ANALISA STRUKTUR II

DINAMIKAJURUSAN TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS BRAWIJAYA2011

ANALISA BEBAN GEMPA PADA BANGUNANAnalisis respon gempa pada bangunan:Analisis statik ekivalenBeban gempa dimodelkan sebagai beban terpusat pada masing-masing tingkat/lantai struktur gedung, dimana beban bekerja secara statis.Hanya meninjau respon maksimum gempa.Digunakan untuk sistem struktur sederhanaAnalisis dinamisDidasarkan pada teori mekanika vibrasi yang memperhitungkan faktor simpangan, kecepatan dan percepatan massa bangunan sebagai fungsi waktu.Keseimbangan gaya elastis, gaya inersia dan gaya redaman berubah dari waktu ke waktu STATIS VS. DINAMIS

STATISDINAMISMODEL BANDUL SEDERHANA

Model StrukturModel SDOFModel MatematisDigunakan untuk memodelkan getaran pada struktur sederhana dan bangunan tidak bertingkat.

Pegas ParalelPegas SeriSusunan pegasGerakan HarmonisBentuk kurva gerak harmonis

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGANGaya yang bekerja dan berada pada keseimbangan dinamis yaitu:k = kekakuan pegasx = perpindahan Gaya pegas akibat deformasi (P)Gaya inersia akibat perubahan kecepatan (F)

m = massaa = percepatan

(1)(2)(3)SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL GERAK

Solusi Umum:

= frekuensi natural (radian/detik)t = waktu (detik)

(4)(5)(6)

Mencari besarnya frekuensi natural ()

Substitusikan ke pers. (3)(7)Mencari besarnya konstanta A dan B

Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu:

: Perpindahan:Kecepatan:(8)(9)

Maka:

(10)(11)KEKAKUAN KOLOMKolom bermassa seragam dengan kedua ujung terjepit /tak berotasi, kekakuan pegasnya adalah:

Kolom bermassa seragam dengan satu ujung terjepit dan ujung lain berengsel/bebas, kekakuan pegasnya adalah:

(12)(13)(14)(15)

Kekakuan lateral balok jepit jepit atau portal balok kaku

DeformasilenturDeformasigeser

CONTOH KASUSContoh 1

Kekakuan balok:Jawab

Kekakuan balok dan pegas:

Frekuensi natural:

Tentukan besarnya frekuensi natural struktur pada gambar di samping.Contoh 2JawabPersamaan gerak:Frekuensi natural:Tentukan persamaan-persamaan gerak (perpindahan, kecepatan dan percepatan) struktur pada gambar contoh 1.Gunakan syarat awal getaran pada t=0, perpindahan (x) = 0 dan kecepatan (dx/dt) = 5 cm/detik.

Kecepatan awal (V) = 5 cm/dtkContoh 3

Data yang diketahui:E = 30.106 psiI = 82,5 in4W = 200 x 25 = 5000 lbg = 386 ft/dt2Tentukan persamaan kesetimbangan struktur pada gambar diatas.Tentukan besarnya frekuensi natural struktur tersebutJawab

(Model matematis)(Freebody Diagram)Persamaan kesetimbangan:

Frekuensi natural:

Contoh 4Jika berat W mempunyai perpindahan awal x0 = 1 inci dan kecepatan awal V0 = 20 inci/detik, tentukan perpindahan dan kecepatan pada 1 detik kemudian.Kekakuan balok:

JawabKekakuan pegas:

Kekakuan total:

Frekuensi natural:

x0 = 1 inchi dan V0 = 20 in/dtk

REDAMANRedaman adalah jumlah energi yang terhambur atau lenyap ketika terjadi satu siklus gerak bolak balikRedaman timbul karena ada gesekan internal dalam bahan ketika mengalami gerakan.Redaman bisa juga berasal dari bantalan eksternal yang sengaja dipasang seperti pada rel kereta apiRedaman internal dapat berasal dari gesekan mikro bahan, dapat pula dari gesekan dalam sambungan tidak rigid.Model redaman yang paling sering dipakai adalah model dashpot.Selain model dashpot, dapat juga dipakai model Coulomb, yaitu redaman yang berasal dari friksi dan berbanding lurus dengan simpangan dan arah gerakan

MODEL REDAMAN DASHPOTModel redaman dashpot menghasilkan penurunan simpangan mengikuti fungsi eksponen

MODEL REDAMAN COULOUMBStruktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus respon getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar

Dalam praktek, redaman ini biasanya terjadi akibat hilangnya sambungan, gesekan antar komponen dan redaman dari material yang semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi nonlinier.

