingkar menurut

satu arah tertentu.

Contoh : 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja yang berbentuk lingkaran. Hitung

berapa banyak formasi duduk yang berbeda yang dapat disusun!

Jawab : Pada permutasi siklis tidak ada posisi 1, karena posisi 1 dapat menggunakan keempat tempat duduk yang tersedia. Tiga posisi sisanya dapat ditempati oleh 3 orang sisanya dengan 3! cara. Jadi, banyaknya formasi duduk yang berbeda dapat disusun adalah 3! cara = (4-1)! cara.

Secara umum dapat disimpulkan bahwa, dari n unsur yang tersedia dapat dibentuk permutasi siklis sebanyak (n-1)!

Peluang Suatu Kejadian

Andaikan dari suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dengan kesempatan

yang sama untuk muncul dan terdapat k hasil yang merupakan kejadian X, maka

peluang kejadian X ditulis P(X) adalah k/n.

Contohnya : Dalam sebuah kotak terdapat 3 kelereng warna biru, 5 kelereng warna

hijau, dan 2 kelereng warna merah. Jika sekaligus diambil 2 kelereng

berapakah peluang:

a. Yang terambil dua-duanya merah!

b. Yang terambil dua-duanya hijau!

c. Yang terambil satu biru dan satu hijau!

Jawab:

a. S = {B1, B2, B1, B3, B2, B3, …, M1, M2} → n = C(10,2) = 45

75

Kejadian X = M1, M2 → k = 1

Jadi, P(X) = 1

45

b. S = { B1, B2, B1, B3, B3, H1, …, M1, M2} → n = C(10,2) = 45

Kejadian X = H1, H2, …, H4, H5 → k = C(5,2) = 10

Jadi, P(X) = 10

45 =

2

9

c. S = {B1, B2, B1, B3, B2, B3, …, M1, M2,} → n = C(10,2) = 45

Kejadian X = B1, H1, B1, H2, …, B3, H5 →

K = C(3,1) . C(5,1) = 3 . 5 = 15

Jadi, P(X) = 15 1

45 3

Kejadian Majemuk

a. Dua kejadian yang saling lepas

Dua kejadian (misal: kejadian A dan kejadian B) dikatakan saling lepas, bila irisan

dari ke-2 kejadian itu adalah himpunan kosong.

Dari gambar di atas banyaknya unsur gabungan ke-2 himpunan adalah,

n A B n A n B . Himpunan A dan B saling lepas.

A B

Peluang untuk 2 kejadian yang saling lepas adalah:

P A B P A P B

a1 •

• a2

a3 •

b1 •

• b2

b3 •

• b4

A B

76

b. Bila kejadiannya tidak saling lepas, A B (lihat diagram berikut).

S = ruang sampel dari percobaan memilih bilangan dari {1, 2, 3, 4, …, 11, 12}

A = kejadian mendapat bilangan prima

B = kejadian mendapat bilangan yang lebih dari atau sama dengan 5.

N (S) = 12

N (A) = 5

N (B) = 8

N A B = 3

5

12P A

8

12P B

3

12P A B

P A B P A P B P A B

A B

2 •

S

3 •

• 5

• 7

• 11

• 6 • 8

• 9

• 10 • 12

• 1

• 4

5 8 3 10n A B → 10

12p A B

77


7. VEKTOR

VEKTOR

Pengertian Vektor

Besaran Vektor dapat disajikan dengan menggunakan suatu bilangan real, kemudian diikuti dengan sistem suatu yang sesuai. Secara geometri, besaran vektor dapat disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis menyatakan panjang atau besar vaktor, sedangkan arah anak panah menunjukan arah vaktor.

Kesamaan Vektor

Dua vektor a dan b dikatakan sama (ekuivalent), jika dan hanya jika kedua vektor itu

mempunyai panjang dan arah yang sama. Dua vektor yang sama, ditulis a = b

(perhatikan gambar a). Sebagai contoh, perhatikan kubus ABCD.EFGH pada

gambar b. Misalnya AH

wakil dari vektor a dan BG

wakil dari vektor b, maka a = b

(a sama dengan atau ekivalen b) sebab AH

dan BG

mempunyai arah dan panjang

yang sama.

