KONSEP DASAR SISTEM DAN MODEL

Hanna Lestari, ST, M.Eng

Sistem, Keadaan, Model

model

input output

Permasalahan Dunia Industri

Mendapatkan pemahaman adanya suatu fenomena baru misalnya jumlah produk jadi di dalam gudang dari tahun ke tahun cenderung mengalami peningkatan

Mengetahui response perilaku sistem, misalnya seberapa besar load faktor pabrik atau utilisasi sumber dayanya

Optimasi performansi untuk meningkatkan profit perusahaan, misalnya apakah kapasitas produksi masih bisa ditingkatkan dengan sumber daya yang dimiliki.

Desain suatu plant yang kompleks seperti pusat pembangkit listrik, pabrik perakitan mobil, pabrik baja dan lain-lain

Peran Matematik Dalam Problem Solving

A.Semakin majunya teknologi komputer

B.Semakin berkembangnya metodologi komputasi

C.Digunakannya pendekatan sistem dalam problem solving

Semakin luas karena :

Peran Matematik

• Dimulai dengan formulasi masalah,

• Membangun model matematik,

• Analisis terhadap model matematik yang sudah dibangun tersebut

• Dan interpretasi hasil analisis untuk menentukan solusi yang feasible.

Pemodelan Matematik

• Interpretasi dan Representasi Proses Dunia Nyata ke

dalam simbol-simbol abstrak

• Simbol abstrak yg membentuk formulasi matematik ini

disebut model matematik

• Formulasi matematik dipandang sebagai dummy

• Formulasi matematik (dummy) sering dapat digunakan

untuk berbagai masalah

Validitas Model

• Permasalahan validitas dari solusi yang diperoleh kemudian muncul dan ini berkaitan dengan model matematik yang sudah dibangun tersebut.

• Sehingga dalam realitanya, model matematik tersebut harus diverivikasi dan divalidasi dengan keadaan pada sistem nyata

Membangun Model Yang Valid

KREATIVITAS

SKILL

TEORI

MATEMATIK

SISTEM

DUNIA

NYATA

MODEL

PENDEKATAN

SISTEM

PENDEKATAN SISTEM

Aktivitas problem solving baik menggunakan matematik atau tidak, dimulai dari mendefinisikan masalah yang ada.

Problem dipandang sebagai sesuatu yang “embodied” di dalam system

Karakteristik sistem yang terkait dengan problem lebih mudah diidentifikasi melalui pendekatan sistem

IDENTIFIKASI MASALAH

KARAKTERISASI SISTEM

FORMULASI MODEL

ANALISIS MODEL

ESTIMASI PARAMETER

VALIDASI MODEL

METODOLOGI :

SIMULASI

DESIGN OF EXPERIMENT

IDENTIFIKASI MASALAH

• Permasalahan yang akan dipecahkan harus didefinisikan dengan jelas sebelum pemodelan matematik dimulai.

• Pendefinisan masalah yang diambil dari dunia nyata ini dilakukan dengan mendeskripsikan konteks permasalahan yang ada dan menyatakannya tetap dalam konteks tersebut. ▫ Jangan sampai menyelesaikan dengan benar suatu

masalah yang salah(bukan merupakan permasalahan sebenarnya)

Contoh : Identifikasi Masalah

Topik Deskripsi Problem

Alloy

selection

Sebuah pabrik akan memproduksi logam campuran dengan sifat thermal terbaik dari bahan & metoda tertentu

Menentukan metoda fabrikasi dan asal bahan tambang yang dapat memberikan sifat thermal terbaik

Optimal production

PT.X memproses susu segar menjadi susu krim, yoghurt dan keju.

Menentukan kombinasi produk yang memaksimalkan profit

World population

Pertumbuhan penduduk merupakan faktor penting dalam peningkatan produksi dan konsumsi makanan

Estimasi jumlah populasi berdasarkan data populasi yang lalu

Weather changes

Kolam renang dirancang agar temperatur tetap 27 C. Energi panas berasal dari matahari dan pemanas buatan

Berdasarkan data cuaca yang lalu, apakah ekonomis jika dipasang pemanas tenaga matahari

Thermal power stations

Produksi listrik dg membakar batubara, menghasilkan uap utk menggerakan turbin-generator

Kapan dibangun, berapa kapasitasnya, untuk base load atau load following

Component Reliabilty

Sistem kompleks terdiri dari banyak komponen. Berdasarkan data operasi komponen, lama operasi komponen sebelum gagal bersifat tak pasti

Berapa lama mesin agar tetap operasional dengan n suku cadang komponen yang dimiliki?

