karya tulis ilmiah simulasi intensitas difraksi pada …...simulasi intensitas difraksi pada celah...

KARYA TULIS ILMIAH

SIMULASI INTENSITAS DIFRAKSI PADA CELAH LINGKARAN (CIRCULER

APERTURE) DENGAN METODE SIMPSON

Oleh :

I Gusti Agung Widagda, S.Si, M.Kom

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

2015

ii

Halaman Pengesahan

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Judul Karya Tulis : Simulasi Intensitas Difraksi pada Celah Lingkaran

(Circular Aperture) dengan metode simpson

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Penulis

a. Nama lengkap dengan gelar : I Gusti Agung Widagda, S.Si, M.Kom

b. Jenis Kelamin : Laki-laki

c. Pangkat/Golongan/NIP : Penata Tk. I/III-d/197003311997021001

d. Jabatan Fungsional : Lektor

e. Fakultas/Jurusan : MIPA/Fisika

f. Universitas : Udayana

g. Bidang ilmu : Fisika Komputasi

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Jumlah Penulis : 1 (satu) orang

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. Kerjasama

a. Nama Instansi : -

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Jangka Waktu Penulisan : 6 (enam) bulan

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Biaya : -

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Jimbaran, Desember 2015

Mengetahui,

Dekan FMIPA UNUD Penulis

(Drs. Ida Bagus Made Suaskara, M.Si.) (I Gusti Agung Widagda, S.Si, M.Kom)

NIP. 196606111997021001 NIP. 197003311997021001

iii

Simulasi Intensitas Difraksi Pada Celah Lingkaran (Circular Aperture)

dengan Metode Simpson

I G.A. Widagda

RINGKASAN

Pola difraksi dari cahaya yang melewati celah lingkaran yang teramati pada layar

berupa pita terang dan gelap mengikuti persamaan tertentu. Pola-pola difraksi tersebut

sangat berkaitan dengan intensitas difraksi. Persamaan intensitas difraksi pada celah

berbentuk lingkaran mengandung penyelesaian integral dari fungsi berbentuk

eksponensial. Penyelesaian integral dari fungsi eksponensial sangat susah jika

diselesaikan secara analitik. Jika penyelesaian integral tidak dapat dilakukan secara

analitik maka biasanya sebagai alternatif dilakukan penyelesaian secara numerik. Ada

beberapa metode untuk menyelesaikan integral secara numerik seperti : Persegi

Panjang, Trapesium, Simpson. Perhitungan integral pada metode Simpson adalah

dengan membagi daerah di bawah kurva menjadi pita-pita berbentuk fungsi kuadrat

(polinom orde 2). Sedangkan pada metode Persegi Panjang dan Trapesium daerah di

bawah kurva dibagi menjadi pita-pita yang masing-masing berbentuk persegi panjang

dan trapesium (fungsi linear). Sehingga perhitungan integral dari fungsi yang berbentuk

eksponensial seperti pada persamaan intensitas difraksi celah lingkaran akan lebih baik

(lebih mendekati hasil eksak) jika dilakukan dengan metode Simpson daripada metode

Persegi Panjang maupun Trapesium. Perhitungan integral dengan metode Simpson

diimplementasikan dalam bentuk program komputer. Dengan program komputer

tersebut maka disamping dapat menghitung intensitas difraksi maka juga dapat

menampilkan plot grafik 2 dimensi maupun 3 dimensi.

iv

Simulation of Difraction Intensity on Circular Aperture by Using

Simpson Rule

I G.A. Widagda

SUMMARY

The diffraction pattern of light passing through the circular aperture observed

on the screen in the form of a bands of bright and dark to follow the particular

equation. Diffraction patterns are closely related to the intensity of diffraction.

Equation intensity of diffraction at a circular aperture settlement contains the integral

of an exponential function of the form. Completion integral of the exponential function

is very difficult if solved analytically. If the integral settlement can not be done

analytically, it is usually performed as an alternative to the settlement numerically.

There are several methods to resolve the integral numerically as: Rectangle, Trapezoid,

Simpson. Integral calculation on Simpson method is to divide the area under the curve

into bands shaped quadratic function (polynomial of order 2). While the methods

Rectangle and Trapezoid area under the curve is divided into bands, each rectangular

and trapezoidal (linear function). So that the integral calculation of exponential

functions shaped like the circular aperture diffraction intensity equation will be better

(closer to the exact result) if done by Simpson method than the methods Rectangle and

Trapezoid. Simpson integral calculation method implemented in a computer program.

With the computer program that can calculate the intensity of diffraction besides it also

can display two-dimensional plot graphs and 3-dimensional.

v

KATA PENGANTAR

Kami menghaturkan puji syukur kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena

atas berkat rahmat-Nya kami dapat menyelesaikan karya tulis ilmiah yang berjudul

”Simulasi Intesitas Difraksi Pada Celah Lingkaran (Circular Aperture) dengan Metode

Simpson”.

Kami menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penyelesaian karya tulis ini antara lain :

-Bapak Dekan FMIPA, UNUD

-Bapak Ketua Jurusan Fisika, FMIPA, UNUD

-Bapak Kepala Lab. Fisika Komputasi

-Rekan - rekan dosen Jurusan Fisika, FMIPA, UNUD

-Istri dan anak-anakku

atas bantuan, saran dan kerjasamanya selama penulis menyelesaikan karya tulis ini.