Penjumlahan Vektor

Misalkan jumlah dari vektor u dengan v adalah w, maka penjumlahan vektor u

dengan vektor v itu dituliskan sebagai w = u + v. Vektor w disebut vektor resultan

dari vektor u dengan vektor v. Secara geometri, vektor w = u + v dapat ditentukan

dengan dua cara, yaitu aturan segitiga dan aturan jajargenjang.

1. Aturan Segitiga

Definisi:

Jumlah vektor u dengan vektor v atau w = u + v dapat ditentukan dengan cara

memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal

vektor v berimpit dengan titik ujung dari vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud

diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung atau titik

a

b

A

E

D

F

G H

C

B (a) (b)A

78

terminal vektor v yang telah dipindahkan tadi. (lihat gambar di bawah ini).

Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan segitiga.

2. Aturan Jajargenjang

Cara lain untuk menentukan jumlah vektor u dan vektor v adalah dengan

memindahkan vektor v (tanpa mengubah besar dan arahnya), sehingga titik pangkal

vektor v berimpit dengan titk pangkal vektor u. Vektor w = u + v yang dimaksud

adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor u dan v serta

vektor itu berimpit dengan diagonal jajargenjang yang dibentuk oleh vektor u dan

vektor v tadi. Menjumlahkan vektor dengan cara seperti ini dikenal sebagai aturan

jajargenjang (paralelogram).

Sifat-Sifat Penjumlahan Vektor

a. Komutatif : u + v = v + u

b. Asosiatif : (u + v) + w = u + (v + w)

c. Terdapat unsur identitas atau unsur satuan (yaitu vektor 0) sehingga berlaku

hubungan : 0 + v = v + 0 = v

d. Setiap vektor mempunyai sebuah unsur invers tambah. Jika vektor -v merupakan

invers tambah dari vektor v, maka berlaku hubungan v + (-v) = 0.

Pengurangan Vektor

Definisi:

Jika u dan v sebarang dua vektor, pengurangan v dari u didefinisikan oleh

u - v = u + (-v)

Perkalian Vektor dengan Skalar

Definisi:

Jika v adalah vektor taknol dan k bilangan real taknol (skalar), maka hasil kali kv

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya sama

seperti arah v jika k > 0. dan berlawanan arah v jika k < 0.

Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0.

79

Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalar

a. ||m v|| = |m| ||v|| b. m (-v) = -m v c. m v = v m d. (m +n) v = m v + n v e. m(u + v) = m u + m v

Panjang Vektor

Misalkan R adalah sebuah titik pada bidang dengan koordinat (x, y) dan r, maka r

dapat disajikan dalam bentuk vektor kolom sebagai r = x

y. Panjang atau besar dari

ruas garis berarah OR

dilambangkan dengan

Dari gambar di samping, didapat hubungan:

OR2 = OA2 + OB2

OR2 = x2 + y2

OR = 2 2

x y

Dengan demikian, panjang OR

adalah:

||OR|| = 2 2

x + y

Jadi, besar atau panjang vektor r = x

y dapat ditentukan dengan rumus:

||r|| = 2 2

x y

Misalkan titik R mempunyai koordinat (x, y, z) dan OR

mewakili vektor r, maka

vektor r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom sebagai r =

x

y

z

.

Panjang atau besar ruas garis berarah OR

ditulis sebagai || OR

|| atau OR.

Berdasarkan gambar di samping

diperoleh hubungan:

OR2 = OD2 + DR2 ...................... (1)

Sedangkan OD2 = OA2 + OB2

OD2 = x2 + y2

dan DR2 = z2

Substitusi OD2 dan DR2 ke persamaan

(1) diperoleh

OR2 = x2 + y2 + z2

Dengan demikian

X x

y r

R(x,y)

80

|| OR

|| = OR = 2 2 2

x y z

Jadi, besar atau panjang vektor r =

x

y

z

dapat ditentukan dengan rumus

||r|| = 2 2 2

x + y + z

Contoh:

Diketahui vektor-vektor a =

1

2

-2

, b =

3

-2

1

dan c =

2

5

4

. Hitunglah||2a - b + c||

Jawab:

2a – b + c = 2

1

2

-2

-

3

-2

1

+

2

5

4

=

1

11

-1

||2a - b + c|| = 2 2 2

(1) + (11) + (-1) =

123 . Jadi, panjang vektor a + b + c adalah ||2a - b + c|| = 123 satuan panjang

Rumus Jarak

Misalkan dua titik di R-3, yaitu titik P dengan koordinat (x1,y1,z1) dan titik Q dengan

koordinat (x2,y2,z2). Ruas garis berarah PQ

mewakili suatu vektor dengan

komponen-komponen (x2 – x1), (y2 – y1), dan (z2 – z1). Oleh karena itu, panjang ruas

garis berarah PQ

dapat ditentukan dengan rumus berikut.