Berapa kali penggantian komponen dibutuhkan agar mesin tetap bekerja?

Supermarket Operation

Supermarket yang besar memiliki banyak counter. Sedikit counter menimbulkan antrean yg panjang, banyak counter mengurangi profit

Berapa jumlah counter yang optimal yang harus dimiliki supermarket tersebut?

Demand for soft sdrink

Perusahaan soft drink berfikir untk mengembangkan kapasitas pabriknya untuk mengantisiasi peningkatan permintaan ke depan

Bagaimana perusahaan mendapatkan estimasi permintaan yang baik agar mampu membuat keputusan dengan benar

KARAKTERISASI SISTEM

Untuk mendapatkan deskripsi yang benar tentang sistem yang ditinjau.

Tidak semua “features” dalam proses dunia nyata punya relevansi dengan problem atau solusinya.

Karakterisasi berarti juga deskripsi parsial suatu sistem atau suatu proses simplifikasi dan idealisasi

Konsep Karakterisasi

Real world

Problem

Goal for

study

Total system

description

Simplification

System

characterization

KONSEP DASAR KARAKTERISASI SISTEM

Memahami sistem, elemen-elemen atau objeknya, variable dan parameter, input dan outputnya.

Sebagian besar sistem bersifat terbuka yaitu berinteraksi dengan objek diluar sistem

Banyaknya elemen atau objek dan interaksi antar objek akan menentukan kompeksitas dalam pemodelan.

Jika struktur internal sistem tidak dapat diketahui (tidak transparan) maka digunakan pendekatan black box

Pendekatan statik terhadap sistem yang dinamik adalah masalah penentuan periode atau time scale.

Jika pendekatan continuous terlalu detail maka dilakukan pendekatan diskrit

Adanya variabilitas pada data yang diamati menunjukkan perilaku stokastik yang menambah kompeksitas sistem yang ditinjau.

Sistem, variable, parameter

Thermal power station

3 objek utama : boiler, turbin, generator

Variable dan parameter diturunkan dr pers heat transfer, mekanika fluida, listrik dll

Supermarket 3 objek : customer, counter, product

Jml customer di dalam toko, yang antree dan jml barang yg dibeli

Parameter : harga produk, jmlh counter

Keandalan komponen

Single objek Variable : state dr komponen : bekerja/gagal, umur komponen

• Sistem : kumpulan objek-objek yang saling berinteraksi dan mengarah

ke suatu tujuan tertentu.

• Setiap objek mempunyai karakteristik (attributes) tertentu.

• Atributes intrinsik disebut parameter

• Atributes yang digunakan untuk menggambarkan interaksi antar objek

disebut variables

Sistem Terbuka dan Tertutup

Sistem terbuka jika objek di dalam sistem berinteraksi dengan objek di

luar sistem. Sebaliknya disebut sistem tertutup.

Thermal power plant

Sistem terbuka jika asal batubara dianggap objek di luar system yang

mempengaruhi sistem. Jaringan PLN dianggap objek lain yg dipengaruhi oleh

sistem

Sistem Tambang

batubara Jaringan PLN

Permintaan Soft drink

Jika satu-satunya variabel yaitu permintaan ke depan hanya dikaitkan dengan

permintaan yg lalu, sistem menjadi tertutup. Jika dikaitkan dengan perubahan

populasi, cuaca dan promosi, sistem terbuka.

Sistem

Populasi

Cuaca

Promosi

Permintaan soft drink

INTERAKSI ANTAR OBJEK

Interaksi antar objek digambarkan melalui suatu garis yg menghubungkan

variable-variable objek yang berinteraksi. Hubungan ini menjelaskan suatu

interaksi sebab-akibat yg dikenal dg “causal relationship”

Causal relationship dapat diindikasikan dengan menggunakan graph-

theoric display atau tabel matriks.