Sebagai akhir kata kami meyakini bahwa karya tulis ini masih banyak

kekurangan. Sehingga kami mengharapkan kritik dan saran yang bersifat konstruktif

dari semua pihak demi kesempurnaan hasil karya tulis ini.

Jimbaran, Desember 2015

Penyusun

vi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL i

HALAMAN PENGESAHAN ii

RINGKASAN/SUMMARY iii

KATA PENGANTAR v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR GAMBAR vii

I PENDAHULUAN 1

II TINJAUAN PUSTAKA 3

III TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN 20

IV METODE PENELITIAN 21

V HASIL DAN PEMBAHASAN 23

VI SIMPULAN DAN SARAN 26

VII DAFTAR PUSTAKA 27

vii

DAFTAR GAMBAR

halaman

Gambar 2.1 Interferensi Konstruktif dan Destruktif 3

Gambar 2.2 Percobaan Young : Interferensi pada celah ganda 4

Gambar 2.3 Interferensi Konstruktif dan Destruktif pada celah ganda 4

Gambar 2.4 Geometri celah ganda 4

Gambar 2.5 Lintasan cahaya r1,r2 sejajar 5

Gambat 2.6 Intensitas I dari Interferensi celah ganda 8

Gambar 2.7 Perambatan gelombang prinsip Huygen 8

Gambat 2.8 Perambatan cahaya pada celah sempit dan celah agak lebar 8

Gambar 2.9 Difraksi Fraunhofer 9

Gambat 2.10 Difraksi cahaya oleh celah lebar a 9

Gambar 2.11 Difraksi Fraunhofer celah tunggal 10

Gambat 2.12 Intensitas dari pola difraksi Fraunhofer celah tunggal 12

Gambar 2.13 Difraksi Fraunhofer celah lingkaran 13

Gambat 2.14 Intensitas difraksi Fraunhofer celah lingkaran 14

Gambar 2.15 Luas daerah di bawah kurva 15

Gambar 2.16 Metode Persegi Panjang 15

Gambar 2.17 Metode Trapesium 16

Gambar 2.18 Metode Simpson 17

Gambat 4.1 Diagram alir program perhitungan intensitas difraksi celah

lingkaran

20

Gambar 4.2 Rancangan Gui simulasi intensitas difraksi celah lingkaran 21

Gambat 5.1 Hasil Simulasi 3 dimensi intensitas difraksi celah lingkaran,

λ = 2 Å

23

Gambar 5.2 Hasil Simulasi 3 dimensi intensitas difraksi celah lingkaran,

λ = 4 Å

24


λ = 6 Å

24


λ = 8 Å

25


λ = 10 Å

25

1

I. PENDAHULUAN

Difraksi adalah deviasi atau pembelokan arah rambat gelombang baik gelombang

cahaya maupun gelombang bunyi. Pola difraksi akan teramati ketika cahaya melewati celah

baik celah tunggal, celah ganda, tiga celah, celah persegi panjang, celah lingkaran (circular

aperture), dan lain-lain. Pola difraksi yang teramati pada layar biasanya berupa pola terang

dan gelap. Pola terang dan gelap tersebut mengikuti fungsi tertentu yang tergantung pada

variabel yaitu : panjang gelombang, lebar celah, jarak celah-layar, kuat medan listrik, dan

lain-lain. Pola difraksi terang dan gelap yang teramati pada medium atau layar juga sangat

bergantung pada intensitas cahaya. Semakin besar intesitas cahaya maka semakin terang pola

yang teramati demikian juga sebaliknya semakin kecil intesitas maka akan menghasilkan pola

yang semakin gelap pada layar. Besarnya intensitas difraksi yang teramati dapat dihitung

secara analitik dengan menggunakan persamaan matematika untuk menyelesaikan model atau

persamaan intensitas difraksi yang ditinjau. Penyelesaian persamaan intensitas difraksi pada

celah tunggal, celah ganda, tiga celah maupun celah persegi panjang masih bisa dilakukan

secara analitik mengingat masih sederhananya kasus yang ditinjau. Jika kita menyelesaikan

persamaan intensitas difraksi pada celah lingkaran maka penyelesaian secara analitik menjadi

sangat rumit dilakukan sebab model persamaan yang dihasilkan berupa kasus integrasi

berhingga dari fungsi yang berbentuk eksponensial. Ketika penyelesaian integrasi secara

analitik sudah tidak bisa atau sangat rumit dilakukan maka sebagai alternatif biasanya

dipergunakan penyelesaian secara numerik. Penyelesaian integrasi secara numerik biasanya

diimplementasikan dalam bentuk program komputer.

Ada beberapa metode yang dapat dipakai untuk menghitung integrasi secara numerik

yaitu : metode Persegi Panjang, metode Trapesium, metode Simpson, dan lain-lain.