||PQ

|| = 2 2 2

2 1 2 1 2 1(x - x ) + (y - y ) + (z - z )

B

A

C

R

O

X D

Y

r

Z

81

Vektor Satuan

Dalam bentuk vektor kolom, vektor-vektor satuan di R-2 dapat dinyatakan sebagai

berikut.

i = 1

0 dan j =

0

1

Untuk satuan vektor a yang bukan vektor nol, kita dapat menentukan vektor satuan

dari vektor a. Vektor satuan dari a (dilambangkan dengan e , dibaca: e topi) searah

dengan vektor a dan panjangnya sama dengan satu satuan.

Jika, vektor a = x

y, maka vektor satuan dari a ditentukan dengan rumus:

e = a

a =

2 2

x1

yx y

Dengan sifat yang sama untuk vektor-vektor di R-3, vektor satuan dari vektor a(x,y,z)

ditentukan dengan rumus:

e = a

a =

2 2 2

x1

y

x y zz

Rumus Pembagian Ruang Garis di R-3 (Bentuk Vektor dan Bentuk Koordinat)

Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan Bagian

Misalkan titik C terletak pada ruas garis AB, sehingga titik C membagi ruas garis AB

dengan perbandingan m : n, maka AC : CB = m : n atau AC : AB = m : (m + n) (lihat

gambar di bawah ini)

• • • A B C n m

82

Tanda-tanda (positif atau negatifnya) m dan n ditentukan dengan kesepakatan

sebagai berikut.

(1) Jika C terletak di dalam ruas garis AB sehingga AC dan CB searah, maka, m

dan n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau keduanya negatif). (2) Jika C terletak di luar ruas garis AB tetapi pada perpanjangan ruas garis AB,

maka AC dan CB berlawanan arah. Dalam hal demikian, m dan n berlawanan

tanda (m positif dan n negatif atau m negatif dan n positif).

Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Vektor

Vektor posisi titik A dan B berturut-turut adalah a dan b. Titik C pada ruas garis AB

dengan perbandingan m : n atau AC : CB = m : n. Jika vektor posisi titik C adalah c,

maka vektor c ditentukan dengan rumus

c = m n

m n

b a

Rumus ini juga berlaku untuk titik C yang terletak pada perpanjangan garis AB.

Contoh:

Vektor posisi titik A dan titik B berturut-turut adalah a dan b. Pada ruas garis AB,

tandailah titik C sehingga AC : CB = 1 : 3, tentukan vektor posisi titik C,

Jawab :

Misalkan vektor posisi titik C adalah c, maka c = 1 3 1

31 3 4

b ab a

Rumus Pembagian Ruas Garis dalam Bentuk Koordinat.

Diketahui koordinat titik A(1 1 1

x , y , z ), B(2 2 2

x , y , z ), dan C(x,y,z),

Jika titik C membagi ruas garis AB

dengan perbandingan m : n atau AC :

CB = m : n, maka vektor posisi titik C

dapat ditentukan dengan rumus

pembagian ruas garis di R-3 dalam

bentuk vektor sebagai

c = m n

m n

b a

Berdasarkan kesamaan vektor yang terakhir ini diperoleh hubungan berikut.

C(x,y,z) m

B(x2,y2,z2)

c

b n

A(x1,y1,z1) O a

83

2 1 2 1 2 1m x nx m y ny m z nz

x ; y ; zm n m n m n

Persamaan di atas adalah rumus pembagian ruas garis di R-3 yang dinyatakan

dalam bentuk koordinat.

Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b dilambangkan dengan dan

didefinisikan:||a b|| = ||a|| ||b|| cos , dengan ||a|| dan ||b|| masing-masing

menyatakan panjang vektor a dan b, sedangkan menyatakan sudut lancip yang

dibentuk oleh vektor a dan b

Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom

Misalkan a = 1

1

x

y dan b =

2

2

x

y merupakan vektor-vektor di R-2 yang di nyatakan

daalam bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan b ditentukan

a b = 1

1

x

y

2

2

x

y = x1x2 + y1y2

perhatikan bahwa nilai atau hasil perkalian skalar vektor a dan b adalah jumlah

perkalian komponen yang seletak pada vektor a dan b.

