MAKALAH OPTIK MODERN

DIFRAKSI FRAUNHOFER

Disusun Oleh :

Debi Rianto (1301683)

Desi Anriani (13016610)

Elfi Susilawati (1301672)

Wela Yulianda (1301669)

Dosen Pembimbing :

Hidayati, M.Si

Rio Anshari, S.Pd, M.Si

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2015

i

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah tidak lupa Penulis ucapkan kehadirat Allah Yang

Maha Esa atas segala limpahan Rahmat dan Karunia-Nyalah sehingga Penulis

dapat menyelesaikan makalah ini sesuai dengan jangka waktu yang telah

ditentukan.

Dalam makalah ini diangkat judul “Difraksi Fraunhofer”. Untuk memenuhi

predikatnya sebagai makalah, tentu saja penyajian teori dipaparkan lebih detail

serta tetap memperhatikan bahan pustaka yang diambil sebagai sumber landasan

teori, sehingga makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan referensi untuk

masyarakat luas.

Penulis sadari sepenuhnya dalam penyusunan makalah ini masih terdapat

kekurangan karena keterbatasan pengetahuan yang Penulis miliki. Oleh karena

itu, Penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun bagi

kesempurnaan makalah ini.

Akhir kata Penulis ucapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita

semua. Amin.

Padang, November 2015

Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ....................................................................................... i

DAFTAR ISI ...................................................................................................... ii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................ 1

A. Latar Belakang ....................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ................................................................................... 1

C. Tujuan Penulisan .............................................................................. ...... 2

BAB II PEMBAHASAN ............................................................................... 3

A. Difraksi Fraunhofer ................................................................................ 3

B. Transformasi Fourier Melalui Sebuah Lensa ......................................... 8

C. Gambaran Tentang Gelombang Datang ................................................. 12

D. Difraksi Pada Celah Segiempat .............................................................. 13

E. Difraksi Pada Celah Lingkaran .............................................................. 16

F. Teorema Array ....................................................................................... 20

BAB III PENUTUP .......................................................................................... 24

A. Kesimpulan ............................................................................................ 24

B. Saran ...................................................................................................... 24

DAFTAR PUSTAKA

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Difraksi merupakan salah satu ciri khas dari gerak gelombang. Pada

umumnya, gelombang merambat lurus pada medium homogen (serba sama),

jika terhalang oleh sesuatu, gelombang akan mengalami pembelokan.

Pembelokan seperti itu disebut lenturan gelombang atau difraksi. Difraksi bisa

diamati apabila gelombang terdistorsi oleh perintang yang mempunyai

dimensi sebanding dengan panjang gelombang tersebut. Perintang itu bisa

berupa sebuah layar dengan celah kecil. Difraksi dapat juga disebut sebagai

proses interferensi gelombang tertentu dengan dirinya sendiri.

Berdasarkan jumlah celah, difraksi terbagi dua yaitu difraksi pada celah

tunggal dan difraksi pada celah ganda. Difraksi ditentukan oleh panjang

gelombang dan besarnya penghalang atau lebar celah. Gelombang yang

frekuensinya kecil dan panjang gelombangnya besar lebih mudah terdifraksi

daripada gelombang dengan panjang gelombang pendek. Jika gelombang

mengenai penghalang kecil, efek peristiwa difraksi tidak begitu tampak, akan

tetapi jika mengenai penghalang besar, efek difraksi akan lebih tampak. Hal

sebaliknya berlaku jika suatu celah dilewati oleh gelombang, jika celah lebar

dilewati oleh gelombang, efek difraksi tidak tampak, jika celah sempit oleh

gelombang, efek difraksi akan tampak jelas.

Berdasarkan jarak pengamatan, difraksi dibagi dua jenis, difraksi

Fraunhofer dan difraksi Fresnel. Difraksi yang dihasilkan dari celah tertentu

dan layar dengan geometri sederhana dalam keadaan khusus dinamakan

dengan difraksi Fraunhofer. Pada difraksi ini, sinar datang dianggap sejajar,

dan pola difraksi diamati pada jarak cukup jauh, sehingga sinar yang diterima

secara efektif sinar terdifraksi sejajar. Dengan menggunakan sebuah lensa

yang sinar terdifraksinya difokuskan dalam arah sama ke posisi sama pada

layar, kondisi ini dapat disempurnakan. Pada difraksi Fresnel, sinar datang

berasal dari sebuah sumber titik, atau sinar terdifraksi diamati di sebuah titik

ruang tertentu. Perhitungan matematika untuk difraksi Fresnel lebih rumit

daripada perhitungan untuk difraksi Fraunhofer, tetapi ide fisisnya tetap sama.