Perhitungan integral dari fungsi yang berbentuk linear lebih cocok memakai metode Persegi

Panjang dan Trapesium karena pendekatan yang dipakai oleh kedua metode ini adalah dengan

membagi daerah di bawah kurva atau fungsi menjadi beberapa pita-pita kecil yang berbentuk

segi empat atau trapesium. Namun untuk fungsi yang non linear seperti fungsi polinom,

eksponensial, dan trigonometri maka penyelesaian dengan metode Simpson akan

2

menghasilkan hasil yang lebih baik (lebih mendekati hasil eksak) dibanding metode Persegi

Panjang dan Trapesium karena metode atau pendekatan yang dipakai dalam metode Simpson

adalah dengan membagi daerah di bawah fungsi menjadi pita-pita kecil yang berbentuk fungsi

kuadrat (polinom orde 2). Persamaan intensitas pada kasus difraksi celah lingkaran

mengandung perhitungan integral dari fungsi non linear berupa fungsi eksponensial. Sehingga

penyelesaian intensitas difraksi pada celah lingkaran sangat cocok diselesaikan dengan

metode Simpson.

Penyelesaian integrasi secara numerik biasanya dilakukan dengan bantuan program

komputer. Dengan mengimplementasikan metode Simpson dalam bentuk program komputer

maka semua kasus integrasi termasuk penyelesaian integrasi pada kasus perhitungan

intensitas difraksi celah lingkaran dapat dilakukan. Dengan program komputer kita juga bisa

menampilkan hasil integrasi dalam bentuk kurva atau grafik 2 dimensi maupun 3 dimensi.

3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Interferensi Gelombang

Interferensi adalah peristiwa penggabungan atau penjumlahan (combination) dua

atau lebih gelombang menjadi sebuah gelombang. Apabila dua buah gelombang dengan

phase yang sama dijumlahkan maka akan menghasilkan interferensi konstruktif dan jika

dua buah gelombang tersebut memiliki phase yang berbeda maka akan menghasilkan

interferensi destruktif seperti diperlihatkan pada Gambar 2.1. Syarat – syarat interferensi

pada gelombang cahaya yaitu : cahaya bersifat koheren yaitu memiliki phase (ϕ)

konstan dan cahaya bersifat monokromatis yaitu memiliki 1 panjang gelombang, λ =

2π/k.

Gambar 2.1 Interferensi konstruktif dan destruktif

2.1.1 Interferensi Celah Ganda (Double-slit Interference)

Percobaan interferensi cahaya pada celah ganda dilakukan pertama kali oleh

Young seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2. Sebuah gelombang cahaya

(monokromatis) melewati layar 1 yang berisi celah tunggal S0, selanjutnya cahaya

tersebut diteruskan ke layar 2 yang berisi celah ganda S1 dan S2. Celah S1 dan S2 pada

layar 2 berlaku sebagai sumber cahaya koheren. Cahaya yang melewati S1 dan S2 ini

akan mengalami interferensi dan menghasilkan pola interferensi di layar 3.

4

Gambar 2.2 Percobaan Young : interferensi pada celah ganda

Pita terang dan gelap yang terjadi di layar 3 merupakan pola interferensi yang

dihasilkan oleh dua buah cahaya yang berasal dari celah S1 dan S2. Pita terang

menunjukkan interferensi maximum (konstruktif) sedangkan pita gelap merupakan

interferensi minimum (destruktif). Proses terjadinya interferensi konstruktif dan

destruktif ini ditunjukkan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3 Interferensi konstruktif dan destruktif celah ganda

Proses interferensi pada celah ganda secara geometri dapat dilihat pada gambar 2.4.

Jarak celah S1 dan S2 adalah d dan jarak layar ke celah adalah L. Cahaya yang

merupakan hasil interferensi jatuh titik P. Jarak P ke O yaitu y.

Gambar 2.4 Geometri pada celah ganda

5

Cahaya dari celah S2 akan menempuh jarak yang lebih besar jika dibandingkan dengan

cahaya dari S1. Selisih jarak antara cahaya dari celah S1 dan S2 sebesar δ = r2 – r1 . Jarak

tambahan yang ditempuh oleh cahaya S2 ini disebut dengan Beda lintasan (path

difference). Dari hukum Cosinus maka didapatkan :

)1.2....(..............................sin22

cos2

2

2

2

22

1

rdd

rrdd

rr

)2.2....(..............................sin22

cos2

2

2

2

22

2

rdd

rrdd

rr

Dengan mencari selisih dari persamaan (2.2) dan (2.1) maka didapatkan :

)3.2....(............................................................sin2))(( 1212

2

1

2

2 rdrrrrrr

Jika diasumsikan L ˃˃ d , yaitu jarak antara celah ke layar L jauh lebih besar dari jarak

antar kedua celah d maka r1 + r2 ≈ 2r, sehingga :

)4.2........(................................................................................sin)( 12 drr

Oleh karena L ˃˃ d maka juga bisa dianggap lintasan cahaya r1 dan r2 adalah sejajar

seperti diperlihatkan oleh Gambar 2.5

Gambar 2.5 Lintasan cahaya r1,r2 sejajar

Sehingga sebuah gelombang cahaya apakah memiliki phase sama atau berbeda dengan

gelombang yang lainnya dapat ditentukan dari nilai δ -nya. Interferensi konstruktif akan

terjadi jika δ bernilai 0 atau kelipatan bulat dari panjang gelombang λ :

)5.2......(..................................................,...3,2,1,0,sin mmd

Sedangkan interferensi destruktif akan terjadi jika δ bernilai kelipatan ganjil dari λ/2

