KARNAUGH MAP (K-MAP) (I) (K-MAP)

Pokok Bahasan :K-map 2 variabel K-map 3 variabel K-map 4 variabel

Tujuan Instruksional Khusus :1. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara membuat k-map 2, 3, dan 4 bariabel 2. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara pengcover-an minterm dalam sebuah k-map

KARNAUGH MAP (K-MAP)Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah rangkaian logika Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan rangkaian logika

K-MAP 2 VARIABEL

Tabel KebenaranMap value

A

B0 1

0

1

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y AB AB AB AB

Model 1

AB AB0

AB AB1

0 1 2 3

2

3

B

A0 1

0

1

Model 2

AB0

AB2

AB1

AB3

Desain Pemetaan K-Map 2 Variabel

Karnaugh-Map 2 variabel dengan minterm-mintermnya xyF = (m0,m1) = xy + xy x 0 0 1 1 y 0 1 0 1 F 1 1 0 0x y0 1

0

1

x

y0 1

0

1

xy xy

xy xy

1 0

1 0

F=AB+AB A B0 1 0 1

F=AB+AB+AB A B0 1 0 1

0 1

1 0

0 1

1 1

B 0 A0 1

1

0 1

1 0

A

B0 1

0

1

0 1 F=A+B

1 1

F=AB+AB

Contoh 1:Tabel KebenaranMap value

A

B0

0

1

10

01

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 1 0 0 1

0 1 2 3

AB

1

02

13

AB

A

B0 1

0

1

AB0

01

02

AB3

Jadi Y = AB + AB

Contoh 2:Tabel KebenaranMap value

A

B0 1

0

1

10

11

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 1 1 0 0

0 1 2 3

AB AB

02

03

A

B0

0

1

AB0

AB1

Jadi Y = A

1

02

03

Catatan untuk K-Map 2 Variabel0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 2 variabel output 2 kotak terlingkupi = 1 variabel output 4 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi horisontal atau vertikal, yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, )

A

B0 1

0 1

1

1

AB

AB Y = AB + AB B0 1

A

0

1

1 0

1 1

A

Y =A + B

B

Contoh 3:Dari Tabel Kebenaran di bawah ini, tulis persamaan logikanya dengan menggunakan K-mapMap value

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 1 1 0 1

0 1 2 3

A

B0 1

0

1

1 0

1 1

A B

Jadi Y = A + B

Contoh 4:Sederhanakan persamaan logika Y = A + AB + AB menggunakan K-mapA B0 1 0 1

0 1 AB

1 1

B A

Jadi Y = A + B

K-MAP 3 VARIABELModel IA 00 01 0 ABC ABC 1 ABC0 4

Tabel KebenaranMap valu A B C Y e

BC

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

ABC

1

11 ABC ABC

3 7

10 ABC ABC

2

5

6

Model IIC AB 00 0 ABC 1 ABC1

Map value 01 ABC2

11 ABC6

10 ABC4

0

ABC3

ABC7

ABC5

Tabel KebenaranMap A B C Y value

Model IIIAB 0 1 00 ABC ABC0 2

Model IVBC 0 1 00 ABC ABC0 1

C

A

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1

4

01 ABC ABC 11 ABC6 4

3

01 ABC ABC 11 ABC3 2

5

ABC7 5

ABC7 6

10 ABC ABC

10 ABC ABC Map value

Desain Pemetaan K-Map 3 Variabel

Catatan untuk K-Map 3 Variabel0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 3 variabel output

A

BC 0 1

00 1

01

11 1

10 1

Y = ABC + ABA BC 0 1 00 01 11 1 1 10 1 1 B A BC 0 1 00 1 1 C 01 11 10 1 1

2 kotak terlingkupi = 2 variabel output 4 kotak terlingkupi = 1 variabel output 8 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi horisontal atau vertikal, yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, )

Contoh PengcoveranAB 0 C 1 B ab 0 1 A 00 01 11 10 AB 0 1

C

C

00 0 0

01 0 0

11 1 1

10 1 1

G(A,B,C) = Ac 00 0 0 01 0 1 11 1 1 10 0 1

C

AB 0 1

00 1 0

01 0 0

11 0 1

10 1 1

f = bc + ab + ac F(A,B,C) = BC + AC

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

F 0 1 1 0 1 1 1 1

F = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABCA BC 0 1 00 0 1 01 1 1 11 0 1 10 1 1

A

BC 0 1

00 0 1

01 1 1 BC

11 0 1

10 1 1 A

BC

F = A + BC + BC

Contoh 1 :Diketahui Tabel Kebenaran seperti berikut ini, cari persamaan logikanya Tabel KebenaranMap A B C Y value

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 1 0 0 0 1 1 1

Penyelesaian :A BC 0 1 00 1 01 1 1 AC 11 1 10 AB 1 AB

Jadi

Y = AC + AB + AB

Contoh 2 :Diketahui persamaan Boolean : D = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC Sederhanakan dengan metode K-map.

Penyelesaian : D = ABC + ABC + ABC + ABC + ABCA BC 0 1 1 AC 00 01 11 1 1 10 1 1 B

Jadi

D = B + AC

Tabel KebenaranMap A B C D Y value

K-MAP 4 VARIABELAB CD 00 01 11 10 00 ABCD ABCD ABCD ABCD 01 ABCD ABCD ABCD ABCD 11 ABCD ABCD12 8 4 5 13 0 1 3 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Model I

2

ABCD

10 ABCD ABCD ABCD ABCD9 11

15

ABCD

6

14 10

AB CD

00 01 11 10 00 ABCD ABCD ABCD ABCD 01 ABCD ABCD ABCD ABCD 11 ABCD ABCD3 2 1 5 7 0 4 12 13

Model II

8 9

ABCD

10 ABCD ABCD ABCD ABCD6 14

15

ABCD

11

10

Desain Pemetaan K-Map 3 VariabelAB CD00 01 11 10

A00 01 11

A10

C D C B B

D

Catatan untuk K-Map 4 Variabel0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 4 variabel output 2 kotak terlingkupi = 3 variabel output 4 kotak terlingkupi = 2 variabel output 8 kotak terlingkupi = 1 variabel output 16 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi horisontal atau vertikal, yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, )

AB 00 CD 00 1 01 11 10 1 1 1 A AB CD 00 01 11 10 00 1 1

01 1 1 1 1

11 1 1 1

10 1 1 AC 1 ACD

01

11

10 BC 1 1

1 1 ABCD ABCD

Contoh PengcoveranAB CD 00 01 11 10 ABD AB CD 00 01 11 10 00 1 0 0 0 01 0 1 0 0 11 0 0 1 0 10 0 0 0 1 ABCD

00 0 1 1 1

01 0 0 1 1 AC

11 0 0 0 0

10 0 0 1 0 BCD

ABCD ABCD ABCD

F = ABD+AC+BCD

F = ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

Contoh PengcoveranAB CD 00 01 11 10 BC 00 0 1 1 1 AD 01 0 1 1 0 11 0 0 1 1 AC 10 1 1 1 1 AB AB CD 00 01 11 10 00 0 0 0 0 01 1 0 0 0 BCD 11 1 1 0 1 ABD 10 1 1 0 0 AC

F = AD+BC+AB+AC

F = ABD+AC+BCD

Contoh 1 :F(A,B,C,D)=m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15) Penyelesaian :AB CD 00 01 11 10 1 1

F(A,B,C,D)=m(0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15)00 1 1 1 1 ABD 1 1 1 1 C 01 11 10 1 BCD

Jadi F(A,B,C,D) = C+BCD+ABD

Contoh 2 :Diketahui Tabel Kebenaran sebagai berikut, cari persamaan logikanya.Map value A B C D Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Penyelesaian :AB CD 00 01 11 10 1 1 AC 1 1 ABCD 00 01 11 1 1 1 ABD 10

Jadi Y(A,B,C,D) = AC+ABD+ABCD

Contoh 3 :Lingkarilah dan tulis Persamaan logikanya.WX 00 YZ 00 01 11 10 WXYZ 1 1 1 1 WXZ 1

01

11 1

10 1 1 WXZ YZ

Jadi M = YZ+WXZ+WXZ+WXYZ

Latihan Soal1. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar: a. AB + BC + AB b. AC + ABC + BC + BC c. XY + XZ + YZ d. XY + YZ + XZ + XY e. BC + AD + ABCD + ADC + A f. BC + D + AD

2. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar: a. (B+D)(A+C) + ABD b. A(BC + C) + B(A + AC) c. (AC + ABC).(BC + BC) d. Z(XY + XZ).YZ(X + Z) e. A(BC + BC) + ABC f. B(CD + AD) + BC(A + AD) Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah ke bentuk SOP)