2

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut maka dapat dirumuskan rumusan

masalah sebagai berikut :

1. Bagaimana bentuk difraksi fraunhofer pada celah tunggal?

2. Bagaimana tranformasi fourier melalui suatu lensa?

3. Bagaimana gambaran gelombang bidang?

4. Bagaimana difraksi oleh suatu rectangular aperture?

5. Bagaimana difraksi dari suatu circular aperture?

6. Bagaimana bentuk teorema array?

C. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan dari makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Mengetahui bentuk difraksi fraunhofer pada celah tunggal.

2. Mengetahui tranformasi fourier melalui suatu lensa.

3. Mengetahui gambaran gelombang bidang.

4. Mengetahui difraksi oleh suatu rectangular aperture.

5. Mengetahui difraksi dari suatu circular aperture.

6. Mengetahui bentuk teorema array.

3

BAB II

PEMBAHASAN

A. Difraksi Fraunhofer

Difraksi adalah penyebaran arah gelombang karena melewati celah sempit

dimana intensitas cahaya dari difraksi akan semakin berkurang disetiap titiknya.

Terdapat beberapa macam difraksi salah satu diantaranya yaitu difraksi

Fraunhofer.

Difraksi Fraunhofer adalah difraksi yang terjadi apabila pola dari sebuah

gelombang cahaya berubah atau berbeda dengan pola asalnya setelah menabrak

sebuah hambatan. Difraksi Fraunhofer terjadi apabila jarak penangkap pola

interferens jauh lebih panjang daripada ukuran celah, maka sinar-sinar

membentuk pola interferens itu boleh dipandang sejajar sehingga analisisnya lebih

sederhana.

Untuk memperoleh persamaan yang menjelaskan diffraksi Fraunhofer, Kita

asumsikan bahwa sumber berupa cahaya tak terbatas, 1z pada gambar 1, jadi

bahwa celah disinari oleh penjalaran paralel sebuah gelombang cahaya pada

sumbu z. Kita akan dapat memperkirakan pernyataan, dapat pada (1) dari posisi

vektor R pada gambar 10-2. Kita menghasilkan sebuah perkiraan pernyataan dari

posisi vektor pada pengamatan titik Po, relativ terhadap lubang, dengan asumsi

bahwa lubang berukuran kecil, relatif terhadap jarak pada titik pengamatan.

Menggunakan pernyataan dan perkiraan paraxial, kita bisa merumuskan integral

Huygens-Fresnel pada 2 dimensi Transformasi Fourier.

Gambar 1. Lubang satu dimensi dengan lebar yang digunakan untuk membuat

bentuk Fraunhofer dan Fresnel.

4

Pada difraksi Fraunhofer, kita memerlukan sumber cahaya dan

pengamatan titik Po menjauh dari celah, jadi peristiwa dan difraksi gelombang

dapat diperkirakan pada gelombang cahaya. Syarat konsekuensinya untuk

mengamati difraksi adalah segala bentuk gelombang yang melewati celah. Celah

sempit dipandang sebagai medan gelombang cahaya sehingga setiap bagiannya

adalah sumber gelombang yang koheren. Gambar 3 memperlihatkan sebuah

gelombang datar jatuh tegak lurus pada sebuah celah sempit panjang yang

lebarnya 𝑎. Perhatikan titik sentral 𝑃0 pada layar 𝐶. Semua sinar sejajar dari celah

ke 𝑃0 memiliki panjang lintasan optik yang sama. Karena pada bidang celah

semua sinar sefase, maka ketika tiba di 𝑃0 tetap sefase dan titik sentral pola

difraksi yang tiba pada layar 𝐶 memiliki intensitas cahaya maksimum.