Model persamaan kesetimbangan:(39)(40)MODEL BANDUL DENGAN REDAMANRedaman digunakan untuk menghentikan getaran bebas dari suatu struktur.Gaya redaman berbanding linier terhadap konstanta dashpot (c) dan kecepatan gerak (V)

PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGANPersamaan kesetimbangan dapat ditulis:

Solusi persamaan difensial:

(16)(17)(18)(19)Substitusi pers. (17, 18, 19) ke dalam pers. (16)

Solusi nontrivial:Akar-akar dari persamaan tsb. adalah:(20)(21)

Karena ada 2 nilai p, maka solusi persamaan differensial menjadi:

Nilai p bisa bersifat riil atau imaginer, tergantung dari faktor dibawah akar apakah positif atau negatif.p riil persamaan gerak berupa fungsi eksponenp imaginer persamaan gerak berupa fungsi berulang(22)(23)FAKTOR REDAMAN

Berdasarkan pers. 22, jika nilai variabel didalam tanda akar = 0Maka,

Ccr disebut dengan faktor redaman kritisKeadaan redaman kritis adalah batas antara redaman berlebih (over damped) dan redaman kurang (under damped) Kasus Redaman KritisPada kondisi redaman kritis,

Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:

(24)(25)Kasus Redaman Kurang (Under-damped)Jika nilai koefisien redaman lebih kecil dari koefisien redaman kritis (c < ccr)

(26)Untuk menyelesaikan persamaan dengan bilangan imaginer, maka digunakan persamaan Euler:

Sehingga, solusi persamaan gerak adalah:

(27)(28)(29)(30)Persamaan 30 dapat juga ditulis dalam bentuk:

(31)(32)(33)Kasus Redaman Berlebih (Over-damped)Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari koefisien redaman kritis yaitu:

(34)

Sehingga solusi persamaan geraknya menggunakan solusi dasar untuk getaran bebas teredam, yaitu menggunakan persamaan (23)..

Kurva hubungan perpindahan-waktu untuk kondisi redaman yang berbedaMENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMANTerdapat dua metode untuk menentukan besarnya faktor rasio redaman, yaitu:Metode setengah amplitudoMetode pengurangan logaritmik

METODE SETENGAH AMPLITUDO(35)(36)Dimana:xP =perpindahan awalxQ =perpindahan setelah 1 siklus =faktor rasio redaman =frekuensi naturalTD =periode teredam

METODE PENGURANGAN LOGARITMIK

(37)(38)

Kurva hubungan antara jumlah putaran (N) dan faktor rasio redaman:Dimana:xP =perpindahan awalxQ =perpindahan setelah 1 siklus =faktor rasio redaman =frekuensi naturalTD =periode teredam =pengurangan logaritmikD =frekuensi teredamContoh 5

Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa terpusat bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural pada titik a dalam radian/detik dan hertz. Hitung pula periodennya.

JawabPada titik a, massa telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.

Contoh 6Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85.Tentukan:Frekuensi naturalPengurangan logaritmikFaktor rasio redamanFaktor redamanFrekuensi teredamJawab

Frekuensi natural:

Pengurangan logaritmik:Faktor rasio redaman:Faktor redaman:

Frekuensi teredam:

Contoh 7Sebuah lantai seberat W = 4000 lb ditunjang oleh 4 buah kolom yang sama dan diikat pada pondasi, demikian pula pada lantai. Secara eksperimental telah ditentukan gaya statis sebesar P = 1000 lb bekerja horizontal pada lantai itu dan mengakibatkan perpindahan x sebesar 0,1 in. Diperkirakan redaman struktur sebesar 5% dari redaman kritis. Tentukan:Frekuensi natural tak teredamKoefisien redaman absolut dan redaman kritisJumlah siklus dan waktu yang diperlukan supaya amplitudo gerakan berkurang dari harga awal 0,1 in menjadi 0,01 in.Jawab

