12/8/2012

1

KORELASI

DAN REGRESI

Sinollah, S.Sos, M.AB

Dalam banyak keputusan manajemen terutama dalam dunia usaha, adalah perlu untuk membuat ramalan nilai-nilai dari variable yang tidak diketahui.

Perencanaan anggaran perusahaan tahun mendatang memerlukan ramalan tentang nilai penjualan.

Manajer bagian produksi harus membuat ramalan berapa banyak bahan dasar yang terbuang selama pengerjaan untuk dapat menentukan berapa banyak bahan dasar yang akan dipesan.

Perusahaan listrik harus meramalkan permintaan akan jasa-jasa pemakaian listrik tahun-tahun akan datang dalam hal akan memutuskan berapa besar kapasitas generator yang akan dibangun.

Manajer sumberdaya manusia perlu mengetahui apakah Produktivitas karyawan dapat diramalkan dari hasil tes Seleksi dan lamanya latihan, dan sebagainya.

12/8/2012

2

Dalam pembahasan ini kita akan mempelajari bagaimana pengetahuan tentang hubungan antara dua variable dapat dipraktekkan, sehingga informasi dari satu variable dapat digunakan untuk memperkirakan nilai dari variable lain. Teknik statistik tentang hubungan antara dua variabel tersebut dinamakan korelasi dan regresi.

Regresi akan menjelaskan kepada kita bagaimana satu variable dihubungkan dengan variable lain, dimana hubungan tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan dan nilai dari satu variable yang diketahui atau variable yang digunakan untuk meramalkan (predictor) dapat digunakan untuk menduga nilai variable lain yang tidak diketahui atau variable yang diramalkan (kreterium). Misalnya manajer pemasaran dapat memperkirakan penjualan (kreterium) yang akan dicapai berdasarkan besarnya biaya advertensi (predictor).

Sedangkan korelasi akan menjelaskan kepada kita tentang besarnya derajat hubungan antara dua variable.

KORELASI

Korelasi (correlation) adalah salah satu teknik statistik yang digunakan untuk mencari hubungan antara dua variabel atau lebih yang sifatnya kuantitatif.

Misalnya kita ingin menyelidiki apakah ada hubungan antara penetapan harga dengan jumlah yang diminta, biaya advertensi yang dikeluarkan dengan hasil penjualan barang yang diadvertensikan, banyaknya jam kerja dengan besarnya penghasilan dsb.

Hubungan antara dua variabel dapat hanya karena kebetulan saja, dapat pula memang merupakan hubungan sebab akibat. Dalam statistik yang dipelajari adalah hubungan yang bersifat tidak kebetulan.

Dua variabel dikatakan berkorelasi apabila perubahan pada variabel yang satu akan diikuti perubahan pada variabel yang lain secara teratur, dengan arah yang sama atau dapat pula dengan arah yang berlawanan. Bila dua variabel tersebut dinyatakan sebagai variabel X dan variabel Y, maka apabila variabel X berubah, variabel Y pun berubah dan sebaliknya.

12/8/2012

3

Arah hubungan antara dua variabel (direction of correlation) dapat dibedakan menjadi:

1. Direct correlation (Positive Correlation)

Perubahan pada salah satu variabel diikuti perubahan variabel yang lain secara teratur dengan arah/gerakan yang sama. Kenaikan nilai variabel X selalu diikuti kenaikan nilai variabel Y dan sebaliknya turunnya nilai X selalui diikuti oleh turunnya nilai variabel Y. misalnya : hubungan antara penetapan harga dengan jumlah yang ditawarkan.

2. Inverse Correlation (Negative Correlation)

Perubahan pada salah satu variabel diikuti perubahan variabel yang lain ssecara teratur dengan arah/gerakan yang berlawanan. Nilai variabel X yang tinggi selalu disertai dengan nilai variabel Y yang rendah dan sebaliknya variabel X yang rendah nilainya selalu diikuti nilai variabel Y yang tinggi. Misalmya : hubungan antara penetapan harga dengan jumlah yang diminta.

3. Korelasi Nihil (Tidak Berkorelasi)

Kenaikan nilai variabel yang satu kadang-kadang disertai dengan turunnya nilai variabel yang lain atau kadang-kadang diikuti kenaikan variabel yang lain. Arah hubungannya tidak teratur kadang-kadang dengan arah yang sama kadang-kadang berlawanan.