Gambar 2. Difraksi Fraunhofer

Gambar 3. Geometri untuk Difraksi Fraunhofer

5

Jarak dari suatu titik 𝑃 pada celah untuk pengamatan titik 𝑃0 pada Gambar 3

adalah

2222 ZyxR (1)

Dari Gambar 3, kita lihat 𝑅0 adalah jarak dari pusat layar sampai titik pengamatan

𝑃0

2222 ZR o (2)

Perbedaan antara kedua vektor adalah

2222222222 22 ZyyxxZRR o

222 yxyx (3)

Kita dapat menulis perbedaan kedua vektor adalah

RRRRRR ooo 22 (4)

Menggunakan persamaan (4), kita dapat menulis perhitungan dari posisi titik 𝑃

pada celah pada persamaan (5)

RR

RRRRr

o

o

0

22

RRo

yxyx

1

2 22

Perbandingan (Ro + R) dapat ditulis sebagai

RoRRoRRo

2

11

1

21

2

1

Ro

RoR

Ro (5)

Sekarang gunakan persamaan (5) hasilnya

122

21

2

Ro

RRo

Ro

yx

Ro

yxRRo

Jika integral difraksi memiliki nilai terbatas (tidak nol), kemudian

kRoRRok

6

Persyaratan ini menyatakan bahwa seluruh gelombang Huygens, dihasilkan

melebihi setengah celah dari pusat luar posisi r memiliki tingkat yang sama dan

akan menghasilkan amplitudo )0( A pada 𝑃𝑜. Persyaratan itu menghasilkan

perubahan celah yang bentuknya kecil dapat ditulis sebagai berikut :

1

21

1

21

1

Ro

rRo

RRo

Dengan membuat perkiraan, kita mendapakan integral difraksi

dxdyRo

yx

Ro

yxikyxf

Ro

iAe oRik

p

2exp,

22

(6)

Dimana 𝐴 adalah amplitudo gelombang cahaya yang menerangi celah.

Perubahan amplitudo pada gelombang karena perubahan 𝑅 sebagai perpindahan

gelombang silang pada celah diabaikan, lambang 𝑅 pada integral Huygens-

Fresnel digantikan menjadi 𝑅𝑜 dan dipindahkan keluar dari integral.

Argumen tentang eksponen pada (6) adalah

Ro

yx

Ro

yxi

Ro

yx

Ro

yxik

22

2

2222

(7)

Jika pengamatan, titik 𝑃𝑜 jauh dari layar, kita dapat mengabaikan rentang

waktu kedua dan menampilkan tingkat variasi bentuk jarak lintas pada celah

adalah sebuah fungsi posisi linier. Persamaan ini diasumsikan bahwa difraksi

gelombang adalah sebuah pengumpulan gelombang cahaya. Secara matematika,

rentang waktu kedua pada persamaan (7) dapat diabaikan jika

22

22

Ro

yx (8)

Ini disebut perkiraan medan-jauh.

7

Rentang waktu pertama pada persamaan (7) berisi aturan cosinus :

Ro

L

, Ro

M

(9)

Cosinus ini dapat membatasi medan jauh. Sebagai bagian ukuran dari celah

layar, kita menggunakan perkiraan panjang gelombang bahwa koordinat celah

dapat didefinisikan menjadi

xX ,

yY (10)

Kita dapat menulis kembali (6) dengan menggunakan perkiraan pada (8) dan

didefinisikan sebagai (9) dan (10)

dXdYMYLXiyxfRo

iAeML

Roik

p

2exp,, (11)

Dari bentuk di atas, frekuensi ruang pada x dan y didefinisikan sebagai :

Ro

kLx

2 ,

RokMy

2 (12)

Dengan variabel didefinisikan pada (12), integral menjadi

dxdyyxiyxfRo

iAeyx

Roik

yxp

exp,, (13)

Medan difraksi Fraunhofer p sama dengan bentuk transformasi Fourier 2

dimensi pada fungsi transmisi celah. Untuk penyimpulan, dengan asumsi

perkiraan bahwa gelombang cahaya dan pengamatan posisi pada medan yang

jauh, difraksi pada celah ditemukan pada transformasi Fourier yang fungsinya

melukiskan transmisi amplitudo pada celah. Akibatnya spektrum difraksi

Fraunhofer terdistribusi anguler.

MLp ,

Bahwa sama dengan spektrum frekuensi ruang pada layar difraksi. Amplitudo

transmisi pada celah f(x,y) boleh jadi diterjemahkan sebagai superposisi dari

8

saling koherennya gelombang cahaya.yang meninggalkan layar difraksi pada

aturan diberikan oelh (L,M).

B. Transformasi Fourier Melalui Sebuah Lensa

Jika kita meletakkan sumber cahaya pada titik fokus lensa positif, maka

jumlah bayangan dari sumber akan tak berhingga. bayangan tersebut berada pada

titik fokus lensa. Untuk mendukung asumsi yang digunkan bahwa lensa akan

menimbulkan pola difraksi Fraunhofer pada titik fokus lensa , kita akan menguji

bagaimana lensa transformasi gelombang cahaya. Kita akan menjelaskan

bagaimana lensa men-transformasi sebuah gelombang datang. Kita akan

menunjukkan bahwa bentuk transformasi tersebut ekuivalen dengan transformasi

fourier.

