BAB IVKOSET DAN TEOREMA LAGRANGE

Bab ini mempunyai peran penting untuk mempelajari bab berikutnya yaitu

mengenai subgrup normal dan grup faktor. Disini kita dikenalkan dengan pengertian koset

kiri maupun koset kanan, juga lebih jauh membahas suatu teorema yang sangat terkenal

yakni Teorema Lagrange.

4.1 STANDAR KOMPETENSI

Setelah mempelajari bab ini diharapkan kita dapat mengenal koset-koset suatu subgrup dan

membuktikan Teorema Lagrange.

4.2 KOMPETENSI DASAR

Setelah mempelajari bab ini diharapkan kita mampu:

a Menentukan koset kiri maupun koset kanan suatu subgrup

b Menerapkan Teorema Lagrange.

4.3 KOSET-KOSET

Misalkan H subgrup dari suatu grup G, yang orde-nya berhingga dan tak berhingga.

Kita akan membahas dua partisi pada G lewat definisi relasi ekuivalensi dan pada G.

TEOREMA 4.1

Misalkan H subgrup G , untuk setiap . Relasi (ekuivalensi kiri) didefinisikan

jika dan hanya jika

dan relasi (ekuivalensi kanan) didefinisikan

jika dan hanya jika .

Maka relasi dan relasi pada G merupakan relasi ekuivalensi.

Bukti

Akan ditunjukkan relasi refleksif yaitu untuk setiap ,

Ambil sebarang ,

.

Jadi refleksif terbukti

Akan ditunjukkan relasi simetri yaitu untuk setiap ,

Ambil sebarang

Karena , H subgrup maka

jika dan hanya jika terbukti.

Akan ditunjukkan relasi transitif yaitu untuk setiap ,

& .

Ambil sebarang , dan , .

Karena dan , H subgrup maka

jika dan hanya jika .

Jadi relasi pada G merupakan relasi ekuivalensi. terbukti

Dengan cara yang sama kita dapat menunjukan relasi pada G merupakan relasi

ekuivalensi. ■

Relasi pada G mengakibatkan partisi-partisi pada G yang terdiri atas kelas-

kelas ekuivalensi yaitu

,

,

,

dan seterusnya untuk setiap elemen dalam G , merupakan keluarga

kelas-kelas ekuivalensi yang saling asing. Perhatikan bahwa

Ø

.

57

SIFAT 4.2

Relasi ekuivalensi pada G dengan kelas-kelas ekuivalensinya mempunyai sifat:

(1). ,

(2). ,

Bukti

Akan dubuktikan (2) sedangkan bukti (1) diberikan untuk latihan.

(2). Andaikan maka , berarti kontradiksi dengan

. Jadi seharusnya terbukti. ■

DEFINISI 4.3 (Koset-koset)

Misalkan H subgrup dalam grup G dengan didefinisikan

disebut koset kiri (left coset) H yang memuat g

disebut koset kanan (right coset) H yang memuat g

CONTOH 1

Subgrup dalam .

Koset kiri H yang memuat adalah sendiri.

Koset kiri H yang memuat adalah

Koset kiri H yang memuat adalah

Koset-koset kiri ini merupakan partisi-partisi pada , karena grupa abelian koset kiri

dan koset kanan adalah sama, sehingga koset kanan juga merupakan

partisi pada .□

Kesimpulan yang kita dapat dari contoh 1, untuk suatu subgrup abelian dari grup G, partisi

G kedalam koset-koset kiri H dan kedalam koset-koset kanan H adalah sama.

CONTOH 2

Grup abelian terhadap operasi penjumlahan. Tentukan partisi pada kedalam koset-

koset subgrup .

58

Penyelesaian

Koset H yang memuat adalah H sendiri. Koset yang memuat adalah

. Koset yang memuat adalah . Dengan demikian

, , dan merupakan partisi-partisi pada dan Operasi untuk setiap

elemen dalam dapat dilihat dalam tabel 1.

+

Tabel 1

Sekarang kita misalkan koset itu masing-masing CH (cahaya), MD (medium), dan GL

(gelap), mengikuti tabel 1 maka dapat kita ganti arsiran tersebut seperti yang terlihat dalam

tabel 2 berikut ini. □

CH MD GL

CH CH MD GL

MD MD GL CH

GL GL CH MDTabel 2

SIFAT 4.4

Jika H subgrup dalam G, , dan koset kanan

maka .

Bukti

Harus ditunjukkan dan .

Ambil sebarang maka

untuk suatu

elemen , , karena asiosiatif didapat untuk suatu

sehingga atau .

59

Jadi atau .

Ambil sebarang maka untuk suatu .

,

demikian didapat jika dan hanya jika yaitu

Jadi atau .

Karena dan maka terbukti. ■

CONTOH 3

Diketahui , dengan subgrup dalam .

,

misal untuk suatu .

,

. □

TEOREMA 4.5

Jika H subgrup G dan berlakulah

(i).

(ii).

(iii).

(iv). Koset-koset kiri H saling asing

(v). Koset-koset kiri selain H sendiri bukan subgrup

(vi). Koset-koset kiri H ekuivalen

Bukti

(i).

() Diketahui , dibuktikan

Karena maka dengan elemen identitas. Dengan demikian

didapat terbukti.

() Diketahui , dibuktikan

Ambil sebarang maka untuk setiap

60

Karena , maka . Jadi .

Menurut teorema untuk setiap persamaan mempunyai penyelesaian tunggal

. Maka untuk suatu atau . Jadi

Karena dan maka terbukti. ■

(ii).

() Diketahui , dibuktikan

Untuk setiap ,

menurut (i), terbukti.

() Diketahui , dibuktikan .

Menurut (i), maka

Untuk ,

terbukti. ■

(iii).

() Diketahui , dibuktikan

Untuk suatu maka untuk suatu

Untuk setiap , terdapat ,

untuk suatu

demikian didapat , menurut (ii), terbukti.

() Diketahui , dibuktikan .

Diketahui menurut (ii), maka

untuk suatu

Untuk setiap ,

untuk suatu

Jadi terbukti. ■

(iv). Koset-koset kiri H saling asing

61

Misalkan sebarang koset-koset kiri H.

Jika ada elemen maka . Menurut (iii), didapat

atau .

Kontraposisi, maka Ø, yaitu koset-koset kiri H saling asing. ■

(v). Koset-koset kiri selain H sendiri bukan subgrup

Misalkan sebarang koset kiri H yang memuat g dan misalkan H koset kiri yang

memuat e. Ambil , menurut (iv), Ø, sehingga yang mengatakan

bahwa koset kiri tidak mempunyai elemen identitas, bukan subgrup.

Jadi koset-koset kiri selain H sendiri bukan subgrup terbukti. ■

(vi). Koset-koset kiri H ekuivalen

Misalkan sebarang dua koset kiri H dengan , berarti ada pemetaan

bijektif dari ke . Bentuk aturan perkawanan : dengan

. Ditunjukkan pemetaan bijektif sebagai berikut:

1. Pemetaan

Ambil sebarang

menurut hukum kanselasi kiri, jika dan hanya jika untuk

suatu . Menurut definisi .

Jadi , yaitu pemetaan terbukti .

2. Injektif

Ambil sebarang

menurut definisi dan menurut hukum kanselasi kiri

jika dan hanya jika untuk suatu .

Jadi , yaitu injektif terbukti .

3. Surjektif

Ambil sebarang maka untuk suatu .

, dengan

Jadi untuk setiap terdapat sehingga , yaitu surjektif terbukti.

Kesimpulan pemetaan bijektif ■

Catatan : Teorema di atas berlaku juga untuk koset-koset kanan.

62

Jika H subgrup dalam G maka terjadi dekomposisi grup G relatif terhadap subgrup H

.

4.4 TEOREMA LAGRANGE

TEOREMA 4.6 (Teorema Lagrange)

Misalkan G grup berhingga, dan misalkan H subgrup G dengan , ,

dan maka untuk suatu .

Bukti

Diketahui bahwa relasi ~ (ekuivalensi kiri maupun ekuivalensi kanan) membentuk relasi

ekuivalensi pada grup G. Kelas-kelas ekuivalensinya berbentuk koset-koset (koset kiri

maupun koset kanan). Misalkan keluarga kelas-kelas ekuivalensi sebagai

dengan sifat

dan

Dapat dibentuk pemetaan yang bijektif sehingga demikian juga

pemetaan H ke koset-koset yang lain. Karena maka

yaitu banyaknya berhingga. Grup G terbagi menjadi koset-koset sedemikian hingga

dengan k banyaknya koset terbukti. ■

AKIBAT 4.7

Setiap grup berorde prima adalah grup siklik

Bukti

Misalkan G suatu grup dengan bilangan prima dan misalkan dengan ,

e elemen identitas. Maka subgrup siklik dari G yang dibangun oleh a, mempunyai

elemen paling kurang terdiri dari dua elemen yaitu a dan e. Tetapi oleh Teorema Lagrange,

63

, habis dibagi prima sehingga dan , yaitu G

siklik terbukti. ■

TEOREMA 4.8

Orde dari suatu grup berhingga G habis dibagi oleh orde dari pada setiap subgrup dari G.

Buktinya sebagai latihan!

DEFINISI 4.9

Indeks subgrup H dalam grup G ditulis adalah banyaknya koset kiri relatif

terhadap H dalam G.

CONTOH 4

Misalkan subgrup dalam grup , maka indeks H dalam G yaitu

. □

CONTOH 5

Misalkan grup dengan elemen tak hingga dan

subgrup dalam G. Indeks dalam adalah .

Koset-koset kiri dalam relatif terhadap

Jadi ada 4 koset kiri dalam relatif terhadap , yaitu .

Dengan cara sama kita mendapat , , . □

TEOREMA 4.10

Jika K dan H keduanya subgrup G dengan indeks-indeks berhingga berturut-turut n dan j

sedangkan maka :

(i). berhingga

(ii).

64

Bukti

(i). Karena H dan K keduanya subgrup dalam G dengan maka K juga merupakan

subgrup dalam G.

Grup G terpecah menjadi koset-koset kiri relatif terhadap K dengan banyaknya koset

kiri dan grup G terpecah menjadi koset-koset kiri relatif terhadap H dengan

banyaknya koset kiri .

Perhatikan bahwa tidak ada koset dari K didalam G yang memotong H, karena

misalkan gK koset kiri K dalam G dengan dan , oleh karena

maka .

Himpunan semua koset kiri K dalam H merupakan himpunan bagian dari himpunan

semua koset kiri K dalam G maka . Karena berhingga maka

berhingga terbukti.

(ii).Pandang dekomposisi H relatif terhadap K

dengan

akan diperlihatkan aH mempunyai dekomposisi relatif terhadap K

untuk , karena jika ada maka

yaitu berarti atau , kontradiksi dengan

dekomposisi H relatif terhadap K.

Jika maka untuk suatu i, jadi terbukti dekomposisi aH relatif terhadap

K.

Misalkan dan . Banyaknya koset kiri K dalam setiap koset kiri H

sehingga

terbukti. ■

4.5 SOAL-SOAL LATIHAN

1. Tentukan semua koset subgrup dari .

2. Tentukan semua koset subgrup dari .

65

3. Tentukan semua koset subgrup dari .

4. Tentukan semua koset subgrup dari .

5. Tentukan semua koset subgrup dari .

6. Tentukan semua koset-koset kiri dari subgrup pada grup yang diberikan

dalam tabel 2 (Bab III)

7. Ulangi lagi soal 6, tetapi untuk semua koset-koset kanan apakah sama dengan koset-

koset kiri?

8. Tunjukkan bahwa relasi merupakan relasi ekuivalensi.

9. Jika H subgrup dalam G, , dan koset kiri

maka .

10. Misalkan H suatu subgrup dari grup G sedemikian sehingga untuk setiap

dan untuk setiap . Tunjukkan bahwa setiap koset kiri gH adalah sama

sebagai koset kanan Hg.

11. Misalkan H suatu subgrup dari grup G dan . Didefinisikan suatu pemetaan satu-

satu dari H pada Hg. Buktikan bahwa pemetaan itu satu-satu dan pada Hg.

12. Misalkan H suatu subgrup dari grup G. Buktikan bahwa jika partisi pada G kedalam

koset-koset kiri H adalah sama sebagai partisi kedalam koset-koset kanan H, maka

untuk setiap dan untuk setiap .

Misalkan H suatu subgrup dari grup G dan misalkan . Buktikan pernyataan dan

berikan kontraposisi dalam soal-soal 13 s/16.

13. Jika maka

14. Jika maka

15. Jika maka

16. Jika maka

17. Misalkan G suatu grup berorde (tingkat) pq, dimana p dan q adalah bilangan-bilangan

prima. Tunjukkan bahwa untuk setiap suubgrup dari G adalah siklik.

18. Tunjukkan bahwa jika suatu grup G dengan elemen identitas e mempunyai orde

berhingga n, maka untuk setiap .

19. Tunjukkan bahwa untuk setiap koset kiri subgrup dari grup penjumlahan bilangan

real memuat tepat satu elemen sedemikian sehingga .

66

20. Misalkan H dan K subgrup-subgru- dari grup G. Didefinisikan pada G dengan

jika dan hanya jika untuk suatu dan suatu .

a. Buktikan bahwa adalah suatu relasi ekuivalensi pada G.

b. Jelaskan elemen-elemen dalam klas-klas ekuivalensi yang memuat (klas-klas

ekuivalensi ini disebut koset-koset ganda (double cosets).

21. Misalkan grup dari semua permutasi himpunan A dan misalkan c satu elemen

khusus dari A.

a. Tunjukkan bahwa adalah subgrup dari .

b. Misalkan elemen khusus yang lain dari A, apakah

subgrup dari

c. Karakterisasikan himpunan dari bagian (b) dalam syarat-syarat subgrup

dari bagian (a).

22. Tunjukkan bahwa suatu grup siklik berhingga berorde n mempunyai tepat satu subgrup

dari setiap orde d membagi n dan bahwa itu adalah semua subgrup-subgrup yang

dipunyai grup siklik tersebut.

4.6 REFERENSI

1. Fraleigh J.B.,1994, A First Course in Abstract Algebra, Fifth Edition, Addison-Wesley Publising Company, New York.

2. Soehakso R.M.J.T, 1980, Pengantar Teori Grup, Edisi Ketiga, terbitan Jurusan Matematika FMIPA UGM

67