BAB IV

GERAK DALAM BIDANG DATAR

4.1. Pendahuluan

Sebuah benda bila ditarik oleh gaya F1 ke arah utara, maka benda tersebut akan bergerak ke utara. Jika benda tersebut ditarik oleh gaya F2 ke arah timur, maka benda tersebut akan bergerak ke arah timur. Tetapi bila benda tersebut ditarik oleh gaya F1 ke utara dan F2 ke timur pada saat yang bersamaan, benda tersebut tidak akan bergerak ke utara maupun ke timur. Arah gerak benda tersebut merupakan perpaduan gerak ke utara dan ke timur.

Sebagai contoh yang lain adalah bila ada sebuah perahu yang bergerak di sungai dengan kecepatan tetap 5 m/s terhadap air. Arah perahu, searah dengan aliran sungai yang kecepatan 3 m/s terhadap tepi sungai, maka kecepatan perahu relatif terhadap tepi sungai adalah 8 m/s. Tetapi bila perahu bergerak berlawanan dengan arah aliran sungai, maka kecepatan perahu relatif terhadap tepi sungai adalah 2 m/s. Contoh di atas merupakan contoh dari perpaduan gerak.Yang menjadi pertanyaan adalah, apakah yang harus dipadukan?. Perpindahan atau kecepatannya?.

4.2. Resultan beberapa vektor perpindahan

Bila ada sebuah benda melakukan perpindahan s1, kemudian s2, kemudian s3, maka resultannya dapat dicari dengan menjumlahkan ketiga perpindahan yang dikalukannya. Perpindahan merupakan besaran vektor, oleh karena itu untuk mencari resultannya, dapat dilakukan dengan cara seperti penjumlahan vektor. Pada sub bab di bawah ini akan dijelaskan langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan beberapa vektor perpindahan dengan cara analitis. Dengan cara analitis ini, setiap perpindahan diuraikan kedalam komponen-komponennya pada bidang x-y sistem koordinat Kartesius. Untuk sementara kita hanya akan membahas gerak di dalam dua dimensi.

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan resultan beberapa vektor perpindahan dengan cara tersebut adalah sebagai berikut:

1. Jika belum ada system koordinat Kartesius, tentukan terlebih dahulu sistem koordinat Kartesiusnya. Yaitu ke mana arah sumbu x dan ke mana arah sumbu y serta arah positif maupun negatifnya.

GAMBAR

2. Uraikan setiap vektor perpindahan (si) atas komponen mendatar x (six) dan Komponen tegak y (siy). Hitung besar komponen-komponen tersebut dengan persamaan

siy = si cos i

siy = si sin i

Dimana i = 1, 2, 3, 4, 5, …, nDan n banyaknya vektor perpindahan i sudut yang dibentuk vekor ke i terhadap sumbu x positif (x+)

3. Jumlahkan semua komponen perpindahan yang ada pada sumbu x dan juga semua komponen perpindahan yang ada pada sumbu y. secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

i=n

sx = s1x + s2x + s3x + s4x + s5x + s6x + s7x + … + snx = six i=n

i=n

sy = s1y + s2y + s3y + s4y + s5y + s6y + s7y + … + sny = siy i=n

4. Hitung besar perpindahan dengan menggunakan rumus Phytagoras

s = (sx2 + sy

2)1/2

Arah vektor tersebut membentuk sudut dengan sumbu x positif dan sudut tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus

sx

tan = ---- sy

Besar sudut berkisar antara 0 sampai dengan 360, dihitung terhadap arah sumbu x+.

Contoh

1. Bapak Adi melakukan perjalanan 5 km ke utara, kemudian dilanjutkan 4 km ke timur, dan akhirnya 2 km ke selatan.a. Lukis perjalanan yang ditempuh Bapak Adib. Dengan menggunakan metode analitis, hitung besar dan arah

perpindahan total Bapak Adi itu terhadap titik berangkatnya

Jawab

a. Perjalanan yang ditempuh Bapak AdiUntuk memudahkan perhitngan, kita gambarkan perpindahan-perpindahan tersebut di dalam sistem koordinat Kartesius, arah utara sesuai dengan arah sumbu y+ dan arah timur sesuai dengan arah sumbu x+.

GAMBAR

b. Besar dan perpindahan Bapak AdiPerpindahan yang pertama s1 = 5 km ke utara searah sumbu y+

perpindahan berikutnya s2 = 4 km ke timur, searah sumbu x+ dan akhirnya perpindahan ke tiga s3 = 2 km ke selatan. Maka perpindahan total s merupakan vektor yang mempunyai pangkal dititik 0 dan mempunyai ujung berimpit dengan ujung s3, dan membentuk sudut dengan sumbu x+.

Bila kita dituliskan secara matematis ke dalam komponennya, akan diperoleh

s1 = 5 km (s1x = 0 km dan s1y = 5 km)s2 = 4 km (s2x = 4 km dan s2y = 0 km)s3 = 2 km (s3x = 0 km dan s3y = -2 km) (arahnya ke sumbu y-)

Maka perpindahan totalnya s = s1 + s2 + s3 dan besar komponen-komponennya adalah:

sx = s1x + s2x + s3x = 0 + 4+ 0 = 4 kmsy = s1y + s2y + s3y = 5 + 0+ (-2) = 3 km

Besar perpindahan tersebut

s = (sx2 + sy

2)1/2

s = (42 + 32)1/2

s = (16 + 9)1/2 = (25)1/2 = 5

Besar sudut

sx 3tan = ---- = ---- = 0,75

sy 4

= 37 terhadap sumbu x positif

2. Sebuah benda melakukan tiga perpindahan secara berurutan, yaitu

^ ^ ^ ^ ^ ^ s1 = (i – 4j) cm, s2 = (2i – j) cm, dan s3 = (i + j) cm.

Tentukan besar dan arah resultan vektor perpindahan.