Gambar 4. Difraksi fraounhofer menggunakan dua lensa.

Untuk menyatakan bahwa sudut datang dari gelombang cahaya adalah

pemetaan dari posisi spasial dibelakang titik fokus lensa. Pernyataan tersebut

dapat disempurnakan dengan menggunakan optik geometri. Kita akan mampu

menunjukkan bahwa sebuah lensa dengan sumber berada di depan titik fokus akan

menghasilkan gelombang yang merambat dan membentuk sudu dengan sumbu

optik lensa.

Pada lampiran 5-A, kita akan mendefinisikan titik fokus depan dan titik fokus

belakang dari lensa (5A-4) dan gambar (5A-2) sebagai bayangan dari objek yang

tek berhingga. Maksudnya bahwa lensa akan menghasilkan gelombang cahaya

jika sebuah sumber berada pada salah satu titik fokus lensa. Matrik ABCD dapat

digunakan untuk membuktikan pernyataan ini. Kita menggunakan gambar 5A-4

9

untuk menentukan matrix ABCD jika sinar merambat dari depan ke belakang

fokus lensa

oxf

f

fx

10

1

01

01

10

11

1

Dari sini, kita dapat menemukan

f

xo1

lalu, sebuah sumber diletakkan di depan titik fokus lensa, pada posisi xo diatas

sumbu optikal, akan menghasilkan gelombang datang , dimana membuat sebuah

sudut

f

xo1

dengan sumbu optik pada bagian belakang titik fokus lensa. Pada gambar 5, kita

memperlihatkan bahwa gelombang cahaya akan menjalar kebawah dengan sudut

1 disimbolkan dengan tanda negatif.

Akibat dari satu titik sumber, ditunjukkan pada gambar 5, sesuai dengan

perhitungan transformasi Fourier pada Bab 6 (6-24) untuk sebuah fungsi delta.

Transformasi Fourier dari fungsi delta pada daerah asal )(x adalah konstan. Pada

optik analog, fungsi delta mewakili titik sumber, yang terletak pada sumbu optik.

Akibat transformasi Fourier yang dihasilkan oleh lensa, ini berhubungan dengan

gelombang datang yang merambat secara paralel dengan sumbu optik. Ketika

fungsi delta dipindahkan menjauhi sumbu, pergeseran transformasi Fourier (6A-5)

dapat berlaku untuk hasil yang konstan dengan variasi phase xi xe . Pergeseran

dari fungsi delta )( oxx berhubungan dengan letak titik sumber pad sumbu pad

posisi x0, gambar 5 , dan konstanta dari perubahan linier dari phase berhubungan

dengan gelombang datang yang merambat dengan sudut x 1 terhadap sumbu

optik.

10

Gambar 5. Hubungan antara petunjuk dari gelombang datang dan posisi pada

letak fokus cahaya.

Jika sebuah lensa ditambahkan pada dua celah percobaan Young’s untuk

mengumpulkan cahaya dari dua celah, kemudian kita akan menemukan distribusi

dari cahaya dibelakang titik fokus lensa yang merupakan transformasi Fourier dari

distribusi cahaya pada bagian depan titik fokus lensa.

Dua celah yang terletak dibagian depan titik fokus cahaya pada lensa.

Gelombang yang menyinari celah di polarisasi sepanjang sumbu y dan mermbat

pada bidang x-z. Cahaya dari dua celah menutupi sebagian bagian belakang titik

fokus lensa yang akan menghasilkan interferensi. Distribusi cahaya yang

diberikan oleh (4-12) dengan bentuk sudut diberikan oleh (4-16). Untuk melihat

hal tersebut, pertimbangan bahwa dua celah akan dibuat, pada satu dimensi,

sebagai dua titik sumber. Transformasi cahaya lensa dari dua celah menjadi dua

gelombang cahaya yang menyebar pada sudut 1 dan

2 dengan tanggap ke

sumbu z. Kita dapat bentuk perbedaan antara dua gelombang cahaya sebagai

212122 sinsincoscos kxkzhg

Dari gambar 4-6, kita mendapatkan

f

h

21

f

h

22

jadi bahwa

f

kxh

f

hkxhg

2sin222 (14)