Frekuensi natural:

Faktor redaman kritis:Pengurangan logaritmik:Faktor redaman absolut:

Frekuensi teredam:

Periode teredam:

Waktu untuk 8 siklus:

Contoh 8

Tentukan solusi persamaan gerak dari struktur pada gambar disamping.JawabKekakuan balok:

Kekakuan balok dan pegas:

Frekuensi natural:

Keadaan redaman kurang (under-damped)

Persamaan solusi getaran beban dengan redaman untuk kondisi redaman kurang (under-damped) adalah:

Misalkan syarat awal getaran pada t = 0 adalah x = 0,3 dan dx/dt = 0Maka didapatkan nilai konstanta A = 0,3 dan B = 0

Pengurangan simpangan setelah 10 detik adalah 0,369 kali simpangan awal.GETARAN PAKSA STRUKTUR TANPA REDAMANGetaran paksa adalah getaran yang disebabkan beban luar yang bergetar Getaran bebas adalah getaran yang diakibatkan beban luar pada keadaan awal saja. Selanjutnya struktur bergetar bebas tanpa beban.

Model persamaan kesetimbangan:

(41)Persamaan (34) merupakan persamaan diferensial non-homogin. Sehingga solusi persamaan geraknya terdiri dari:Solusi homogin (solusi umum) yaitu solusi yang menghasilkan persamaan gerak getaran bebasSolusi khusus (disesuaikan dengan bentuk beban)Bentuk solusi umum:

Bentuk solusi khusus:

(42)(43)(44)(45)Substitusi persamaan solusi khusus ke dalam persamaan kesetimbangan, menghasilkan persamaan:

(46)(47)Dimana X adalah amplitudo getaran dan r adalah rasio antara frekuensi beban luar dan frekuensi alamiSehingga, solusi persamaan gerak secara lengkap yang terdiri dari solusi umum dan solusi khus adalah

(48)RESONANSI DAN PEMBESARAN DINAMISPersamaan (41) menunjukkan bahwa bentuk solusi persamaan gerak adalah superposisi dari getaran bebas dan getaran akibat beban luar.

Getaran bebasGetaran beban luarPada suku ketiga (akibat getaran beban luar), bila frekuensi getaran luar mendekati frekuensi alami struktur, (r mendekati 1) maka nilai suku ketiga tersebut akan mendekati tak hingga. Keadaan ini disebut resonansi.

Nilai x maksimum akan terjadi bila:

(47)Simpangan statis (xst)Faktor pembesar dinamis

(48)

Kurva hubungan antara rasio frekuensi dan faktor pembesar dinamisContoh 9Suatu sistem mempunyai k = 40 lb/in dan berat benda 38,6 lb. Jika x0 = dx0/dt = 0 dan gaya luar P(t) = 10 cos (10)t, tentukan persamaan geraknya dan sketsa hasilnya.

Jawab

Dari persamaan (41)

Frekuensi natural:

Simpangan statis:

Rasio frekuensi:

Gunakan kondisi awal untuk menentukan A dan B

GETARAN PAKSA STRUKTUR DENGAN REDAMAN

Model persamaan kesetimbangan:

(49)Solusi dari persamaan kesetimbangan tersebut terdiri dari solusi umum dan solusi khusus.Solusi umum (solusi persamaan getaran bebas teredam)

Solusi khusus (tergantung pada bentuk beban luar) bisa berbentuk fungsi trigonometri atau fungsi eksponen.

