ks091206 kalkulus dan aljabar linear vektor di...
TRANSCRIPT
KS091206KS091206KS091206KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEARLINEARLINEARLINEARKALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR KALKULUS DAN ALJABAR LINEARLINEARLINEARLINEAR
Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’Vektor di Ruang ‘N’
TIM KALIN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini
mahasiswa diharapkan :
– Dapat mengetahui definisi dan dapat
menghitung perkalian vektor di ruang n-
Page 2Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG N EUCLEDIAN 2
menghitung perkalian vektor di ruang n-
eucledian
Ruang-n Euclidean
RUANG N EUCLEDIAN 3
(Euclidean n-space)
Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3
Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektor-vektor dengan n komponen
{ … , v = (v1, v2, v3, v4, …, vn), ….. }
RUANG N EUCLEDIAN 4
• Atribut: arah dan “panjang” / norma ||v||
• Aritmatikavektor-vektor di Ruang-n:
1. Penambahan vektor
2. Perkalian vektor dengan skalar
3. Perkalian vektor dengan vektor
Norma sebuah vektor:Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n :
u = (u1, u2, u3, … , un)
RUANG N EUCLEDIAN 5
||u|| = √√√√ u12 + u2
2 + u32 + … + un
2
d(u,v) = ||u-v| |= √√√√ (u1-v1)2 + (u2-v2)2 + (u3-v3)2 + … + (un-vn)2
Example:
If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean space R4.
||u|| = = =
2222 )7()2()3()1( +−++ 63 73
RUANG N EUCLEDIAN 6
And
d(u,v) = = 2222 )27()22()73()01( −+−−+−+− 58
Penambahan vektor: di Ruang-n
u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)
w = (w1, w2 , w3, …, wn) = u + v
w = (u1, u2 , u3, …, un) + (v1, v2 , v3, …, vn)
RUANG N EUCLEDIAN 7
w = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, …, un + vn)
w1 = u1 + v1
w2 = u2 + v2
………..
w2 = un + vn
Negasi suatu vektor:
u = (u1, u2 , u3, …, un)
– u = (– u1, – u2 , – u3, …, – un)
Selisih dua vektor:
RUANG N EUCLEDIAN 8
w = u – v = u + (– v)
= (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3, …, un – vn)
Vektor nol: 0 = (01, 02 , 03, …, 0n)
Perkalian skalar dengan vektor:
w = kv = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
RUANG N EUCLEDIAN 9
(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
w1= kv1
w2 = kv2
…..…
wn = kvn
Perkalian titik: (perkalian Euclidean)
u . v = skalar
u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
RUANG N EUCLEDIAN 10
u . v = 0 jika u dan v ortogonal
Catatan:perkalian silang hanya di Ruang-3
Example:
The Euclidean inner product of the vectors
u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0) in R4 is
RUANG N EUCLEDIAN 11
u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18
Aritmatika vektor di Ruang-n:
Teorema 4.1.1.:u, v, w vektor-vektor di Ruang-n
k, l adalah skalar (bilangan real)
• u + v = v + u
• (u + v) + w = u + (v + w)
• u + 0 = 0 + u = u
RUANG N EUCLEDIAN 12
• u + 0 = 0 + u = u
• u + (-u) = (-u) + u = 0
• k(lu) = (kl)u
• k(u + v) = ku + kv
• (k + l) u = ku + lu
• 1u = u
Teorema 4.1.2:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah skalar
• u . v = v . u
• u . (v + w) = u .v + u .w
• k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)
RUANG N EUCLEDIAN 13
• v .v > 0 jika v ≠ 0
v . v = 0 jika dan hanya jikav = 0
Example 2 Theorem 4.1.2 allows us to perform computation
with Euclidean inner products in much the same way that we
perform them with ordinary arithmetic products. For Exmple,
(3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v)
= (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v)
= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)
RUANG N EUCLEDIAN 14
= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)
= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)
The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2 were
used in each step
Teorema 4.1.3 - 4.1.5:
| u . v | ≤ || u || || v ||
|| u || ≥ 0
|| u || = 0 jika dan hanya jikau = 0
|| ku || = | k | || u ||
|| u + v || ≤ || u || + || v ||
RUANG N EUCLEDIAN 15
|| u + v || ≤ || u || + || v ||
d(u, v) ≥ 0
d(u, v) = 0 jika dan hanya jikau = v
d(u, v) = d(v, u)
d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v)
kv
v u + v v
Pembuktian Bahwa ||u + v || ≤ || u || || v ||
RUANG N EUCLEDIAN 16
(a)
||kv|| = ||k||||v||
u
(b)
||u+v|| ||u|| + ||v||
≤
Teorema 4.1.6 – 4.1.7:
u . v = ¼ || u + v || 2 – ¼ || u – v || 2
RUANG N EUCLEDIAN 17
Teorema Pythagoras
|| u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2
u
v u + v
Example : In the Euclidean space R4 the vectors
u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1)
are orthogonal, since
RUANG N EUCLEDIAN 18
are orthogonal, since
u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(-1) = 0
Perkalian Titik (dot product) dikerjakan dengan
perkalian matriksu = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)
u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks baris, maka
RUANG N EUCLEDIAN 19
baris, maka
u . v = (u1 u2 u3 … un) v1
v2
v3 u . v = (u) (v)T
vn
RUANG N EUCLEDIAN 20
u = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)
u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
Kalau vektor u dan vektor v masing-masing ditulis dalam notasi matriks kolom, maka
u . v = (u1 u2 u3 … un) v1 = v . u
v2
RUANG N EUCLEDIAN 21
v3 u . v = (u)T (v)
v . u = (v)T (u)
vn u . v = (v)T (u)
Matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom
Au . v = u . (ATv) ?
(Au) . v = v . (Au) perkalian titik bersifat komutatif (T.4.1.2)
= vT(Au) v vektor kolom
= (vTA)u perkalian matriks asosiatif (T.1.4.1)
= (ATv)T u (MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)
RUANG N EUCLEDIAN 22
= (ATv)T u (MN)T = NTMT & (MT)T = M (T.1.4.9)
ATv merupakan vektor kolom; maka (ATv)T vektor baris
= u . (ATv) persamaan (7)
Jadi Au . v = u . (ATv) terbukti
Diketahui matriks A (n x n), u dan v masing-masing vektor kolom
u . Av = ATu . v ?
u . (Av) = (Av) . u perkalian titik bersifat komutatif
= v . (ATu) baru dibuktikan
di slide sebelum ini: Au . v = u . (ATv)
= (A u) . v perkalian titik komutatif
RUANG N EUCLEDIAN 23
= (ATu) . v perkalian titik komutatif
Jadi: u . Av = ATu . v terbukti
RUANG N EUCLEDIAN 24
RUANG N EUCLEDIAN 25
RUANG N EUCLEDIAN 26
Contoh:
• Hitunglah eucledian norm dari vektor berikut :
– (-2,5)
– (1,-2,2)
– (3,4,0,-12)
– (-2,1,1,-3,4)
Page 27Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
RUANG N EUCLEDIAN 27
• Hitunglah eucledian inner product u.v
– u = (1,-2) , v = (2,1)
– u = (0,-2,1,1), v = (-3,2,4,4)
– u = (2,-2,2), v = (0,4,-2)
Let’s Try !
1. Carilah semua skalar k sehingga ||kv||=3, di mana v = (-1, 2, 0, 3).
2. Carilah jarak euclidis di antara u dan v bila u=(6,0,1,3,0) dan
v=(-1,4,2,8,3)
3. u=(3,0,1,2), v=(-1,2,7,-3), dan w=(2,0,1,1). Carilah:
a. ||-2u|| + 2||u|| b. c.
Page 28Surabaya, 3 September 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
4. u1=(-1,3,2,0), u2=(2,0,4,-1), u3=(7,1,1,4), dan u4=(6,3,1,2). Carilah skalar
c1,c2,c3, dan c4 sehingga c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=(0,5,6,-3)
5. Buktikanlah identitas berikut:
||u+v||2 + ||u-v||2 = 2||u||2 + 2||v||2.
Tafsirkanlah hasil ini secara geometris pada R2.
6. Buktikanlah identitas berikut:
u.v = ¼||u+v||2 - ¼||u-v||2
RUANG N EUCLEDIAN 28