6

yaitu : ,...2

5,

2

3,

2

1 . Jika dinyatakan dengan persamaan akan menjadi :

)6.2.....(........................................,...3,2,1,0,2

1sin

mmd

Untuk menentukan letak dari pita-pita terang dan gelap (y) dari titik pusat O, maka kita

dapat menganggap bahwa jarak celah d jauh lebih besar dari panjang gelombang λ ( d

˃˃ λ ). Dengan demikian sudut θ dianggap sangat kecil dan berlaku hubungan :

)7.2.(..........................................................................................tansinL

y

Dengan memasukkan persamaan (2.7) ke dalam persamaan (2.5) maka akan didapatkan

persamaan posisi atau letak pita terang yb yaitu :

)8.2...(....................................................................................................d

Lmyb

Dan jika kita memasukkan persamaan (2.7) ke dalam persamaan (2.6) maka akan

didapatkan persamaan posisi atau letak pita gelap yd yaitu :

)9.2..(..........................................................................................2

1

d

Lmyd

Intensitas Interferensi

Intensitas dari cahaya hasil interferensi pada celah ganda seperti diperlihatkan

pada Gambar 2.3 dapat ditentukan dengan vektor atau flux Poynting S. Jika medan

listrik di titik P adalah E merupakan penjumlahan dari medan listrik dari masing –

masing celah E1 dan E2 yaitu : E = E1 + E2 maka :

)10.2......(...................................................EE2)EE(ES 21

2

2

2

1

2

21

2 EE

Intesitas cahaya I di titik P dapat ditentukan dengan mengambil rata-rata waktu (time

average) dari S :

)11.2.....(.............................................................EE2 21

2

2

2

1 EESI

Jika medan listrik dari celah S1 dan S2 masing – masing adalah E1 dan E2 :

)12.2......(..........................................................................................)sin(01 tEE

)13.2.........(......................................................................).........sin(02 wtEE

Jika dianggap terjadi interferensi konstruktif maka beda lintasan δ = λ akan bersesuaian

7

dengan pergeseran phase ϕ = 2π sehingga berlaku hubungan :

)14.2.....(....................................................................................................2

atau

)15.2...(................................................................................sin22

d

Medan listrik total E :

)16.2..(..........2

sin2

cos2)sin()sin( 0021

tEttEEEE

Dari persamaan identitas trigonometri didapatkan hubungan :

)17.2....(..................................................2

cos2

sin2sinsin

Intensitas sebanding dengan rata-rata waktu dari medan listrik kuadrat :

)18.2....(..............................2

cos22

sin2

cos4 22

0

222

0

2

EtEEI

atau

)19.2....(..........................................................................................2

cos2

0

II

dimana

2

00

2 dan2

1

2sin EIt

Dengan memasukkan persamaan (2.15) ke dalam persamaan (2.19) maka didapatkan

Intensitas Interferensi pada celah ganda I adalah :

)20.2...(................................................................................sin

cos2

0

dII

Untuk sudut θ yang kecil maka persaman (2.20) akan menjadi :

)21.2.......(................................................................................cos2

0

y

L

dII

Jika digambarkan dalam grafik maka intesitas I akan tampak seperti Gambar 2.6.

8

Gambar 2.6 Intesitas I dari interferensi celah ganda

2.2 Difraksi Gelombang

Difraksi adalah pembelokan arah rambat gelombang ketika melewati celah atau

obyek. Perambatan gelombang baik pada gelombang cahaya maupun bunyi pada

peristiwa difraksi mengikuti prinsip Huygen yang berbunyi : Setiap titik dari muka-

muka gelombang yang tidak terganggu, pada saat tertentu bertindak sebagai sumber

muka -muka gelombang speris kedua. Permukaan gelombang yang baru adalah

merupakan tangen permukaan gelombang speris kedua. Peristiwa perambatan

gelombang ini dapat dilihat dalam Gambar 2.7.

Gambar 2.7 Perambatan gelombang prinsip Huygen

Cahaya yang melewati celah sempit akan tersebar dan mengalami pembelokan arah

rambat dan akan menghasilkan pola difraksi, sedangkan jika cahaya melewati celah

dengan lebar tertentu tidak akan mengalami pembelokan dan tidak akan menghasilkan

pola difraksi seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.8.

Gambar 2.8 Perambatan cahaya pada celah sempit dan celah agak lebar

9

2.2.1 Difraksi Fraunhofer Celah Tunggal

Difraksi Fraunhofer adalah peristiwa perambatan cahaya yang melewati celah

dengan lebar tertentu dan tidak mengalami pembelokan. Cahaya merambat lurus dan

sejajar satu sama lain. Untuk menghasilkan pola difraksi pada layar maka dipasang

sebuah lensa cembung diantara celah dan layar seperti Gambar 2.9.

Gambar 2.9 Difraksi Fraunhofer

Jika dalam eksperimen Young celah ganda maka lebar celah dianggap sangat kecil

maka dalam difraksi Fraunhofer celah tunggal kita menganggap celah memiliki lebar

tertentu a. Jika cahaya monokromatik melewati celah tersebut maka cahaya tersebut

akan merambat lurus dan sejajar seperti Gambar 2.10

Gambar 2.10 Difraksi cahaya oleh celah dengan lebar a

Berdasarkan prinsip Huygen maka setiap bagian dari cahaya akan berperan sebagai

sumber cahaya. Masing – masing bagian ini dilambangkan dengan titik-titik sumber.

Jika kita menganggap cahaya tersebut menjadi 2 bagian yaitu : bagian atas dan bagian

bawah. Cahaya bagian atas akan berbeda phase sebesar 1800 dengan bagian bawah. Jika

kita mengandaikan jumlah total sumber titik adalah 100 buah, 50 titik sebagai bagian

bawah dari titik 1 sampai 50 dan titik 51 sampai 100 sebagai bagian atas, maka titik 1

dan titik 51 akan dipisahkan oleh jarak a/2 dan berbeda phase 1800. Demikian juga

antara titik 2 dan 52 serta pasangan titik lainnya yang berjarak a/2. Jadi syarat terjadinya

10

minimum pertama dapat dinyatakan dengan :

)22.2(....................................................................................................2

sin2

a

atau

)23.2....(....................................................................................................sina

Jika dinyatakan dengan persamaan umum untuk difraksi minimum (destruktif) maka

akan menjadi :

)24.2.........(..........................................................................................sin ma

Jika kita membandingkan persamaan (2.24) dengan persamaan (2.5) maka didapatkan

bahwa syarat difraksi minimum (destruktif) dari celah tunggal menjadi syarat terjadinya

interferensi maksumum (konstruktif) dimana lebar celah tunggal a diganti dengan jarak

antar celah d.

Intensitas Difraksi Fraunhofer Celah Tunggal

Intensitas cahaya hasil difraksi pada celah tunggal dapat ditentukan dengan

menghitung medan listrik total hasil penjumlahan dari masing-masing sumber titik.

Gambar 2.11 Difraksi Fraunhofer celah tunggal

Gambar 2.11 menunjukkan celah tunggal dibagi menjadi N bagian dan masing – masing

bagian merupakan sumber titik. Lebar masing – masing titik adalah : Δy = a/N. Beda

lintasan antara 2 sumber titik yang berdekatan adalah δ = Δy sin θ. Beda phase Δβ

dinyatakan dengan perbandingan:

sin

2

y

)25.2.(..........................................................................................sin2

y

Jika muka gelombang dari sumber titik 1 (dihitung dari atas) tiba di titik P pada layar

11

memiliki persamaan medan listrik :

)26.2......(................................................................................).........sin(101 tEE

Sumber titik 2 yang berdekatan dengan titik 1 memiliki pergeseran phase Δβ sehingga

memiliki persamaan medan listrik :

)27.2......(......................................................................).........sin(102 tEE

Jika tiap-tiap sumber titik yang berurutan mempunyai pergeseran phase yang sama

maka sumber titik N akan memiliki persamaan medan listrik :

)28.2.....(............................................................).........)1(sin(10 NtEEN

Medan listrik total E akan menjadi :

)29.2........()1(sin(...)sin(sin... 1021 NtttEEEEE N

Pergeseran phase total β antara sumber titik N dan sumber titik 1 adalah :

)30.2........(..................................................sin2

sin2

ayNN

Dari trigonometri didapatkan persamaan :

)31.2.......(..................................................sinsin2)cos()cos(

Sehingga

2/sinsin2)2/cos()2/cos( ttt

2/sin)sin(2)2/3cos()2/cos( ttt

)32.2....(..........2/sin)2sin(2)2/5cos()2/3cos( ttt

2/sin))1(sin(2))2/3(cos())2/1(cos( NtNtNt

Jika kita menjumlahkan semua persamaan tersebut maka akan menghasilkan :

))2/1(cos()2/cos( Ntt

)33.2...(....................)1(sin(...)sin(sin2

sin2

Nttt

Dengan memakai persamaan trigonometri (2.31) maka suku di sebelah kiri dalam

persamaan (2.33) akan menjadi :

))2/1(cos()2/cos( Ntt

)34.2.........(..............................).........2/sin()2/)1(sin(2 NNt

12

Dengan memasukkan persamaan (2.34) ke dalam persamaan (2.33) akan didapatkan :

)1(sin(...)sin(sin Nttt

)35.2(............................................................2/sin

2/sin)2/)1(sin(

Nt

Sehingga medan listrik total persamaan (2.29) akan menjadi :

)36.2.(........................................).........2/)1(sin()2/sin(

)2/sin(10

NtEE

Intensitas I adalah :

)2/)1((sin)2/sin(

)2/sin( 2

2

2

10

2

NtEEI

2

2

10)2/sin(

)2/sin(

2

1

E

I dinyatakan dengan :

2

0

2

2

0

)2/sin(

)2/sin(

)2/sin(

)2/sin(

NI

N

I

Faktor N2 diperlukan untuk menjamin bahwa I0 adalah intensitas maksimum pusat β = 0

(θ = 0). Jika Δβ → 0 ,

2/2/)2/sin( NN

Sehinga intensitas I :

)37.2(..................................................)/sinsin(

)/sinsin(

)2/sin(

)2/sin(2

0

2

0

a

aIII

Jika kita plot I/I0 sebagai fungsi dari β/2 maka akan didapatkan grafik seperti

diperlihatkan pada Gambar 2.12.

Gambar 2.12 Intensitas dari pola difraksi Fraunhofer celah tunggal

13

2.2.2 Difraksi Fraunhofer Celah Lingkaran

Difraksi pada celah berbentuk lingkaran diperlihatkan pada Gambar 2.13. Kuat

medan listrik oleh elemen luas dA adalah dEp :

Gambar 2.13 Difraksi Fraunhofer celah lingkaran

)( tkriA

p er

dAEdE

))((

0

0 trkiAp e

r

dAEdE

Beda lintasan Δ<<r0 , Δ= s sin θ, sehingga kuat medan listrik total Ep :

luas

isktkriAp dAee

r

EE sin)(

0

0

Jika elemen luas berupa luas persegi panjang dA = x ds

2222

2

2sehingga,2

sRxRsx

Maka

R

R

sRisktkriAp dsee

r

EE

220 sin)(

0

2

Jika dimisalkan v = s/R dan γ = kR sin θ

1

1

1)(

0

20

2dvee

r

REE vvitkriA

p

Dari tabel integral :

)(11

1

1 2 Jdve vvi

Dimana J1(γ) merupakan fungsi Bessel jenis pertama orde -1. Bentuk umum fungsi

Bessel adalah :

14

0

)sincos()( dxmxJm

Sehingga

)(2)(2)(2 1)(

0

1)(

0

2

1)(

0

000J

eRr

AEJe

Rr

REJe

r

REE

tkriAtkriAtkriAp

Dengan A = πR2 , adalah luas lingkaran. Intesitas I dari pola difraksi yang terbentuk

dapat dinyatakan dengan mengambil nilai real dari rata-rata waktu Ep :

2

1

22

0

22*2 )(2

2

1)Re(

J

Rr

AEEEEI A

ppp

)28.2....(..........................................................................................)(

2

10

JII

22

0

22

0

2dengan

Rr

AEI A . Gambar 2.14 memperlihatkan bentuk grafik dari Intentitas I

(persamaan (2.28) ).

Gambar 2.14 Intensitas difraksi Fraunhofer celah lingkaran

2.3 Integral

Nilai integral dari suatu fungsi f(x) dari x = a sampai x = b dapat dinyatakan

dengan I(a,b) :

)29.2...(..........................................................................................)(),( b

a

dxxfbaI

Nilai integral tersebut mengandung arti kita menghitung luas daerah di bawah kurva f(x)

dari a sampai b seperti diperlihatkan pada Gambar 2.15

15

Gambar 2.15 Luas daerah di bawah kurva f(x)

Untuk menghitung integral secara numerik ada beberapa metode yaitu : metode Persegi

Panjang, metode Trapesium, Metode Simpson, dan lain - lain. Pada metode Persegi

panjang perhitungan integral dilakukan dengan menghitung luas di bawah kurva f(x)

dengan cara membagi daerah di bawah kurva tersebut menjadi beberapa pita kecil yang

berbentuk persegi panjang. Sedangkan pada metode Trapesium dengan membagi daerah

di bawah kurva f(x) menjadi pita yang berbentuk trapesium. Dan metode Simpson

dengan daerah di bawah kurva f(x) menjadi pita yang salah satu sisinya berbentuk

fungsi kuadrat (polinom orde 2).

2.3.1 Metode Persegi Panjang (Rectangle Rule)

Dalam metode Persegi panjang untuk menghitung integral atau luas di bawah

kurva f(x) adalah dengan cara membagi daerah di bawah kurva f(x) menjadi beberapa

potongan pita kecil yang masing-masing berbentuk persegi panjang seperti Gambar

2.16.

Gambar 2.16 Metode Persegi Panjang

Jika daerah di bawah kurva f(x) kita bagi menjadi N buah pita, dan lebar masing-masing

potongan pita dinyatakan dengan h maka :

16

)30.2......(....................................................................................................N

abh

Masing – masing potongan pita kita beri nama dengan memberi index k dimana k = 1, 2,

3, ..., N. Misal untuk k = 1 berarti potongan pita ke-1 (pertama), k = 2 berarti pita kedua,

dan seterusnya sampai potongan pita terakhir yaitu pita ke- N. Sehingga luas masing –

masing potongan pita dapat dinyatakan dengan Ak. Jadi A1 menyatakan luas pita

pertama, A2 menyatakan luas pita kedua, dan seterusnya sampai luas pita yang terakhir

AN. Untuk potongan pita ke-k, sisi sebelah kanan akan bernilai a+kh, sedangkan sisi

sebelah kiri akan bernilai a+kh-h atau a+(k-1)h. Sehingga luas pita ke-k atau Ak

merupakan luas persegi panjang dengan panjang h dan lebar f(a+ (k-1)h):

)31.2........(......................................................................).........)1(( hkafhAk

Luas seluruh daerah di bawah kurva f(x) atau integral I(a,b) adalah :

)32.2.....(............................................................))1((),(11

N

k

N

kk hkafhAbaI

2.3.2 Metode Trapesium (Trapezoidal Rule)

Perhitungan integral dengan metode Trapesium adalah dengan cara membagi

daerah di bawah kurva f(x) menjadi beberapa potongan pita kecil yang masing-masing

berbentuk trapesium seperti diperlihatkan pada Gambar 2.17.

Gambar 2.17 Metode Trapesium

Dengan cara yang sama seperti metode Persegi panjang maka luas pita ke-k atau Ak

merupakan luas trapesium yang memiliki tinggi h dan panjang sisi-sisi sejajarnya yaitu

f(a+(k-1)h) dan f(a+kh) adalah :

)33.2....(..................................................)]........())1(([.2

1khafhkafhAk

17


)34.2(........................................)]())1(([2

1),(

11

N

k

N

kk khafhkafhAbaI

2.1.3 Metode Simpson (Simpson’s Rule)

Jika dalam 2 metode sebelumnya baik metode Persegi Panjang maupun

Trapesium kita melakukan pendekatan dengan kurva berbentuk garis lurus maka dalam

metode Simpson ini kita akan menggunakan kurva yang berbentuk fungsi kuadrat

(polinom orde 2) seperti diperlihatkan dalam Gambar 2.18. Kurva kuadrat tersebut

memiliki bentuk persamaan polinom orde 2 yaitu : f(x) = ax2 + bx + c.

Gambar 2.18 Metode Simpson

Tiap kurva kuadrat dibentuk dari 2 buah potongan pita. Jika kita mengambil nilai x yaitu

x = -h, x = 0, dan x = h maka dengan melakukan kurva fitting atau interpolasi kuadrat

terhadap ketiga nilai x tersebut maka didapatkan hubungan yaitu :

)35.2.......(................................................................................)( 2 cbhahhf

)36.2.......(....................................................................................................)0( cf

)37.2.........(................................................................................)( 2 cbhahhf

Jika kita mencari solusi secara simultan dari ketiga persamaan tersebut maka kita akan

dapat menentukan nilai a, b , dan c. Jika kita menjumlahkan persamaan (2.35) dengan

(2.37) maka akan didapatkan :

)38.2.........(..................................................)]........(2

1)0()(

2

1[

12

hffhfh

a

Dan jika kita mengurangi persamaan (2.35) dengan (2.37) maka akan didapatkan :

18

)39.2......(......................................................................)]........()([2

1hfhf

hb

Dan dari persaman (2.36) kita mendapatkan

)40.2........(..........................................................................................).........0(fc

Maka luas daerah di bawah kurva kuadrat f(x) = ax2 + bx + c dari –h sampai h adalah :

)41.2.......(..............................23

2

23)( 3232 chahcxx

bx

adxcbxax

h

h

h

h

Dengan memasukkan nilai a dan c dari persamaan (2.38) dan (2.40) ke dalam

persamaan (2.41) maka didapatkan :

)42.2.......(..............................)]........()0(4)([3

1)( 2 hffhfhdxcbxax

h

h

Sama seperti metode integral sebelumnya kita membagi daerah di bawah kurva f(x) dari

a sampai b menjadi N buah pita dengan lebar masing – masing potongan pita yaitu h.

Dalam metode Simpson ini kita memakai 2 potongan pita untuk membentuk sebuah

kurva kuadrat seperti terlihat pada Gambar 2.18. Sehingga kurva kuadrat 1 akan

memiliki nilai x = a, x = a+h , dan x = a+2h. Kurva kuadrat 2 akan memiliki nilai x =

a+2h, x = a+3h , dan x = a+4h, dan seterusnya sampai pita kuadrat N/2. Oleh karena

satu kurva kuadrat dibentuk oleh 2 buah potongan pita maka jumlah potongan pita N

harus genap atau secara umum untuk kurva kuadrat ke-k nilai x adalah : x = a + (2k-

2)h, x = a+ (2k-1)h, dan x = a + 2kh. Sehingga dari persamaan (2.42) luas pita kuadrat

ke-k akan menjadi :

)43.2........(..........)]........2())12((4))22(([3

1khafhkafhkafhAk


)44.2...()]2())12((4))22(([2

1),(

11

N

k

N

kk khafhkafhkafhAbaI

19

III. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

Tujuan dari penelitian adalah untuk :

Membuat program aplikasi komputer yang dapat mensimulasikan perhitungan intensitas

difraksi pada celah yang berbentuk lingkaran dengan metode Simpson serta

menampilkan hasilnya dalam bentuk grafik atau kurva 3 dimensi.

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat yaitu :

Program aplikasi komputer yang dihasilkan dapat dipakai untuk menampilkan simulasi

kurva 3 dimensi intesitas cahaya difraksi pada celah berbentuk lingkaran.

20

Hitung Intensitas I(krx,kry)

Tampilkan grafik 3 dimensi

Intensitas I(krx,rkry)

Input λ,rx,ry

IV. METODE PENELITIAN

1. Tempat Penelitian : Lab. Fisika Komputasi, jurusan Fisika, FMIPA, UNUD

2. Peralatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

a. Komputer NoteBook core i3, 2.30 GHz, 4 GB RAM, OS Windows 7 Ultimate

b. Perangkat lunak Matlab versi 7.0

3. Pelaksanaan Penelitian

3.1 Perancangan Diagram Alir (Flow Chart)

Diagram alir dari perhitungan Intensitas Difraksi pada celah lingkaran

diperlihatkan dalam Gambar 4.1.

3.2 Perancangan Graphical User Interface (GUI)

Rancangan GUI dari program aplikasi simulasi intensitas difraksi celah

lingkaran diperlihatkan dalam Gambar 4.2 berikut ini :

mulai

selesai

Gambar 4.1 Diagram Alir Program Perhitungan Intensitas difraksi Celah Lingkaran

21

3.3 Implementasi kode program (source code)

Kode program dari perhitungan Intensitas Difraksi pada celah lingkaran

dengan metode Simpson adalah :

function calculate_simpson_pushbutton_Callback(hObject, eventdata, handles)

rx1 = str2num(get(handles.rx1,'String'));

rx2 = str2num(get(handles.rx2,'String'));

ry1 = str2num(get(handles.ry1,'String'));

ry2 = str2num(get(handles.ry2,'String'));

%r1,r2 convert into Angstrom (10^-10 m)

rx1=rx1*1e-10;

rx2=rx2*1e-10;

ry1=ry1*1e-10;

ry2=ry2*1e-10;

num_slice=150; %number of bands

del_rx=(rx2-rx1)/num_slice; %delta r

del_ry=(ry2-ry1)/num_slice; %delta r

lambda=str2num(get(handles.lambda_edit,'String')); %wave length of light

%convert lambda into Angstrom

lambda=lambda*1e-10;

k=(2*pi)/lambda;

m=1; %orde Bessel

Gambar 4.2 Rancangan GUI Simulasi Intesitas difraksi celah lingkaran

22

a=1;

rx=rx1:del_rx:rx2;

x=k*rx;

ry=ry1:del_ry:ry2;

y=k*ry;

axes(handles.axes1);

[rx,ry]=meshgrid(x,y);

ka=sqrt(rx.^2+ry.^2);

Gka=2*pi*a^2.*besselj(m,ka)./(ka);

mesh(x,y,Gka);

xlabel('krx'); ylabel('kry') ; zlabel('I(krx,kry)');

title('Intensitas cahaya Difraksi Fraunhofer');

23

V. HASIL DAN PEMBAHASAN

Dari persamaan (2.28) didapatkan bahwa Intensitas difraksi celah lingkaran adalah :

2

10

2

10

2

10

)(

sin

)sin()(

kr

krJI

kR

kRJI

JII

2

10

)()(

kr

krJIrI dimana :

sindan

2Rrk

J1(kr) adalah fungsi Bessel yang dapat dinyatakan dalam bentuk integral yaitu :

01 )sincos()( dkrmkrJ

Penyelesaian dari integral tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan metode Simpson

(persamaan 2.44) yang dihitung secara numerik dengan program komputer.

Hasil simulasi 3 dimensi perhitungan intensitas difraksi pada celah lingkaran I(krx,kry)

untuk beberapa nilai panjang gelombang λ ( 2 Å, 4 Å, 6 Å, 8 Å , 10 Å) diperlihatkan pada

Gambar 5.1 sampai Gambar 5.5. Plot grafik I(krx,kry) diambil dari rx = -10. 10-10

Å sampai 10.

10-10

Å dan ry = -10. 10-10

Å sampai 10. 10-10

Å.

Gambar 5.1 Hasil simulasi 3 Dimensi Intensitas Difraksi celah lingkaran,λ = 2 Å

24

Gambar 5.2 Hasil simulasi 3 dimensi Intensitas Difraksi celah lingkaran,λ = 4 Å


25

Dari Gambar 5.1 sampai Gambar 5.5 dapat dilihat semakin besar nilai λ maka akan

menghasilkan bentuk grafik atau plot I(krx,kry) yang semakin mengembang (enlarge) dan

demikian sebaliknya jika nilai λ diperkecil maka akan menghasilkan bentuk plot I(krx,kry)

yang semakin menguncup (shrink).



26

VI. SIMPULAN DAN SARAN

1. Simpulan

Dari penelitian didapatkan simpulan sebagai berikut :

a. Metode Simpson dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan Intensitas difraksi

pada celah lingkaran

b. Implementasi program komputer dari metode Simpson dapat dipakai untuk

menampilkan grafik 3 dimensi intensitas difraksi celah lingkaran

2. Saran

Perlu dilakukan penelitian untuk membuat program aplikasi komputer yang dapat

menampilkan grafik gabungan 2 dan 3 dimensi serta visualisasi citra pola terang

gelap intensitas difraksi pada celah berbentuk lingkaran.

27

VII. DAFTAR PUSTAKA

Chapra Steven C., Canale Raymond P., Numerical Methods for Engineers, sixth edition ,Mc

Graw-Hill Book Company, New York, 2010

E.Hechts, 2002, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, New York.

Nayer Eradat, 2009, Fraunhofer Diffraction: lecture notes for Modern Optics,

http://www.erbion.com/index_files/Modern_Optics/Ch11.pdf [diakses 2 mei 2015]

____,Integrals and Derivatives, www3.nd.edu/~newman/phys_30421/reading/ch5_int.pdf

[diakses 5 Juli 2015]

____,Interference and diffraction,

http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/modules/guide1

4.pdf [diakses 20 Agustus 2015]

____,Integrals and Derivatives, www3.nd.edu/~newman/phys_30421/reading/ch5_int.pdf

[diakses 23 Agustus 2015]

karya tulis ilmiah simulasi intensitas difraksi pada …...simulasi intensitas difraksi pada celah...

Documents