(50)(51)Atau

(52)(53)(54)Substitusi pers. (51) ke pers. (49)

(55)Sehingga, solusi khusus dapat ditulis:

(56)Untuk menghilangkan bilangan imaginer pada ruas penyebut, maka digunakan bantuan persamaan trigonometri dan Euler.Didapatkan hasil akhir:

(57)

Persamaan (57) dapat juga ditulis dalam bentuk:(57)

RESONANSI PADA GETARAN PAKSA

Dari persamaan (57)Sehingga didapatkan:Pada keadaan resonansi (r = 1)

(58)(59)Tipe BangunanRasio RedamanRangka baja terbuka, sambungan las, dinding lenturRangka baja, sambungan las, memakai lantai dan dinding sekatRangka baja, sambungan baut, memakai lantai dan dinding sekatRangka beton dengan dinding lenturRangka beton dengan dinding sekatRangka beton dengan dinding bataDinding geser betonRangka kayu dan dinding geser0,020,05

0,1

0,050,070,10,10,15Tabel Nilai Rasio Redaman pada berbagai jenis struktur berdasarkan SNI-1726-2002Contoh 10Sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W = 1000 lb. Balok ini terbuat dari 2 profil standard S8 x 23 dengan bentang bersih L = 12 ft dan dengan momen inersia penampang total I = 2 x 64,2 = 128,4 in4. Motor berotasi pada 300 rpm (putaran per menit), dengan ketidakseimbangan rotornya sebesar W=40 lb pada jari-jari e0 = 10 in. Berapa besar perpindahan statis jika redaman liat (redaman viskous) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis.

Jawab

Frekuensi natural:Frekuensi beban = 300 rotasi per menit, maka

Rasio frekuensi:

Gaya luar:

Perpindahan statis:

9GETARAN AKIBAT BEBAN IMPULSBeban luar yang menimbulkan getaran adalah beban dinamik, yaitu beban yang berubah sesuai dengan waktuPerubahan ini tidak selalu periodik seperti fungsi sinus dan kosinus, tetapi juga akibat perubahan tidak tentuSalah satu diantara beban dinamis adalah beban impulsBeban impuls adalah beban yang bekerja hanya se-saat, tetapi dapat menimbulkan getaran yang berlangsung beberapa lama setelah itu.

GETARAN AKIBAT BEBAN IMPULSBeban dinamik tidak selalu bergetar periodik seperti fungsi sinus atau cosinus, tetapi dapat juga berubah secara tak tentu.Salah satu bentuk beban dinamis adalah beban impuls, yaitu beban yang bekerja sesaat tetapi dapat menimbulkan getaran setelah beban tesebut dihilangkan.

Contoh bentuk-bentuk beban impuls:xPercepatan yang timbul akibat beban impuls (Akibat beban impuls, dan sebagai konsekwensi dari hukum Newton, maka pada saat awal timbul percepatan sebesar)

Getaran yang dihasilkan akibat beban impuls adalah getaran bebas teredam. Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah:

(60)(61)(62)(63)

denganMasukkan syarat batas:

Didapatkan:

Sehingga, solusi pers. Gerak akibat beban impuls untuk sistem dengan redaman adalah:

Dan solusi persamaan gerak untuk sistem tanpa redaman:

(64)(65)FtxtGETARAN AKIBAT BEBAN DINAMIS KOMPLEKSBeban dinamis kompleks adalah jumlah dari beban impuls, sehingga pengaruhnya adalah superposisi dari sejumlah besar beban impuls.Digunakan variabel waktu beban () dan waktu getaran (t) untuk menjabarkan pembebanan dinamis kompleks.

Solusi persamaan gerak akibat beban impuls satuan adalah:

(66)Sehingga superposisi/gabungan dari sejumlah beban impuls satuan menghasilkan solusi persamaan gerak:

(67)Bentuk persamaan integral diatas disebut dengan integral duhamel/integral konvolusi

BEBAN MERATA YANG BEKERJA TIBA-TIBA DARI t = O

(68)

Nilai maksimum dari (1-cos t) = 2.Sehingga nilai pembesaran simpangan adalah 2 kali simpangan statis (xst)

Grafik hubungan pembesaran simpangan dan waktu untuk sistem SDOF teredamBEBAN SEGI EMPAT YANG BEKERJA DENGAN INTERVAL WAKTU TERBATAS

