1

KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

Jurusan Teknik Mesin – Universitas Tarumanagara

2

Outline

• Definisi dasar dari P.D.• Solusi P.D.• Nilai awal & nilai batas• Aplikasi P.D.

Learning Objective

☺Pemahaman dasar akan PersamaanDiferensial (P.D.).

3

4

Pengertian DasarPersamaan Diferensial (P.D.)adalah persamaan yang di dalamnya terdapat fungsi yang belumdiketahui dan turunan-turunannya. Fungsi tersebut yang ingin ditentukandari persamaan tersebut.

Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equation)adalah persamaan diferensial dengan fungsi yang belum diketahuitergantung hanya pada sebuah variabel bebas. Misalnya, y = f(x) denganx : variabel bebas.

Persamaan Diferensial Parsial (Partial Differential Equation)adalah persamaan diferensial dengan fungsi yang belum diketahuitergantung pada dua atau lebih variabel bebas. Misalnya, z = f(x,y) dengan x, y : variabel bebas.

Pengertian Dasar (cont’d)Contoh:

27 -5 2dy x xdx

= +Orde 1 – Derajat 1; PD biasa

1.

2

2 5 4 0d y dy ydx dx

+ + =Orde 2 – Derajat 1; PD biasa

2.

5

3 2xy y′ + =Orde 1 – Derajat 1; PD biasa

3.

( )2 23 2 1iv xy y y y e′′′ ′′ ′+ + − = −

( ) ( ) ( )2 3 4 siny y y y x′′′ ′′ ′+ + + =

Orde 4 – Derajat 1; PD biasa4.

5. Orde 3 – Derajat 2; PD biasa

Cont’d…1/ 22 2

21 dy d ydx dx

⎡ ⎤⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Orde 2 – Derajat 2; PD biasa6.

z zyz yx y∂ ∂

= +∂ ∂

7. Orde 1 – Derajat 1; PD parsial

2 22

2 2 2z z x yx y∂ ∂

+ = −∂ ∂

Orde 2 – Derajat 1; PD parsial8.

224

2

ρ ρρφ φ

⎛ ⎞∂ ∂= + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

9. Orde 2 – Derajat 4; PD parsial

6

Solusi: Persamaan Diferensial

7

• Suatu persamaan diferensial pada dasarnya inginditentukan atau dicari solusinya yang disebut primitif, dan jika primitif dikembalikan akan membentukpersamaan diferensial semula.

• Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde-nakan melibatkan sejumlah n konstanta.

Contoh (1)

cos siny A x B xω ω= +Problema:

ω : konstandengan A, B : konstanta;

sin cosdy A x B xdx

ω ω ω ω= − +Turunan pertama:

22 2 2

2 cos sind y A x B x ydx

ω ω ω ω ω= − − = −Turunan kedua:

22

2 0d y ydx

ω∴ + = Merupakan PD orde 2 (melibatkan dua konstanta A dan B)

8

9

Contoh (2)

Problema: dengan A, B, C : konstanta2x xy Ae Be C= + +

22 x xdy Ae Bedx

= +

22

2 4 x xd y Ae Bedx

= +

Turunan pertama:

Turunan kedua:

32

3 8 x xd y Ae Bedx

= +Turunan ketiga:

3 2

3 23 2 0d y d y dydx dx dx

∴ − + = Merupakan PD orde 3 (melibatkan tiga konstanta A, B dan C)

10

Contoh (3)

2y Ax Bx C= + + dengan A, B, C : konstantaProblema:

Turunan pertama: Turunan kedua: Turunan ketiga:2

2 2d y Adx

=3

3 0d ydx

=2dy Ax Bdx

= +

3

3 0d ydx

∴ =

Merupakan PD orde 3 (melibatkan tiga konstanta A, B, C)

11

Contoh (4)

( )cos 2y a x= +Problema: dengan a : konstanta

( )sin 2dy a xdx

= − +Turunan pertama:

( )tan 2dy y xdx

∴ = − +

adalah PD orde 1 (melibatkan satu konstanta a)

1212

ContohContoh (5)(5)

( )cos sinxy e A x B x= +Problema:

dengan A, B : konstanta

cos sin sin cosx x x xdy Ae x Ae x Be x Be xdx

= − + +Turunan pertama:

