Page

1

KORELASI (LINIER SEDERHANA)Seri Materi Kuliah statistic Bisnis)

Oleh : agus sukoco, ST, MM.

orelasi didefinisikan hubungan antara dua dua peubah atau lebih. Pada analisis korelasi tidak didasarkan pada definisi yang tegas

tentang peubah bebas (X) peubah terikat (Y), keduanya dapat bertukar tempat dan bersifat acak (mengandung galat acak). Model korelasi mengasumsikan bahwa pada suatu populasi terdapat pasangan nilai X dan Y, keduanya saling berhubungan dan tidak ada yang bersifat fiks. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada marascuilo dan Levin 1983.

Analisis korelasi dapat dilakukan antara peubah X terhadap peubah Y dan antara peubah X1 dan X2.

Korelasi atau hubungan antara dua peubah dapat berupa hubungan garis lurus dan juga dapat berupa hubungan kurva linier. Pola tersebut dapat dideteksi dengan membuat grafik distribusi bersama antara peubah X dan Y.

Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi adalah ukuran untuk menggambarkan distribusi bersama antara dua peubah. Jika hubungan berupa linier maka koefisien korelasi menunjukan derajat hubungan antara dua peubah tersebut. (Edward 1984). Dalam hal ini yang akan

dibahas adalah koesisien korelasi untuk korelasi dua peubah yang bersifat linier.

Koefisien korelasi dilambangkan dengan huruf r untuk data sampel dan untuk data populasi.

Nilai koefien korelasi adalah antara -1 sampai dengan 1

-1 rxy +1

Ada dua hal yang ditunjukan oleh koefisien korelasi sederhana yaitu :

1. Arah hubungan linier dua peubah dan 2. Besarnya hubungan linier dua peubah

Arah hubungan korelasi ada dua yaitu arah positif dan arah negative, arah hubungsn positif adalah jika setiap skor tinggi peubah X juga berkaitan dengan skor yang tinggi peubah Y, dan juga sebaliknya skor yang rendah pada peubah X berkaitan dengan skor yang rendah padan peubah Y.

arah hubungsn negative adalah jika setiap skor tinggi peubah X , berkaitan dengan skor yang rendah peubah Y, dan juga sebaliknya skor yang rendah pada peubah X berkaitan dengan skor yang tinggi pada peubah Y.

Tanda arah hubungan dilambangkan dengan dua tanda aljabar yaitu tanda + untuk arah positif dan tanda untuk arah negative.

Arah Hubungan Skor X Skor Y

(positif) + RendahTinggiRendahTinggi

(Negatif) - RendahTinggiTinggi

Rendah

Besaran koefisien korelasi menunjukan kuat atau lemahnya hubungan. Secara umum

KORELASI

LINIER KURVILINIERNON LINIER

Page

2

koefisien korelasi yang besar menunjukan hubungan yang kuat, sebaliknya koefisien korelasi yang kecil menunjukan hubungan yang lemah.

Koefisien korelasi bergerak antara 0,00 dan 1,00. Semakin mendekati 1,00 hubungan korelasi semakin kuat dan sebaliknya semaki mendekati 0,00 hubungan korelasi semakin lemah.

Koefien Determinasi (r2), kuadrat dari angka korelasi, adalah ditafsirkan sebagai proporsi atau presentase variansi bersama (common varians) antara dua peubah. (shavelson, 1988).

variansi bersama (common varians)merupakan daerah bersama (irisan ) antara peubah X dan peubah Y.

Koefisien determinasi menyatakan berapa persen variansi peubah Y yang dapat dijelaskan oleh peubah X. Jika secara teoritis peubah X merupakan predictor bagi peubah Y maka. misalkan didapat r = 0,6, maka (r2) = 0,36, dari hasil tersebut berarti bahwa 36% peubah Y dapat dijelaskan oleh peubah X.

TEKNIK-TEKNIK KORELASI

Beberapa teknik korelasi yang sering digunakan adalah :

- Korelasi Product Moment- Korelasi Biserial Titik- Korelasi Phi- Korelasi Perbedaan Peringkat

1. KORELASI PRUDUCT MOMENT

Korelasi Pruduct Moment adalah merupakan koefisien krelasi terhadap sampel dan keterkaitanya dengan ukuran variansi bersama.

