KOEFISIEN KORELASI

A. PENDAHULUAN

Koefisien korelasi diperlukan untuk mendeteksi apakah suatu kasus distribusi

bersama merupakan kebebasan stokastik atau tidak. Koefisien korelasi juga dapat

diartikan sebagai nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linier

antara dua buah peubah acak.

Korelasi bermanfaat untuk mengukur kekuatan hubungan antara dua variable

atau lebih dengan skala-skala tertentu, misalnya Pearson data harus berskala

interval atau rasio; Spearman dan Kendal menggunakan skala ordinal; Chi Square

menggunakan data nominal.

Tujuan instruksional umumnya mempelajari materi ini adalah diharapkan

dapat mampu memahami konsep korelasi dengan baik. Adapun tujuan

instruksional khususnya adalah sebagai berikut:

1. Diharapkan dapat menjelaskan dan menghitung kovariansi.

2. Diharapkan dapat menjelaskan dan menghitung koefisien korelasi

3. Diharapkan dapat menjelaskan dan menggunakan hubungan dengan mean

bersyarat E ( Y | x ) yang berupa fungsi linear dari x.

4. Diharapkan dapat menjelaskan dan menggunakan hubungan dengan mean

bersyarat E ( X | y ) yang berupa fungsi linear dari y.

5. Diharapkan dapat menjelaskan dan menggunakan dengan variansi bersyarat

dari Y diketahui X = x. Khususnya bila variansi tersebut berupa fungsi dari x

yang berharga konstan.

6. Diharapkan dapat menjelaskan dan menggunakan dengan variansi bersyarat

dari X diketahui Y = y. Khususnya bila variansi tersebut berupa fungsi dari y

yang berharga konstan.

B. MATERI

dinamakan kovariansi X dan Y, dan ditulis Kov(X,Y).

Untuk menghitung kovariansi, akan lebih mudah menggunakan teorema

berikut:

Dari teorema di atas, sebelum menentukan kov(X,Y), kita harus

menentukan nilai Ekspektasi X, Ekspektasi Y, dan Ekspektasi XY. Yang

perlu diperhatikan dalam mencari nilai-nilai ekspektasi tersebut adalah

bagaimana bentuk soal yang diberikan. Apakah bentuk kontinu atau diskrit.

Setelah mendapatkan nilai kov(X,Y) kita dapat menentukan koefisen

korelasi dengan cara membagi kov(X,Y) dengan simpangan baku dari X dan

simpangan baku dari Y.

Untuk lebih jelas perhatikan definisi koefisien korelasi:

ρ=Kov (X ,Y )σ x σ y

Dengan σ x2 dan σ y

2masing-masing adalah variansi X dan variansi Y,

dinamakan koefisien korelasi antara X dan Y (σ x≠0 , σ y≠0¿.

Rumus mencari koefisien korelasi juga dapat dinyatakan dalam bentuk

ρ=n∑ XY−∑ X∑Y

√ {n∑ X2−(∑ X )2}{n∑ Y 2−(∑ Y )2}

Koefesien korelasi menunjukkan kekuatan hubungan linear dan arah

hubungan dua variabel acak. Jika koefesien korelasi positif, maka kedua

variabel mempunyai hubungan searah. Artinya jika nilai variabel X tinggi,

maka nilai variabel Y akan tinggi pula. Sebaliknya, jika koefesien korelasi

negatif, maka kedua variabel mempunyai hubungan terbalik. Artinya jika

nilai variabel X tinggi, maka nilai variabel Y akan menjadi rendah (dan

sebaliknya).

Koefisien korelasi terletak anatara -1 dan 1. Berikut ini adalah arti dari

koefisien korelasi:

1). Jika 0,9 < ρ < 1 atau -0,9 < ρ < -1 , maka hubungan antara dua peubah acak

sangat kuat.

2). Jika 0,7 < ρ < 0,9 atau -0,7 < ρ < -0,9, maka hubungan antara dua peubah

acak kuat.