Jawab

Jika tiap vektor perpindahan dinyatakan dalam vektor-vektor satuan i dan j maka resultan vektor perpindahan adalah

n

s = si = s1x + s2x + s3x + … + sn

i=1

dengan n adalah vektor perpindahan.Dalam soal ini banyak vektor perpindahan n = 3, sehingga

s = s1x + s2x + s3x

s1 = (i – 4j) + (2i – j) + (i + j) = (4i – 4j)s = (sx

2 + sy2)1/2

s = (42 + 42) ½

s = (16 + 16) ½ = (32) ½ = 42cm

sx 4tan = ---- = ----- = -1

sy -4

= 270 terhadap sumbu x positif

LATIHAN

1. Sebuah benda melakukan tiga perpindahan yang dinyatakan oleh s1 = i + 3j, s2 = 2i – 4j, dan s3 = 3i + 4j. Tentukan besar dan arah resultan vektor perpindahan.

2. Pada suatu ketinggian, sebuah pesawat terbang berturut-turut menempuh perpindahan 40 km dengan arah 30 ke utara timur, 10 km ke arah timur, dan 10 km ke arah selatan. Tentukan arah dan besar perpindahan pesawat terbang itu bergerak dihitung dari titik awal berangkat.

3. Sebuah mobil melaju dan menempuh 60 km ke barat dan kemudian menempuh 30 km ke barat laut. Tentukan besar dan arah perpindahan mobil terhadap titik berangkatnya.

4.3. Memadu dua gerak lurus beraturan

Ingat kembali bahwa gerak lurus beraturan adalah gerak sebuah benda yang mempunyai lintas berupa garis lurus dan kecepatan tetap. Besar perpindahan pada gerak lurus beraturan (titik awal berangkat sebagai titik acuan atau referensi).

s = v . t

Dengan s perpindahan (m) dan v kecepatan (m/s) serta t waktu (sekon) yang ditempuh. Sebagai contoh perpaduan dua gerak lurus beraturan adalah 1. Sebuah kereta api bergerak ke utara dengan kecepatan tetap vk

= 40 m/s terhadap bumi. Seorang anak yang berada di atas kereta api tersebut berjalan ke utara (searah gerak kereta api) dengan kecepatan tetap va = 2 m/s terhadap kereta.Berapakah:a. Kecepatan gerak anak terhadap bumib. Perpindahan yang dilakukan kereta api setelah 4 detikc. Perpindahan yang dilakukan anak di atas kereta api setelah 4

detikd. Perpindahan yang dilakukan anak bila dihitung dipermukaan bumi

setelah 4 detik

Jawab

a. Anak tersebut bergerak dengan kecepatan va = 2 m/s terhadap kereta, sedangkan kereta tersebut bergerak dengan kecepatan vk = 40 m/s terhadap bumi, karena keduanya bergerak pada arah yang sama maka anak tersebut bergerak dengan kecepatan 42 m/s terhadap bumi.

b. Perpindahan kereta api sk = 40 m/s x 4 s = 160 m bila dihitung di atas bumi

c. Perpindahan kereta api sa = 2 m/s x 4 s = 8 m, bila dihitung di atas kereta

d. Perpindahan kereta api sa = 160 m x 8 m = 168 m, atau dapat dihitung dengan cara lain yaituPerpindahan anak sa = 42 m/s x 4 s = 168 m

2. Bagaimana jawaban contoh no. 1 di atas, bila gerak anak ke selatan (berlawanan dengan arah gerak kereta).

Jawab. (a. 38 m/s,; b. 160m,; c. –8m,; d. 152m)

Perpaduan dua gerak lurus beraturan tersebut dapat kita cari perumusannya secara matematis sebagai berikut:

Bila kereta dan anak pada contoh di atas, masing-masing melakukan gerak lurus beraturan, kereta (1) bergerak dengan kecepatan tetap vkb relatif terhadap bumi, maka perpindahan dari kereta tersebut dapat ditulis sebagai

s1 = vkb t

Anak yang berada di kereta (2) bergerak dengan kecepatan tetap vak relatif terhadap kereta, maka perpindahan anak tersebut

s1 = vak t

Maka perpindahan dari anak tersebut terhadap bumi adalah s

s = s1 + s2 = vkb t + vak t = (vkb + vak ) t

Pada perumusan ini, arah dan besar vkb konstan dan vak juga konstan baik arah maupun besarnya, tetapi arah maupun besar vkb dan vak mungkin tidak sama.

Perpindahan totalnya ternyata merupakan gerak lurus beraturan juga karena perpindahan S sebanding dengan kecepatan relatif anak tersebut terhadap bumi yaitu (vkb + vak ) dan sebanding dengan t.

Dalam perumusan di atas kecepatan relatif dari anak terhadap bumi

vab = (vkb + vak )

vab = (vkb + vak )

Penjumlahan di atas merupakan penjumlahan vektor, oleh karena itu besarnya dapat dihitung dengan rumus vektor

vab = (vkb2 + vak

2 + 2 vkb vak cos ) ½

adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut

Kecepatan Relatif

Secara umum, bila benda A bergerak dengan kecepatan Va terhadap suatu acuan dan benda B bergerak dengan kecepatan Vb terhadap acuan yang sama, maka kecepatan relatif benda A terhadap benda B dapat ditulis sebagai V ab. Secara vektor dapat ditulis

vab = va - vb

Dan secara grafis dapat digambarkan sebagai

GAMBAR

Besar vab dapat dihitung dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu

(vab)2 = (va )2 + (vb)2 – 2 va vb cos

Contoh

1. Dua orang A dan B, masing-masing mengendarai sepeda motor. A bergerak dengan kecepatan tetap 12 m/s relatif terhadap bumi, sedangkan B bergerak dengan kecepatan tetap 5 m/s relatif terhadap bumi juga. Tentukan kecepatan relatif B terhadap A jika:a. Keduanya bergerak searah (ke timur)b. Keduanya bergerak berlawanan arah (va ke barat dan Vb ke timur)c. Keduanya bergerak dengan arah tegak lurus (va ke utara dan vb

ke timur)

