kuliah 3 - laplace - tektro unjani 2011 file•f adalah fungsi bernilai kompleks dari bilangan...

TRANSFORMASI LAPLACE

11 April 2011 EL2032 Sinyal dan Sistem 1

Asep NajmurrokhmanJurusan Teknik ElektroUniversitas Jenderal Achmad Yani

Tujuan Belajar :

• mengetahui ide penggunaan dan definisi transformasi Laplace.

• menurunkan transformasi Laplace beberapa sinyal. • mengetahui dan menggunakan sifat-sifat

transformasi Laplace.• menerapkan konsep dan sifat transformasi Laplace

dalam menyelesaikan persamaan diferensial.• menggunakan tabel transformasi Laplace dalam

menganalisis sinyal dan sistem.


Inovator


Pierre-Simon Laplace, French Mathematician (1749-1827)

Ide


Persamaan diferensial Persamaan aljabar

Solusi persamaan diferensial

Transformasi Laplace

Domain waktu Domain frekuensi

Ilustrasi


tutytyRC

?

?



0

stF s f t e dt

F(s) = L(f(t))

• s C (bilangan kompleks)

•F adalah fungsi bernilai kompleks dari bilangan kompleks

• s disebut variabel frekuensi dengan satuan per detik, sehingga st tidak bersatuan

• Bentuk integral di atas mengasumsikan bahwa f tidak mengandung impuls di t = 0.

• Dalam beberapa literatur, jika huruf kecil menandakan sinyal, maka hurufbesarnya menandakan transformasi Laplacenya, misalnya U = L(u), Vin = L(vin), dst.

Transformasi Laplace adalah sebuah tipetransformasi integral

Berikan sebuah fungsi ke dalamnya0

s te dt

( )f t

maka diperoleh fungsi baru

( )F s

Fungsi baru dalam domain yang berbeda


( )F s adalah transformasi Laplace dari ( ).f tSimbol : ( ) ( ),f t F sL

0 s te dt

( )f t ( )F sJika

( ) ( ),

( ) ( ), etc.

y t Y s

x t X s

LL


Korespondensi satu-satu


L(f) = L(g) f = g

j

j

st dsesFj

tf21

Transformasi Laplace balik

Contoh (1)

Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = et.


1 1

00 0

1 11 1

s t s tt stF s e e dt e dt es s

1 0s te t ∞

Jawab :

Integral di atas terpenuhi jika apabila

yang mensyaratkan bagian real dari variabel s lebih dari 1

ROC (region of convergence) = daerah konvergensi

Contoh (2)

Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi f(t) = 1 , t 0.


00

1 1st stF s e dt es s

Contoh (3)

Tentukan transformasi Laplace dari fungsi sinusoidal :

f(t) = cos t


1 12 2

j t j tf t e e

Jawab :

Ubah ke bentuk eksponensial

0 0 0

1 1 1 12 2 2 2

s j t s j tst j t j te e e dt e dt e dt

1 1 1 12 2s j s j

2 2s

s


f(t) F(s) ROC

δ(t) (impuls) 1 semua s

1 (unit step) Re(s)>0

tn Re(s)>0

e-at Re(s)+Re(a)>0

cos ωtRe(s)>0

sin ωtRe(s)>0


s1

1

!ns

n

as 1

22 ss

22

s

Sifat-sifat Transformasi Laplace


Sifat f(t) F(s)

Linieritas a f(t) + b g(t) a F(s) + b G(s)

Penskalaan waktu f(at)

Penundaan waktu f(t-T) e-sT F(s)

Penskalaan eksponensial eat f(t) F(s-a)

Konvolusi waktu x(t) * y(t) X(s) Y(s)

asF

a1

Sifat-sifat Transformasi Laplace


Sifat f(t) F(s)

Konvolusi frekuensi (modulasi) x(t) y(t)

Perkalian dengan t g(t) = t f(t)

Diferensiasi waktu

Integral

)(*)(21 sYsX

j

)(txdtd

n

n

1

0

)()0(

1)(n

k

kknn xssXs

t

dftg0

011

tdfs

sFs

sG

sFsG

Linieritas

L (3(t) - 2et) = 3 L ((t)) - 2 L (et)


231s

3 51

ss

Penyekalaan eksponensial

L(cos t) =12 s

s


L(e-tcos t) = ?