Besar kecilnya hubungan dinyatakan dalam bilangan. Bilangan yang menyatakan besar kecilnya hubungan tersebut disebut koefisien korelasi yang bergerak antara 0,000 sampai +1,000 atau diantara 0,000 sampai – 1,000, tergantung kepada arah korelasinya (nihil, positif apa negatif). Koefisien yang bertanda positif menunjukkan arah korelasi yang positif. Koefisien yang bertanda negatif menunjukkan arah korelasi yang negatif. Adapun koefisien yang bernilai 0,000 menunjukkan tidak adanya korelasi antara X dan Y.

12/8/2012

4

Jika dua variable mempunyai koefisien korelasi sebesar +1,000 atau -1,000, kedua variable tersebut dikatakan mempunyai korelasi yang sempurna.

Yang pertama disebut korelasi yang sempurna positif dan sebaliknya. Dalam korelasi yang sempurna positif, tiap-tiap kenaikan variable X selalu disertai kenaikan yang seimbang (proporsional) pada nilai-nilai variable Y.

Sebaliknya dalam korelasi yang sempurna negatif, tiap-tiap kenaikan variable X selalu diserta penurunan yang seimbang pada nilai variable Y.

Korelasi Product Moment (Karl Pearson)

Korelasi dari Pearson, atau juga disebut Korelasi Momen Tangkar mendasarkan perhitungannya pada angka-angka kasar seperti apa adanya. Untuk menghitung korelasi product moment dapat dilakukan dengan rumus deviasi dan rumus angka kasar.

( )( )22 yx

xyrxy

ΣΣΣ=

Rumus deviasi:

Ket: rxy = koefisien korelasix = deviasi X (X – M)y = deviasi Y (Y – M)

Rumus angka kasar:

( )( )

ΣΥ−ΣΥ

Σ−Σ

ΣΣ−Σ=

NN

XX

N

YXXY

rxy2

22

2 )()(

12/8/2012

5

Contoh perhitungan:Tabel . contoh perhitungan dengan rumus deviasi

Subjek X Y x x2 y y2 xy

1 130 20 -29.5 870.25 -7.6 57.76 224.2

2 132 24 -27.5 756.25 -3.6 12.96 99

3 152 28 -7.5 56.25 0.4 0.16 -3

4 142 23 -17.5 306.25 -4.6 21.16 80.5

5 184 37 24.5 600.25 9.4 88.36 230.3

6 190 32 30.5 930.25 4.4 19.36 134.2

7 150 25 -9.5 90.25 -2.6 6.76 24.7

8 170 23 10.5 110.25 -4.6 21.16 -48.3

9 181 29 21.5 462.25 1.4 1.96 30.1

10 164 35 4.5 20.25 7.4 54.76 33.3

Jumlah 1595 276 0 4202.5 0 284.4 805

Mx = 1595/10 = 159,5 My = 276/10 = 27,6

7363.0)4.284)(5.4202(

805 =Rxy =

Tabel . contoh perhitungan dengan rumus kasar

Subjek X Y X2 Y2 XY

1 130 20 16900 400 2600

2 132 24 17424 576 3168

3 152 28 23104 784 4256

4 142 23 20164 529 3266

5 184 37 33856 1369 6808

6 190 32 36100 1024 6080

7 150 25 22500 625 3750

8 170 23 28900 529 3910

9 181 29 32761 841 5249

10 164 35 26896 1225 5740

Jumlah 1595 276 258605 7902 44827

12/8/2012

6

rxy = 7363.0)4.284)(4202(

805

10

)276(7902

10

)1595(605.258

10

)276)(1595(827.44

22==

−

−

−

Untuk menguji apakah harga rxy = 0,7363 itu signifikan atau tidak, kita dapat berkonsultasi dengan tabel r – teoritik dengan N = 10 atau derajat kebebasan db = 10 – 2.

Dari tabel r teoritik dengan N = 10 (atau db = 8) akan kita temukan harga r – teoritik pada taraf signifikansi 1% atau rt1% = 0,765 dan rt5% = 0,632. karena harga rt5% < rxy < rt1% maka kita nyatakan signifikan, dan kita dapat menyimpulkan bahwa korelasi antara X dan Y signifikan.

