kalkulus (it 131) fakultas teknologi informasi ... & kontinuitas alz danny wowor kalkulus (it...

Limit & Kontinuitas

ALZ DANNY WOWOR

KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana

Bagian 3

Monday, July 1, 2013

Topik yang dibahas

A. Limit Fungsi

B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)

C. Kontinuitas


A. Limit Fungsi


1. Pengertian Limit

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.


http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)

http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika

http://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika

Contoh 1Selidikilah perilaku dari fungsi f(x) = x2 – x + 2 untuk x mendekati 2.


Perhatikan Tabel berikut memberikan nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 2, tetapi tidak sama degan 2.


Proses ini, juga dapat dilakukan dengan mengambil nilai x sedekat mungkin dengan 2, hal ini diungkapkan dengan “limit fungsi f(x) = x2 – x + 2, jika x mendekati 2 sama dengan 4”,

Notasinya:


Defenisi 1 (Limit fungsi)

Diberikan

merupakan “limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L”

Jika dapat dibuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita inginkan),

dengan cara mengambil nilai x yang sedekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.


2. Hal penting dalam Limit

Perhatikan kalimat “tetapi x ≠ a” pada defenisi limit.

Hal ini menujukkan bahwa dalam menentukan limit f(x) ketika x mendekati a, tidak pernah dianggap x = a. Bahkan tidak harus terdefenisi pada x = a.

Hal yang diperlukan adalah bagaimana f didefenisikan di dekat a


Perhatikan ketiga grafik fungsi f(x) berikut:


Bagian (a) f(x) terdefenisi disemua titikBagian (b) nilai f(a) ≠ LBagian (c), f(a) tidak terdefenisi

Dari ketiga grafik di atas

Pada ketiga kasus di atas, apa pun yang terjadi di titik a,


Contoh 2

Carilah nilai

Diketahui fungsi f(x) tifdak terdefenisi pada saat x = 1.Tetepi dengan limit menjadi tidak masalah karena dicari nilai x yang mendekati a.

Pembahasan:


Gambar f(x) dan tabel nilai,

Sehingga


Contoh 3

Diberikan sebuah fungsi

Hitunglah


Pembahasan Contoh 3

Gambar dari g(x) adalah

Sehingga diperoleh:

dan


3. Limit Satu Sisi

Limit satu sisi merupakan teknik menentukan nilai limit dengan melihat satu sisi (sisi kiri dan kanan) dari fungsi terhadap titik yang didekati.


Defenisi 2

maka limit f(x) ketika x mendakati a dari kiri

dan limit f(x) ketika x mendakati a dari kanan

Diberikan sebuah fungsi f(x)


Defenisi 3

Nilai suatu limit f(x) ada, misalanya

jika dan hanya jika


Contoh 4Gunakan grafik berikut untuk menyatakan nilai limit berikut (jika ada)


Pembahasan Contoh 4

tidak ada


Limit Takhingga

Untuk menerangkan limit takhingga, dijelaskan melalui contoh-contoh berikut.


Contoh 5

Carilah

jika ada

jika ada


Dari tabel, ketika x diambil mendekati 0, f(x) semakin besar. Dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan, sehingga

jika ada

Dibuat tabel

tidak ada


Contoh 6Diberikan fungsi f(x),

jika ada

maka tentukanlah


Dari grafik f(x)

diperoleh

tidak ada


2. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)


1. Hukum Limit

Andaikan bahwa c adalah konstanta dan

ada, maka

dan


Hukum Limit (tambahan)

jika

dengan n bilangan bulat positif




(Jika n genap, diasumsikan bahwa a > 0)


(Jika n genap, diasumsikan bahwa )

Hukum Limit (tambahan)


Contoh 7Hitunglah

jika ada

Pembahasan


Contoh 8

Hitunglah

jika ada

Pembahasan


Defenisi 3

Jika f adalah fungsi polinom atau rasional dan a dalam daerah asal f, maka

Catatan:

Apabila hasil limit berbentuk,

maka limit tersebut harus dirasionalkan untuk dihitung kembali.atau yang lainnya


Contoh 9

Hitunglah

jika adaPembahasan


Contoh 10

Hitunglah jika ada

Pembahasan


2. Limit menuju ∞ dan −∞

Pada fungsi polinomial:

Untuk tiap p(x) dan q(x) membagi variabel berderajat paling tinggi.

Pada fungsi rasional:


Contoh 11

Hitunglah

jika adaPembahasan:


Contoh 12

Hitunglah

jika ada

Pembahasan:


3. Kontinuitas


Defenisi 4 (kontinuitas)

Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika

Jika f tidak kontinu di a, maka f disebut diskontinu.


Secara eksplisit, defenisi kontinuitas mensyaratkan:

1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f)

2. ada (sehingga f harus terdefenisi pada selang terbuka yang memuat a)3. f(a).


Contoh 13

Dimanakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?

jika ada


Pembahasan (contoh 13)

a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefenisi, maka f diskontinu pada x = 2.

b) Disini f(0) = 1, terdefenisi. Tetapi

tidak ada, maka f diskontinu di x = 0.


kalkulus (it 131) fakultas teknologi informasi ... & kontinuitas alz danny wowor kalkulus (it...

Documents