Jawab

Kecepatan A dan B masing-masing kita sebut va dan vb dan kecepatan B terhadap A dinotasikan vba

va = 12 m/s dan vb = 5 m/s

a. Jika A dan B searah, maka sudut antara kedua vektor 0

vb

va

Arah ke kanan kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor

vba = vb - va

adapun vba = vb - va = 5 – 12 = - 7 m/s. (tanda minus menyatakan bahwa, B bergerak kiri terhadap A atau dengan kata lain, B ketinggalan 7 m tiap detiknya terhadap A)

b. Jika A dan B berlawanan arah, maka sudut antara kedua vektor 180

va

vb

Arah ke kanan (timur) kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor

vba = vb - va

adapun vba = vb - va = 5 – (-12) = 17 m/s. (B bergerak menjauhi A ke kanan atau timur dengan kecepatan 17 m/s)

c. jika A dan B geraknya saling tegak lurus, maka sudut antara kedua vektor 90

GAMBAR

Arah ke kanan (timur) kita ambil positif dan kecepatan B terhadap A dapat ditulis secara vektor

vba = vb - va

Adapun besar vba dapat diperoleh dengan menggunakan Phytagoras

(vab)2 = (vb )2 + (va)2 = (5)2 + (12)2

= 25 + 144 vba = (169)1/2 = 13 m/s

2. Seorang anak yang berada di atas kapal bergerak dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap kapal. Arah tersebut sedang bergerak di laut dengan kecepatan 8 m/s relatif terhadap bumi, kearah timurTentukan, kecepatan anak tersebut relatif terhadap bumi jika:Arahnya sama dengan arah gerak kapalArahnya berlawanan dengan arah gerak kapal, arah gerak anak tersebut membentuk sudut 120 dengan arah timur (atau 60 dengan arah barat). Tentukan pula arahnya relatif terhadap bumi

Jawab

Jika kecepatan anak diberi notasi va dan kecepatan kereta diberi notasi vk

serta kecepatan bumi disebut vb,Maka vak = va – vk = 8 m/s (1)

vkb = vk – vb = 8 m/s (2)

Kecepatan anak terhadap bumi vab dapat diperoleh dari persamaan 1 dan 2

vab = va – vb = (va – vk) +( vk – vb) = vak + vkb

Atau vab = vak + vkb

Ini merupakan penjumlahan vektor dan besarnya dapat diperoleh dengan

vab2 = (vak 2 + vkb

2 + 2 vak vkb cos )1/2

a. Jika arah gerak anak searah dengan arah gerak kereta = 0, cos 0 = 1

Atau dengan cara lainvab = va – vb besarnya dapat diperoleh dari persamaan 1 dan 2

vab = va – vb = (va – vk) +(vk – vb) = 8 m/s + 8 m/s = 16 m/s

b. jika arah gerak anak berlawanan dengan arah gerak kereta = 180 = -1

vab = (82 + 82 + 28,8 cos 180) ½ = 0 m/s

Atau dengan cara lainJika arah gerak anak berlawanan dengan arah gerak kereta maka

va – vk = -8 m/svk – vb = 8 m/s

vab = va – vb besarnya dapat diperoleh dari persamaan di atas vab = va – vb = (va – vk) +(vk – vb) = 8 m/s - 8 m/s = 0 m/s

c. Kecepatan relatif anak terhadap bumi dapat dicari denganvab = (vkb 2 + vak

2 + 2 vkb vak cos )1/2 vab = (82 + 82 + 28,8 cos 120) ½

vab = (64 + 64 + (-1/2) ½

vab = (64 + 64 – 64) ½ = (64) ½ = 8 m/s

GAMBAR

Arah kecepatan anak terhadap bumi membentuk sudut 60 dengan arah timur

3. Sebuah kapal bergerak menuju arah timur dengan kecepatan 10 km/jam. Kapal kedua bergerak ke arah timur 45 membentuk sudut 30 dengan arah utara. Berapakah kecepatan kapal kedua agar supaya letaknya setiap saat selalu berada tepat di utara kapal pertama.

GAMBAR

Jika kecepatan kapal 1 = v1 = 10 km/jam dan kecepatan kapal ke 2 = v2 dan misalkan kecepatan kapal ke 2 relatif terhadap kapal 1 kita sebut v21. supaya kapal kedua tetap berada di utara kapal 1, maka

v1 + v21 = v2

Jika dilihat dari diagram di atas

v2 cos 60 = v1 = 10v2 (1/2) = 10v2 = 10 x 2 = 20 km/jam

LATIHAN

1. Di dalam sebuah gedung bertingkat 5 ada tangga berjalan, yang dipergunakan untuk naik maupun turun dari satu lantai ke lantai lainnya. Seorang anak menaiki tangga tersebut yang bergerak ke atas dengan kecepatan tetap 5 m/s terhadap bumi. Kecepatan anak tersebut 4 m/s terhadap tangga. Tentukan kecepatan relatif anak tersebut terhadap bumi.

2. Kecepatan A terhadap bumi va sebesar 8 m/s dan kecepatan B terhadap bumi vb sebesar 8 m/s juga. Ternyata besar kecepatan B relatif terhadap A, vba sebesar 8 m/s. Berapakah besar sudut yang dibentuk antara va dan vb?

4.4. Memadu gerak lurus beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan yang saling tegak lurus

Hasil perpaduan antara gerak lurus beraturan (GLB) dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) yang saling tegak lurus dapat dilihat pada sebuah batu yang dilempar ke atas membentuk sudut lempar tertentu terhadap bidang horisontal dan jatuh kembali ke bumi (gesekan udara diabaikan dan kecepatan awalnya tidak terlalu besar): Lintasan benda tersebut bentuk parabola. Jika kita kita perhatikan secara cermat, benda tersebut dapat dianggap melakukan dua gerakan yang saling tegak lurus, yaitu gerak horisontal (mendatar) dengan kecepatan konstan (GLB) dan gerak vertikal (GLBB) (mula-mula naik, kemudian turun)

Untuk melukiskan dua gerak yaitu GLB dan GLBB yang saling tegak lurus, kita ambil salib sumbu Kartesius, yaitu sumbu x dan sumbu y yang saling tegak lurus

GAMBAR

Kedua gerak, berangkat pada saat yang sama dan dari titik yang sama (titik nol) Gerak GLB pada sumbu x dengan persamaan

x = vox t

Dalam x adalah posisi benda dari O, vox kecepatan gerak (konstan) pada sumbu x dan t waktu.