3). Jika 0,5 < ρ < 0,7 atau -0,5 < ρ < -0,7, maka hubungan antara dua peubah

acak moderat.

4). Jika 0,3 < ρ< 0,5 atau -0,3 < ρ< -0,5, maka hubungan antara dua peubah

acak lemah.

5). Jika 0 < ρ < 0,3 atau 0 < ρ < -0,3, maka hubungan antara dua peubah acak

sangat lemah

6). Jika ρ = 0, maka tidak ada hubungan antara dua peubah acak.

CONTOH 1 :

Misalnya X dan Y dua peubah acak diskrit yang memiliki f. k. p bersama sebagai

berikut:

f (x) = { 12,untuk x=0,1

0 , untuk x yang lain

Hitunglah koefisien korelasi antara X dan Y !

Penyelesaian:

Kita buat dulu tabel distribusi peluang bersama dari X dan Y

X

Y0 1

0 ½ 0 ½

1 0 ½ ½

½ ½ 1

a. Jumlah ke bawah membentuk f.k.p marginal X, yaitu:

f (x) = { 12,untuk x=0,1

0 , untuk x yang lain

Jadi, mean dan variansi X adalah

E(X) = ∑X=0

1

x . f 1(x )=0.( 12 )+1.( 1

2 )=12

σ 12 = E(X2) – (E(X))2 = 0.( 1

2 )+1.( 12 )=1

2

σ 1 = √ 12

b. Jumlah ke samping membentuk f.k.p marginal Y, yaitu:

f (x) = { 12,untuk x=0,1

0 , untuk x yang lain

Jadi, mean dan variansi Y adalah

E(Y) = ∑y=0

1

y . f 2(x )=0.( 12 )+1.( 1

2 )=12

σ 22 = E(Y2) – (E(Y))2 = 0.( 1

2 )+1.( 12 )=1

2

σ 2 = √ 12

c. Kov(X,Y)

E(XY) = ∑X=0

1

∑y=0

1

xy . f (x , y)

= 0.0.f(0,0) + 0.1.f(0,1) + 1.0.f(1,0) + 1.1.f(1,1)

= 0 + 12

Jadi Kov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) = 12−1

2.12=1

2− 1

4=

14

Akibatnya, koefisien korelasi antara X dan Y adalah:

ρ=Kov (X ,Y )σ xσ y

=

14

√ 12.√ 1

2

=

1412

=12=0,5

Pada contoh di atas diperoleh = 0,5. Ini menandakan hubungan yang

moderat antara X dan Y.

CONTOH 2 :

Jika X dan Y peubah acak dengan variansi σ x2 = 5,

σy2 = 2 dan kovariansi σ xy = 4

Tentukan variansi peubah acak Z = 4X – 2Y + 11 !

Penyelesaian:

σ z2 = σ 4x-2y+11

2

= σ 4x-2y 2

= 16σ x2 - 16σ xy + 4 σ y

2

= 16(5) – 16(4) + 4(2)

= 24

Jadi, variansi peubah acak Z = 4x – 2y + 11 yaitu 24

CONTOH 3 :

Berikut ini adalah data tinggi badan dan berat badan mahasiswa P. MTK 2010

Data A B C D E F G H I J

Tinggi Badan (X) 170 168 173 172 165 168 165 168 172 148

Berat Badan (Y) 50 63 80 75 45 68 62 80 85 40

Tentukanlah koefisien korelasi tinggi badan dan berat badan mahasiswa P. MTK

2010, serta berikan kesimpulan!

Penyelesaian :

X 170 168 173 172 165 168 165 168 172 148 ∑ X= 1.669

Y 50 63 80 75 45 68 62 80 85 40 ∑Y = 648

X2 28900 28224 29929 29584 27225 28224 27225 28224 29584 21904 ∑ X2=

279.023

Y 2 2500 3969 6400 5625 2025 4624 3844 6400 7225 1600 ∑Y 2= 44.212

XY 8500 10584 13840 12900 7425 11424 10230 3440 14620 5920 ∑ XY=

108.883

Dari tabel di atas, diperoleh : ∑ X= 1.669, ∑Y = 648, ∑ X2= 279.023, ∑Y 2=

44.212, dan ∑ XY= 108.883.