Carilah koefisien korelasinya. Apakah koefisien tersebut signifikan atau tidak ?

Resp Berat Bada (X) Kelincahan (Y)

1 24 28

2 23 30

3 22 26

4 25 28

5 20 28

6 24 29

7 23 27

12/8/2012

7

Tujuan utama dari analisis regresi adalah mendapatkan ramalan dari satu variable (kreterium) dengan menggunakan variable lain yang diketahui (predictor).

Korelasi antara variable kreterium dengan variable predictor dapat dilukiskan dalam satu garis. Garis tersebut disebut garis regresi.

Garis regresi mungkin merupakan garis lurus (linier), mungkin merupakan garis lengkung (parabolic, hiperbolik dsb). Dalam kesempatan ini dibicarakan garis yang linier saja.

Suatu garis dapat dinyatakan dalam persamaan matematik. Persamaan ini disebut persamaan regresi linier. Dengan mengetahui persamaan regresi ini peramalan nilai Y (kreterium) dapat dibuat berdasarkan nilai X (predictor) tertentu.

Untuk garis linier dengan satu variable predictor persamaannya adalah:

Y = aX + KDimana: Y = kriterium

X = predictora = bilangan koefisien preditktorK = bilangan konstans

Tugas pokok regresi linier adalah:

1) mencari korelasi antara kreterium dengan predictor,

2) menguji apakah korelasi itu signifikan atau tidak, dan

3) mencari persamaan garis regresinya.

12/8/2012

8

Contoh: misalkan suatu Penyelidikan ingin memastikan apakah berat badan orang pada kelompok umur tertentu dapat diramalkan dari tinggi badan? Dalam penyelodokan itu dikumpulkan data tinggi badan dan berat badan sepuluh orang sebagai seperti nampak pada tabel 100 berikut:

SubjekTinggi

Badan (cm) X

Berat Badan (kg)

YX2 Y2 XY

1 168 63 28224 3969 10584

2 173 81 29929 6561 14013

3 162 54 26244 2916 8748

4 157 49 24649 2401 7693

5 160 52 25600 2704 8320

6 165 62 27225 3844 10230

7 163 56 26569 3136 9128

8 170 78 28900 6084 13260

9 168 64 28224 4096 10752

10 164 61 26896 3721 10004

Jumlah 1650 620 272460 39432 102732

Korelasi antara X dan Y dapat kita cari melalui teknik korelasi product moment dari Pearson, dengan rumus umum (deviasi).Telah diketahui:

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) 946,0)992)(210(

432r

992620

39432

21010

1650272460

43210

6201650102732

22xy

2222

2222

==ΣΣ

Σ=

=−=Ν

ΣΥ−ΣΥ=Σ

=−=Ν

ΣΧ−ΣΧ=Σ

=−=Ν

ΣΥΣΧ−ΣΧΥ=Σ

yx

xy

y

x

xy

12/8/2012

9

Untuk menguji apakah harga rxy = 0,946 itu signifikan kita dapatberkonsultasi dengan tabel r – teoritik dengan N = 10 atau derajatkebebasan db = 10 – 2.

Dari tabel r teoritik dengan N = 10 (atau db = 8) akan kita temukanharga r – teoritik pada taraf signifikansi 1% atau rt1% = 0,765 dan rt5%= 0,632. karena harga rt5% < rxy < rt1% maka kita nyatakan signifikan,dan kita dapat menyimpulkan bahwa korelasi antara X dan Y signifikan.

Kesimpulannya adalah bahwa korelasi antara tinggi badan dan beratbadan sangat signifikan.

Dengan harga korelasi antara tinggi badan dan berat badan yangsangat signifikan tersebut kita mempunyai landasan untuk meramalkanberat badan dari tinggi badan. Karenanya kita dapat membuat garisregresi untuk prediksi dengan rumus garis linier yang sudah ada, yaitu:y = aX = K.

Untuk mengisi persamaan regresi itu harga koefisien predictor (harga a) dan harga bilangan konstan K harus kita ketemukan lebih dahulu. Harga-harga a dan K itu dapat kita cari melalui dua jalan: yaitu dengan metode skor kasar dan dengan metode skor deviasi.