Iklan Promosi

Penjualan

Profit

Iklan

iklan penjualan profit

iklan

penjualan

profit

0

0

1

1

0

0

0

1

0

Suatu perusahaan menggunakan promosi untuk memperbaiki penjualan yang berarti

meningkatkan pendapatan atau profit. Promosi iklan adalah suatu aktivitas yang mahal

sehingga perlu direncanakan dengan tepat berapa banyak dan jenis promosi yang

diperlukan. Diasumsikan sistem tertutup dengan 3 variabel : iklan, penjualan dan profit.

Hubungan ketiga variabel dapat digambkan dengan graph-theoric dan tabel/matriks.

WHITE BOX VS BLACK BOX

Sistem terbuka tetapi struktur dalam sistem tersebut tidak diketahui, maka

deskripsi ini disebut black box.

Sebaliknya jika dapat digambarkan objek-objek di dalam sistem dan atribute-

atributnya disebut deskripsi white box.

Keandalan komponen

Pertama, karakterisasi sederhana dengan hanya 1 variable yg hanya punyai 2 nilai

yaitu 1jika bekerja dan 0 jika gagal. Kedua, jika mekanisme kegagalan yaitu crack

propagation bisa digambarkan, maka kita punyai deskripsi yg lebih rinci.

Pertumbuhan penduduk

Karakterisasi sistem dimana populasi dpt dikategorisasi ke dalam umur, jenis kelamin

dan lokasi geografi mengandung informasi yg lebih detil dibanding hanya sebagai

fungsi waktu saja

FORMULASI MODEL Jenis Sistem

• Statik

• Dinamik

• Determisintik

• Stokastik

• Diskrit

• Kontinyu

Model Manufaktur

• Model Antrean

• Model Inventori

STATIC VS DYNAMIC Jika waktu tidak berperan sehingga semua variabel juga independen

terhadap waktu, maka sistem adalah statik.

Sebaliknya jika waktu berperan sehingga variabel nilainya berubah dg waktu,

maka kita mempunyai sistem dinamik.

Alloy Selection

Jika problem ini digambarkan sebagai sistem lup tertutup dg 3 variabel yaitu A

koeffisien thermal, B metoda produksi dan C suplier

C

A

B

Rocket launch

Posisi dan kecepatan roket terhadap tempat peluncuran di bumi adalah berubah

dengan waktu. Hubungan antara posisi dan kecepatan dijelaskan dengan teori

dinamika.

Continuous vs discrete Jika variabel dalam sistem perlu digambarkan pada “all time instants”

(Continuous) atau hanya pada “relevant time instants” (discrete)

Memilih continuous atau discrete tergantung banyak aspek dalam

pemodelan.

Jika “continuous” terlalu detail, bisa digunakan skala waktu “discrete”

Permintaan soft drink

Jika tertarik pada interval permintaan mingguan, maka varibel yang

menggambarkan sistem berubah mingguan. Unsur waktu diperlakukan

sebagai discrete.

Polusi Sungai

Level konsentrasi zat pencemar di sungai pada lokasi tertentu berubah

secara kontinyu dengan waktu, sehingga digunakan pendekatan

continuous.

Deterministik Vs Stokastik

• Deterministik: Jika nilai variabel (sistem statik) atau perubahan nilainya

(sistem dinamik) bersifat predictable dengan kepastian.

•Stokastik: Jika nilai atau perubahan nilai variabelnya random dan

unpredictable.

Keandalan komponen

Data waktu kegagalan komponen sebuah mesin menunjukkan adanya

variabilitas yang besar (37 s/d 415 jam) sehingga sistem tersebut

stokastik

Peluncuran Roket

Posisi dan kecepatan roket dapat diformulsikan secara akurat dari teori

dinamika sistem, sehingga posisi dan kecepatan roket dapat diprediksi

dengan akurasi yg tingi pula. Sistem ini dipandang sbg deterministik.

Model Stokastik (Probabilistik)

• Mengandung unsur acak atau distribusi peluang sehingga tidak hanya membuat penaksiran keluaran yang definitif tetapi juga disertai dengan deviasi (variance).

• Semakin besar ketidakpastian akan tingkah laku

suatu sistem semakin penting penerapan model stokastik

Cont’

• Tingkah laku sistem dapat menjadi deterministik apabila kuantitas besar dilibatkan artinya variasi yang sangat kecil tidak begitu berarti dalam taksiran yang dihasilkan model.

• Kasus epidemiologi , dinamika populasi, pengendalian populasi

terkadang didekati dengan model stokastik.