Maka, koefisien korelasinya adalah :

ρ= n∑ XY−∑ X∑Y

√ {n∑ X2−(∑ X )2} {n∑Y 2−(∑Y )2}

ρ= 10 (108.883 )−(1.669 )(648)

√ {10(279.023)−(1669 )2 } {10(44.212)−(648 )2 }

ρ= 1.088 .830−1.081 .512

√ {2.790 .230−2.785 .561 } {442.120−419.904 }

ρ= 7.318

√( 4669 ) (22.216 )

ρ= 7.318

10.184,621

ρ= 0,72

Karena, nilai ρ= 0,72 terletak di antara 0,7 dan 0,9, maka terdapat hubungan yang

kuat dan berbanding lurus antara tinggi badan dan berat badan mahasiswa P.MTK

2010.

ρ2= (0,72 )2 = 0,5184 = 51,84%, artinya variasi tinggi badan yang dapat dijelaskan

oleh variasi berat badan mahasiswa oleh persamaan regresi Ŷ = -197,23 + 1,57X

adalah sebesar 51,84%. Sisanya sebesar 48,16% dijelaskan oleh faktor lain di luar

variabel pada persamaan regresi tersebut.

Sifat-Sifat Koefisien Korelasi

Teorema 1.6.1:

Jika E ( Y | x ) berupa fungsi linier dari x maka

E ( Y | x ) =μ2+ρ

σ2

σ1

( x−μ1 )

Bukti:

Misalkan E ( Y | x ) merupakan fungsi linier dari x.

Maka E ( Y | x ) = a + bx. Akan dicari nilai a dan b.

Karena

E ( Y | x ) =∫

−∞

∞

y f ( Y | x ) dy

= 1f ( x ) ∫−∞

∞

y f ( x , y ) dy

Atau

1f ( x ) ∫−∞

∞

y f ( x , y ) dy = a + bx

∫−∞

∞

y f ( x , y ) dy = (a + bx) f(x) …………….. (1)

Kedua ruas pers (1) kita integrasikan terhadap x dari -∞ sampai ∞, maka:

∫−∞

∞

∫−∞

∞

y f ( x , y ) dy dx =

∫−∞

∞

(a + bx) f (x) dx

E ( Y ) = a + b E ( X )

Atau

μ2=a+bμ1 …………………………………………(2)

Selanjutnya jika kedua ruas pers (1) dikalikan dengan x kemudian kita

integrasikan terhadap x dari -∞ sampai ∞ maka:

∫−∞

∞

∫−∞

∞

xy f ( x , y ) dy dx = ∫−∞

∞

x (a + bx) f (x) dx

Atau

E ( XY ) = a E ( X ) + b E ( Χ2) atau

ρσ1 σ2+μ1 μ2=aμ1+b (σ12+μ1

2)……………………(3)

Ingat:

ρ=kov (X ,Y )σ (X )σ (Y ) atau Kov ( X, Y ) = ρσ (X )σ (Y )

Kov ( X, Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E ( Y )

Jadi E ( XY ) = ρσ1 σ2+μ1 μ2

Dari pers (2) dan (3) diperoleh

a =μ2−ρ

σ2

σ1

μ1dan b

=ρσ2

σ1

E ( Y | x ) = a + bx

=μ2−ρ

σ2

σ1

μ1+ ρσ2

σ1 x

=μ2−ρ

σ2

σ1

( x−μ1 )

Jika E ( Y | x ) berupa fungsi linier dari x maka

E ( Y | x ) = =μ2+ρ

σ2

σ1

( x−μ1 ) Terbukti.

Teorema 1.6.2:

Jika E ( X | y ) berupa fungsi linier dari y maka

E ( X | y )

Bukti:

Misalkan E ( X | y ) merupakan fungsi linier dari y.

