kriteria(kinerja)
TRANSCRIPT
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
KRITERIA
PERFORMANSI (KINERJA)
Masa lalu, kriteria untuk penilaian terhadap suatu sistem, adalah stabilitas dan ketelitian
statis (static accuracy).
Kepesatan perkembangan sistem pengontrolan, dimana segala sesuatu yang dihasilkan suatu
sistem makin kompleks, maka perlu keberadaan kriteria yang lebih tepat.
Kinerja suatu sistem pengontrolan bergantung kepada stabilitas, sensisitivitas, ketelitian
statis, transient response, dan residual noise jitter.
Penetapan kriteria yang digunakan bergantung kepada tujuan atau fungsi sistem
pengontrolan tersebut.
Masalah-masalah yang akan dibahas selanjutnya:
(a) Stabilitas, (b) Sensistivitas,
(c) Ketelitian Statis,
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
(d) Transient Response,
(e) Integral of Time Multiplied by Absolute Error (ITAE), dan
(f) Kriteria Kesalahn RMS (RMS-error). +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1 STABILITAS Suatu sistem pengontrolan feedback harus stabil, walaupun sinyal masukan bermacam-
macam bentuk, misal terdapat sinyal masukan yang tidak diinginkan masuk ke dalam loop
(derau = noise), naik-turunnya catu daya (power supply), dan perubahan-perubahan yang terjadi pada beberapa parameter daam sistem.
###Timbul pertanyaan, apa sebenarnya yang dimaksud dengan stabil? Hal ini merupakan
konsep matematis yang tidak akan dibicarakan/dibahas di isini. Cukup hanya diketahui
saja, kapan suatu sistem tersebut tidak stabil. Sistem disebut tidak stabil kalau dengan
sinyal masukan yang terbatas menghasilkan keluaran yang tidak berhingga.
Suatu sistem umpan balik (feedback) sederhana dengan closed loop transfer function
(CLTF):
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐ฎ(๐)
๐ + ๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐)
Untuk kondisi ๐บ(๐ ) terbatas, ๐ถ(๐ ) akan menjadi tidak berhingga, apabila 1 + ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ ).
Hal itu akan terjadi, apabila |๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐)| = ๐ dan โ ๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐) = ยฑ๐๐๐๐.
Margin (jarak) terhadap |๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐)| = ๐, disebut โ๐ฎ๐จ๐ฐ๐ต ๐ด๐จ๐น๐ฎ๐ฐ๐ตโ, sedangkan
margin terhadap โ ๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐) = โ๐๐๐๐, disebut โ๐ท๐ฏ๐จ๐บ๐ฌ ๐ด๐จ๐น๐ฎ๐ฐ๐ตโ.
Untuk suatu sistem yang stabil, biasanya dipilih:
) ๐ท๐ฏ๐จ๐บ๐ฌ ๐ด๐จ๐น๐ฎ๐ฐ๐ต = ๐๐๐ , artinya pada waktu
|๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐)| = ๐, ๐ท๐ฏ๐จ๐บ๐ฌ = โ๐๐๐๐ .
) ๐ฎ๐จ๐ฐ๐ต ๐ด๐จ๐น๐ฎ๐ฐ๐ต = ๐ >>>(= 12 dB), artinya pada waktu
โ ๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐) = โ๐๐๐๐, ๐ฎ๐จ๐ฐ๐ต =๐
๐.
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
2 SENSITIVITAS
Sensitivitas adalah ketergantungan suatu karakteristik terhadap elemen tertentu dalam sistem
tersebut.
Misal:
๐ป๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ =๐ช(๐)
๐น(๐)
๐ฒ = ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐
Maka: ๐ป๐ terhadap ๐ฒ didefinisikan:
๐บ๐ฒ๐ป๐ =
๐ ๐ป๐๐ป๐
โ
๐ ๐ฒ๐ฒโ
๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โโโ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ป๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฒ
Contoh:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
K1 +-
G
K2
CR
๐ป๐ =๐ช
๐น= ๐ฒ๐
๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ=
๐ฒ๐๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ
Untuk diketahui:
๐ป๐
๐ฒ๐=
๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎโ ๐๐๐๐ โ
๐ฒ๐
๐ป๐=
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ
๐ฎ
(a) Sensitivitas terhadap ๐ฒ๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐บ๐ฒ๐
๐ป๐ =
๐ ๐ป๐๐ป๐
โ
๐ ๐ฒ๐๐ฒ๐
โ=
๐ฒ๐
๐ป๐โ
๐ ๐ป๐
๐ ๐ฒ๐
sedangkan:
๐
๐ ๐ฒ๐๐ป๐ =
๐
๐ ๐ฒ๐[
๐ฒ๐๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ] =
๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ
dan
โโ๐ฒ๐
๐ป๐=
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ
๐ฎ
๐บ๐ฒ๐
๐ป๐ =๐ฒ๐
๐ป๐โ
๐ ๐ป๐
๐ ๐ฒ๐=
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ
๐ฎโ
๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ= ๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐บ๐ฒ๐
๐ป๐ = ๐
Untuk kondisi dimana ๐ฒ๐ berubah x%, maka ๐ป๐ juga berubah x%.
(b) Sensitivitas terhadap ๐ฒ๐
๐บ๐ฒ๐
๐ป๐ =
๐ ๐ป๐๐ป๐
โ
๐ ๐ฒ๐๐ฒ๐
โ=
๐ฒ๐
๐ป๐โ
๐ ๐ป๐
๐ ๐ฒ๐
sedangkan:
๐
๐ ๐ฒ๐๐ป๐ =
๐
๐ ๐ฒ๐[
๐ฒ๐๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ] =
๐ฒ๐๐ฎ๐
(๐ + ๐ฒ๐๐ฎ)๐= โ
๐ป๐๐
๐ฒ๐
Sehingga:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐๐พ2
๐๐ =
๐๐๐๐๐
โ
๐๐พ2๐พ1
โ=
๐พ2
๐๐โ (โ
๐๐2
๐พ1) = โ
๐พ2๐๐
๐พ1= โ
๐พ2
๐พ1โ
๐พ1๐บ
1 + ๐พ2๐บ
๐บ๐ฒ๐
๐ป๐ = โ๐ฒ๐๐ฎ
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ
Kalau (diinginkan) ๐ฒ๐๐ฎ โซ ๐, maka:
๐๐พ2
๐๐ = โ๐พ2๐บ
๐พ2๐บ= โ1
๐บ๐ฒ๐
๐ป๐ = โ๐
(c) Sensitivitas terhadap ๐ฎ:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐บ๐ฎ๐ป๐ =
๐ ๐ป๐๐ป๐
โ
๐ ๐ฎ๐ฎโ
=๐ฎ
๐ป๐โ
๐ ๐ป๐
๐ ๐ฎ
sedangkan:
๐
๐๐บ๐๐ =
๐
๐๐บ[
๐พ1๐บ
1 + ๐พ2๐บ] =
๐พ1(1 + ๐พ2๐บ) โ ๐พ1๐พ2๐บ
(1 + ๐พ2๐บ)2
๐
๐๐บ๐๐ =
๐พ1 + ๐พ1๐พ2๐บ โ ๐พ1๐พ2๐บ
(1 + ๐พ2๐บ)2 =๐พ1
(1 + ๐พ2๐บ)2
Sehingga:
๐บ๐ฎ๐ป๐ ==
๐ฎ
๐ป๐โ
๐ฒ๐
(๐ + ๐ฒ๐๐ฎ)๐=
๐ฎ(๐ + ๐ฒ๐๐ฎ)
๐ฒ๐๐ฎโ
๐ฒ๐
(๐ + ๐ฒ๐๐ฎ)๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐บ๐ฎ๐ป๐ =
๐
๐ + ๐ฒ๐๐ฎ
3 KETELITIAN STATIS
(STEADY STATE ERROR) Secara teroritis, suatu sistem harus mampu mengikuti perubahan-perubahan posisi,
kecepatan, percepatan, dan perubahan-perubahan derivative yang orde-nya lebih tinggi tanpa harus ada kesalahan (error). Namun keinginan seperti tersebut tidaklah praktis/realitis.
Untuk penentuan penampilan โsteady stateโ suatu sistem harus digunakan โfinite value theoremโ Transformasi Laplace.
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Suatu sistem yang stabil, nilai transien cenderung menjadi kecil dan sistem mendekati
keadaan โsteady stateโ pada waktu (๐ก) mendekati tidak berhingga.
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
[๐ โ ๐ญ(๐)]
Steady State Error (sse), terdapat 3 golongan:
(i) Zero Error Keluaran mengikuti masukan tanpa terdapat kesalahan
(ii) Finite and Constant Error Keluaran mengikuti masukan dengan kesalahan yang tertentu dan sifatnya konstan.
(iii) Infinite Error Keluaran menyimpang dari masukan dengan kesalahan yang semakin besar. Hal itu
berarti, bahwa sistem tersebut tidak dapat mengikuti masukan sama sekali.
Diinginkan dicari kesalahan steady state error suatu sistem feedback sederhana:
๐ฌ(๐)
๐น(๐)=
๐
๐ + ๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Kesalahan Steady State:
๐(๐)๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐(๐) = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ โ ๐ (๐ )
1 + ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ )
Umumnya, ingin diketahui kemampuan sistem mengikuti posisi, kecepatan, dan percepatan.
Untuk itu diberikan masukan seperti tabel berikut:
๐(๐) ๐ญ๐๐๐๐๐ ๐น(๐)
1 Unit Step 1
๐
๐ก Unit Ramp 1
๐ 2
๐ก2 Unit Parabolik 2
๐ 3
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Untuk penentuan kesalahan steady state, ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ ) ditulis dalam bentuk:
๐ฎ(๐) โ ๐ฏ(๐) =๐ฒ(๐ + ๐ป๐๐)(๐ + ๐ป๐๐) โฏ (๐ + ๐ป๐ด๐)
๐บ๐[(๐ป๐๐)๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐](๐ + ๐ป๐๐) โฏ (๐ + ๐ป๐ต๐)
dengan: ๐พ= overall gain factor dan ๐ = tipe sistem tersebut.
(a) Masukan unit step: ๐น(๐) =๐
๐
๐(๐)๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ โ1๐
1 + ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ )
๐(๐)๐๐ =๐
๐ + ๐ฒ๐ฉ
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ฒ๐ฉ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ ) = konstanta posisi (position constant)
Untuk sistem:
#tipe-0: ๐ฒ๐ฉ = ๐ฒ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+๐ฒ
#tipe-1: ๐ฒ๐ฉ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
#tipe-2: ๐ฒ๐ฉ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
#tipe-3: ๐ฒ๐ฉ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
#tipe-n: ๐ฒ๐ฉ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
(b) Masukan unit ramp: ๐น(๐) =๐
๐๐
๐(๐)๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ โ1๐ 2
1 + ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ )=
๐ โ1๐ 2
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ โ ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ )
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐(๐)๐๐ =๐
๐ + ๐ฒ๐ฏ
๐ฒ๐ฏ = ๐ฅ๐ข๐ฆ
๐โ๐ ๐ โ ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ ) = konstanta kecepatan (velocity constant)
Untuk sistem:
#tipe-0: ๐ฒ๐ฏ = ๐; ๐(๐)๐๐ =๐
๐= โ
#tipe-1: ๐ฒ๐ฏ = ๐ฒ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐
#tipe-2: ๐ฒ๐ฏ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
#tipe-3: ๐ฒ๐ฏ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
#tipe-n: ๐ฒ๐ฏ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
(c) Masukan unit parabolik: ๐น(๐) =๐
๐๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐(๐)๐๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ โ2๐ 3
1 + ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ )=
2
๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ 2 โ ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ )=
2
๐พ๐
๐(๐)๐๐ =๐
๐ + ๐ฒ๐
๐ฒ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โ๐
๐ 2 โ ๐บ(๐ ) โ ๐ป(๐ ) = konstanta percepatan (acceleration constant)
Untuk sistem:
#tipe-0: ๐ฒ๐ = ๐; ๐(๐)๐๐ =๐
๐= โ
#tipe-1: ๐ฒ๐ = ๐; ๐(๐)๐๐ =๐
๐= โ
#tipe-2: ๐ฒ๐ = ๐ฒ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐
#tipe-3: ๐ฒ๐ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
#tipe-n: ๐ฒ๐ = โ; ๐(๐)๐๐ =๐
๐+โ= ๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
4 RESPON/TANGGAPAN
TRANSIEN/PERALIHAN
(TRANSIENT RESPONSE)
TRANSIENT RESPONSE biasanya ditentukan untuk masukan tangga satuan (unit step input).
Parameter-parameter karakteristik transien diukur untuk masukan unit step yang diberikan kepada sistem orde-2.
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Untuk sistem dengan orde lebih tinggi dari 2 dilakukan pendekatan (approximation). Dipilih
kutub-kutub konjuget (conjugate poles) yang paling dominan (yang paling dekat dengan
sumbu khayal, sumbu tegak). Hal ini dibicarakan lebih lanjut pada bagian mengenai ROOT LOCUS (tempat-tempat kedudukan akar, TKA).
(1) Tanggapan sistem feedback (umpan balik) orde-2 Telah diturunkan TF dari servomotor ac fase dua, diperoleh:
๐ถ(๐ )
๐ (๐ )=
๐พ๐
๐ (๐๐๐ + 1)
Misal, sistem akan dijadikan otomatis dengan memakai feedback, diagram blok-nya
menjadi:
+-
Km
s(Tm.s+1)
C(t)R(t) E(t)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
TF akan berubah menjadi:
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐ฒ๐
๐(๐ป๐๐ + ๐)
๐ +๐ฒ๐
๐(๐ป๐๐ + ๐)
=
๐ฒ๐
๐(๐ป๐๐ + ๐)
๐(๐ป๐๐ + ๐)๐(๐ป๐๐ + ๐)
+๐ฒ๐
๐(๐ป๐๐ + ๐)
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐ฒ๐
๐(๐ป๐๐ + ๐)
๐(๐ป๐๐ + ๐) + ๐ฒ๐
๐(๐ป๐๐ + ๐)
=๐ฒ๐
๐(๐ป๐๐ + ๐) + ๐ฒ๐
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐ฒ๐
๐ป๐๐๐ + ๐ + ๐ฒ๐
Pembilang dan penyebut dibagi dengan ๐๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐ฒ๐๐ป๐
๐๐ +๐
๐ป๐+
๐ฒ๐
๐ป๐
Normalisasi ke bentuk persamaan dasar:
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐๐๐
๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐
Diketahui:
๐๐๐ =
๐ฒ๐
๐ป๐ dan ๐๐๐๐ =
๐
๐ป๐ โ ๐ =
๐
๐๐๐๐ป๐
๐๐ = omega-n = frekuensi resonansi (resonant frequency)
๐ = dibaca โxiโ = faktor redaman (damping factor).
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Persamaan tersebut diberikan masukan unit step ke sistem, maka ๐ (๐ ) akan ๐
๐, diperoleh:
๐ถ(๐ ) =๐๐
2
๐ (๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2)
=๐๐
2
๐ {[(๐ + ๐๐๐)2 โ (๐2๐๐2 โ ๐๐
2)]}
๐ถ(๐ ) =๐๐
2
๐ {[(๐ + ๐๐๐)2 โ (๐2 โ 1)๐๐2]}
=๐๐
2
๐ {[(๐ + ๐๐๐)2] โ [(โ๐2 โ 1)2
๐๐2]}
๐ช(๐) =๐๐
๐
๐ (๐ + ๐๐๐ + ๐๐โ๐๐ โ ๐) (๐ + ๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐)
(a) Keadaan-1: Damping Factor (๐) = 1
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐) =๐๐
๐
๐(๐ + ๐๐)๐
Ekspansi Heaviside:
๐๐2
๐ (๐ + ๐๐)2=
๐ด
๐ +
๐ต
(๐ + ๐๐)+
๐ถ
(๐ + ๐๐)2
๐ด =๐๐
2
๐ (๐ + ๐๐)2โ ๐ |
๐ = 0=
๐๐2
๐๐2
= 1
๐ถ =๐๐
2
๐ (๐ + ๐๐)2โ (๐ + ๐๐)2|
๐ = โ๐๐=
๐๐2
โ๐๐= โ๐๐
๐ต =๐
๐๐ (
๐๐2
๐ )|
๐ = โ๐๐=
0 โ ๐๐2
(โ๐๐)2=
โ๐๐2
๐๐2
= โ1
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Persamaan awal:
๐ช(๐) =๐จ
๐+
๐ฉ
(๐ + ๐๐)+
๐ช
(๐ + ๐๐)๐
Nilai A, B, dan C disubstitusikan, diperoleh:
๐ถ(๐ ) =1
๐ โ
1
(๐ + ๐๐)โ
๐๐
(๐ + ๐๐)2
Maka:
๐ถ(๐ก) = โโ1[๐ถ(๐ )] = โโ1 [1
๐ ] โ โโ1 [
1
(๐ + ๐๐)] โ โโ1 [
๐๐
(๐ + ๐๐)2]
Diperoleh hasil:
๐ช(๐) = ๐ โ ๐โ๐๐๐ โ ๐๐๐๐โ๐๐๐ >>>critically damped
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Ctritically Damped
)()( tcdantr
tn
)(tr
)(tc
(b) Keadaan-2: Damping Factor (๐) > 1
๐ช(๐) =๐๐
๐
๐ (๐ + ๐๐๐ + ๐๐โ๐๐ โ ๐) (๐ + ๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐)
Dijabarkan dengan partial fraction:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐) =๐จ
๐+
๐ฉ
๐ + ๐๐๐ + ๐๐โ๐๐ โ ๐+
๐ช
๐ + ๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐
๐จ =๐๐
๐
(๐ + ๐๐๐ + ๐๐โ๐๐ โ ๐) (๐ + ๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐)|
๐ = ๐
๐จ =๐๐
๐
(๐๐๐ + ๐๐โ๐๐ โ ๐) (๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐)
๐จ =๐๐
๐
๐๐๐๐๐ โ ๐๐
๐(๐๐ โ ๐)=
๐๐๐
๐๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐
๐ + ๐๐๐
= ๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ฉ =๐๐
๐
๐ (๐ + ๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐)|
๐ = โ๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐
๐ฉ =๐๐
๐
โ๐๐ (๐ + โ๐๐ โ ๐) [โ๐๐ (๐ + โ๐๐ โ ๐) + ๐๐๐ โ ๐๐โ๐๐ โ ๐]
๐ต =๐๐
2
๐๐2(๐ + โ๐2 โ 1)
2โ ๐๐
2๐(๐ + โ๐2 โ 1) + ๐๐2(๐โ๐2 โ 1)(โ๐2 โ 1)
๐ต =๐๐
2
๐๐2(๐2 + 2๐โ๐2 โ 1 + ๐2 โ 1) โ ๐๐
2๐2 โ ๐๐2๐โ๐2 โ 1 + ๐๐๐โ๐2 โ 1 + ๐๐(๐2 โ 1)
๐ต =๐๐
2
๐๐2(๐2 + 2๐โ๐2 โ 1 + ๐2 โ 1 โ ๐2 โ ๐โ๐2 โ 1 + ๐โ๐2 โ 1 + ๐2 โ 1)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ต =๐๐
2
2๐2 + 2๐โ๐2 โ 1 โ 2=
๐๐2
2(๐2 + ๐โ๐2 โ 1 โ 1)
๐ฉ = [๐ (๐๐ + ๐โ๐๐ โ ๐ โ ๐)]โ๐
๐ช =๐๐
๐
๐ (๐ + ๐๐๐ + ๐๐โ๐๐ โ ๐)|
๐ = โ๐๐๐ + ๐๐โ๐๐ โ ๐
๐ถ =๐๐
2
โ๐๐(๐ โ โ๐2 โ 1) [โ๐๐(๐ โ โ๐2 โ 1) + ๐๐๐ + ๐๐โ๐2 โ 1]
๐ถ =๐๐
2
๐๐2(๐ โ โ๐2 โ 1)
2
โ ๐๐2๐(๐ โ โ๐2 โ 1) โ ๐๐
2(๐ โ โ๐2 โ 1)(โ๐2 โ 1)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ =๐๐
2
๐๐2(๐2 โ 2๐โ๐2 โ 1 + ๐2 โ 1) โ ๐๐
2๐2 + ๐๐2๐โ๐2 โ 1 โ ๐๐
2๐โ๐2 โ 1 + ๐๐2(๐2 โ 1)
๐ถ =๐๐
2
๐๐2(๐2 โ 2๐โ๐2 โ 1 + ๐2 โ 1 โ ๐2 + ๐โ๐2 โ 1 โ ๐โ๐2 โ 1 + ๐2 โ 1)
๐ถ =1
2๐2 โ 2๐โ๐2 โ 1 โ 2=
1
2(๐2 โ ๐โ๐2 โ 1 โ 1)
๐ช = [๐ (๐๐ โ ๐โ๐๐ โ ๐ โ ๐)]โ๐
Substitusi ๐ด, ๐ต, dan ๐ถ ke persamaan awal, diperoleh:
๐ถ(๐ ) =1
๐ +
[2(๐2 + ๐โ๐2 โ 1 โ 1)]โ1
๐ + (๐๐๐ + ๐๐โ๐2 โ 1)+
[2(๐2 โ ๐โ๐2 โ 1 โ 1)]โ1
๐ + (๐๐๐ โ ๐๐โ๐2 โ 1)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Maka:
๐ช(๐) = ๐โ๐[๐ช(๐)]
๐ถ(๐ก) = 1 +๐โ(๐+โ๐2โ1)๐๐๐ก
2(๐2 + ๐โ๐2 โ 1 โ 1)+
๐โ(๐โโ๐2โ1)๐๐๐ก
2(๐2 โ ๐โ๐2 โ 1 โ 1)
>>>over damped
Over Damped
)()( tcdantr
tn
)(tr
)(tc
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
(c) Keadaan-3: Damping Factor (๐) < 1
๐ช(๐) =๐๐
๐
๐(๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐)
Ekspansi Heaviside:
๐ช(๐) =๐๐
๐
๐(๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐)
=๐จ
๐+
๐ฉ๐ + ๐ช
๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐
๐ถ(๐ ) =๐ด(๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐
2) + ๐ (๐ต๐ + ๐ถ)
๐ (๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2)
=๐ด๐ 2 + 2๐ด๐๐๐๐ + ๐ด๐๐
2 + ๐ต๐ 2 + ๐ถ๐
๐ (๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2)
Persamaannya:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ(๐ ) =๐๐
2
๐ (๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2)
=(๐ด + ๐ต)๐ 2 + (2๐ด๐๐๐ + ๐ถ)๐ + ๐ด๐๐
2
๐ (๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2)
๐ด + ๐ต = 0 โ ๐ต = โ๐ด
2๐ด๐๐๐ + ๐ถ = 0
๐๐2 = ๐ด๐๐
2 โ ๐ด =๐๐
2
๐๐2
โ ๐จ = ๐
๐ต = โ๐ด โ ๐ฉ = โ๐
2๐ด๐๐๐ + ๐ถ = 0 โ 2(1)๐๐๐ + ๐ถ = 0 โ ๐ช = โ๐(๐)๐๐๐
๐ถ(๐ ) =๐ด
๐ +
๐ต๐ + ๐ถ
๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2
=1
๐ โ
๐ + 2๐๐๐
๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ(๐ ) =1
๐ โ (
๐ + ๐๐๐๐
๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐
)
โโโ)
***) ๐ + ๐๐๐๐
๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐ =
๐ + 2๐๐๐
(๐ + ๐๐๐)2 + ๐๐2 โ ๐2๐๐
2 =๐ + 2๐๐๐
(๐ + ๐๐๐)2 + ๐๐2(1 โ ๐2)
=๐ + 2๐๐๐
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2 =
๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2
=(๐ + ๐๐๐)
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2 +
๐๐๐
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
=(๐ + ๐๐๐)
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2 +
๐
โ1 โ ๐2โ
๐๐โ1 โ ๐2
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2
Sehingga:
๐ถ(๐ ) =1
๐ +
๐ต๐ + ๐ถ
๐ 2 + 2๐๐๐๐ + ๐๐2
๐ถ(๐ ) =1
๐ โ
(๐ + ๐๐๐)
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2 โ
๐
โ1 โ ๐2โ
๐๐โ1 โ ๐2
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2
๐ถ(๐ก) = โโ1[๐ถ(๐ )]
๐ถ(๐ก) = โโ1 [1
๐ ] โ โโ1 [
(๐ + ๐๐๐ )
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2
] โ โโ1 [๐
โ1 โ ๐2โ
๐๐ โ1 โ ๐2
(๐ + ๐๐๐)2 + (๐๐ โ1 โ ๐2)2
]
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐) = ๐ โ ๐โ๐๐๐๐ ๐๐จ๐ฌ (๐๐ โ๐ โ ๐๐) ๐ โ๐
โ๐ โ ๐๐โ ๐โ๐๐๐๐ ๐ฌ๐ข๐ง (๐๐ โ๐ โ ๐๐) ๐
1
)(tC
tnrnt
Under Damped (terjadi overshoot dan oscillation)
Cara lain:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
j
j
21 nj
21 nj
n
n
22
11
sin
n
n
n
ncos
Persamaan awal:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐) =๐๐
๐
๐(๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐)
๐ถ(๐ ) =๐๐
2
๐ [(๐ + ๐๐๐)2 +] + ๐๐2 + ๐2๐๐
2
๐ถ(๐ ) =๐๐
2
๐ [(๐ + ๐๐๐)2 โ (โโ1๐๐ โ1 โ ๐2)2
] ; โโ1 = ๐
๐ถ(๐ ) =๐๐
2
๐ {[(๐ + ๐๐๐) + ๐๐๐ โ1 โ ๐2] [(๐ + ๐๐๐) โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2]}
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ(๐ ) =๐๐
2
๐ (๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2) (๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2)
๐ถ(๐ ) =๐ด
๐ +
๐ต
๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2+
๐ถ
๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2
Konstanta A
๐ด =๐๐
2
(๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2)(๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2)|
๐ = 0
๐ด =๐๐
2
๐2๐๐2 + ๐๐
2(1 โ ๐2)=
๐๐2
๐2๐๐2 + ๐๐
2 โ ๐2๐๐2
=๐๐
2
๐๐2
๐จ = 1
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Konstanta Bโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.
๐ต =๐๐
2
๐ (๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2)|
๐ = โ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2
๐ต =๐๐
2
๐ 2 + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2 โ ๐
๐ต =๐๐
2
(โ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2)2
+ [(๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2)(โ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2)]
โฆโฆโฆโฆโฆโฆ..
๐ต =๐๐
2
โ2๐๐2( 1 โ ๐2) + ๐2๐๐๐
2โ1 โ ๐2
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ต =๐๐
2
๐๐2 [โ2( 1 โ ๐2) + ๐2๐โ1 โ ๐2]
๐ต =1
โ2( 1 โ ๐2) + ๐2๐โ1 โ ๐2
Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:
cos ๐ผ = โ๐
sin ๐ผ = โ1 โ ๐2 โ ๐ ๐๐2๐ผ = 1 โ ๐2
๐ต =1
โ2( ๐ ๐๐2๐ผ) + ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ
๐ต =1
โ2๐ ๐๐2๐ผ + ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผโ
(โ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ + 2๐ ๐๐2๐ผ)
(โ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ + 2๐ ๐๐2๐ผ)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ต =2๐ ๐๐2๐ผ โ ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ
(โ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ)2 โ (2๐ ๐๐2๐ผ)2=
2 sin ๐ผ (sin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ)
โ4 cos2 ๐ผ sin2 ๐ผ โ 4๐ ๐๐2๐ผ
๐ต =2 sin ๐ผ (sin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ)
โ4 sin2 ๐ผ (1 โ sin2 ๐ผ) โ 4๐ ๐๐2๐ผ=
2 sin ๐ผ (sin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ)
โ4 sin2 ๐ผ + 4 sin4 ๐ผ โ 4๐ ๐๐4๐ผ
๐ต =sin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ
โ2 sin ๐ผ=
sin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ
โ2 sin ๐ผโ (
๐
๐) =
๐sin ๐ผ + cos ๐ผ
โ2๐ sin ๐ผ=
โ(cos ๐ผ + ๐sin ๐ผ)
2๐ sin ๐ผ
Ingat persamaan Euler! cos ๐ผ + ๐sin ๐ผ = ๐๐๐ผ
๐ฉ =โ๐๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ
Konstanta C
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ =๐๐
2
๐ (๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2)|
๐ = โ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2
๐ถ =๐๐
2
๐ 2 + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2 โ ๐
๐ถ =๐๐
2
(โ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2)2
+ [(๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2)(โ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2)]
โฆโฆโฆโฆโฆโฆ..
๐ถ =๐๐
2
โ2๐๐2( 1 โ ๐2) โ ๐2๐๐๐
2โ1 โ ๐2
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ =๐๐
2
๐๐2 [โ2( 1 โ ๐2) โ ๐2๐โ1 โ ๐2]
๐ถ =1
โ2( 1 โ ๐2) โ ๐2๐โ1 โ ๐2
Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:
cos ๐ผ = โ๐
sin ๐ผ = โ1 โ ๐2 โ ๐ ๐๐2๐ผ = 1 โ ๐2
๐ถ =1
โ2๐ ๐๐2๐ผ + ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ
๐ถ =1
โ2๐ ๐๐2๐ผ + ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผโ
(๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ + 2๐ ๐๐2๐ผ)
(๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ + 2๐ ๐๐2๐ผ)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ =2๐ ๐๐2๐ผ + ๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ
(๐2 cos ๐ผ sin ๐ผ)2 โ (2๐ ๐๐2๐ผ)2=
2 sin ๐ผ (sin ๐ผ + ๐ cos ๐ผ)
โ4 cos2 ๐ผ sin2 ๐ผ โ 4๐ ๐๐4๐ผ
๐ถ =2 sin ๐ผ (sin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ)
โ4 sin2 ๐ผ (1 โ sin2 ๐ผ) โ 4๐ ๐๐4๐ผ=
2 sin ๐ผ (sin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ)
โ4 sin2 ๐ผ + 4 sin4 ๐ผ โ 4๐ ๐๐4๐ผ
๐ถ =โsin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ
2 sin ๐ผ=
โsin ๐ผ โ ๐ cos ๐ผ
2 sin ๐ผโ (
๐
๐) =
โ๐sin ๐ผ + cos ๐ผ
2๐ sin ๐ผ=
cos ๐ผ โ ๐sin ๐ผ
2๐ sin ๐ผ
Ingat persamaan Euler! cos ๐ผ โ ๐sin ๐ผ = ๐โ๐๐ผ
๐ช =๐โ๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ
Substitusi ๐ด, ๐ต, dan ๐ถ ke persamaan awal:
๐ถ(๐ ) =๐ด
๐ +
๐ต
๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2+
๐ถ
๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
diperoleh:
๐ถ(๐ ) =1
๐ โ
๐๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ
๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2+
๐โ๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ
๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2
INGATโฆ..!
sin(๐ผ ยฑ ๐ฝ) = sin ๐ผ cos ๐ฝ ยฑ cos ๐ผ sin ๐ฝ
sin ๐ผ = ๐๐๐ผ โ ๐โ๐๐ผ
2
cos ๐ผ = ๐๐๐ผ + ๐โ๐๐ผ
2
๐ถ(๐ก) = โโ1[๐ถ(๐ )]
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ(๐ก) = โโ1 [1
๐ ] โ โโ1 [
๐๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ
๐ + ๐๐๐ + ๐๐๐ โ1 โ ๐2] โ โโ1 [
๐โ๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ
๐ + ๐๐๐ โ ๐๐๐ โ1 โ ๐2]
๐ถ(๐ก) = 1 +๐โ๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ๐โ(๐๐๐โ๐๐๐ โ1โ ๐2)๐ก โ
๐๐๐ผ
2๐ sin ๐ผ๐โ(๐๐๐+๐๐๐ โ1โ ๐2)๐ก
๐ถ(๐ก) = 1 +๐โ๐๐๐๐ก
sin ๐ผ(
๐๐(๐๐ โ1โ ๐2 ๐กโ๐ผ)
2๐โ
๐โ๐(๐๐ โ1โ ๐2 ๐กโ๐ผ)
2๐)
๐ช(๐) = ๐ +๐โ๐๐๐๐
๐ฌ๐ข๐ง ๐ถโ
๐๐(๐๐ โ๐โ ๐๐ ๐โ๐ถ)
โ ๐โ๐(๐๐ โ๐โ ๐๐ ๐โ๐ถ)
๐๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ถ(๐ก) = 1 +๐โ๐๐๐๐ก
โ1 โ ๐2โ sin (๐๐ โ1 โ ๐2 ๐ก โ ๐ผ)
Penyelesaian terhadap
sin (๐๐ โ1 โ ๐2 ๐ก โ ๐ผ) = sin (๐๐ โ1 โ ๐2 ๐ก) cos ๐ผ โ cos (๐๐ โ1 โ ๐2 ๐ก) sin ๐ผ
Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:
cos ๐ผ = โ๐
sin ๐ผ = โ1 โ ๐2 โ ๐ ๐๐2๐ผ = 1 โ ๐2
sin (๐๐ โ1 โ ๐2 ๐ก โ ๐ผ) = โ๐ sin (๐๐ โ1 โ ๐2 ๐ก) โ โ1 โ ๐2 cos (๐๐ โ1 โ ๐2 ๐ก)
๐ช(๐) = ๐ +โ๐
โ๐ โ ๐๐โ ๐โ๐๐๐๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง (๐๐ โ๐ โ ๐๐ ๐) โ ๐โ๐๐๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ (๐๐ โ๐ โ ๐๐ ๐)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
>>>under damped
1
)(tC
tnrnt
Under Damped (terjadi overshoot dan oscillation)
Dalam keadaan-3, terdapat beberapa hal yang perlu dicermati: (i) Frekuensi getaran (damped frequency of oscillation)
๐๐ = ๐๐ = ๐๐ โ๐ โ ๐๐ (ii) Periode Getaran
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐๐ = ๐๐ =๐๐
๐๐=
๐๐
๐๐โ๐ โ ๐๐
(iii) Peak Overshoot terjadi pada:
๐๐ =๐๐
๐=
๐
๐๐โ๐ โ ๐๐
(iv) ๐ช(๐) maksimum terjadi pada peak overshoot
๐ช(๐)๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐ + ๐
โ๐๐
โ๐โ ๐๐โ
peak overshoot (biasanya) dinyatakan dalam persentase
(2) Tanggapan transien sistem feedback (umpan balik) orde-2 Dimisalkan suatu sistem orde-2 dengan CLTF (closed loop transfer function)
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐๐๐
๐๐+๐๐๐๐๐+๐๐๐ , dengan: ๐ < 1
Tanggapan terhadap masukan unit step, adalah:
๐ช(๐) = ๐ +๐โ๐๐๐๐
โ๐ โ ๐๐๐ฌ๐ข๐ง (๐๐๐โ๐ โ ๐๐ โ ๐ถ)
Sebagaimana yang telah dicari.
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
1
21e
)(tC
tnsntrnt
21sin arc
05,01
(*) Rise Time: ๐ก๐ =๐
๐๐โ1โ๐2 waktu untuk mencapai peak overshoot.
(**) Settling Time: ๐ก๐ = 4๐๐๐ waktu untuk mencapai kondisi dimana kesalahan
mutlak lebih kecil atau sama dengan 5%. (***) Parameter yang biasanya dipakai untuk penentuan karakteristik transien, yaitu:
Percentage Peak Overshoot
Rise Time
Settling Time
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
#Jika hanya dilihat ๐ก๐ dan overshoot saja, maka ๐ = 0,4 merupakan nilai
terbaik, tetapi ๐ก๐ akan menjadi besar.
#Jika ๐ก๐ dijadikan criteria, maka dipilih ๐ = 0,7.
#Pada umumnya, dipilih nilai ๐ pada kisaran 0,4-0,7
5 KRITERIA ITAE
(Integral of Time Multiplied by Absolute Error)
Dalam criteria transien, ๐ก๐, ๐ก๐ , dan peak overshoot ditinjau secara terpisah, padahal sebenarnya saling berkaitan.
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Semakin kecil ๐ก๐, semakin besar peak overshoot dan semakin besar pula ๐ก๐ .
Kriteria ITAE melihat semua parameter secara keseluruhan. Berdasarkan cara ini, kesalahan pada saat-saat permulaan tidak selalu dianggap buruk, karena hal ini sering tidak dapat
dihindarkan dalam suatu sistem pengontrolan
Melalui kriteria ITAE, ๐ผ dibuat minimum, sehingga:
๐ฐ = โซ ๐โ
๐
|๐|๐ ๐
Kriteria ITAE digunakan untuk sistem orde-2, maka akan diperoleh nilai optimum untuk
๐ = ๐, ๐.
Misal:
๐ถ(๐ )
๐ (๐ )=
1
๐น(๐ )
Maka:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐น(๐ ) dengan nilai optimum untuk sistem orde-1 sampai orde-5, yaitu:
Orde-1:
๐ + ๐๐ Orde-2:
๐๐ + ๐, ๐๐๐๐ + ๐๐๐
Orde-3:
๐๐ + ๐, ๐๐๐๐๐๐ + ๐, ๐๐๐๐๐๐ + ๐๐
๐ Orde-4:
๐๐ + ๐, ๐๐๐๐๐ + ๐, ๐๐๐๐๐๐ + ๐, ๐๐๐
๐๐ + ๐๐๐
Orde-5:
๐๐ + ๐, ๐๐๐๐๐ + ๐, ๐๐๐๐๐๐ + ๐, ๐๐๐
๐๐๐ + ๐, ๐๐๐๐๐ + ๐๐
๐ Untuk contoh diambil:
๐๐ + ๐, ๐๐๐๐ + ๐๐๐
dengan: ๐ = ๐, ๐.
TF tersebut akan menghasilkan ๐ฐ yang minimum.
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Contoh (penggunaannya)
+-
K1K2
s2
C(t)E(s)R(s)+
-+
-+
-+
-
b2
b1s
b1
K3
s
K4
s
Untuk sistem tersebut, diketahui:
๐ฒ๐ = ๐๐ฒ๐; ๐ฒ๐ = ๐๐; ๐ฒ๐ = ๐๐; ๐ฒ๐ = ๐; ๐๐ = ๐
Tentukan ๐๐, ๐๐, dan ๐ฒ๐; agar kriteria ITAE terpenuhi!
Jawaban: Digunakan teknik grafik aliran isyarat atau penyederhanaan diagram blok, diperoleh TF:
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
๐ช(๐)
๐น(๐)=
๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐
๐๐ + ๐ฒ๐๐๐ + (๐ฒ๐๐ฒ๐๐๐ + ๐ฒ๐๐๐ + ๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐๐๐)๐๐ + ๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐๐๐๐ + ๐
Untuk penggunaan standar tabel ITAE, TF tersebut harus dinormalisasi melalui cara:
Pembilang dan penyebut dibagi dengan: ๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐
Kemudian masukkan:
๐โฒ =๐
(๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐)๐/๐
Akhirnya, penyebut baru โdisamakanโ dengan:
๐โฒ๐ + ๐, ๐๐๐๐โฒ๐ + ๐, ๐๐๐๐๐โฒ๐ + ๐, ๐๐๐
๐๐โฒ + ๐๐๐
Hasil dapat ditunjukkan, bahwa:
๐ 33/4
(๐พ1๐พ2๐พ3๐พ4)1/4= ๐, ๐๐๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
(๐ฒ๐๐ฒ๐)๐/๐ โ ๐๐
(๐ฒ๐๐ฒ๐)๐/๐+
๐ฒ๐๐/๐ โ ๐๐
(๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐)๐/๐+ (๐ฒ๐+๐ฒ๐+๐ฒ๐+๐ฒ๐)๐/๐๐๐ = ๐, ๐๐๐
๐
(๐ฒ๐๐ฒ๐๐ฒ๐)๐/๐ โ ๐๐
๐ฒ๐๐/๐
= ๐, ๐๐๐๐
๐ = ๐๐๐
Diperoleh hasil:
๐๐ = ๐, ๐; ๐๐ = ๐, ๐๐ โ ๐๐โ๐; ๐ฒ๐ = ๐๐, ๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
6 KRITERIA KESALAHAN RMS
(Root Mean Square, EFEKTIF) Kriteria ini digunakan untuk membuat pengaruh derau minimum. Sistem pengontrolan
biasanya mempunyai masukan (input) yang acak (random). Kalau kriteria ITAE digunakan
untuk sistem yang demikian, maka performansi-nya (kinerja-nya) tidak akan memuaskan, karena kesalahan akan ditentukan oleh probabilitas dari masukan.
Seandainya ITAE tetap akan digunakan, maka harus diperhatikan semua kemungkinan bentuk sinyal masukan, kemudian rata-ratanya harus diambil. Dalam hal itu, performansinya
hanya akan memuaskan untuk โsinyal masukan rata-rataโ. Cara untuk mencari rata-rata agak
sulit, karena menyangkut distribusi probabilitas dari sinyal masukan.
Untuk proses-proses yang mempunyai masukan acak, criteria performansinya yang biasa
digunakan, adalah kesalahan RMS. Contoh:
SISTEMc(t)r(s)
๐(๐ก) = ๐๐๐ ๐ข๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐; ๐ถ๐(๐ก) = ๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐ข๐๐๐๐ขโ๐๐ฆ๐; ๐ถ๐(๐ก) = ๐๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐๐โ๐๐๐๐๐๐
Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor Kepala
Kesalahan RMS = ๐2ฬ ฬ ฬ
๐๐๐ฌ๐๐ฅ๐๐ก๐๐ง ๐น๐ด๐บ = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐ปโโ
๐
๐๐ปโซ [๐ช๐(๐) โ ๐ช๐ (๐)]๐
๐ป
โ๐ป
๐ ๐
Sistem pengontrolan tersebut harus dibuat sedemikian sehingga ๐2ฬ ฬ ฬ minimum.
Beberapa penggunaannya:
rancangan (disain) filter rancangan (disain) equalizer