2

2 2 sin 2 cosx xd y Ae x Be xdx

= − +Turunan kedua:

2

2 2 2 0d y dy ydx dx

∴ − + = adalah PD orde 2 (melibatkan dua konstanta A dan B)

1313

NilaiNilai AwalAwal & & NilaiNilai BatasBatas

•• SuatuSuatu persamaanpersamaan diferensialdiferensial jikajika diselesaikandiselesaikan akanakan munculmunculkonstantakonstanta bebasbebas A, B, …, K, A, B, …, K, atauatau C1, C2, C3, … yang C1, C2, C3, … yang tergantungtergantungpadapada ordeorde persamaanpersamaan diferensialdiferensial tersebuttersebut dandan tidaktidak tergantungtergantungpadapada variabelvariabel yang yang terlibatterlibat..Contoh:

a. 2 31 2 3

xy C e C x C= + +

C1, C2, C3 adalah konstanta bebas

2 2 2x B B x xy Ae A e e Ce+= = ⋅ ⋅ =b.

Cukup melibatkan sebuah konstanta bebas

2 2 2 2 2 22 1

1 1 1 1 3 22 3 2 3

x y c C x y C x y C+ + = ⇔ + = ⇔ + =c.

adalah penyerdahaan dari C2 menjadi C1 akhirnya C

14

Nilai Awal & Nilai Batas (cont’d)• Solusi atau primitif yang memuat konstanta bebas

tersebut dinamakan jawab umum (general solution).

• Jika jawab umum yang diperoleh, seluruh konstantabebas ditentukan (dicari nilai tertentu) berdasarkan nilaiawal (initial value) dan atau nilai batas (boundary value) maka akan diperoleh primitif yang dinamakan jawabkhusus (particular solution).

• Solusi suatu P.D. atau primitif dapat berbentuk solusieksplisit atau solusi implisit.y = f(x) solusi eksplisitF(x,y) = 0 solusi implisit

Contoh (1)

15

2 xy y e′′ ′+ =

2 xy y e′′ ′+ =

( ) ( )1; 2y yπ π′= =a.

b. ( ) ( )0 0; 1 1y y= =

dengan

dengan

Nilai awal (kondisi y dan y’ pada x = phi)

Nilai batas (kondisi y pada x = 0 dan x = 1)

Contoh (2)Tentukan C1 dan C2 dari primitif jawab umum

21 2 2sinx xy C e C e x= + +

dengan nilai awal y(0) = 0 dan y’(0) = 1.

( )21 2 1 22sin 0 0x xy C e C e x y C C= + + → = = +

Jawab:

( )21 2 1 22 2cos 0 1 2 2x xy C e C e x y C C′ ′= + + → = = + +

Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, sehinggadiperoleh: C1 = -1 dan C2 = 1.

2 2sin x xy e e x∴ = − + + Merupakan jawab khusus16

Contoh (3)P.D. y’’ + 4y = 0 diketahui memiliki jawaban umum

1 2sin 2 cos 2y C x C x= +

( ) ( )/ 8 0 dan / 6 1y yπ π= =Tentukan jawab khusus jika nilai batas

( )

( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1sin 2 cos 2 / 8 0 2 2 02 2

1 1 / 6 1 3 3 22 2

y C x C x y C C C C

y C C C C

π

π

= + ⎯⎯→ = = ⋅ + ⋅ ⇔ + =

⎯⎯→ = = ⋅ + ⋅ ⇔ + =

1 22 2 dan

3 1 3 1C C= = −

− −

Jawab:

Dengan menggunakan kedua persamaan di atas, sehinggadiperoleh:

( )2 sin 2 cos 23 1

y x x∴ = −−

Merupakan jawab khusus17

Aplikasi:P.D.Orde 1-Derajat 1

1. Kinematik partikel2. Dinamik partikel3. Mekanika benda tegar4. Hukum pendinginan newton5. Perpindahan kalor: Konduksi6. Aliran fluida cair melalui saluran keluar7. Rangkaian listrik R-L atau R-C8. Trayektori9. Pertumbuhan populasi10. Model logistik11. Dll.

18

Aplikasi:P.D.Orde Tinggi-Derajat 1

1. Getaran mekanis2. Rangkaian listrik R-L-C3. Defleksi lateral pada batang4. Fenomena tekuk pada kolom5. dll..

19