KUADRATRIK HIPPIAS

A. KEBANGKITAN KAUM SOPHISTKurva yang biasa disebut kuadrtrik ditemukan oleh Elis (lahir sekitar 460 SM) untuk membagi sebuah sudut menjadi tiga bagian yang sama besar. Kurva ini memperoleh namanya dari pengguaan sebelumnya dalam kuadratur lingkaran. Seperti tokoh di zamannya, hipocrates, hippias adalah salah satu dari orang orang yang mengajar demi uang, salah satu anggota kaum sophist. Kata sophist, seperti halnya kata tirani, semula tidak memiliki makna yang merendahkan meski pada akhirya berkonotasi demikian. Pada awalnya kata tersebut berarti orang bijak tetapi kemudian konotasinya menjadi seseorang yang bernalar secara cerdas dan tampak benar tetapi sebenarnya keliru dan tidak berlandasan kuat.Kaum sophist adalah parapengajar berpindah, biasanya berasal dari Asia Minor atau Kepulaun Aegea yang telah memperoleh ilmu dan penglaman dalam perjalanan jauh mereka. Para siswa phytagoras dilarang untuk menerima bayaran atas pengetahuan yang mereka berikan, sedangkan kaum sophist tidak menganut tradisi demikian. Pada sekitar pertengahan abad ke-5 SM, sejumlah pengajar berpindah ini, beberapa diantaranya cendikiawan dengan reputasi baik sedangkan yang lainnya hanya para pembual, tiba di Athena untuk menawarkan pengetahuan dan karya mereka. Di Athena sendiri sudah ada pasar yang siap menanmpung talenta talenta mereka terutama bagi orang orang kaya disana. Kesuksesan yang diraih di Athena akan menjamin reputasi seseorang untuk tersebar ke seluruh penjuru Yunani, Sicilia, dan Italia. Kaum sophist menguasai beraneka ragam pengetahuan sebagai keahlian mereka, tetapi subjek utama mereka adalah seni berdebat mereka mengaku bahwa mereka mampu mengajari murid murid mereka untuk berbicara dengan jelas dan menyakinkan, dengan isi pembicaraan yang logis, tentang topik apapun, danuntuk berhasil mempertahankan argumen bagi satu pihak ataupun satu pihak lainnya dalam suatu perkara. Hal ini membuat mereka terbuka terhadap serangan yang lebih menguji kecerdasan mereka daripada kebijakan mereka. Pihak pihak yang tidak senang memandang bahwa kaum sophist mengajar para remaja “Untuk membuktikan bahwa hitam itu putih dan membuat sesuatu yang lebih buruk tampak lebih baik.” Meskipun berbagai kritisme teradap mereka bermunculan, di satu sisi tetap dibutuhkan. Orang orang kaya merasa bangga dengan mempercayakan pendidikan putra putra mereka kepada kaum sophist yang terbaik dan termahsyur. Pada akhirnya, isu isu tentang kekomersilan dan klaim-klaim yang berlebihan dalam pengajaran mereka membuat plato dan yang lainnya menentang mereka, dan menerapkan istilah ‘Sophist’ dengan pemaknaan sekarang ini.Karena kebanyakan dari apa yang kita ketahui tentang kehidupan dan karakter Hippias berasal dari dua dialog Plato dimana kaum Sophist dipandang buruk, maka sukarlah kita menilainya secara adil. Dalam dialog dialog plato, Hippias digambakan sebagai orang yang arogan, seorang pelawak sombong. Hippias dikisahkan berkata bahwa dia telah memperoleh lebih banyak uang daripada yang didapat dua orang Sophist lainnya pada masa itu, dan mendapatkan meski terjadi persaingan dengan protragoras dari Abdera yang termahsyur, jumlah uang yang sangat banyak dari pengajaran keliling di Sichilia. Klaim klaimnya kemudian dikisahkan lebih lanjut, bahwa jikapun dia menerima bayaran atas pengajarannya di Sparta dan tidak pernah diundang untuk mengajar para remaja disana, maka itu semata terjadi karena hukum Sparta melarang pengajaran oleh bangsa asing. Hippias berasal dari Elis, sebuah negara bagian kecil dipojok barat laut Peloponnesus, yang penduduknya melakukan berbagai permainan yang dilakukan setiap 4 tahun sekali di dataran Olympia.

