karnaugh map (k-map)...

KARNAUGH (K-MAP)

MAP (I)

Pokok Bahasan : K-map K-map

K-map

2 3

4

variabel variabel

variabel

Tujuan Instruksional Khusus : 1. Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara

membuat k-map 2, 3, dan 4 bariabel Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara peng- cover-an minterm dalam sebuah k-map

2.

KARNAUGH MAP (K-MAP)

* Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah rangkaian logika Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan rangkaian logika

*

B A 0 1

Tabel Kebenaran 0 Model

1 1

A 0 1 B

0 Model 2

1

A’B’ 0

AB’ 2

A’B 1

AB 3

Map value

A

B

Y

0 0 0 A’B’

1 0 1 A’B

2 1 0 AB’

3 1 1 AB

A’B’ 0

A’B 1

AB’ 2

AB 3

K-MAP 2 VARIABEL

Desain Pemetaan K-Map 2 Variabel

Karnaugh-Map 2 variabel dengan minterm-mintermnya xy

F = ∑(m0,m1) = x’y + x’y’

y y x x 0 1 0 1

0 0

1 1

x’y’

x’y

xy’

xy

1

1

0

0

x y F

0 0

0 1

1 0

1 1

1

1

0

0

F=AB’+A’B F=AB’+A’B+AB B

A

0

B

A

0

0 1 0 1

1 1

B

A 0 1 B

0 1 A 0

0 1

1

F=A+B F=AB’+A’B

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

B A 0 1

Tabel Kebenaran 0

1 A’B’

B AB A 0 1

0

1 Jadi Y = A’B’ + AB

A’B’ 0

0 1

0 2

AB 3

Map value

A

B

Y

0 0 0 1

1 0 1 0

2 1 0 0

3 1 1 1

1 0

0 1

0 2

1 3

Contoh 1:

B A 0 1

Tabel Kebenaran 0

1 A’B’ A’B

B A 0 1

0

1 Jadi Y = A’

A’B’ 0

A’B 1

0 2

0 3

Map value

A

B

Y

0 0 0 1

1 0 1 1

2 1 0 0

3 1 1 0

1 0

1 1

0 2

0 3

Contoh 2:

B

A

0

0 1

1 AB 0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low) A’B’

Y = A’B’ 1 kotak terlingkupi = 2 variabel output

+ AB 2 kotak terlingkupi = 1 variabel output

4 kotak terlingkupi = ‘1’ (High) B

A

0

0 1 Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’

A’

2n dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2, 4,8, 16, …)

(1, 1

B Y =A’ + B

1

1

0

1

1

1

Catatan untuk K-Map 2 Variabel

Dari Tabel Kebenaran di bawah ini, tulis persamaan logikanya dengan menggunakan K-map

B A 0 1

A’ 0

1 B

Jadi Y = A’ + B

1

1

0

1

Map value

A

B

Y

0 0 0 1

1 0 1 1

2 1 0 0

3 1 1 1

Contoh 3:

Sederhanakan K-map

persamaan logika Y = A + AB’ + A’B menggunakan

B A 0 1

B 0

1 A

AB’

Jadi Y = A + B

0

1

1

1

Contoh 4:

Tabel Kebenaran BC

A 00 01 11 10 0 1

Map value AB 00 01 11 10 C 0

1

A’B’C’ 0

A’BC’ 2

ABC’ 6

AB’C’ 4

A’B’C 1

A’BC 3

ABC 7

AB’C 5

Model II

A’B’C’ 0

A’B’C 1

A’BC 3

A’BC’ 2

AB’C 4

AB’C 5

ABC 7

ABC’ 6

Map valu

e

A

B

C

Y

0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1

Model I

K-MAP 3 VARIABEL

Tabel Kebenaran C A

0 1 0 1 AB BC 00 00

01 01

11 11

10 10 6

Map value

A’B’C’ 0

AB’C’ 4

A’B’C 1

AB’C 5

A’BC 3

ABC 7

A’BC’ 2

ABC’

A’B’C’ 0

A’B’C 1

A’BC’ 2

A’BC 3

ABC’ 6

ABC 7

AB’C’ 4

AB’C 5

Map value

A

B

C

Y

0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1

Model IV Model III

BC A 00 01 11 10

0 1

0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low) 1 kotak terlingkupi = 3 variabel output

Y = + A’B AB’C’

BC 2 4

8

kotak kotak

kotak

terlingkupi terlingkupi

terlingkupi

= =

=

2 variabel output 1 variabel output

‘1’ (High)

A 00 01 11 10 0 1

Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit

B BC ‘1’ A 00 01 11 10

yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …) 0 1

C’

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1


A AB AB C 00 01 11 10 C 00 01 11 10 0 1

0 1 C

B G(A,B,C) = A

ab AB c 00 01 11 10 C 00 01 11 10

0 1

0 1

bc ab ac f = + + F(A,B,C) = + B’C’ AC

1 0 0 1

0 0 1 1

0 0 1 0

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 1 1

Contoh Pengcoveran

F = A’B’C + A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’ + ABC

BC A 00 01 11 10

0 1

BC A 00 01 11 10

BC’ 0 1 F = A + B’C + BC’

B’C A

0 1 0 1

1 1 1 1

0 1 0 1

1 1 1 1

A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1 1

Contoh 1 : Diketahui Tabel Kebenaran logikanya

seperti berikut ini, cari persamaan

Tabel Kebenaran

Penyelesaian :

BC A 00 01 11 10

A’B’ AB

0 1

AC

Jadi Y = AC + AB + A’B’

1 1

1 1 1

Map value

A

B

C

Y

0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 1 7 1 1 1 1

Contoh 2 : Diketahui persamaan Boolean :

D = A’BC + A’BC’ + ABC’ + ABC + AB’C Sederhanakan dengan metode K-map.