Misal:Daerah pada saat impuls masih bekerja (0 < t < td),maka td = 5/4 TnDaerah pada saat impuls masih bekerja (t > td),maka td = 1/8 TnGetaran paksa terjadi sampai interval waktu td . Setelah waktu td, terjadi getaran bebas dengan syarat awal posisi pada td.Solusi persamaan gerak pada waktu sebelum td (0 < t < td),

Solusi persamaan gerak pada saat td (t = td),

(69)(70)(71)64Solusi persamaan gerak setelah waktu t1 (t > t1) mempunyai bentuk getaran bebas:

(72)Faktor Pembesaran Dinamis:

(73)Untuk (0 < t < t1),

Untuk (t > t1),

(74)(75)Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi empat untuk waktu terbatas:

BEBAN IMPULS SEGITIGA

Solusi persamaan geraknya menggunakan persamaan (66)(76)Sehingga, untuk interval waktu

.(78).(76).(77)Untuk interval waktu

.(79)Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga:

Contoh 11Sebuah kerangka baja dipengaruhi gaya horizontal pada balok. Gaya brkurang secara linier dari 5 kip pada saat t = 0 menjadi nol pada saat t = 0,6 detik.Tentukan lendutan horizontal pada saat t = 0,5 detik dan lendutan horizontal maksimum (dengan anggapan bahwa kolom tidak bermassa, balok sangat kaku dan redaman diabaikan.

Jawab

Data beban:

Dari pers. (78) untuk t = 0,5 detik:

Perpindahan maksimum:Dari kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga,

Contoh 12Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model dengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) t1 = 0.4 s, (2) t1 = 0.04 s

Jawab

Frekuensi natural:Berdasar kurva Faktor Pembesaran Dinamis (FBD) untuk beban segitiga:Untuk t1 = 0,4 s dan x = 5 mm = 0,005 m

Untuk t1 = 0,04 s dan x = 5 mm = 0,005 m

10SISTEM BANYAK DERAJAT KEBEBASAN

PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASANPersamaan Kesetimbangan Massa 1:

.(85)Persamaan Kesetimbangan Massa 2:

(86)

Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks:

(87)

(88)Untuk redaman = 0

(89)Solusi persamaan homogen tersebut adalah:

Dengan adalah frekuensi alami getaran.Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89):(90)

(91)Atau:

(92)

Maka diperoleh persamaan homogen:

Yang menghasilkan nilai eigen dan eigen vektor (x) melalui persamaan penentu:

(93)(94)[D] adalah matriks dinamisContoh 15Tentukan bentuk ragam (mode-shape) dari struktur disampingJawabMatriks kekakuan:

Matriks massa:

Matriks dinamik:

Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalam persamaan gerak:

Ragam 1

Ragam 2

Contoh 16Model bangunan penahan geser digunakan untuk kerangka seperti gambar . Tenukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya.Jawab

Dengan cara yang sama seperti contoh 15, didapatkan hasil:

11PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN TIGA DERAJAT KEBEBASANGaya inersia:

Gaya elastis:

(95)(96)(97)(98)(99)(100)

Persamaan kesetimbangan untuk masing-masing tingkat:Dalam bentuk matriks:

(104)(102)(103)(101)(105)Untuk redaman nol:

(106)

(107)Dengan cara yang sama dengan sistem 2 derajat kebebasan, didapatkan nilai eigen dan vektor eigen ():

(108)Perhitungan ragam struktur dengan mencari matriks D atau invers matriks K untuk struktur dengan banyak derajat kebebasan, sangat susah untuk dilakukan.Oleh karena itu, digunakan metode iterasi untuk mempermudah perhitungan. Metode iterasi yang biasa dipakai adalah metode STODOLA dan HOLZER.METODE ALTERNATIF:

Nilai eigen:

Bentuk ragam perpindahan struktur dapat diperoleh menggunakan persamaan (109)(109)(110)Contoh 17Suatu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem berderajat kebebasan tiga dengan data-data seperti pada gambar. Tentukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya. Jawab

Dalam bentuk matriks:

Ragam 1:

Ragam 2:

Ragam 3:

12METODE STODOLADigunakan untuk sistem MDOF tanpa redaman.Jika sistem bergetar tanpa redaman, maka terjadi keseimbangan antara gaya inersia dan gaya elastis.