Dalam tulisan Plato, Hippias dikisahkan menyombongkan diri bahwa pada kunjungan dia sebelumnya ke festival Olimpiade, segala yang dia pake adalah buatan tangannya sendiri, tidak hanya pakaiannya, tetapi juga cincin, bejana minyak dan sandalnya diceritakan bahwa Hippias membawa serta karya karya epik, tragedi, dan semua prosa yang dia tulis dengan gaya khasnya, dan bersiap untuk mengajarkan musik, huruf huruf, dan seni mengingat. Rahasia pengetahuan Hippias yang luas tampaknya adalah daya ingatnya yang luar biasa. Jika dia mendengarkan sekali saja serangkaian lima puluh nama, dia dapat mengulangnya dengan urutan yang sama persis. Dialog dialog Hippias Major dan Hippias Minor tidak sedemikian terpercaya karena hanya berupaisah karikatur. Namun demikian, kedua dialog itu cukup menampilkan sikap eksentrik Hippias sebagai mana dikenal oleh para tokoh sezamannya.

B. HIPPIAS DARI ELISMeski tidak ada karya matematika lain yang dikaitkan kepadanya, tetapi reputasi Hippias tetap aman pada penemuannya tentang kuadratik. Ini merupakan contoh pertama dari sebuah kurva yang tidak dapat digambar oleh penggaris dan jangka biasa tetapi harus digambar titik per titik. Kuadratik dijelaskan sebagai pergerakan ganda seperti ditunjukkan berikut ini.Misalkan ruas garis lurus AE berotasi searah perputaran jarum jam terhadap pusat A dengan kecepatan tetap dari posisi AB ke posisi AD, sehingga terlukis kuadran BED dari lingkaran tersebut. Pada waktu bersamaan saat jari jari AE meninggalkan titik awalnya AB, garis MN meninggalkan BC dan bergerak turun dengan kecepatan tetap menuju AD, selalu sejajar dengan AD. Kedua gerak ini terjadi dalam waktu sedemikian hingga AE dan MN akan mencapai posisi akhir di AD pada waktu bersamaan. Sekarang, pada sebarang kejadian dari pergerakan simultan mereka, jari jari yang berotasi dan garis lurus yang bergerak itu akan berpotongan pada satu titik (F adalah salah satu titik khasnya). Posisi dari titik titik perpotongan ini disebut kuadratrik. Jika FH tegak lurus terhadap AD, maka sifat dari kuadratrik itu adalah

∠BAD∠EAD

= ABFH

= Busur BEDBusur ED

Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa definisi ini tidak benar benar menentukan letak titik mana pun dari kuadratrik itu pada AD. Jika jari jari yang berputar dan garis lurus yang bergerak itu dihentikan pergerakannya bersamaan, maka keduanya akan bertepatan dengan AD, dengan demikian tidak akan berpotongan satu sama lain pada sebuah titik yang unik. Titik dari kuadratrik itu pada AD (yaitu, titik G) dapat ditentukan letaknya hanya sebagai satu limit. Untuk melihat kemudahan apa yang dapat diberikan oleh kuadratrik untuk membagi sebuah sudut menjadi tiga bagian sama besar, kita misalkan bahwa sudut yang diketahui itu adalah ∠XAY . Tempatkan sudut ini pada pusat sebuah lingkaran dimana kuadratrik itu dibuat, dan misalkan XA memotong kurva tersebut di F. Gambarlah FH agar tegak lurus AD dan bagi tiga FH. Melalui titik P dari triseksi tersebut, gambarlah MN agar sejajar dengan AD, memotong kuadratik di Q. Sekarang hubungkan AQ dan perpanjang hingga bertemu kuadran di titik R. Maka ∠DAR adalah sudut yang dimaksud. Dari definisi kuadratrik itu, merupakan hal yang mudah untuk dibuktikan bahwa

∠DAR∠DAE

= PHFH

=( 13 FH )FH

=13

Sebagai akibatnya ∠DAR=13∠DAE=1

3∠XAY .

Penggunaan kuadratrik dalam mencari sebuah persegi yang sama besar luanya dengan lingkaran tertentu adalah hal yang lebih mutakhir dan mungkin tidak begitu jelas bagi Hippias. Pappus, dalam ringkasan Mathematical Collectionnya,membuat pernyataan:

Untuk mempersegikan ligkaran,telah digunakan oleh Dinostratus, Nicomedes, dan beberapa ahli geometri lain yang lebih kini, suatu kurva tertentu yang namanya diambil dari sifat ini; karena kurva itu mereka sebut “pembentuk-persegi” [kuadratrik].

Dengan demikian, penunjukan silsilah kurva ini kepada Hippias tidaklah memadai. Dan tentang Dinostratus (ekitar 350 SM), tidak banyak yang diketahui tentang karyanya kecuali yang diungkap oleh kutipan di atas,yang hendaknya mengingatkan kita akan kurangnya peninggalan tentang matematika Yunani dan para praktisinya. Meski tidak ada pendapat yang disepakati universal, Hippias biasanya dikaitkan dengan penemuan kuadratrik sebagai alat untuk membagi tiga sudut, sedangkan Dinostratus dianggap sebagai orang yang pertama kali menerapkannya pada kuadratur lingkaran.