Gerak GLBB pada sumbu y dengan persamaan

1y = voy t - --- gt2

2

Dengan y posisi benda dihitung dari O, g percepatan benda (percepatan gravitasi g), voy kecepatan awal benda pada arah sumbu y.Hubungan antara x dan y dapat diperoleh dengan mengganti t pada persamaan GLBB (pada sumbu y).

xt = ----- vox

1 y = voy t - --- g t2

2

x 1 x = voy ----- - --- g (-----)2

vox 2 vox 1 g voy

= - --- (-------) x2 + (------) x 2 vox

2 vox

Persamaan di atas menunjukkan hubungan y dan x yang apabila kita gambarkan akan berbentuk. Karena berupa parabola, orang sering mengatakan gerak tersebut sebagai gerak parabola.

Gerak Peluru

Pada gerak peluru, persamaan gerak secara umum pada sumbu x dan y adalah pada sumbu x.

vx = vo cos x = vx t = vo cos t

Persamaan pada sumbu y

ay = -gvy = -gt + voy = -gt + vo sin

1 v = - --- gt2 + vo sin t 2

Kecepatan setiap saat besarnya

v = (vx2 + vy

2)1/2

Dimana vo = kecepatan awal = sudut tembak = sudut elevasi = sudut lemparg = percepatan gravitasi bumi

contoh

Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 40 m/s membentuk sudut 37 (tg 37 = ¾, cos 37 = 4/5, sin 37 = 3/5) terhadap horisontal. Jika gesekan udara diabaikan dan tidak ada angin serta percepatan gravitasinya konstan (ambil harga g = 10 m/s2). Tentukan: a. Persamaan geraknya (pada sumbu x dan sumbu y)b. Posisi dan lajun;ya pada saat t = 2 sekonc. Titik tertingginyad. Kecepatannya pada saat sampai kembali ditanah

Jawab

a.

Persamaan gerak pada sumbu y

vx = vo cos = 40 m/s cos 37 4 = 40 --- 5

= 32 m/s

x = vx t = 32 t

Persamaan gerak pada sumbu y

ay = -g = -10vy = -gt + vo sin

3 = -10 t + 40 --- 5

= -10 t + 24 m/s 1

v = - --- gt2 + vo sin t 2 = -5 t2 + 24 t

b. Posisi pada saat t = 2 sekon

x = 32 t = 32 . 2 = 64 my = -5 t2 + 24 t = -5 (4) + 24 . 2 = -20 + 48 = 28 m

c. Peluru mencapai titik tertinggi

Kalau kita perhatikan gerak vertikalnya, pada saat peluru mencapai titik tertinggi, peluru berhenti sesaat (vy = 0) dan kemudian bergerak kembali. Tetapi peluru tetap melakukan gerak horisontal.

vy = - 10 t + 24 m/s0 = -10 t + 24 m/s t = 2,4 s

y = -5 t2 + 24 t = -5 (2,4)2 + 24 . 2,4 = 28,8 m

x = 32 t = 32 . 2,4 = 76,8 m

d. Kecepatan peluru pada saat kembali ke tanah

Pada saat peluru mencapai tanah harga y = 0

0 = -5 t2 + 24 t

t (-5t + 24) = 0t1 = 0 dan t2 = 4,8 s

Peluru jatuh kembali ke tanah setelah t = 4,8 m/s

vy = 32 m/svy = -10 t + 24 = -10 . 4,8 + 24 = -24 m/s

v = (322 + (-24)2)1/2 = 40 m/s

Pertanyaan

1. Apakah yang dimaksud dengan kecepatan relatif dari sebuah benda yang sedang bergerak?

2. Sebuah kapal bergerak dengan kecepatan relatif tetap sebesar 8 m/s melawan arus sungai yang mempunyai kecepatan tetap 5 m/s. apakah gerak dari kapal tersebut relatif terhadap sungai, merupakan gerak lurus beraturan? Jelaskan.

3. Sebuah kapal terbang bergerak ke utara dengan kecepatan tetap vk dengan angin pada saat tersebut berkecepatan tetap va ke arah timur. Apakah gerak kapal tersebut relatif terhadap bumi merupakan gerak lurus beraturan?. Tentukan harga tangen (tg) dari sudut yang dibentuk arah pesawat dengan arah timur (dinyatakan dengan vk dan va).

4. Buktikan secara matematis perpaduan dari dua gerak lurus beraturan, merupakan gerak lurus beraturan juga, jikaa. Keduanya searahb. Keduanya beralawanan arahc. Keduanya saling tegak lurusd. Keduanya membentuk sudut

5. Seseorang yang berada di dalam kereta yang sedang bergerak melemparkan vertikal ke atas sebuah bola dan jatuh kembali ketangganya. Apakah bentuk lintasan dari bola tersebut, bila dilihat oleh seorang pengamat yang berada di kereta dan pengamat yang berada di bumi.

6. Peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo

dengan sudut elevasi mempunyai, lintasan parabola. Besar-besaran di bawah ini yang konstan adalah berbentuka. Kecepatan horisontalnyab. Percepatan vertikalnyac. Kecepatan vertikalnya

7. Sebuah bola dan selembar daun dijatuhkan dari suatu ketinggian pada saat yang bersamaan. Bila keduanya berada di dalam ruang vakum, manakah yang akan jatuh terlebih dahulu.

