KISI-KISI UJIAN AKHIR SEMESTER GASAL 2012/2013 1. Medan vektor konservarif

a) Jika jyxNiyxMyxF ),(),(),( += maka F konservatif jika memenuhi

x

N

y

M

∂∂=

∂∂

b) Jika kzyxRjzyxQizyxPzyxF ),,(),,(),,(),,( ++= maka F konservatif

jika 0curl =F atau z

P

x

R

z

Q

y

R

y

P

x

Q

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

;;

Langkah – langkah menunjukkan tidak tergantung lintasan dari titik A ke B adalah :

1. Tunjukkan F konservatif.

2. Tentukan f agar )()( xfxF ∇= . Kemudian hitung

)()()( AfBfC

dXXF −=∫

2. Teorema Green pada Bidang

Jika C lengkungan tertutup sederhana yang merupakan batas daerah D dan

jyxNiyxMyxF ),(),(),( += suatu medan vector . M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan

mempunyai turunan parsial pada D dan C. Maka :

∫ ∫∫ ∂∂−

∂∂=

C DdA

y

M

x

NdXyxF )(.),( atau

∫ ∫∫ ∂∂−

∂∂=+

C DdA

y

M

x

NdyyxNdxyxM )(),(),(

3. Fluks yang menyeberangi permukaan S

Jika f mempunyai turunan parsial orde pertama yang kontinu dan

PkNjMiF ++= adalah medan vektor kontinu, maka fluks F yang

menyeberangi S dengan persamaan � � ���, �� dapat dinyatakan dengan:

Fluks F = ∫∫ •S

dSnF = AD

dPyfNxfM∫∫ +−− )(

dimana fx = df/dx dan fy = df/dy

4. Fluks dan Curl/sirkulasi F

Jika jyxNiyxMyxF ),(),(),( += suatu medan vector, maka fluks dan curl/sirkulasi F

adalah

a) Fluks F yang menyeberangi C

= ∫C

dSnF.

= ∫∫D

dAFdiv = dAy

N

D x

M][

∂∂+∫∫ ∂

∂

b) Fluks F yang menyeberangi C

Curl F = ∫C

dSTF. = dAD

kFCurl∫∫ .)( = dAy

M

D x

N][

∂∂−∫∫ ∂

∂

Latihan

1. Diberikan medan vektor

��, �, �� � �� ��� �� ��� �� ��

a) Buktikan bahwa F adalah medan vektor konservatif (yaitu, curl F = 0).

b) Tentukan sebuah fungsi f sehingga � ��.

c) Hitung ��� ���� �� ���� �� ���� C

dimana C adalah sebarang lintasan dari (1,1,1) ke (2,2,2).

2. Gunakan Teorema Green untuk menyelesaikan soal berikut ini:

Hitung ��� ���� 3�����

sepanjang lengkungan y = 4 – x2 di kuadran I, dilanjutkan sepanjang segmen garis dari titik (2, 0) ke titik (0, 0), dan dari titik (0, 0) ke titik (0, 2).

3. Tentukan fluks arah ke atas dari kxjyiF 12++−= yang menyeberangi bagian dari

permukaan bola S yang dibentuk oleh

),( yxfz = = 224 yx −− , 10 22 ≤+≤ yx

4. Misalkan � ��� ��� adalah medan vektor yang mengelilingi bujur sangkar C yang

dihubungkan oleh titik-titik (2, 2), (6, 2), (6, 8) dan (2, 8).

a) Hitunglah fluks F. (Petunjuk: Gunakan Teorema Divergensi Gauss)

b) Hitunglah Curl F (Sirkulasi F). (Petunjuk: Gunakan Teorema Stokes)

================ Selamat bekerja. Bekerjalah dengan jujur dan teliti. =============