Dengan metode skor kasar, harga a dan K dapat dicari dari persamaan:

ΣXY = a ΣX2 + KΣXΣY = a ΣX + NK

Jika data yang sudah kita ketahui kita masukkan ke dalam rumus-rumus tersebut:(1) 102732 = 272,460 a + 1650K(2) 620 = 1650 a + 10 K

12/8/2012

10

Dengan penyelesaian persamaan secara simultan akan kita temukan (dengan membagi persamaan 1 dengan 1.650 dan persamaan 2 dengan 10).

(3) 62 = 165,13 a + K(4) 62 = 165 a + K(5) 0,26 = 0,13 a

a = 2(4) 62 = (165) 2 + K

K = - 268

Dengan harga a = 2 dan K = -268, persamaan garis regresinya adalah:Y = aX – KY = 2X – 268

Dengan metode skor deviasi harga-harga a dan K dapat kita cari dari persamaan: y = ax

dimana: y = Y – , x = X - dan a = , maka:

Σxy = 432Σx2 = 210

a = 432/210 = 2,05Y = 2,05x

dari data yang dikumpulkan dapat dicari:

−Υ 62

10

620 ==Ν

ΣΥ= −Χ 165

10

1650 ==Ν

ΣΧ=

−Υ

−Χ 2x

xy

ΣΣ

12/8/2012

11

Karena itu, untuk persamaan garis regresi y = ax atau Y - = a (X -), adalah:

Y – 62 = (2,05) (X – 165)Y = 2,05X – 338,25 + 62

= 2,05X – 276,25

Dengan metode skor kasar kita dapat menemukan persamaan garis regresinya, yaitu: Y = 2X – 268, sedang dengan metode skor deviasi kita menemukan persamaan garis regresinya Y = 2,05X – 276,25.

Seharusnya dengan kedua metode itu kita tidak menemukan hasil perhitungan yang berbeda. Perbedaan hasil perhitungan garis regresi yang kita temukan itu semata-mata disebabkan karena ketelitian perhitungan saja.

−Υ

−Χ

Carilah koefisien regresinya. Apakah koefisientersebut signifikan atau tidak ?

Resp Berat Bada (X) Kelincahan (Y)

1 24 28

2 23 30

3 22 26

4 25 28

5 20 28

6 24 29

7 23 27

12/8/2012

12

N r N r N r N R1 0.997 31 0.344 61 0.248 91 0.2042 0.95 32 0.339 62 0.246 92 0.2033 0.878 33 0.334 63 0.244 93 0.2024 0.811 34 0.329 64 0.242 94 0.2015 0.754 35 0.325 65 0.24 95 0.26 0.707 36 0.32 66 0.239 96 0.1997 0.666 37 0.316 67 0.237 97 0.1988 0.632 38 0.312 68 0.235 98 0.1979 0.602 39 0.308 69 0.234 99 0.196

10 0.576 40 0.304 70 0.232 100 0.19511 0.553 41 0.301 71 0.23 101 0.19412 0.532 42 0.297 72 0.229 102 0.19313 0.514 43 0.294 73 0.227 103 0.19214 0.497 44 0.291 74 0.226 104 0.19115 0.482 45 0.288 75 0.224 105 0.1916 0.468 46 0.285 76 0.223 106 0.18917 0.456 47 0.282 77 0.221 107 0.18818 0.444 48 0.279 78 0.22 108 0.18719 0.433 49 0.276 79 0.219 109 0.18720 0.423 50 0.273 80 0.217 110 0.18621 0.413 51 0.271 81 0.216 111 0.18522 0.404 52 0.268 82 0.215 112 0.18423 0.396 53 0.266 83 0.213 113 0.18324 0.388 54 0.263 84 0.212 114 0.18225 0.381 55 0.261 85 0.211 115 0.18226 0.374 56 0.259 86 0.21 116 0.18127 0.367 57 0.256 87 0.208 117 0.1828 0.361 58 0.254 88 0.207 118 0.17929 0.355 59 0.252 89 0.206 119 0.17930 0.349 60 0.25 90 0.205 120 0.178

Tabel r Product Moment Pada Sig.0,05 (Two Tail)

12/8/2012

13