Misalkan a =

1

1

1

x

y

z

dan b =

2

2

2

x

y

z

adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam

bentuk vektor kolom. Perkalian skalar antara vektor a dan vektor b ditentukan oleh

rumus:

a•b =

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

x x

y y x x y y z z

z z

Teorema Ortogonalitas

Dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) jika dan

hanya jika perkalian skalar kedua vektor itu sama dengan nol.

84

Jadi, vektor a dan b (||a|| 0 dan ||b|| 0) dikatakan saling tegak lurus (ortogonal)

jika dan hanya jika a b = 0

Sifat-Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

1. Sifat Komulatif a • b dan b • a 2. Sifat Distributif a•(b + c) = a•b + a•c

Sudut Antara Dua Vektor

Misalkan a =

1

1

1

x

y

z

dan b =

2

2

2

x

y

z

adalah vektor-vektor di R-3 yang dinyatakan dalam

bentuk vektor kolom. Jika sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b adalah , maka

besarnya cos dapat ditentukan dengan rumus berikut

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

x x y y z zcos

x y z x y z

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor Pada Vektor Lain

Dalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian proyeksi ortogonal dari

suatu ruas garis pada ruas garis yang lain. Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA

pada ruas garis OE adalah ruas garis OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC =

OA cos . Pegertian proyeksi ortogonal pada geometri bidang ini dapat dipakai

sebagai landasan untuk memahami pengertian proyeksi orrtogonal suatu vektor lain.

Pada Gambar 1-19b, ruas-ruas garis berarah O A

dan O B

mewakili vektor-vektor a

dan b, sedangkan menyatakan sudut antara vektor a dan vektor b. Proyeksi dari

titik A pada ruas garis berarah O B

adalah titik C, sehingga

O C O A cos a cos

Besaran OC = ||a|| cos dinamakan proyeksi skalar ortogonal (biasanya disingkat

proyeksi skalar saja) vektor a pada arah b.

Nilai proyeksi skalar ortogonal OC = ||a|| cos bisa positif, nol, atau negatif,

tergantung dari besar sudut .

(1) Untuk 00 < 900, OC bernilai (2) positif

(3) Untuk = 900, OC bernilai nol

(4) Untuk 900 < 1800, OC bernilai negatif

A

0 C B

A

0 C B

a

c b

(a)(b)

85

A

0 C B

(a)

a

b

a

b

B0

A

(b)

a

b

B0C

A

(c)

Perhatikan bahwa ruas garis berarah O C

mewakili vektor c, sehingga vektor c

merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini dinamakan proyeksi

vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi vektor saja). Dengan

menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya dapat ditentukan bahwa :

(1) Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l, dengan

||c|| dirumuskan oleh : a b

cb

(2) Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c dirumuskan

oleh : 2

a bc b

b

Proyeksi vektor b pada arah vektor a dapat ditentukan dengan menggunakan

analisis yang sama. Misalkan proyeksi vektor b pada arah vektor a adalah vektor d

(perhatikan Gambar), maka dapat disimpulkan bahwa

(1) Proyeksi skalar ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah

||d|| = a b

a

(2) Proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor a adalah

2

a bd a

a

D

0 b B

d

a

A

86

LATIHAN

1. Diketahui titk A(2,1,3), B(-3,2, 5) dan C(4,-1,2). Ruas garis berarah AB

mewakili vektor u

dan ruas garis berarahBC

mewakili vektor v. Hitunglah perkalian skalar antara vektor u

dan vektor v.

2. Misalkan koordinat titik P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan

perbandingan 1 : 4. Carilah koordinat titik R.

4. Misalkan vektor a dan b membentuk sudut 600. Jika ||a|| = 4 dan ||b|| = 5, hitunglah b•(a

+ b)

5. Diketahui vektor-vektor a =

2

1

2

, b =

3

2

1

, dan c =

1

p

0

Hitunglah nilai p, jika a•(b - c) = a•a dan tentukan besar sudut antara vektor a dan b

6. Diketahui titik-titik K (3,3,3), L(1,2,-1), M(4,1,1), dan N(6,2,5). Tunjukkan bahwa bangun

KLMN berbentuk jajargenjang

kumpulan modul matematika angkatan 2008 · pdf filebahan pelatihan ini mencakup materi yang...

Documents