Maka E ( X | y ) = a + by. Akan dicari nilai a dan b.

Karena

E ( X | y ) f ( X | y ) dx f ( x , y ) dx

Atau

f ( x , y ) dx = a + by

f ( x , y ) dx = (a + by) f(y) …………….. (1)

Kedua ruas pers (1) kita integrasikan terhadap y dari -∞ sampai ∞, maka:

∫−∞

∞

f ( x , y ) dx dy = ∫−∞

∞

(a + by) f (y) dy

E ( X ) = a + b E ( Y )

Atau

…………………………………………(2)

Selanjutnya jika kedua ruas pers (1) dikalikan dengan y kemudian kita

integrasikan terhadap y dari -∞ sampai ∞ maka:

∫−∞

∞

∫−∞

∞

yx f ( x , y ) dx dy = ∫−∞

∞

y (a + by) f (y) dy

Atau

E ( XY ) = a E ( Y ) + b E ( ) atau

……………………(3)

Ingat:

ρ=kov (X ,Y )σ (X )σ (Y ) atau Kov ( X, Y ) = ρσ (X )σ (Y )

Kov ( X, Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E ( Y )

Jadi E ( XY ) =

Dari pers (2) dan (3) diperoleh

a dan b

E ( X | y ) = a + by

+ y

Jika E ( X | y ) berupa fungsi linier dari y maka

E ( X | y ) = Terbukti.

Teorema 1.6.3

Misalkan E(Y∨x ) berupa fungsi linear dari x. Jika k(x) = E [ {Y−E (Y∨x ) }2∨x ] maka E[k ( x ) ]=σ 2

2 (1− ρ2 )

Bukti :

Ingat : E (Y∨x ) = μ2+ρσ2

σ1(x−μ1 )

K(x) = E [ {Y−E (Y∨x ) }2∨x ]

=∫−

{Y−μ2−ρσ2

σ1(x−μ1 )}

2

f ( y∨x )dy

=1f (x )∫− {(Y−μ2)−ρ

σ2

σ1(x−μ1 )}

2

f ( y∨x )dy

Jika kedua ruas kita kalikan dengan f(x) kemudian kita integrasikan terhadap x

dari −sampai , maka

∫−

k ( x ) f ( x )=¿∫−∫−

{Y−μ2−ρσ2

σ1(x−μ1 )}

2

f ( y∨x )dydx ¿

¿∫−∫−

{(Y−μ2)2−2ρ

σ2

σ1(x−μ1) (Y−μ2 )+ρ2 σ2

σ1(x−μ1 )

2}❑

f (x , y )dydx

= E[(Y−μ2)2−2 ρ

σ2

σ1(x−μ1) (Y−μ2 )+ρ2 σ2

σ1

E [ (x−μ1 )2 ]❑]

=σ 22−2 ρ

σ2

σ1( ρ σ1σ2 )+ρ2 σ2

2

σ12 σ1

2

Ingat ρ=E (x−μ1) (Y−μ2 )

σ1σ2

=σ 22−2 ρ1

2σ 22+ ρ❑

2 σ22

= σ 22−ρ❑

2 σ22

= σ❑2 (1−ρ❑

2 )

Karena ∫−

k ( x ) f ( x )=¿E [ k (x) ]¿ berarti E [k (x )]=σ❑2 (1−ρ❑

2 ) (terbukti)

CONTOH 4 :

Misalkan E(Y∨x ) = 4x+3 dan E (X∨ y )= 116y−3

Hitunglah σ 1, σ2 , dan ρ !

Penyelesaian :

Diketahui : E (Y∨x ) = μ2+ρσ2

σ1(x−μ1 )

E (Y∨x ) = μ1+ρσ1

σ2( y−μ2 )

sehingga E (Y∨σ1 ) = μ2

E (X∨σ1 ) = μ1

sehingga E(Y∨σ1 ) = 4x+3 dan E (X∨σ 2)= 116y−3

(σ 1 )= 4x+3 dan E (σ 2 )= 116y−3

Kemudian diperoleh σ 1=−15

4danσ2=−12

Untuk menghitung ρ perhatikan persamaan 1 dan 2 dengan mengalikan koefisien

dari x dan koefisien dari y.