Penyelesaian :

D = A’BC + A’BC’ + AB’C + ABC’ + ABC BC

A 00 01 11 10 0 1 Jadi D = B + AC

B AC

1 1

1 1 1

Tabel Kebenaran CD

AB 00 01 11 10 00

01

11

10

AB CD

00

00 01 11 10

01

11

10

Model II

A’B’C’D’ 0

A’BC’D’ 4

ABC’D’ 12

AB’C’D’ 8

A’B’C’D 1

A’BC’D 5

ABC’D 13

AB’C’D 9

A’B’C’D 3

A’BCD 7

ABCD 15

AB’CD 11

A’B’CD’ 2

A’BCD’ 6

ABCD’ 14

AB’CD’ 10

Model I A’B’C’D’

0 A’B’C’D

1 A’B’CD

3 A’B’CD’

2 A’BC’D’

4

A’BC’D 5

A’BCD 7

A’BCD’ 6

ABC’D’ 12

ABC’D 13

ABCD 15

ABCD’ 14

AB’C’D’ 8

AB’C’D 9

AB’CD 11

AB’CD’ 10

Map value

A

B

C

D

Y

0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1

K-MAP 4 VARIABEL


A’ A AB

CD 00

00 01 11 10

C’ 01

D’ D 11

C 10

B

B’

AB CD 00 01 11 10

00 01 0 kotak terlingkupi = ‘0’ (Low)

1 kotak terlingkupi = 4 variabel output




16 kotak terlingkupi = ‘1’ (High)

Melingkupinya harus posisi “horisontal” atau “vertikal”, yang

11 AC’ 10

ACD’ A’ AB

CD 00

01

11

10

B’C’ 00 01 11 10

dilingkupi digit ‘1’ dan jumlah digit ‘1’ yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,8, 16, …)

ABCD’ A’BCD

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

1 1

1

1

1

1

1 1

1

1


AB CD

00

01

11

10

AB CD

00

01

11

10

00 01 11 10 00 01 11 10

A’BC’D ABCD

AB’CD’ B’CD A’B’C’D’ A’B’D A’C

F = A’B’D+A’C+B’CD F = A’B’C’D’+A’BC’D+ABCD+AB’CD’

0

0

0

0

1 0 0 0

1 1 0 1

1 1 0 0

1

0

0

0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Contoh Pengcoveran

AB CD

00

01

11

10

AB CD

00

01

11

10

00 01 11 10 00 01 11 10

AB’ BC’D’ AC’ B’C A’D AC ABD’

F = A’D+B’C+AB’+AC F = ABD’+AC’+BC’D’

0

1

1

1

0 0 1 1

0 0 0 0

0 0 1 0

0

0

0

1

1 1 0 1

1 1 1 1

1 0 1 1

Contoh Pengcoveran

Contoh 1 : F(A,B,C,D)=Σm(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)

Penyelesaian : F(A,B,C,D)=Σm(0, 2, 3, 5,

AB

8, 6, 7, 10, 11, 14, 15)

CD 00

01

11

10

00 01 11 10 B’C’D’

Jadi F(A,B,C,D) = C+B’C’D’+A’BD C

A’BD

1 1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

Contoh 2 : Diketahui Tabel Kebenaran sebagai berikut, cari persamaan logikanya.

Penyelesaian :

AB CD

00

01

11

10

00 01 11 10

AB’D

A’C ABC’D’

Jadi Y(A,B,C,D) = A’C+AB’D+ABC’D’

1

1

1 1 1

1 1

Map

value A B C D Y

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 0 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 0 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 0 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 0

Contoh 3 : Lingkarilah dan tulis Persamaan logikanya.

WX 00 01 11 10 YZ

00

01

11

10

WX’Z YZ

Jadi M = W’X’Y’Z’ YZ+WX’Z+WXZ’+W’X’Y’Z’ WXZ’

1

1

1

1 1 1 1

1

1. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar: a. b.

c.

d.

e.

f.

AB AC

XY

XY

BC

+ +

+

+

+

BC’ + A’B’ ABC’ + BC + B’C’

X’Z + Y’Z’

YZ AD

+ XZ + X’Y’ + ABCD + ADC + A’

AD BC + D +

Latihan Soal

2. Gambarlah K-Map untuk setiap ekspresi logika berikut, serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar: a. b.

c.

d.

e.

f.

(B+D)(A+C) + ABD A(BC’ + C) + B(A + A’C)

(AC + ABC’).(BC + B’C’)

Z(XY + X’Z).Y’Z’(X + Z)

A’(B’C + B’C’) + A’BC’

B’(CD’ + A’D) + B’C’(A + A’D’) Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah ke bentuk SOP)

karnaugh map (k-map)...

Documents