Konsep jumlah riemanOleh: TriyantiNim : 3214113165

Kompetensi Dasar Memahami konsep jumlah Rieman dan integral tentu suatu fungsi dengan menggunakan fungsi-fungsi sederhana non-negatif

Berapakah luas persegi panjang disamping?

 1  2  3  4  5 6  7 8  9  10

2

3

4

5 50

Misalkan ter dapat bidang datar seperti di bawah ini !Bagaimanakah menentukan luasnya ?

XO

Y y = x2 + 2

1 2 3 4 5

Luas = ?

2. Menghitung luas bidang datar dengan pendekatan luas persegi panjang

Bidang datar kita partisi menjadi beberapa persegi panjang dengan lebar yang sama

1 2 3 4 O X

Y persegi panjang dalam

y = x2 + 2

1 2 3 4

4 buah persegi panjang dengan lebar masing-masing 1 satuan

Untuk x = 2 , didapat y = 6

Untuk x = 3 , didapat y = 11

Untuk x = 4 , didapat y = 18

Untuk x = 1 , didapat y = 3

Jumlah Luas = 1 . 3 + 1 . 6 + 1 . 11 + 1 . 18 = 38

jumlah luas clik di sini

1 2 3 4 O X

Y persegi panjang luar

y = x2 + 2

Untuk x = 3 , didapat y = 11

Untuk x = 4 , didapat y = 18

Untuk x = 5 , didapat y = 27

Untuk x = 2 , didapat y = 6

Jumlah Luas = 1 . 6 + 1 . 11 + 1 . 18 + 1 . 27 = 62

4 buah persegi panjang dengan lebar masing-masing 1 satuan

1 2 3 4

jumlah luas clik di sini

Bidang datar kita partisi menjadi beberapa persegi panjang dengan lebar yang sama

Berdasarkan uraian di atas, berapakah luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 2 , garis x = 1 , garis x = 5 dan sumbu x , tersebut ?

Luas bidang datar antara 38 – 62 satuan luasatau

38 < L < 62 : rentang 24 satuan

XO

Y y = x2 + 2

1 2 3 4 5

Berapakah luasnya ?Clik di sini

L1 = f ( x1 ) . Δx1

L2 = f ( x2 ) . Δx2

L4 = f ( x4 ) . Δx4

L3 = f ( x3 ) . Δx3

Ln = f ( xn ) . Δxn

…

3. Menghitung luas bidang datar dengan proses limit

OX

Y

L

Daearah dibagi menjadi n buah persegi panjang dengan lebar masing-masing persegi panjang Δx

y = f(x)

Δx1 Δx2 Δx3 ΔxnΔx1 ... .

Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang =

L ≡ f ( x1 ) . Δx1 + f ( x2 ) . Δx2 + f ( x3 ) . Δx3 + … + f ( xn ) . Δxn

L ≡ f ( x1 ) . Δx1 + f ( x2 ) . Δx2 + f ( x3 ) . Δx3 + … + f ( xn ) . Δxn

Dapat ditulis dengan notasi sigma menjadi

Bentuk Jumlah di atas disebut dengan Jumlah Riemann / Deret Riemann

nL f( x ).Δxi ii 1

Untuk menunjukkan penjumlahan di atas mencakup unjung-ujung interval dari x = a s.d. x = b , maka bentuk jumlah di atas dapat ditulis menjadi

bL f( x).Δx

i a

Menentukan luas daerah

dengan limit jumlah dapat

diilustrasikan oleh gambar

di samping. Langkah utama

yang dilakukan adalah

memartisi,

mengaproksimasi,

menjumlahkan, dan

menghitung limitnya.

9

2xy

Luas daerah L yang sebenarnya dapat diperoleh dengan mengambil n yang besar ( n → ) , se-hingga Δx → 0 , dengan demikian luas daerah L adalah :

nL Lim f( x ).Δxi ii 1n

atau

bL Lim f( x ).Δx

x ax 0

bL = Lim f( x ).Δx

x=aΔx 0

ba f(x)dxL

Dituliskan sebagai

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) , garis

x = a , garis x = b dan sumbu x

Menyatakan

Siapakah orang yang pertama kali menemukan integral

tertentu ?

Dia adalah George Friedrich Bernhard Riemann, seorang Matematikawan asal Jerman yang lahir pada tahun 1826 dan meninggal tahun 1866. Untuk mengenang jasanya, integral tertentu dinamakan integral Riemann.

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x,

dan garis x = 3

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya Li xi2

xi

4. Jumlahkan luasnya L xi2

xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral

dan hitung nilainya

y

0x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix

Latihan Soal

2. Luas bidang datar pada gambar di bawah ini jika

dinyatakan sebagai suatu integral tertentu adalah ... .

A

B

C

D

E

2 210 2

x dx

4 22

2x dx4 20

2x dx

4 210 2

x dx4 212 2

x dx

3. Nilai integral = ... . 2 20

3x dxA

B

C

D

E

83

32

53

3435

Terima

Kasihda

n Belajar

Selamat