=ρσ2

σ1

ρσ1

σ2 = ρ2

Akibatnya ρ2=4.

116

= 14jadi ρ=1

2

LATIHAN SOAL

Misalnya X dan Y dua peubah acak diskrit yang memiliki f. k. p bersama sebagai

berikut:

f (x) = {14,untuk x=(0,0 ) , (1,1 ) , (2,2 ) ,(3,3)

0 ,untuk x yang lain

1. Berapakah mean dari x?

a.12

b. 1

c.32

d. 22. Berapakah mean dari y?

a.12

b. 1

c.32

d. 23. Berapakah variansi dari x?

a.14

b.34

c.54

d.74

4. Berapakah variansi dari y?

a.14

b.34

c.54

5.74

Berapakah ekspetasi xy?

a.12

b.32

c.52

d.72

6. Berapakah kovariansi x dan y?

a.12

b.13

c.54

d. 17. Berapakah koefisien korelasi antara x dan y?

a. 1

b.13

c.12

d.14

8. Jika X dan Y peubah acak dengan variansi σ x2 = 3,

σy2 = 3 dan kovariansi σ xy=

3.Tentukan variansi peubah acak Z = 2X – 3Y + 7!a. 1b. 2c. 3d. 4

PEMBAHASANTabel distribusi peluang bersama dari X dan Y

X

Y0 1 2 3

014

0 0 014

1 014

0 0 14

2 0 014

014

3 0 0 014

14

14

14

14

14

1

1. Mean dari x

E(X) = ∑X=0

3

x . f 1(x )=0.( 14 )+1.( 1

4 )+2.( 14 )+3. ( 1

4 )=32

2. Mean dari y

E(X) = ∑X=0

3

x . f 2 ( y )=0.( 14 )+1. ( 1

4 )+2.( 14 )+3.( 1

4 )=32

3. Variansi dari x

σ x2 = E(X2) – (E(X))2 = [0.( 1

4 )+1.( 14 )+4. ( 1

4 )+9.( 14 )]−( 3

2 )2

=54

4. Variansi dari y

σ y2 = E(Y2) – (E(Y))2 = [0.( 1

4 )+1.( 14 )+4. ( 1

4 )+9.( 14 )]−( 3

2 )2

=54

5. Ekspetasi xy

E(XY) = ∑X=0

3

∑y=0

3

xy . f (x , y)

= 0.0.f(0,0) + 0.1.f(0,1) + 0.2.f(0,2) + 0.3.f(0,3) + 1.0.f(1,0) +

1.1.f(1,1) + 1.2.f(1,2) + 1.3.f(1,3) + 2.0.f(2,0) + 2.1.f(2,1) +

2.2.f(2,2) + 2.3.f(2,3) + 3.0.f(3,0) + 3.1.f(3,1) + 3.2.f(3,2) +

3.3.f(3,3)

= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1.14

+ 0 + 0 + 0 + 0 + 4.14

+ 0 + 0 + 0 + 0 +

9.14

= 14

+ 44

+ 94

= 72

6. Kov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) = 72−3

2.32=14

4− 9

4=

54

7. Koefisien korelasi antara X dan Y

ρ=Kov (X ,Y )σ x σ y

=

54

√ 54.√ 5

4

=

5454

=1

8. σ z2 = σ 2x-3y+7

2

= σ 2x-3y 2

= 4σ x2 - 12σ xy + 9σ y

2

= 4(3) – 12(3) + 9(3)

= 3

Jadi, variansi peubah acak Z = 4x – 2y + 11 yaitu 3

MAKALAH STATISTIK MATEMATIKAKOEFISIEN KORELASI

Disusun oleh :Hendy Febrian (F04110007)

Mega Yohanna Sitorus (F04110028)Ika Ayu Wulandari (F04208004)

PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS TANJUNGPURAPONTIANAK

2013