(111)(112)(113)(114)

Matriks dinamisAnalisa mode-mode batas:Mode terendah:

Mode tertinggi:

Mode antara

Didapat dari ragam yang setingkat lebih rendah.Misal: matriks S0 untuk mode 2 didapat dari bentuk ragam mode 1

(115)(116)(117)(118)(119)Misal, untuk gedung 4 lantai:97METODE HOLZERPerbedaan pokok metode Stodola dan Holzer:Cara Holzer memakai perumpamaan pada natural frequencyCara Holzer dapat menentukan mode ke-n yang dikehendaki tanpa harus mengetahui mode ke-(n-1) terlebih dahulu. Persamaan dasar cara Holzer:

(120)Contoh 18Suatu bangunan dengan 3 buah massa satuan = m dan kekakuan = k seperti pada gambar dianggap bergetar horizontal. Tentukan bentuk ragam struktur tersebut.

Menyusun matriks kekakuan:

Matriks Fleksibilitas:Matriks massa:

Matriks dnamis:

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 1:

Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:

Iterasi-1:

Iterasi-2:

Pada iterasi ke-7 didapatkan:

BentukragamBentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 3:

Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:

Iterasi-1:

Iterasi-2:

Iterasi-1:Pada iterasi ke-10 didapatkan:

Bentukragam

Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode antara/mode 2 (menggunakan nilai x dari mode 1):

Persamaan iterasi:

Iterasi 1:Iterasi 2:

DstSampai nilai (x) konvergen.

Note:Mode antara (mode 3) untuk gedung 4 lantai(gunakan nilai (x) dari mode 2)

METODE HOLZER

Mode 1

Mode 2

Mode 313PERSAMAAN GERAK DENGAN METODE ENERGISelain dengan persamaan keseimbangan, persamaan gerak getaran juga dapat diturunkan dengan metode energi. Berdasarkan hukum kekekalan energi maka energi gerak timbul akibat perubahan dari energi regangan, energi kinetik dan energi redaman. Untuk kasus getaran bebas tanpa redaman, energi yang terlibat adalah energi regangan dan energi kinetik dari massa yang mendapat percepatan.Energi regangan pada pegas yang berdeformasi dari posisi seimbang adalah:

(121)

P = kxxEnergi kinetik dari massa yang mendapat percepatan :

Energi total:

(122)(123)karena variasi energi sama dengan nol, maka didapat persamaan

(123)Energi regangan pada balok atau tiang kantilever dengan perpindahan ujung tempat massa terpusat X adalah:yXx = X

K = konstanta pegas balok dinyatakan dalam fungsi ragam fx(124)(125)Besar energi kinetik jika massa terpusat diujung adalah:

dengan prinsip kekekalan energi, didapat persamaan keseimbangan:

(126)(127)MODEL GERAK BENDA KAKU DAN TUMPUAN ELASTIS

Gerakan struktur, selain disebabkan sifat elastis struktur, juga disebabkan sifat elastis tumpuannya.Bila struktur dianggap kaku, maka simpangan salah satu titik dapat digunakan untuk menghitung simpangan di titik lain.

(128)Jika pusat massa pada posisi y, maka percepatan massa adalah:

(129)Sehingga, persamaan kesetimbangan menjadi:

(130)(131)(132)Contoh 19Scan Teknik gempa hal 77Sebuah balok kaku terdiri dari tumpuan sendi dan pegas, dua massa dan satu redaman.Jika koordinat umum diwakili oleh simpangan X, maka simpangan dari massa 1 adalah (-0,25X), simpangan massa 2 adalah (0,25X) dan simpangan redaman sebesar (0,5X), maka didapat persamaan gerak:

(133)Atau:

(134)Atau:

(135)Dimana M* adalah massa umum, C* adalah redaman umum dan K* adalah kekakuan bersama.SISTEM MASSA TERDISTRIBUSITidak semua bangunan dapat dimodelkan dengan sistem massa terpusat pada beberapa titik. Beberapa bangunan (seperti menara), memiliki masa yang terdistribusi pada seluruh bangunan. Namun sistem ini tetap dapat bergetar dengan beberapa ragam getarPada sistem massa terdistribusi ini, fungsi ragam getar dinyatakan dalam rasio terhadap salah satu titik patokan yaitu: X(y,t) = f(y).X0(t)f(y) adalah fungsi ragam, X(y,t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titik y, X0(t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titik patokan yang mewakili getaran bersama(136)

Simpangan pada titik patokan X0, kemudian dinyatakan dalam persamaan gerak harmonis yaitu:

(137)jika fungsi ragam diketahui dan ini tidak dipengaruhi oleh variabel-t, maka persamaan gerak dapat dinyatakan dalam koordinat umum yaitu X0. Untuk mencari massa umum, redaman umum dan kekakuan umum, digunakan metode emergicontoh 20sebuah kolom kantilever prismatis dengan massa dan redaman terdistribusi

Gerakan selama getaran adalah:X(y,t) = f(y)X0(t)Energi regangan akibat simpangan elastis adalah:

Energi ini harus sama dengan energi regangan kekakuan umum K* yaitu:

(138)(139)(140)Dari persamaan energi ini dapat diperoleh nilai kekakuan umum:

Dengan cara yang sama didapat nilai redaman umum C* dan massa umum M*

(141)(142)(143)Persamaan getaran bebas sistim massa dan redaman terdistribusi sekarang dapat dinyatakan dalam persamaan gerak satu derajat kebebasan yaitu

Berdasarkan fungsi ragam yang dipilih, persamaan ini berlaku untuk ragam pertama atau ragam yang lebih tinggi.(144)dipilih fungsi ragam pertama

Massa umum:

Kekakuan umum:

Redaman umum:Selanjutnya persamaan gerak akan memiliki model sama dengan model bandul satu derajat kebebasan dengan redaman. M*, K*, dan C* adalah massa umum, kekakuan-umum dan redaman umum dari sistemBesaran umum:Massa umum ini nilainya bergantung pada fungsi ragam dan fungsi massa. Jadi ada perbedaan antara massa umum pada ragam pertama dan ragam kedua.Dengan memakai hasil dari sistem bandul sederhana untuk getaran bebas, maka akan diperoleh nilai frekuensi alami sistim terdistribusi

Tanpa redamanDengan redaman(145)(146)Ragam pertama tanpa redaman

14KOMBINASI RAGAMGetaran aktual struktur merupakan kombinasi beberapa ragam getaranSalah satu cara mengkombinasikan melalui analisis ragamAnalisis ragam didasarkan pada sifat ortogonal ragam yang merupakan eigen-vektor dari persamaan gerak simultan sistim dengan banyak derajat kebebasan. Sifat ortogonal antara dua ragam dinyatakan dalam bentuk:

sifat ortogonal ragam-i dan ragam-j dengan massa

sifat ortogonal ragam-i dan ragam-j dengan kekakuan(147)(148)Persamaan kesetimbangan sistem dengan banyak derajat kebebasan:

Dimana:

(149)(150)(151)(152)

(153)(154)(155)

Gaya inersia =

Merupakan variabel yang dipengaruhi oleh percepatan pondasi(156)Percepatan Akibat Beban GempaGaya elastis = K(X1 + Xg) (X2 + Xg) = K(X1 - X2)(Merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh simpangan pondasi)Simpangan relatif dan simpangan absolutJika percepatan terjadi akibat gempa atau pergerakan horizontal tanah maka (x) adalah nilai perpindahan relatif, dan (X) adalah nilai perpindahan absolut. Hubungan keduanya adalah:

XxgXPerpindahan absolut mempengaruhi gaya inersia, dan perpindahan relatif mempengaruhi gaya elastis dan gaya redaman antar tingkat.(157)Matriks Persamaan Kesetimbangan:

(158)(159)

Persamaan kesetimbangan massa 1:DstSehingga persamaan kesetimbangan massa total:

(160)(161)PERCEPATAN GEMPA PADA SDOFGaya gempa pada bangunan berasal dari gaya inersia karena massa bagunan mendapat persepatan tanah. Jika percepatan tanah yang dirambatkan oleh gempa berubah menurut fungsi waktu, maka gaya gempa juga berubah.