Korelasi Pruduct Moment dikembangkan oleh Karl Pearson sehingga koefien yang diperoleh sering disebut dengan korelasi pearson. Istilah product moment digunakan kerena teknis tersebut didasarkan kepada cross product x dan y sebagai skor simpangan dari moment pertama (rata-rata) masing-masing peubah. Dalam statistika matematik, rata-rata biasanya disebut moment pertama dan variansi disebut moment kedua.

Korelasi Pruduct Moment dapat dirumuskan sebagai:

= . Dimana

Sxy = kovariansi antara peubay X dan peubah Y

Sx = Simpangan baku peubah X dan

Sy = Simpangan baku peubah Y

Sxy = kovariansi antara peubay X dan peubah Y, dirumuskan dengan :

= ( 1)Dan simpangan baku untuk X dan Y adalah :

, = ( 1) , = ( 1)

Sehinggan rumus untuk menghitung korelasi product moment adalah :

0,5

+1

0Semakin kuat

Semakin lemah

Page

3

= ( ) ( ) ( ) ( ) Contoh: Sebuah penelitian terhadap 7 data dua peubah X dan Y didapat hasil sebagai berikut. Akan dicari berapa nilai r product moment-nya?.

No X Y XY X2 Y2

1 8 10 80 64 1002 7 8 56 49 643 7 9 63 49 814 5 6 30 25 365 4 5 20 16 256 3 2 6 9 47 2 2 4 4 4 36 42 259 216 314

RATA2 5.14 6

= 7259 36427216 36.7314 42= 1813 151214,6920,83 = 301306,17 = 0,98

Sehingga didapatkan bahwa r produk momen adalah sebesar 0,98.

Koefisien determinasi dari kasus diatas adalah sebesar r2 = 0,96 atau sebesar 96%. Artinya bahwa peubah Y dapat dijelaskan peubah X sebesar 96% sedangkan sisanya dijelaskan oleh pebah lainnya yang tidak termasuk dalam pengujian ini.

2. KORELASI BISERIAL TITIK

Korelasi biserial titik (point biserial) merupakan salah satu korelasi dari Pearsonyang digunakan dalam kondisi khusus. Yaitu untuk mengkorelasikan predictor yang bersifat dikhotomus (biner atau binomial)

dengan satu peubah criteria berskala interval atau rasio.

Contoh peubah dikhotomus (biner atau binomial) adalah jenis kelamin, benar-salah, kawin-tdk kawin dsb.

Rumus untuk menghitung korelasi biserial adalah :

= Dimana,

r phis = Koefisien korelasi biserial titik

= rata-rata kelompok p (kelompok kesatu)= rata-rata seluruh subyek

St = simpangan baku untuk seluruh subyek

p = proporsi subyek kelompok kesatu

q = proporsi subyek kelompok kedua

contoh :

Penelitian tentang jenis kelamin (X) terhadap sikap keguruan (Y) didapatkan data sebagai berikut:

No X Y Yp Yq

1 0 18 182 0 17 173 0 20 204 1 22 225 1 23 236 1 19 19

3 119 64 55RATA2 0.5 19.83 21.33 18.33Keterangan:

X 1 untuk Laki dan 0 untuk wanita

Peubah X adalah untuk jenis kelamin dan Y untuk nilai keguruan.

Page

4

Untuk jenis kelamin kelompok kesatu p untuk laki-laki dan kelompok kedua q untuk wanita.

Sehingga:

= 21,33 ; = 19,83 ; St = 2,11 ; P= 3:6 = 0,5 ; Q = 3:6 = 0,5

Maka :

= 21,33 19,832,1 0,50,5= 0,71hasil angka korelasi biserial sebesar 0,71 adalah juga sama ahasilnya jika kita menggunakan rumus product moment. Tujuan rumus biserial adalah untuk menyederhanakan perhitungan , bukan untuk membuat hasil korelasi yang berbeda.