dimana sesuai dengan (4-16) jika kita menggantikan jarak antara celah dan

pengamatan cahaya D dengan titik fokus cahaya suatu lensa. Kesimpulan yang

11

kita dapat lukiskan dari analisa ini adalah bahwa intensitas penyebaran di bagian

belakang titik fokus cahaya pada lensa, dengan dua jarak celah yang sama untuk

f

kxh

2cos 2

Dua celah dapat dipandang sebagai gambaran dua fungsi delta

2

hx dan

2

hx

Pada bab 6, transformasi Fourier N fungsi delta dihitung pada (6-26) dan

ditunjukkan sama dengan fungsi kosinus dari N = 2. Untuk dua celah ,

pengamatan percobaan adalah equivalen untuk laporan matematika. Kita telah

mempertunjukkan bahwa sebuah transformasi Fourier memiliki hubungan antara

penyebaran amplitudo pada bagian depan titik fokus cahaya dan penyebaran

amplitudo pada bagian belakang titik fokus cahaya pada lensa. Kelihatannya

sesuai untuk memberikan akhir dari dua titik sumber sampai N sumber. Sebuah

langkah yang lebih luas dalam alasan yang diperlukan untuk menyampaikan

akibat dari penyebaran secara terus-menerus, tapi hal itu kelihatannya menjadi

sebuah perluasan yagn sesuai dan pada lampiran 10-A itu akan menjadi

pernyataan yang formal.

Oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa sebuah lensa akan menghasilkan,

pada bagian titik fokus cahaya, bentuk difraksi Fraunhofer dari penyebaran

amplitudo di bagian depan titik fokus cahaya. (Perlu menjadi catatan bahwa lensa

kedua akan menghasilkan gambar positif pada frekuensi tempat pada posisi

koordinat pada bagian titik fokus cahaya dan mengubahnya menjadi negatif yang

dilanjutkan dengan gelombang cahaya. Oleh karena itu, dua buah lensa

melakukan dua transformasi Fourier, menghasilkan fungis asli. Perbaikan fungsi,

bagaimanapun, ditampilkan pada sistem koordinat bahwa sisitem koordinat asli

adalah negatif, contoh yydanxx ).

12

C. Gambaran Tentang Gelombang Datang

Kita telah menjelaskan bahwa bentuk difraksi Fraunhofer dari sebuah celah

adalah dihitung dengan menampilkan sebuah transformasi Fourier ruang pada

celah fungsi penyebaran amplitudo. Kita menunjukkan bahwa titik pada Xo, di

depan titik fokus datang pada lensa dalam gambar 10-3, menghasilkan sebuah

gelombang datang yang menyebar pada sudut ' ke sumbu optik. Kita telah

memberikan konsep ke sejumlah titik yang lebih luas, membolehkan kita untuk

menyimpulkan bahwa bentuk difraksi Fraunhofer sama dengan bentuk interferensi

yang dihasilkan oleh sekumpulan gelombang datang.

Karena hubungan timbal balik antara sebuah fungsi dan transformasi

Fourier, kita harus mampu menampilkan gelombang datang dari bentuk difraksi

seperti sebuah gambaran khusus dari sebuah celah . Dari pengamatan ini sama

dengan untuk mengambil satu dari sejumlah kecil paket gelombang seperti

pendistribusian frekuensi dari fungsi sinus dan cosinus (gambar 6-6 dan 6-7).

Kita dapat menegaskan bahwa celah seperti sekumpulan gelombang datang

yang disalurkan melalui kelompok dari penyebaran. Pada bagian ini, kita akan

menjelaskan bahwa gambaran ini mungkin untuk menampilkan pendistribusian

ruang yang diperoleh dengan menggabungkan sebuah penyaluran gelombang

datang. Integral akan mempunyai bentuk dari invers transformasi Fourier.

Kita lihat dalam pembahasan transformasi Fourier, gambar 6-7, bahwa

sebuah gelombang terbatas dangan sementara lamanya tidak dapat

menggambarkan dengan frekuensi tunggal tapi sementara diperlukan sebuah

pendistribusian frekuensi. Kita sekarang menyimpulkan bahwa sebuah sinar

datang yang memiliki lebar yang terbatas tidak dapat digambarkan dengan sebuah

gelombang datang tunggal tapi memerlukan pendistribusian gelombang datang,

disebarkan melalui arah penyebaran. Misalkan pendekatan penjalaran gelombang

datang pada x,z dengan

zkxkrk zx

Pendistribusian gelombang dengan sebuah vektor gelombang antara

22

x

xx

x

x

dkkk

dkk

adalah xx dkrktikAd exp (15)

13

Amplitudo A boleh menjadi fungsi , dimana berubah menjadi nol untk xk

Penjumlahan gelombang (Jika kita menggunakan prinsip superposisi dan

menampilkan gelombang datang seperti gelombang yang koheren) adalah

diberikan oleh integral dari (10-16). Maksud petunjuk dari penjumlahan

gelombang adalah sepanjang arah z, tapi ditampilkan melalui sudut-sudut yang

mewakili jarak dari vektor-vektor gelombang yang ditemukan dengan

ketidaksamaan

xk

Kita akan menganggap gelombang pada t=0 untuk berpindah lamanya tergantung

pada gelombang

x

xik

x dkekAx x

Ketika 0xkA untuk nilai kx di luar jarak , kita dapat memperluas limit

untuk x . Jika kita menggalikan integral dengan 2

1 kita telah invers

transformasi Fourier (6-14) dengan x mewakili t dan xk mewakili . Kita telah

menjelaskan bahwa pendistribusian gelombang datang menghasilkan resultan

gelombang dengan diperluasnya tempat batas yang diberikan dengan invers

transformasi Fourier (10-16). Akibat mendukung alasan bahwa celah dapat

dilukiskan dalam jangka waktu penyaluran gelombang datang.

D. Difraksi Pada Celah Segiempat

Kita sekarang akan menggunakan teori transformasi untuk menghitung

bentuk difraksi Fraunhofer dari celah segiempat dan akan keluar titik yang

mempunyai hubungan timbal-balik antara ukuran bentuk difraksi dan ukuran

celah.

14

Gambar 6. Difraksi fraunhofer dengan delah segiempat

Misalkan sebuah celah yang berbentuk segiempat dengan fungsi transmisi

diberikan dengan

f (x,y) =

ydanxselainseluruhnya

yyxx oo

,0

,,1

Karena celah adalah dua dimensi, kita perlu untuk mepergunakan transformasi

Fourier dua dimensi (6-41). Fungsi transformasi amplitudo terpisah pada, x dan y,

jadi kita bisa menggunakan (6-42) dan menulis pendistribusian difraksi amplitudo

dari celah segiempat seperti

dyeyxfdxeyxfeR

iA yi

y

y

xi

x

x

Rik

o

py

o

x

o

o

o

,, (17)

Ketika keduanya f(x) dan f(y) ditemukan sebagai fungsi simetris, kita hanya

memerlukan perhitungan transformasi cosinus (6-15a)

oy

oy

ox

oxoRik

o

oo

py

y

x

xe

R

Ayxi o

sinsin4 (18)

Intensitas pendistribusian dari Difraksi Fraunhofer dihasilkan dari celah segiempat

adalah

2

2

2

2 sinsin

oy

oy

ox

ox

opy

y

x

xII

(19)

15

Gambar 7. Difraksi dari celah yang tidak terbatas. Fungsi sinus menjelaskan

gelombang datang amplitudo yang akan ada pada arah x.

Dimana frekuensi ruang ditemukan seperti :

o

x

xR

2sin2

o

y

yR

2sin2

Intensitas maksimum pada arah x dan y ditemukan pada 0 oyox yx

mengingat bahwa daerah dari celah segiempat ditemukan sebagai oo yx4 , kita

bisa menulis intensitas maksimum sebagai

o

oR

AI

22

22

Fungsi terendah ditemukan ketika nxox atau myoy . Lokasi bernilai

nol dapat ditetapkan sebagai suatu dimensi pada pengamatan datang atau, jika kita

menggunakan perkiraan paraxial, dalam jangka waktu dari sebuah sudut

oo

yyy

m

R 2sin

Dimensi dari bentuk difraksi adalah karakteristik dari daerah nol pertama, contoh

n=m=1 dan diberikan dengan Pengamatan koordinat – koordinat datang dan .

Dimensi dari bentuk difraksi merupakan kebalikan dari perbandingan dimensi-

dimensi celah . Seperti celah dimensi perluasan, lebar bentuk difraksi berkurang

16

menjadi, dalam jumlah tidak terbatas lebar celah , bentuk difraksi menjadi fungsi

delta.

Gambar 7 adalah teoritis bentuk difraksi dari celah segiempat. Gambar 8

adalah percobaan yang menghasilkan bentuk difraksi Fraunhofer.

Gambar 8. Percobaan bentuk difraksi Fraunhofer dari celah segiempat.

E. Difraksi Pada Celah Lingkaran

Dari pembahasan transformasi dua dimensi pada bab 6, kita dapat secara

langsung , menghasilkan bentuk difraksi dari celah yang berbentuk lingkaran

diameter menggunakan transformasi (6-44). Cara kedua yang akan digunakan di

sini untuk menghasilkan bentuk difraksi. Geometri silinder ditunjukkan dalam

gambar 10-5 yang menggunakan Perubahan integral Huygens-Fresnel dari

Gambar 8. Difraksi pada celah lingkaran.

17

Gambar 9. Geometri untuk difraksi dari lubang yang berbentuk lingkaran.

Koordinat silinder. Untuk perubahan ke system koordinat baru, kita menggunakn

persamaan. Pada lubang cahaya,

cos sx sin sy

f(x,y) = f(s, ), dxdy = s ds d (20)

Pada pengamatan cahaya,

cos , sin (21)

Yang baru, system koordinat silinder pada pengamatn cahaya, frekuensi ruang

dapat ditulis sebagai berikut

cosoo

xR

k

R

k

sinoo

yR

k

R

k (22)

Menggunakan (10-20) dan (10-22), kita dapat menulis

sinsincoscos o

yxR

ksyx

cosoR

ks

(23)

Integral Huygens-fresnel dapat sekarang ditulis pada rentang waktu pada

koordinat silinder yaitu

sdsdR

siksfe

R

iA

o

a

Rik

o

po

cosexp,

2

0

2

0

(24)

18

Kita dapat menjelaskan (24) dengan menggunakannya untuk menghitung

amplitudo disfraksi dari celah terang yang berdiameter a, ditemukan pada

persamaan

2,0

,2

,1,

as

seluruha

ssf

Gambar 10. Difraksi amplitudo dari lubang lingkaran.

Pengamatan pendistribusian cahaya yang dirancang dengan perputaran rotasi dari

fungsi Bessel disekitar sumbu optik.

Permasalahan dari simetri ini adalah sfsf , , dimana membuat (10-24)

identik dengan (6-44). Oleh karena itu kita dapat menggunakan (6-45) untuk

menulis bentuk difraksi amplitudo

o

Rik

pR

kaJ

k

ae

iAo

21

(10-25)

Memplot fungsi dalam tanda kurung diberikan pada gambar 10-6a.

Jika kita temukan

oR

kau

2

19

kemudian intensitas dari pendistribusian ruangan pada bentuk difraksi dapat

ditulis dalam bentuk yang dikenal dalam formula Airy

2

12

u

uJII o (26)

dimana kita telah menemukan

2

o

oR

AI

A adalah daerah lubang

2

2

aA

Bentuk intensitas ditunjukkan dengan (26) dan dijelaskan pada gambar 10-6b

yang disebut bentuk Airy. Intensitas pada u = 0 dalan (26) sama seperti yang

dihasilkan dari lubang yang berbentuk segiempat pada daerah yang sama (19)

karena dalam limit

12

lim 1

u

uJ

Gambar 11. Percobaan yang menghasilkan bentuk difraksi Fraunhofer dari lubang

lingkaran.

20

Gambar 11. Perbandingan penyaluran amplitudo pada bentuk difraksi dari lubang

segiempat dan lubang lingkaran.

Gambar 12. Distribusi intensitas dan distribusi medan pada difraksi fraunhofer

dengan celah benebentuk lingkaran.

F. Teorema Array

Teorema array adalah teknik matematika yang bagus untuk penyampaian

celah yang lebih dari satu disebut teorema array. Teorema ini adala dasar dalam

integral yang sulit yang dibahas dalam bab 6 (6-35) dan kenyataannya dibuat

dengan menggunakan transformasi Fourier yang sulit untuk dua fungsi yang

merupakan hasil dari transformaasi Fourier fungsi tunggal. (6-38). Kita akan

21

membuktikan teorema untuk satu dimensi dimana fungsi-fungsi mewakili celah-

celah lensa. Hasil dapat diberikan untuk dua dimensi padalam gelombang

Diasumsikan bahwa kita memiliki kumpulan celah-celah yang sama,

ditunjukkan padala gambar 10-8 bagian kanan. Jika satu celah berletak pada asal

celah cahaya, itu merupakan fungsi transmisi yaitu x . Fungsi transmisi suatu

celah terletak pada titik Xo dapat ditulis dalam jangka waktu yang sama rata

fungsi celah x dengan menggunakan pemilihan fungsi delta

(x - x n ) = x( dx)() (10-28)

Integral yang sulit akan dibolehkan aplikasi dari teorema yang sulit untuk derivasi

yang lengkap dari teorema array.

Celah menstransmisi fungsi diwakili celah array akan menjumlahkan

pendistribusian celah individual, mewakili grafik pada gambar 10-8 dan

matematika dengan disajikan

dxexxi

x

x

xx

Dari (6A-3), kita dapat menulis

xiN

n

oxxexx

1

Kita sekarang menggunakan kenyataan bahwa oxx dapat dinyatakan dalam

jangka waktu dari integral yang sulit. Transformasi Fourier dari oxx adalah

bentuk teorema yang sulit (6A-8) hasil transformasi Fourier dari fungsi tunggal

yang merupakan tersulit.

Gambar 13. Convolution sebuah celah dengan fungsi delta akan menghasilkan

celah identik,, setiap lokasi pada posisi dari satu fungsi delta.

22

o

N

n

x xxfxf

1

o

N

n

xxfxf

1

kemudian menggunakan (6A-3) menghasilkan

N

n

ox xxfxf1

(28)

Transformasi pertama pada (28) adalah bentuk fungsi pada celah tunggal

dan transformasi kedua adalah bentuk difraksi yang dihasilkan oleh satu set titik

sumber dengan persamaan pendistribusian ruang sebagai array dari celah-celah

identik. Kita akan menyebutkan transformasi kedua dari fungsi array. Pada satu

dimensi, fungsi array adalah fungsi yang dicari dengan teliti dari transformasi

fourier yang telah dihitung. (6-28).

Disimpulkan, bahwa keadaan teorema array bentuk difraksi array serupa

dengan celah , diberikan oleh hasil dari bentuk difraksi.dari celah tunggal dan

bentuk difraksi (atau interferensi) dari penyaluran yang identik dengan array pada

titik sumber.

Gambar 14 adalah realisasi fisika dari teorema array. Penyaluran dalam

gambar 14a adalah bentuk difraksi yang secraa acak pada celah lingkaran yang

ditunjuukan pada gambar 14b. Keseluruhan dari bentuk difraksi adalah bentuk

Airy yang sama dengan difraksi dari celah lingkaran yang identik. Intensitas

pendistribusian dalam disk Airy adalah pendistribusian secara acak yang memilki

intensitas maksimal dan minimal. Pendistribusian bintik disebut gangguan bintik

dan sama untuk interfernsi antara gelombang dari array secara acak pada celah

lingkaran. Kita akan menyebutkan kembali gangguan bintik pada lampiran 10-C.

23

Gambar 14. Secara acak dari celah yang berbentuk lingkaran, seperti ditunjukkan

dalam (a) hasil dari bentuk difraksi Fraunhofer, (b) sebagai hasil dari teorema

array., bentuk keseluruhan difraksi adalah bentuk dari Airy dari celah lingkaran,

sedangkan intensitas distribusi dalam disk airy adalah sama untuk interfernsi

antara gelombang dari array secara acak dari celah. Bentuk intensitas bintik yang

dihasilkan oleh interfernsi yang disebut gangguan bintik.

24

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

1. Dua dimensi transformasi Fourier dari fungsi transmisi celah f(x,y) dengan

frekuensi ruang

2. Intensitas dari difraksi cahaya pada celah persegi

3. Intensitas dari gelombang difraksi pada celah bundar

2

1

2

2

u

uJ

R

AI

o

p

4. Teorema array digunakan untuk menemukan pola difraksi dari sebuah

array dari celah yang sama yaitu N. Distribusi intensitas dari pola difraksi

menjadi

Dimana variabel α didefinisikan sebagai

Dan a adalah dimensi x dari sebuh celah tunggal. Varibel β didefinisikan

sebagai

Dimana d adalah pemisah dalam direksi x dari celah

individual.

B. Saran

Melalui makalah ini penulis berharap agar tulisan ini dapat menjadi

referensi bagi masyarakat dan sumber ilmu baru yang perlu dikaji lebih jauh.

0

0

2

2

R

R

y

x

20

0

2

2

0

0

2

0

sinsin

y

y

x

xII

y

y

x

x

P

2

2

2

2

0sin

sinsin NII

x

ka sin

2

x

kd sin

2

25

DAFTAR PUSTAKA

D.Guenther, Robert. 1990. Modern Optics. John Wiley and Sons, Inc : Canada

E. Hechts. 2002.”Optics”.Adison wesley, 2002