8. Dari suatu ketinggian, sebuah bola dijatuhkan bebas tanpa kecepatan awal, dan pada saat yang sama bola kedua dilemparkan horisontal. Bola manakah yang akan jatuh di tanah terlebih dahulu?

9. Hal yang harus diperhatikan oleh seorang atlet lompat jauh adalah kecepatan dilemparkan horisontal. Bola manakah yang akan jatuh di tanah terlebih dahulu?

10. Pada keadaan hujan, seorang pengamat melihat butiran air hujan jatuh tegak lurus muka bumi. Bila pengamat tersebut mengendarai mobilnya dengan kecepatan tetap 60 km/jam, jejak air hujan di kaca mobil membentuk sudut 60 dengan vertikal. Tentukan kecepatan air hujan tersebut (relatif terhadap bumi).

Soal-soal

1. Seseorang menyebrangi sungai dan mengarahkan perahunya tegak lurus tepian dengan kecepatan 3 m/s relatif terhadap air dan air mengalir dengan kecepatan 4 m/s relatif terhadap tepi sungai. Tentukan kecepatan orang tersebut relatif terhadap tepi sungai.

2. Dua buah kereta A dan B bergerak dengan berturut-turut 100 km/jam dan 150 km/jam. Arah gerak kedua kereta membentuk sudut 60 . Tentukan: a. Kecepatan relatif A terhadap kereta Bb. Kecepatan relatif perahu B terhadap perahu A

3. Bapak Amir dengan menggunakan mobilnya, melakukan perpindahan ke timur dengan kecepatan tetap 50 km/jam selama 30 menit, kemudian ke selatan dengan kecepatan 60 km/jam selama 20 menit. Perpindahan yang ke tiga ke arah timur lagi dengan kecepatan tetap 30 km/jam selama 10 menit. Tentukan:a. Posisi Bapak Amir pada akhir perpindahan dihitung

dari titik awal berangkatb. Jarak yang ditempuh untuk ketiga perpindahan

tersebutc. Sudut yang dibentuk antara vektor posisi akhir

dengan arah timur

4. Seorang tentara menembakkan peluru dengan kecepatan awal 60 m/s dan sudut elevasi = 53 (tg 53 = 4/3). Tentukan:

a. Kecepatan, tinggi pada saat peluru mencapai titik tertinggi

b. Kecepatan peluru pada saat tiba kembali di tanahc. Tinggi peluru dan kecepatannya pada saat t = 2

sekon

5. Sebuah pesawat pembom bergerak dengan kecepatan 72 m/s pada ketinggian 102 meter dari muka bumi. Pesawat menjatuhkan bom pada saat berada tepat di atas pompa bensin, untuk menembak sebuah truk yang sedang bergerak searah dan berada pada jarak 124 m dair pompa bensin tersebut. Carilah kecepatan truk tersebut agar bom tepat mengenai truk tersebut.

6. Buktikan bahwa pada gerak parabola peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo mempunyai jarak tembak terjauh pada saat sudut elevasi = 45.

7. Pada gerak parabola peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo dapat mempunyai sepasang sudut elevasi yaitu 1 dan 2 yang mempunyai jarak tembak yang sama. Buktikan bahwa 1 + 2 = 90.

8. Sebuah partikel melakukan perpindahan sebanyak 3 kali yang masing-masing dapat ditulis dalam bentuk komponen.s1 = 3i + 4j, s2 = -3i + 8j, dan s3 = -4i + 14j, Tentukan a. Nilai dari perpindahan totalnyab. Jarak yang ditempuhnya

4.5 GERAK MELINGKAR BERATURAN

4.5.1 Pendahuluan

Dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita lihat banyak sekali benda yang bergerak melingkar, misalnya, bulan yang bergerak mengitari bumi, juga beberapa planet yang mengitari matahari dll. Bila kita lihat sebuah roda sepeda yang sedang berputar, dan kita perhatikan pentil dari roda tersebut, maka dapat dikatakan bahwa pentil tersebut bergerak melingkar.

Pembicaraan gerak melingkar pada bab ini ditekankan pada gerak benda yang bergerak melingkar dan selama pergerakannya, benda tersebut terletak pada bidang datar. Benda yang bergerak melingkar tersebut mungkin

a. Bergerak dengan laju yang tetap (Gerak Melingkar Beraturan, disingkat (GMB).

b. Bergerak makin cepat atau makin lambat secara beraturan (Gerak melingkar berubah beraturan, disingkat GMBB).

c. Bergerak makin cepat atau makin lambat tetapi tidak beraturan disingkat (GMBTB).

4.5.2. Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

Ada sebuah mobil bergerak dengan lintasan berbentuk lingkaran, selama mobil bergerak, speedometer menunjukkan angka 40 km/jam, maka dikatakan bahwa mobil tersebut melakukan gerak melingkar beraturan (GMB). Dikatakan beraturan karena panjang lintasan yang ditempuh sebesar 40 km tiap jamnya, lintasan yang ditempuh tiap jamnya ini selalu tetap dan jari-jari lintasan juga tetap.

Perhatikan gambar 4.1 dibawah ini. Gambar 4.1.a menunjukkan sebuah partikel yang bergerak dengan lintasan berupa lingkaran dengan laju yang konstan.

Gambar dari buku Serway halaman 85

Gambar 4.1: a. Partikel yang melakukan gerak melingkar beraturan.b. Kecepatan partikel pada saat di P dan Q.c. Cara mencari perubahan arah dari percepatan.

Kita telah mengetahui bahwa kecepatan merupakan besaran vektor dan besaran vektor tersebut ditentukan oleh besar dan arah vektor tersebut. Oleh karena itu sebuah benda yang bergerak melingkar beraturan mempunyai laju yang tetap tetapi arah kecepatannya berubah. Dengan kata lain, kecepatan sebuah benda yang melakukan GMB selalu berubah (hanya arahnya yang berubah).