221

111

22

ss

ss

s

0 1 2 3 4 5 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Penundaan waktu

se as 1

se as 1


a b

1

1 1

a b

s

eeeesFbsas

sbs

sas

11

Turunan


bxaxtxtxtx 0,0;023

L (x') = s L(x) – x(0) = sX(s) – aSifat turunan :

L (x'') = s2X(s) – sx(0) - x'(0) = s2X(s) - s a - b

0232 sXassXbassXsdidapat :

23

32

ssabassX

Aplikasi Trans. Laplace dalam rangkaian elektrik :Contoh (1)

• R = 1 • C = 1 F

• Kapasitor tidak bermuatan pada t = 0, yaitu y(0) = 0

• sinyal input u berupa tangga satuan. Tentukanbentuk sinyal y.


Solusi :Persamaan rangkaian tutyty

s

sYssY 1Transf. Laplace

Jawab


11

1

1

ssssY s

111

11

sssssY tety 1

s

sYssY 1

Contoh (2)

Perhatikan rangkaian berikut, saklar ditutup saat t = 0 dan VC(0) = 1.0 V. Cari i(t) dalam rangkaian.


Jawab

Persamaan rangkaian dapat dituliskan dalam bentuk berikut

atau


Terapkan transformasi Laplace sehingga didapat

Karena VC(0) = 1.0 V maka


Dengan demikian diperoleh

sehingga transformasi Laplace persamaan rangkaian berbentuk


Bentuk terakhir adalah

sehingga diperoleh


Contoh (3)Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor tidak memiliki muatan saat t = 0. Jikasaklar ditutup, tentukan arus i1 dan i2, sertamuatan pada C untuk t > 0


Jawab

Dengan menggunakan hukum Kirchhoff diperoleh

atau


Substitusi (2) ke (1) diperoleh

atau

(3)


Karena

dan maka sehinggatransformasi laplace persamaan (3) berbentuk

atau didapat


Bentuk i(t) adalah

Dari persamaan (2) diperoleh

atau


Untuk menghitung muatan pada kapasitor, kita memerlukan informasi tegangan pada kapasitor dan diperoleh

atau


Karena maka


Tugas#31. Perhatikan rangkaian berikut

Kapasitor memiliki muatan awal 1 mC dan saklar beradadi posisi 1 cukup lama sampai tercapai kondisi tunak. Saklar dipindahkan ke posisi 2 saat t = 0. Tentukan arusi(t) untuk t > 0.


2. Perhatikan sistem berikut

a. nyatakan hubungan antara sinyal u dan y dalam bentuk LCCODE. Petunjuk : jika keluaran sebuah integrator w maka masukannya adalah w’ (turunan dari w).


b. anggap kondisi mulanya nol, yaitu y(0) = y’(0) = y’’(0) = 0, nyatakan transformasi Laplace sinyal y sebagai fungsi transformasi Laplace dari sinyal u, yaitu


sUsY

3. Sumber tegangan v(t) diberikan kepada sebuah motor arus searah (DC motor). Model sederhana dari motor tersebut adalah rangkaian seri antara sebuah induktansi L dan sebuah resistansi R, sehingga arus yang mengalir dalam motor memenuhi persamaan


vRidtdiL

Sudut putar motor ditandai dengan (t) dan kecepatansudutnya (t), artinya . Arus motor menghasilkantorsi (t) yang sebanding dengan besar arusnya, yaitu

dengan k adalah konstanta motor. Inersia putar motor ditandai dengan J dan koefisien redamannya b. Persamaan Newton yang berlaku berbentuk


dtd

tkit

bki

dtdJ

Anggap bahwa i(0) = 0, , dan . Nyatakan perbandingan transformasi Laplace(t) dengan transformasi Laplace v(t).


00 00

kuliah 3 - laplace - tektro unjani 2011 file•f adalah fungsi bernilai kompleks dari bilangan...

Documents