ks091206 kalkulus dan aljabar linear...
TRANSCRIPT
KS091206KS091206KS091206KS091206
KALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEARKALKULUS DAN ALJABAR LINEAR
DeterminantDeterminantDeterminantDeterminant
TIM KALIN
• Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :
– Dapat menghitung determinan
– Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan
menggunakan determinan
Tujuan Pembelajaran
Page 2Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Definition of Evaluating Evaluating
Determinant Properties of Determinant
A A Combinatorial
Outline
Page 3Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Definition of Determinant
Determinant by Row
Reduction
Properties of Determinant
Function
Combinatorial Approach To
Determinants
PROPERTIES OF DETERMINANT
FUNCTION
Basic Properties of Determinants
Teorima 1
Page 5Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Find |A|, |B| and |AB| for the matrices
Example 1
Page 6Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Solution
Example 1 (Cont.)
Page 7Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
|A||B| = (-7)(11) = -77Sesuai dengan Teorema 1
Teorema 2
Basic Properties of Determinants (Con’t)
Page 8Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Find the determinant of the matrix.
Example 2
Page 9Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Example 2 (Cont.)
Page 10Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Sesuai dengan Teorema 2
Teorema 3 : Determinant of the sum of two matrices
Basic Properties of Determinants (Con’t)
Page 11Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Find determinant of A, B and A+B and prove Theorem 3
Example 3
Page 12Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Example 3 (Cont.)
Page 13Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Teorema 3 terbukti
Teorema 4
Basic Properties of Determinants (Con’t)
Page 14Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Evaluate the determinant
Example 5
Page 15Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Teorema 5 : Determinant Test for Invertibility
Basic Properties of Determinants (Con’t)
Page 16Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
From the following matrices, determine whether a matrix is
invertible or not
a) b) c)
Example 6
Page 17Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Solution
a)
Example 6 (Con’t)
Singular
Page 18Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
b)
c) Since the first and the third rows are proportional, then the determinant’s value is zero (means that the matrix is singular)
Non singular or invertible
Teorema 6
If A is invertible, then
Basic Properties of Determinants (Con’t)
Page 19Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Example 7
Page 20Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Solution
Example 7 (Con’t)
Page 21Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
|A-1| = (-1/2)(3/8-1/8) + (-1)
(-3/16+3/16)+1/2
(-3/8+9/8)
= 1/4
Sesuai dengan Teorema 6
Teorema 7 : Determinant of a Transpose
Basic Properties of Determinants (Con’t)
Page 22Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Example 8
Page 23Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Solution
Example 8 (Con’t)
Page 24Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Sesuai dengan Teorema 7
A COMBINATORIAL APPROACH TO
DETERMINANTS
A COMBINATORIAL APPROACH TO DETERMINANTS
Page 26Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Note : Hanya untuk matriks 2x2 dan 3x3
Evaluate the determinants of
Example 9
Page 27Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Solution
Example 9 (Con’t)
Page 28Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
Ruang Solusi dari Sistem Persamaan Linier Ax = b dapat dicari
dengan cara:
• Eliminasi-substitusi
• Eliminasi Gauss & substitusi balik
• Eliminasi Gauss-Jordan
• Menentukan invers A–1, lalu x = A–1b
Summary (1)
Page 29Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
• Menentukan invers A–1, lalu x = A–1b
• Aturan Cramer
Menghitung determinant dari sebuah matriks :
• Ekspansi Kofaktor Baris
• Ekspansi Kofaktor Kolom
• Reduksi Baris
• Reduksi Kolom
• Kombinatorial
Summary (2)
Page 30Surabaya, 03 Oktober 2012 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR – DETERMINAN MATRIKS
• Kombinatorial