Pada bab 2 telah dipelajari percepatan yang merupakan perubahan kecepatan persatuan waktu. Oleh karena itu bila suatu bergerak dan kecepatannya berubah, baik besar maupun arahnya berubah maka akan ada dua jenis percepatan.

a. Perubahan besar kecepatan persatuan waktu menghasilkan percepatan singgung (tangensial), aT

b. Perubahan arah kecepatan persatuan waktu menghasilkan percepatan sentripetal as

Pada gerak melingkar beraturan (GMB), arah vektor kecepatan pada setiap titik dilintasinya berubah, lihat gambar 4.1.a tetapi, besar kecepatan (lajunya) tetap. Karena tidak ada perubahan besar kecepatan terhadap waktu, maka percepatan tangensialnya nol. Tetapi arah kecepatannya berubah, oleh karena itu ada percepatan sentripetal. Gambar 4.1.c memperlihatkan bagaimana perubahan kecepatan yang menghasilkan percepatan sentripetal. Kecepatan partikel pada saat di P yaitu vP dan pada saat di Q yaitu vQ, arah kecepatannya disetiap titik tidak sama: vP vQ vR

Besarnya kecepatannya sama: vP = vQ = vR = v

Sebuah benda dikatakan melakukan gerak melingkar beraturan (GMB) jika lintasan benda tersebut berbentuk lingkaran dan laju liniernya (besar kecepatan liniernya) tetap.

4.5.3. Periode dan frekuensi

Gambar 4.2 memperlihatkan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan dengan lintasan berupa lingkaran dan jari-jari R serta lajunya v. Partikel bergerak mula-mula dari P kemudian melewati Q dan R dan selanjutnya melewati P lagi dan seterusnya. Pada saat t = 0 detik, benda berada di P, setelah selang waktu tQ benda berada di Q kecepatannya vQ dan sudut yang ditempuh sebesar Q, setelah mencapai di R kecepatannya vR dan sudut yang ditempuh R. Besar kecepatannya pada saat di P, Q maupun pada saat di R dan seterusnya tetap yaitu v.

GAMBAR

Gambar 4.2. Sebuah partikel yang melakukan GMB

Istilah periode dan frekuensi dari partikel yang melakukan gerak melingkar

beraturan merupakan besaran yang sering dipakai dalam membicarakan GMB.

Periode didefinisikan sebagai, waktu yang diperlukan untuk menempuh satu

putaran. Periode dinotasikan dengan T yang mempunyai satuan sekon (detik).

Bila kita lihat gambar 4.2, maka yang dikatakan satu periode adalah waktu yang

diperlukan untuk partikel bergerak dari P ke Q ke R dan kembali ke P. Jika

waktu yang diperlukan dari P – Q – R dan kembali ke P sebesar 5 detik maka

dikatakan periodenya T = 5 detik.

Frekuensi dari sebuah benda yang melakukan gerak melingkar beraturan

didefinisikan sebagai, jumlah putaran yang dilakukan benda tersebut, dalam

selang waktu 1 (satu) detik. Frekuensi dinotasikan sebagai f dan mempunyai

satuan perdetik (/detik) atau Hertz.

Bila dalam waktu 2 (dua) detik, benda melakukan putaran sebanyak 10 kali,

maka frekuensinya 5 kali perdetik atau 5 Hertz.

Hubungan antara frekuensi dan perioda

Jika dalam 1 (satu) detik, benda melakukan putaran sebanyak n kali, besar periode dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

T adalah waktu yang diperlukan untuk berputar satu kali.Dengan demikian besarnya periode T

1T = ---- x 1 sekon n

1T = ---- sekon (4.1) n

sedangkan frekuensi adalah jumlah putaran dalam 1 sekon, berarti besar f

n putaran f = -------------- sekon

f = n hertz (4.2)

Dengan memasukkan persamaan (4.2) ke persamaan (4.1) diperoleh 1

T = ---- n 1T = ---- f

1f = -----

T(4.3)

Laju linear, kecepatan angular dan hubungannya

Laju linear

Pada paragraf sebelumnya telah dijelaskan bahwa pada gerak melingkar

beraturan (GMB), arah kecepatan berubah dan besar (laju) tetap. Istilah laju

pada GMB ini seringkali disebut laju linear, istilah ini diperlukan untuk

membedakan dengan besaran kecepatan angular. Untuk mencari besar laju

linier, dapat dirumuskan secara umum sebagai berikut:

Laju linear = Panjang lintasan yang ditempuh dibagi selang waktu yang digunakan

Untuk mencari perumusan yang khusus pada GMB, tentunya kita akan menggunakan besar-besaran yang sudah didefinisikan atau besar-besaran yang sudah diketahui diantaranya frekuensi, perioda atau jari-jari lintasan. Oleh karena itu untuk panjang lintasan dapat kita gunakan panjang lintasan yang ditempuh untuk satu kali melingkar yaitu 2R dan waktu yang diperlukan sebesar periode (T). Jadi laju liniernya v.

v = keliling lingkaran / Periode

2R v = ------ (4.4) T

Bila kita masukan persamaan (4.3) ke dalam persamaan (4.4) akan diperoleh bentuk lain yaitu

v = 2Rf(4.5)

Kecepatan angular

Dari penjelasan diatas kita mengetahui bahwa selama partikel bergerak, sudut yang ditempuh berubah. Bila lajunya konstan maka besar perubahan sudut tiap satuan waktu juga konstan. Tetapi ada kemungkinan, bahwa partikel yang bergerak melingkar tersebut makin cepat atau makin lambat dan akibatnya perubahan sudutnya tiap satuan waktu juga tidak tetap.

Dalam bab ini hanya akan dipelajari GMB. Dengan demikian besar perubahan sudut tiap satuan waktu tetap, dengan kata lain besar kecepatan angular tetap. Kecepatan angular di notasikan sebagai .

Kecepatan angular didefinisikan sebagai perubahan sudut yang ditempuh tiap satuan waktu.

Kecepatan sudut = Sudut yang ditempuh dibagi selang waktu yang digunakan.