3. KORELASI PHI

Teknik korelasi phi digunakan untuk menemukan koefisien korelasi antara dua peubah, jika keduanya bersifat dikhotomus. Maka hanya ada empat pasangan skor yaitu

Pasangan ke Skor pasangan1 1-12 1-03 0-14 0-0

Contoh:

Penelitian terhadap 20 responden dengan variable X untuk jenis kelamin (1= laki dan 0= wanita) dan variable Y yang berarti jawaban subyek terhadap soal benar-salah ( 1= benar dan 0 = salah). Data penelitian adalah seperti pada table berikut ini:

No X Y No X Y

1 1 1 11 0 12 1 1 12 0 13 1 1 13 0 0

4 1 1 14 0 05 1 1 15 0 06 1 1 16 0 07 1 0 17 0 08 1 0 18 0 09 1 0 19 0 0

10 1 0 20 0 0

Table diatas dapat transformasikan ke dalam bentuk table berikut:

Y0 1

X1 a b0 c d

Note:

A,b,c,d adalah frekuensi pasangan skor, pasangan a = 1- 0 ; b = 1-1 ; c= 0 0 ; d = 0-1.

Y0 1

X1 4 60 8 2

Koefisien phi dapat dihitung dengan rumus sbb:

= ( + )( + )( + )( + )Maka :

= (68) (42)(4 + 8)(6 + 2)(4 + 2)(8 + 2) = 409600 = 4097,98 = 0,41

Hasil koefisien korelasi phi = 0,41 adalah juga sama hasilnya jika dihitung dengan menggunakan korelasi produk momen.

4. KORELASI PERBEDAAN PERINGKAT

Adalah digunakan jika kedua peubah yang hendak dikorelasikan berupa peringkat

Page

5

subyek pada masing-masing peubah dan bukan skor.

Korelasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

= 1 6( 1)Dimana : D=perbedaan peringkat peubah X terhadap Y (D=X-Y) ; n= jumlah sampel;

Contoh:

Data penelitian dengan data sebagai berikut:

no X Y D=X-Y D2

1 6 6 0 02 5 4 1 13 4 5 -1 14 3 1.5 1.5 2.255 2 3 -1 16 1 1.5 -0.5 0.25

21 21 0 5.50

= 1 65,56(6 1) = 1 33210= 1 0,157 = 0,848MENAFSIRKAN KOEFISIEN KORELASI

Angka koefisien korelasi adalah berkisar antara -1 s/d +1. Selain mengacu pada panduan umum tentang makna ankoefisien korelasi, Dalam menafsirkan angka koefisien korelasi dalam kasus penelian adala berbeda-mungkin juga berbeda dalam memberikan angka yang bermakna terhadap kasus tersebut. Ada beberapa factor yang perlu untuk diperhatikan dalam menafsirkan besaran angka koefisien korelasi sebagai berikut (Edward 1983):

- Bentuk distribusi peubah X dan Y- Koefisien korelasi dari sampel kecil- Gabungan beberapa sampel- Penyempitan rentang skor- Regresi yang tidak linier

- Korelasi parsial- Galat acak pengukuran.

Kesimpulan:

1. Korelasi antara dua peubah dapat berupa korelasi linier dan non linier (kurvilinier)

2. Korelasi product moment, korelasi biserial titik, korelasi phi dan korelasi peringkat adalah untuk menghitung koefisien korelasi pada hubungan antara dua peubah yang bersifat linier.

3. Hasi perhitungan koefisien korelasi biserial titik, korelasi phi dan korelasi peringkat hasilnya adalah sama jika dihitung dengan menggunakan rumus Korelasi product moment

4. Maksud dibuatkan rumus khusus untuk menghitung koefisien korelasi biserial titik, korelasi phi dan korelasi peringkat adalah untuk menyederhanakan perhitungan, karena dianggap bahwa mengitung koefisien korelasi dengan rumus rumus Korelasi product moment cukup rumit.

5. Koefisien korelasi mempunyai nilai antara -1,00 (negative 1,00) sampai dengan +1,00 (positif 1,00)

6. Dalam menentukan makna koefisien korelasi dalam beberapa kasus dapat berdeda , tergantung pada kasus yang dihadapi. Umumnya angka diatas 0,5 adalah dinyatakan kuat, tetapi dalah kasus tertentu angka 0,3 dianggap cukup bermakna.

7. Dalam penentuan level kuat lemah angka korekasi masih ada beberapa pendapat dari beberapa ahli yang belum dibahas dalam makalah ini.