Proses Acak

Kelahiran

Kematian

Konversi Kimia

Migrasi

MODEL ANTRIAN • Pada prinsipnya sistem-sistem manufaktur, pergudangan, transportasi, pelayanan

publik , seperti rumah sakit, kantor pos dan bank mempunyai bentuk model sistem antrean.

• Analisis antrian merupakan bentuk analisis probabilitas, bukan teknik penentuan yang digunakan untuk mengambil keputusan dalam suatu operasi yang mengandung masalah antrian.

• Ada sejumlah model antrian yang berbeda yang dapat digunakan, akan tetapi bentuk yang paling umum adalah system pelayanan tunggal (single server system) dan system pelayanan ganda (multiple server system)

Pergi Customer

datang Antree dilayani

Server (idle or busy)

PENDEKATAN MARKOV

• N(t) yaitu jumlah customer di dalam sistem bersifat random dan memiliki

distribusi probabilitas

• Probabilitas jumlah customer N(t)=n dimana n= 0, 1, 2, …n,….,∞ adalah

pn(t)

• Jumlah keseluruhan probabilitas adalah satu

• Probabilitas pada waktu yang akan datang , pn(t+1), dapat diprediksikan

sebagai fungsi pn(t) melalui matriks transisi PT dimana berlaku pn(t+1)= PT

pn(t)

• Pada t menuju ∞, diharapkan terjadi kondisi steady-state dimana

pn(t+1)=pn(t)

PENDEKATAN MARKOV

• Asumsi yang digunakan dalam perumusan

matematik adalah :

▫ Populasi pelanggan tidak terbatas

▫ Disiplin antrian first come first served

▫ Tingkat kedatangan terdistribusi poisson

▫ Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial

DISCRETE EVENT MODEL • Model kejadian diskrit (discrete-event model) menggunkan

pendekatan yang sangat berbeda dengan pendekatan Markov

• Beberapa asumsi yang digunakan:

▫ Secara umum sistem dimodelkan secara dinamik, diskrit, dan probabilistik

▫ Pada t=0, tidak ada pelanggan di dalam sistem

▫ Kedatangan pelanggan pertama pada t=X1, dan jarak antar kedatangan pelanggan berikutnya X2, X3 dan seterusnya sehingga waktu kedatangan pelanggan kedua t=X1+X2, pelanggan ke-3 adalah t=X1+X2+X3 dan seterusnya

▫ Waktu antar kedatangan diasumsikan adalah independent dan terdistribusi dengan mengkuti distribusi probabilitas tertentu

▫ Lama pelayanan untuk pelanggan pertama, kedua dan seterusnya juga bersiat independent dan terdistribusi dengan mengkuti distribusi probabilitas tertentu.

DISCRETE EVENT MODEL

• Variable dan parameter yang digunakan dalam pendekatan diskrit ini adalah ▫ Variabel: status server (sibuk atau nganggur),

jumlah customer antree, dan waktu kedatangan. ▫ Kejadian (e): suatu peristiwa yang dapat

mengubah variable sistem antrean yaitu kedatangan customer (ti) dan kepergian customer (Ci)

▫ Aktivitas: lama enititas (customer) diproses atau dilayani

e0 e1 e3 e4 e5

e6

t1 t2 C1 t3 C2

MODEL INVENTORY

• Model Analitik

.

.

Order Placed Q

Q

Ii

s

(R) Order Received Time t

MODEL INVENTORY

• Model Simulasi

S

s

2 3 1

Place an order Order arrives

S – I (1)

I-(t)

I(t)

I+(t)

I-(t)

T

Ai

Di

VALIDASI MODEL

• Validasi adalah proses menguji kecukupan (adequacy) dari model matematis yang diberikan

• Validasi model simulasi dilakukan dengan mengevaluasi response dari sistem model tersebut ym(t) dibandingkan dengan response sistem actual ys(t) terhadap sejumlah data masukan, xs(t)

• Dalam pendekatan ini, validitas sebuah model diuji dengan sebuah tes yang mengevaluasi persesuaian antara model dan perilaku sistem, yaitu error atau deviasi e(t)= ys(t) - ym(t)

• Untuk pendekatan ini, asumsi-asumsi yang dibuat dalam membangun adalah tidak penting

Validasi Model

SISTEM

NYATA

MODEL

SISTEM

xm(t)

ys(t)

ym(t)

e(t)

ym(t)

ys(t)