= ------ t

Untuk mencari besarnya kecepatan sudut , akan digunakan besar-besaran yang sudah diketahui, yaitu sudut yang ditempuh untuk melingkar satu kali yaitu 360 derajat atau 2 radian dan perioda (T) secara matematis dapat ditulis sebagai berikut:

Kecepatan angular = Sudut yang ditempuh dibagi selang waktu yang digunakan

2 = -----

T (4.6)

= 2 f (4.7)

Hubungan laju linear dan kecepatan angular

Hubungan antara laju linear dengan kecepatan angular dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan 4.5 dan 4.6

v = 2R f = (2 f) R

v = (2 f) R = R(4.8)

Bila ditulis secara vektor

v = x R

Dan dapat digambarkan seperti di bawah ini

GAMBAR

Jika kita melakukan perkalian silang antara vektor dan R akan menghasilkan arah v.

4.5.4. Percepatan dan gaya pada Gerak Melingkar Beraturan (GMB)

telah kita ketahui bahwa percepatan sesaat didefinisikan sebagai perubahan kecepatan peratuan waktu. Secara matematis dapat dituliskan sebagai:

lim va = ------ t 0 t

t perubahan waktu yang merupakan besaran skalar sedangkan v merupakan perubahan kecepatan yang merupakan besaran vektor. Percepatan dapat terjadi karena dua hal.

a. Adanya perubahan nilai dari kecepatan, yang akan menghasilkan percepatan tangensial (percepatan singgung). Arah dari percepatan tangensial adalah menyinggung arah lintasannya dan diberi notasi at.

b. Adanya perubahan arah kecepatan, yang akan menghasilkan percepatan sentripetal. Arah dari percepatan sentripetal menuju pusat dan diberi notasi as.

GAMBAR

Pada gerak melingkar beraturan, besar kecepatan (laju) tidak berubah, oleh karena itu tidak ada percepatan tangensial (at = 0). Sedangkan arah kecepatannya selalu berubah setiap saat, oleh karena itu ada percepatan sentripetal (as 0) dengan arah menuju pusat.

lim vas = ----- t 0 t

Karena v vektor dan t skalar maka, arah a searah dengan v. Perhatikan gambar di atas. Besarnya v adalah . v (vR dan vq sama nilainya). Jika t mendekati nol, maka vektor a mempunyai arah menuju pusat. Oleh karena itu

lim v lim as = ---- = v ----- = v

t0 t t0 t

as = v = ( R) = 2R

atau as = v = v (v/R) = v2/R

Dengan demikian bila ada sebuah partikel melakukan gerak melingkar, benda tersebut mengalami gaya sentripetal sebesar

v2 Fs = m as = m ---- = m 2R R

Gaya ini menuju pusat lingkaran.

1. Gerakan lontar martil

Contoh-contoh

1. Sebuah bola bermassa 0,5 kg diikat diujung seutas tali yang mempunyai panjang 1,5 m. bola tersebut diputar dalam suatu lingkaran horisontal seperti tampak pada gambar di bawah ini. Bila bola tersebut berputar dengan laju konstan dengan membuat putaran 120 putaran permenit (rpm) dan tali tidak putus. Tentukan

a. Frekuensi f dan periodenya Tb. Kecepatan angular dan laju linearnyac. Percepatan sentripetal dan gaya tegang tali (gaya sentripetal)d. Laju linearnya, jika tali tersebut hanya mampu menahan tegangan

50 newton

Jawab

a. Frekuensi f = Jumlah putaran perdetik = 120 putaran/menit = 120 putaran/60 sekon

1 1Perioda (T) = --- = ---- sekon

f 2

b. Kecepatan angular = 2f = 2 2 = 4 radian/sekonLaju linear = v = R = 4 radian/sekon . 1,5 m = 6 m/s

c. Percepatan sentripetalnya as

v2 (6 m/s)2

as = ---- = ------------ = 542 m/s2

R 1,5

Gaya tegang tali = gaya sentripetal Fs

m v2

Fs = m as = -------- R

0,5 Kg . 54 2 m = ----------------------- s2

= 272 m/s2

= 272 newton

Tali hanya mampu menahan gaya tegangan tali 50 newton, maka laju linearnya dapat dicari dengan

m v2 Fs = --------

R

R 1,5 mv = (Fs . ----)1/2 = (50 newton . ---------)1/2 = 12,25 m/s

m 0,5

2. Pergerakan mobil pada belokan jalan datar kasar

Sebuah mobil dengan massa 1500 kg bergerak pada suatu tikungan jalan yang datar dengan laju 5 m/s tanpa tergelincir/terlempar. Radius tikungan tersebut 25 m. Tentukan a. Gaya sentripetal yang bekerja pada mobil tersebut dan

berapa gaya gesek pada mobil tersebut.b. Laju maksimum tanpa mobil terlempar, jika koefisien

gesek statis antara ban dan jalan s = 0,6

Jawab

a. m = 1500 kg, v = 5 m/s, dan R = 25 mGaya sentripetal

m v2

Fs = -------- R

1500 kg (5m/s)2

= --------------------- 25m

= 1500 kg m/s2 = 1500 newton

b. Mobil bergerak dengan laju vmaks, dan mobil masih belum terlempar

m vmaks2

Fs = -------------- R

Fs Rv maks

2 = ---------

m

Fs Rv maks

= --------- m

Dalam hal ini Fs = s . N = s . mg = 0,6 . 1500 kg. 10 m/s2

= 900 newton

R = 25 meter

Fs Rv maks

2 = --------- m 9000 newton . 25 m = ---------------------------- 1500 Kg = 150 m2/s2

v maks = 150 m2/s2

= 56 m/s

3. Pergerakan mobil pada belokan miring

a. Pada pergerakan mobil pada belokan miring dan sudut kemiringan jalan .