8. Menghitung angka koefien korelasi lebih mudah jika menggunakan fasilitas software seperti Excell, SPSS, dsb.

Page

6

Daftar Puskata:

Page6

KORELASI (LINIER SEDERHANA)Seri Materi Kuliah statistic Bisnis)Oleh : agus sukoco, ST, MM.orelasi didefinisikan hubungan antara dua dua peubah atau lebih. Pada analisis korelasi tidak didasarkan pada definisi yang tegas tentang peubah bebas (X) peubah terikat (Y), keduanya dapat bertukar tempat dan bersifat acak (mengandung galat acak). Model korelasi mengasumsikan bahwa pada suatu populasi terdapat pasangan nilai X dan Y, keduanya saling berhubungan dan tidak ada yang bersifat fiks. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada marascuilo dan Levin 1983.

KORELASILINIERKURVILINIERNON LINIERAnalisis korelasi dapat dilakukan antara peubah X terhadap peubah Y dan antara peubah X1 dan X2.

Korelasi atau hubungan antara dua peubah dapat berupa hubungan garis lurus dan juga dapat berupa hubungan kurva linier. Pola tersebut dapat dideteksi dengan membuat grafik distribusi bersama antara peubah X dan Y.

Koefisien Korelasi

Koefisien korelasi adalah ukuran untuk menggambarkan distribusi bersama antara dua peubah. Jika hubungan berupa linier maka koefisien korelasi menunjukan derajat hubungan antara dua peubah tersebut. (Edward 1984). Dalam hal ini yang akan dibahas adalah koesisien korelasi untuk korelasi dua peubah yang bersifat linier.

Koefisien korelasi dilambangkan dengan huruf r untuk data sampel dan untuk data populasi.

Nilai koefien korelasi adalah antara -1 sampai dengan 1

-1 rxy +1

Ada dua hal yang ditunjukan oleh koefisien korelasi sederhana yaitu :

1. Arah hubungan linier dua peubah dan

2. Besarnya hubungan linier dua peubah

Arah hubungan korelasi ada dua yaitu arah positif dan arah negative, arah hubungsn positif adalah jika setiap skor tinggi peubah X juga berkaitan dengan skor yang tinggi peubah Y, dan juga sebaliknya skor yang rendah pada peubah X berkaitan dengan skor yang rendah padan peubah Y.

arah hubungsn negative adalah jika setiap skor tinggi peubah X , berkaitan dengan skor yang rendah peubah Y, dan juga sebaliknya skor yang rendah pada peubah X berkaitan dengan skor yang tinggi pada peubah Y.

Tanda arah hubungan dilambangkan dengan dua tanda aljabar yaitu tanda + untuk arah positif dan tanda untuk arah negative.

Arah Hubungan

Skor X

Skor Y

(positif) +

Rendah

Tinggi

Rendah

Tinggi

(Negatif) -

Rendah

Tinggi

Tinggi

Rendah

Besaran koefisien korelasi menunjukan kuat atau lemahnya hubungan. Secara umum koefisien korelasi yang besar menunjukan hubungan yang kuat, sebaliknya koefisien korelasi yang kecil menunjukan hubungan yang lemah.

0,5+10Semakin kuatSemakin lemahKoefisien korelasi bergerak antara 0,00 dan 1,00. Semakin mendekati 1,00 hubungan korelasi semakin kuat dan sebaliknya semaki mendekati 0,00 hubungan korelasi semakin lemah.

Koefien Determinasi (r2), kuadrat dari angka korelasi, adalah ditafsirkan sebagai proporsi atau presentase variansi bersama (common varians) antara dua peubah. (shavelson, 1988).

variansi bersama (common varians) merupakan daerah bersama (irisan ) antara peubah X dan peubah Y.

Koefisien determinasi menyatakan berapa persen variansi peubah Y yang dapat dijelaskan oleh peubah X. Jika secara teoritis peubah X merupakan predictor bagi peubah Y maka. misalkan didapat r = 0,6, maka (r2) = 0,36, dari hasil tersebut berarti bahwa 36% peubah Y dapat dijelaskan oleh peubah X.