.(80).(81).(82).(83)Persamaan kesetimbangan:

.(84)Salah satu metode untuk mencari besarnya nilai xg adalah memakai kurva spektrum respon sistem elastis untuk gempa El Centro 1940..

Besarnya peerpindahan tanah juga dapat dicari dengan menggunakan spektrum dasar rencana yang dinormalisasi untuk 1,0 g

Contoh 21Sebuah struktur dengan model sistem massa-pegas seperti gambar, dianggap dipengaruhi pada penyokongnya oleh gempa bumi El Centro 1940. Anggaplah struktur ini bersifat elastis dan gunakan grafik spektrum respon yang tepat untuk mendapatkan perpindahan relatif maksimum antara massa dan penyokong. Juga hitung gaya maksimum yang bekerja pada pegas. Abaikan redaman.

Jawab

Frekuensi natural:Dari gambar respon spektrum, didapatkan SD = 11 in

Contoh 22Sebuah struktur dengan model sistem berderajat kebebasan tunggal mempunyai frekuensi natural T = 0,5 s. Gunakan metode spektrum respon untuk menentukan percepatan absolut maksimum , perpindahan relatif maksimum dan kecepatan palsu maksimum pada daerah elastis untuk:Gerakan pondasi yang sama dengan gempa bumi El Centro 1940Spektrum rencana dengan percepatan tanah maksimum sebesar 0,3g (abaikan redaman).Jawaba) Dari kurva respon spektrum gempa El Centro dengan f = 1/T = 1/0,5 = 2 spd

b) Dari kurva respon spektrum rencana dengan f = 2 spd, = 0 dan percepatan tanah maksimum 0,3g

PERCEPATAN GEMPA PADA MDOF

Contoh 23Bangunan kerangka baja sederhana kaku. Berat lantai dan dinding dianggap termasuk berat struktur lainnya. Bangunan dimodelkan sebagai bangunan penahan geser dengan spesifikasi struktur tertera pada gambar. Bila kerangka tersebut dipengaruhi secara tiba-tiba oleh percepattan konstan sebesar 0,28g pada dasar pondasi. Hitung besarnya perpindahan maksimum yang terjadi pada masing-masing lantai.Jawab139Dengan cara yang sama seperti pada contoh 15 atau 16, didapatkan harga frekuensi natural dan bentuk ragam:

Kekakuan kolom :

Pola normal dari bentuk ragam:

Mendapat percepatan konstan sebesar 0,28 g paa dasar pondasi:

Faktor partisipasi:

Persamaan kesetimbangan:

Sehingga,

Masukkan kondisi batas dengan memisalkan perpindahan dan kecepatan pada awal gerakan = 0. Karena gaya impuls bersifat konstan, maka persamaan respon perpindahan adalah:

Perpindahan maksimum yang terjadi:

15P(t)

P

K

m

m

K

x

EI

P(t)

P(t)

K

K1

K2

m

P(t)

K2

K1

P

m

y

y

K1

K2

x

K.x

m.a

P

L

P

EI=400 KN/cm2

m = 1000 kg

K = 2 N/cm

L=100 cm

F(t)

F(t)

SDOF

W8x24

F(t)

m

K

F(t)

fs

m

I

EI=108 lb/in2

k = 2000 lb/in

L=100 in

k = 2000 lb/in

W = 3000 lb/in

Text Block

m

P(t)

K2

K1

K,c

m

P(t)

P(t)

m

x

K

I

c

P(t)

I

fs

fd

EI=400 KN/cm2

K = 2 N/cm

L=100 cm

c = 200 kg/dtk

m = 1000 kg

m

K

x

P

m

P

K1

K2

P(t)

Po

tr

t

P(t)

Po

t

F

t

t1=0,6 s

F=5 kips

m1

m2

K1

K2

y

x

X(t)

L

X

x

xg

xg

x

x

FD

FE

Fi

10'

W2 = 50 lb/ft

W1 = 100 lb/ft

15'

W 10 x 45

W 10 x 21

30'

P(t)

Po

t