GAMBAR GAMBAR

Mobil tersebut dapat bergerak pada tikungan tanpa terlempar keluar jika gaya sentripetalnya tidak melebihi komponen gaya Normal (N) pada arah yang sejajar jalan

m v2

N sin = ------- R

N cos - mg = 0

N cos = mg

m v2

N sin ------ R----------- = ------------N cos mg

v2

tan = ----- Rg

Jika jalan mempunyai koefisien gesek statik s, persamaan menjadi

m v2

N sin + s N = -------- R

N cos - mg = 0N cos = mg

Dan diperoleh hubungan m v2

N sin + s N ------ R

-------------------- = ------------ N cos mg

m v2

sin + s ------ R

---------------- = ------------ cos mg

4. Gerak melingkar pada bidang vertical

Benda bergerak pada lingkaran dengan gerakan:

m va2

Pada titik A titik terendah N – mg = -------- R

m vb2

Pada titik B N = -------- R

m vc2

Pada titik C titik teratas N + mg = -------- R

5. Ayunan konis

Ayunan konis adalah putaran dari sebuah benda yang diikat dengan tali, apabila tali membentuk kerucut (lihat gambar).

m v2

T sin = -------- R

T cos = mg

Diperoleh hubungan

v2

tan = ------ Rg

GAMBAR

Pertanyaan

1. Partikel melakukan gerak melingkar beraturan. Besar-besaran fisika dari partikel tersebut, yang konstan adalah

a. Kecepatan linearb. Laju linearc. Kecepatan angular

d. Percepatan sentripetal

2. Seseorang melakukan gerak dengan lintasan yang tidak lurus selalu mempunyai kecepatan yang tidak konstan. Jelaskan!

3. Setiap benda yang melakukan gerak dengan lintasan lengkung selalu mempunyai percepatan sentripetal. Jelaskan!

4. Seekor semut berada pada suatu piringan yang berputar dengan porosnya tegak lurus piringan tersebut. (Piringan terletak pada bagaian kertas ini). Jika jarak semut kesumbu putar makin jauh maka pernyataan di bawah ini yang benar:

a. Laju linear makin besarb. Kecepatan angular tetap GAMBARc. Percepatan sentripetalnya makin besar

5. Dua buah roda masing-masing mempunyai jari-jari R1 dan R2, keduanya dihubungkan dengan tali, hubungan di bawah ini yang benar adalah

a. Laju linear dari titik-titik ditepi kedua roda samab. Kecepatan angular dari roda yang terkecil lebih besar dari

kecepatan angular roda yang besar

6. Sebuah benda yang diikat dengan tali, kemudian diputar pada bidang horisontal dengan kecepatan makin besar. Pada suatu saat tali putus. Apa yang menyebabkan benda terlempar keluar.

7. Gaya apakah yang menyebabkan bulan dalam peredaran mengelilingi bumi tetap berada pada orbitnya?

8. Bila anda mengendarai mobil dengan kecepatan tinggi, dan tiba pada suatu tikungan anda dianjurkan mengurangi kecepatannya. Mengapa?

9. Dalam akrobatik pesawat terbang yang membentuk lintasan melingkar, pada titik tertinggi pilot merasakan badannya lebih ringan. Jelaskan!

10.Jelaskan prinsip-prinsip mesin pesawat sentrifugal yang dapat digunakan untuk mengendapakan partikel-partikel.

Soal-soal

1. Sebuah benda bermassa 0,2 kg diikat pada seutas tali yang mempunyai panjang 0,5 m. Benda diputar dalam suatu lingkaran horisontal dengan frekuensi 4 Hz. Tentukan besar gaya tegang tali yang terjadi.

2. Seorang anak mengendarai sebuah sepeda yang kedua rodanya mempunyai jari-jari 36 cm dengan kelajuan 20 km/jam. Tentukan:a. Frekuensi dari roda tersebutb. Kecepatan angular dan kemana arahnya

3. Atom Hidrogen mempunyai sebuah electron yang bermassa 9 x 10-31 kg dan bergerak mengelilingi inti dengan jari-jari 5 x 10-11. Jika gaya yang menarik elektron ke inti sebesar 10-7

newton. Tentukan besar laju elektron.

4. Sebuah mobil yang bermassa 1500 kg, bergerak menaiki suatu bukit yang mempunyai jari-jari kelengkungan 30 m. Tentukan kecepatan maksimum di puncak bukit supaya mobil tidak lepas dari bukit.

5. Sebuah piringan hitam yang berjari-jari 12 cm sedang berputar dengan frekuensi 15 putaran per menit. Tentukan laju linear dari seekor semut yang berada a. Dipinggir piringan hitamb. 5 cm dari poros putar

6. Anak yang bermassa 50 kg berdiri di khatulistiwa, akan melakukan gerakan melingkar yang radiusnya sama dengan radius bumi selama 24 jam untuk satu kali putar. Hitung gaya sentripetalnya jika radius bumi 6400 km. Berapakah laju linearnya?

7. Sebuah ayunan konis terdiri dari sebuah bandul kecil yang massanya 0,4 kg dan seutas tali yang ringan dan panjangnya 120 cm. Ayunan berputar pada bidang horisontal dengan jari-jari 50 cm (g = 10 m/s2). Tentukan:a. Besar gaya tegang tali b. Frekuensi angular bandulc. Laju

8. Sebuah mobil yang mempunyai massa 2000 kg dan pengendaranya bermassa 60 kg, bergerak pada melintasi jembatan lengkung yang radiusnya 15 m. Mobil tersebut bergerak dengan kelajuan 10 m/s dipuncak jembatan. Tentukan:a. Gaya tekan mobil pada jembatanb. Gaya tekan pengendara terhadap kursi

9. Seorang anak membawa seember air yang digantung dengan seutas tali dan beratnya 100 newton. Jika ember diputar dengan laju linier 4 m/s dalam bidang vertikal, berapakah pertambahan berat ember yang berisi air pada saat berada pada titik terendah?

10. Seorang anak yang bermassa 20 kg duduk pada suatu ayunan dan panjang tali penggantungnya 2 m. Tegangan pada tiap tali 250 newton. Tentukan laju serta gaya tekan anak pada bangku pada saat mencapai titik terendah.