TEKNIK-TEKNIK KORELASI

Beberapa teknik korelasi yang sering digunakan adalah :

Korelasi Product Moment

Korelasi Biserial Titik

Korelasi Phi

Korelasi Perbedaan Peringkat

1. KORELASI PRUDUCT MOMENT

Korelasi Pruduct Moment adalah merupakan koefisien krelasi terhadap sampel dan keterkaitanya dengan ukuran variansi bersama.

Korelasi Pruduct Moment dikembangkan oleh Karl Pearson sehingga koefien yang diperoleh sering disebut dengan korelasi pearson. Istilah product moment digunakan kerena teknis tersebut didasarkan kepada cross product x dan y sebagai skor simpangan dari moment pertama (rata-rata) masing-masing peubah. Dalam statistika matematik, rata-rata biasanya disebut moment pertama dan variansi disebut moment kedua.

Korelasi Pruduct Moment dapat dirumuskan sebagai:

Dimana

Sxy = kovariansi antara peubay X dan peubah Y

Sx = Simpangan baku peubah X dan

Sy = Simpangan baku peubah Y

Sxy = kovariansi antara peubay X dan peubah Y, dirumuskan dengan :

Dan simpangan baku untuk X dan Y adalah :

Sehinggan rumus untuk menghitung korelasi product moment adalah :

Contoh: Sebuah penelitian terhadap 7 data dua peubah X dan Y didapat hasil sebagai berikut. Akan dicari berapa nilai r product moment-nya?.

No

X

Y

XY

X2

Y2

1

8

10

80

64

100

2

7

8

56

49

64

3

7

9

63

49

81

4

5

6

30

25

36

5

4

5

20

16

25

6

3

2

6

9

4

7

2

2

4

4

4

36

42

259

216

314

RATA2

5.14

6

Sehingga didapatkan bahwa r produk momen adalah sebesar 0,98.

Koefisien determinasi dari kasus diatas adalah sebesar r2 = 0,96 atau sebesar 96%. Artinya bahwa peubah Y dapat dijelaskan peubah X sebesar 96% sedangkan sisanya dijelaskan oleh pebah lainnya yang tidak termasuk dalam pengujian ini.

2. KORELASI BISERIAL TITIK

Korelasi biserial titik (point biserial) merupakan salah satu korelasi dari Pearson yang digunakan dalam kondisi khusus. Yaitu untuk mengkorelasikan predictor yang bersifat dikhotomus (biner atau binomial) dengan satu peubah criteria berskala interval atau rasio.

Contoh peubah dikhotomus (biner atau binomial) adalah jenis kelamin, benar-salah, kawin-tdk kawin dsb.

Rumus untuk menghitung korelasi biserial adalah :

Dimana,

r phis = Koefisien korelasi biserial titik

= rata-rata kelompok p (kelompok kesatu)

= rata-rata seluruh subyek

St = simpangan baku untuk seluruh subyek

p = proporsi subyek kelompok kesatu

q = proporsi subyek kelompok kedua

contoh :

Penelitian tentang jenis kelamin (X) terhadap sikap keguruan (Y) didapatkan data sebagai berikut:

No

X

Y

Yp

Yq

1

0

18

18

2

0

17

17

3

0

20

20

4

1

22

22

5

1

23

23

6

1

19

19

3

119

64

55

RATA2

0.5

19.83

21.33

18.33

Keterangan:

X 1 untuk Laki dan 0 untuk wanita

Peubah X adalah untuk jenis kelamin dan Y untuk nilai keguruan.

Untuk jenis kelamin kelompok kesatu p untuk laki-laki dan kelompok kedua q untuk wanita.

Sehingga:

= 21,33 ; = 19,83 ; St = 2,11 ; P= 3:6 = 0,5 ; Q = 3:6 = 0,5

Maka :

= 0,71

hasil angka korelasi biserial sebesar 0,71 adalah juga sama ahasilnya jika kita menggunakan rumus product moment. Tujuan rumus biserial adalah untuk menyederhanakan perhitungan , bukan untuk membuat hasil korelasi yang berbeda.

3. KORELASI PHI

Teknik korelasi phi digunakan untuk menemukan koefisien korelasi antara dua peubah, jika keduanya bersifat dikhotomus. Maka hanya ada empat pasangan skor yaitu

Pasangan ke

Skor pasangan

1

1-1

2

1-0

3

0-1

4

0-0

Contoh:

Penelitian terhadap 20 responden dengan variable X untuk jenis kelamin (1= laki dan 0= wanita) dan variable Y yang berarti jawaban subyek terhadap soal benar-salah ( 1= benar dan 0 = salah). Data penelitian adalah seperti pada table berikut ini:

No

X

Y

No

X

Y

1

1

1

11

0

1

2

1

1

12

0

1

3

1

1

13

0

0

4

1

1

14

0

0

5

1

1

15

0

0

6

1

1

16

0

0

7

1

0

17

0

0

8

1

0

18

0

0

9

1

0

19

0

0

10

1

0

20

0

0

Table diatas dapat transformasikan ke dalam bentuk table berikut:

Y

0

1

X

1

a

b

0

c

d

Note:

A,b,c,d adalah frekuensi pasangan skor, pasangan a = 1- 0 ; b = 1-1 ; c= 0 0 ; d = 0-1.

Y

0

1

X

1

4

6

0

8

2

Koefisien phi dapat dihitung dengan rumus sbb:

Maka :

Hasil koefisien korelasi phi = 0,41 adalah juga sama hasilnya jika dihitung dengan menggunakan korelasi produk momen.

4. KORELASI PERBEDAAN PERINGKAT

Adalah digunakan jika kedua peubah yang hendak dikorelasikan berupa peringkat subyek pada masing-masing peubah dan bukan skor.

Korelasi dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

Dimana : D=perbedaan peringkat peubah X terhadap Y (D=X-Y) ; n= jumlah sampel;

Contoh:

Data penelitian dengan data sebagai berikut:

no

X

Y

D=X-Y

D2

1

6

6

0

0

2

5

4

1

1

3

4

5

-1

1

4

3

1.5

1.5

2.25

5

2

3

-1

1

6

1

1.5

-0.5

0.25

21

21

0

5.50

= 0,848

MENAFSIRKAN KOEFISIEN KORELASI

Angka koefisien korelasi adalah berkisar antara -1 s/d +1. Selain mengacu pada panduan umum tentang makna ankoefisien korelasi, Dalam menafsirkan angka koefisien korelasi dalam kasus penelian adala berbeda-mungkin juga berbeda dalam memberikan angka yang bermakna terhadap kasus tersebut. Ada beberapa factor yang perlu untuk diperhatikan dalam menafsirkan besaran angka koefisien korelasi sebagai berikut (Edward 1983):

Bentuk distribusi peubah X dan Y

Koefisien korelasi dari sampel kecil

Gabungan beberapa sampel

Penyempitan rentang skor

Regresi yang tidak linier

Korelasi parsial

Galat acak pengukuran.

Kesimpulan:

1. Korelasi antara dua peubah dapat berupa korelasi linier dan non linier (kurvilinier)

2. Korelasi product moment, korelasi biserial titik, korelasi phi dan korelasi peringkat adalah untuk menghitung koefisien korelasi pada hubungan antara dua peubah yang bersifat linier.

3. Hasi perhitungan koefisien korelasi biserial titik, korelasi phi dan korelasi peringkat hasilnya adalah sama jika dihitung dengan menggunakan rumus Korelasi product moment

4. Maksud dibuatkan rumus khusus untuk menghitung koefisien korelasi biserial titik, korelasi phi dan korelasi peringkat adalah untuk menyederhanakan perhitungan, karena dianggap bahwa mengitung koefisien korelasi dengan rumus rumus Korelasi product moment cukup rumit.

5. Koefisien korelasi mempunyai nilai antara -1,00 (negative 1,00) sampai dengan +1,00 (positif 1,00)

6. Dalam menentukan makna koefisien korelasi dalam beberapa kasus dapat berdeda , tergantung pada kasus yang dihadapi. Umumnya angka diatas 0,5 adalah dinyatakan kuat, tetapi dalah kasus tertentu angka 0,3 dianggap cukup bermakna.

7. Dalam penentuan level kuat lemah angka korekasi masih ada beberapa pendapat dari beberapa ahli yang belum dibahas dalam makalah ini.

8. Menghitung angka koefien korelasi lebih mudah jika menggunakan fasilitas software seperti Excell, SPSS, dsb.

Daftar Puskata: